A definição de limite de uma função, segundo Heine, envolvendo o

questões relacionadas com o cálculo de limites de funções, envolvendo o infinito, ou seja, que determinassem limites infinitos e que determinassem limites quando tende para ou .

Assim, nesta subcategoria, analisámos as questões 2 e 3 da tarefa “Limite de uma função segundo Heine”.

Na pergunta 2 da tarefa, foi pedido aos alunos que preenchessem uma tabela semelhante às da alínea 1.b), relativa à função apresentada anteriormente e retirassem conclusões semelhantes, mas desta vez, relativas aos valores de

( ) e ( ). Todos os

alunos preencheram a tabela e a maioria conseguiu retirar conclusões. Apenas 2 alunos não retiraram qualquer conclusão. Do total de alunos, 3 apenas concluíram sobre o limite das sucessões de imagens, pela função, dos termos das sucessões de objetos consideradas e 2 apenas retiraram conclusões relativamente aos limites da função pedidos. Durante a resolução desta questão, os alunos tiveram algumas dificuldades. De facto, não estavam a associar a situação apresentada ao que tinham visto antes para limites finitos ou limites quando tende para um número real. No entanto, a professora referiu que o que se pretendia era perceber o que acontecia quando tínhamos

( ) e, pelo menos, um

dos valores e/ou é infinito.

Depois deste esclarecimento, surgiram então as respostas dos alunos. Independentemente de terem ou não respondido à totalidade da questão, a maioria das respostas ou partes de resposta apresentadas foram corretas. Apenas um aluno apresentou a seguinte resposta:

107 Perante esta resposta, questionamo-nos relativamente ao cálculo de limites de sucessões ou à compreensão da definição de limite de uma função, segundo Heine, uma vez que esta relação já tinha sido estudada para limites em que tende para um número real. Graficamente, o aluno percebeu que, quando tende para , ( ) tende para e que, quando tende para , ( ) tende para . No entanto, ao apresentar estes valores para os limites das sucessões, tudo aponta para que não esteja a relacionar os limites das sucessões apresentadas com o limite da função. Por outro lado, poderá não ter presente o cálculo de limites de sucessões.

Na questão 3, era apresentada uma função real de variável real, definida por

( )

e pedíamos aos alunos para que, partindo de uma representação gráfica da mesma (alínea 3.a)), indicassem o valor de alguns limites. O tipo de resposta dos alunos, nesta questão, foi muito variado e conseguimos percebê-lo, uma vez mais, através das suas justificações. Procedemos à análise das resoluções dos alunos relativas à alínea 3.b)1). As resoluções adotadas pelos alunos para as alíneas 3.b)2), 3.b)3) e 3.b)4) são semelhantes.

Os vários tipos de resposta considerados e a respetiva distribuição do número de alunos por tipo de resposta apresentam-se de seguida:

Tipo de resposta Número de alunos

a) Utiliza uma representação gráfica da função 4

b) Utiliza uma tabela de valores 5

c) Relaciona o conceito de limite com o conceito de assíntota 6

d) Utiliza sucessões particulares 3

e) Indica um valor para o limite, mas não justifica 5

Tabela 5.5: Tipos de resposta para a subcategoria 1.3 – alínea 3.b)1)

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Figura 5.20: Exemplo do tipo de resposta 1.3.a) – alínea 3.b)1)

Figura 5.21: Representação gráfica relativa à resolução da figura 5.20

Tal como o aluno refere, analisou a representação gráfica da função e verificou o que acontecia ao valor das imagens, à medida que tendia para o valor pretendido.

O segundo tipo de resposta pode ser ilustrado pela seguinte resolução:

Figura 5.22: Exemplo do tipo de resposta 1.3.b) – alínea 3.b)1)

O aluno observou, na tabela que obteve na calculadora, o que acontecia aos valores das imagens da função, à medida que os valores de tendiam para por valores inferiores. Para o terceiro tipo de resposta, considerámos a seguinte resolução:

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Figura 5.23: Exemplo do tipo de resposta 1.3.c) – alínea 3.b)1)

O aluno apercebe-se que a reta de equação é assíntota vertical do gráfico da função, justificando o valor do limite com este facto. Notam-se, contudo, nesta resposta, algumas imprecisões de linguagem.

O quarto tipo de resposta poderá ser ilustrado pela seguinte resolução:

Figura 5.24: Exemplo do tipo de resposta 1.3.d) – alínea 3.b)1)

Nesta fase da trajetória didática, ainda não tinha sido formalizada a definição de limite de uma função, segundo Heine. À semelhança das questões anteriores, o aluno apresenta uma sucessão de valores do domínio que tende, neste caso, para por valores inferiores e indica o limite da respetiva sucessão das imagens, pela função.

Na alínea 3.c), quando questionados sobre o valor do limite da função , quando tende para , as respostas também são muito variadas. Vejamos:

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Tipo de resposta Número de alunos

a) Justifica a não existência de limite pela não igualdade dos limites laterais

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b) Não tem em conta a unicidade do limite 3

c) Não conclui sobre o valor do limite pedido, mas associa os valores obtidos à existência de uma assíntota vertical do gráfico da função

3

d) Conclui que o limite é infinito 1

e) Conclui que o limite não existe, mas não justifica 1

f) Não responde 3

Tabela 5.6: Tipos de resposta para a subcategoria 1.3 – alínea 3.c)

No que diz respeito ao primeiro tipo de resposta, considerámos a seguinte resolução:

Figura 5.25: Exemplo do tipo de resposta 1.3.a) – alínea 3.c)

A igualdade dos limites laterais é uma condição necessária para a existência de limite de uma função num ponto e já tinha sido referida na discussão da questão 1 desta tarefa.

O segundo tipo de resposta pode ser ilustrado pela seguinte resolução:

Figura 5.26: Exemplo do tipo de resposta 1.3.b) – alínea 3.c)

Apesar da incorreção de linguagem, o aluno refere que a reta de equação é assíntota vertical do gráfico da função e, portanto, conclui que, quando tende para , a função “tem 2 limites”. A partir desta resposta, podemos inferir que a imagem conceptual de assíntota vertical do aluno inclui o facto de o limite ser infinito com sinais diferentes, quando tende para o ponto considerado, por valores inferiores ou superiores.

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Figura 5.27: Exemplo do tipo de resposta 1.3.c) – alínea 3.c)

O aluno refere que tem de calcular o limite à direita e à esquerda de , porque existe uma assíntota vertical do gráfico da função, de equação .

Para o quarto tipo de resposta, temos a seguinte resolução:

Figura 5.28: Exemplo do tipo de resposta 1.3.d) – alínea 3.c)

O aluno refere que, quando tende para , o limite é infinito, ainda que, quando tende para 4 por valores inferiores, o limite da função seja , e quando tende para 4 por valores superiores, o limite da função seja .