2. Fundamentação Teórica
2.1. O conceito de limite
2.1.5. Indeterminações
Quando, ao utilizarmos as regras operatórias sobre limites, chegamos a situações do tipo , , ou (indeterminações abordadas no 12º ano), dizemos que estamos perante símbolos de indeterminação. De facto, quando obtemos estes símbolos, a partir da aplicação das regras operatórias sobre limites, não podemos concluir, à partida, sobre o valor do limite da função, uma vez que, dependendo da situação, poderemos obter diferentes valores para o limite, se este existir.
Caraça (1999) refere que, apesar de não podermos aplicar as regras operatórias, pois
o resultado, em cada um desses casos, não pode ser designado a priori; há que obtê- lo, ou tentar obtê-lo, de cada vez que um desses casos se apresente, há que procurar fazer de cada vez, o que em linguagem técnica se chama – o levantamento da
indeterminação. (p. 230)
Vejamos então quais as técnicas de levantamento de indeterminações que poderão ser utilizadas com alunos do 12º ano, para cada um dos tipos de indeterminação referidos. Para os casos que não estão contemplados nestas técnicas, os alunos deverão tentar perceber qual a melhor transformação algébrica que lhes permite levantar a indeterminação.
25 Indeterminação do tipo :
Consideremos duas funções reais de variável real e tais que
( ) e ( )
. Assim, se quisermos calcular
. / ( ) e utilizarmos as regras operatórias sobre
limites, ou seja, se fizermos
. / ( ) ( ) ( ) , obteremos o símbolo de indeterminação .
Vamos então ver como poderemos levantar esta indeterminação, que surge do facto de ser uma raiz comum às duas funções envolvidas.
De um modo geral, quando queremos calcular
( )
( ), onde e são polinómios, e
obtemos o símbolo , poderemos levantar a indeterminação, simplificando a expressão:
Se, para (com ), ambos os polinómios assumem o valor , então ambos são divisíveis por . Sejam ( ) e ( ) os quocientes de ( ) e ( ) por ( ), respetivamente. Assim, quando calculamos o limite de ( ) ( ), quando tende para , temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Se os dois polinómios ( ) e ( ) são ainda divisíveis por , então podemos efetuar essa divisão. Sejam ( ) e ( ) os respetivos quocientes. Então:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Como os graus dos polinómios obtidos pela simplificação são cada vez menores, então, com certeza, chegaremos uma situação em que teremos dois polinómios ( ) e ( ) que não se anulam simultaneamente para e tais que:
( ) ( ) ( ) ( ) (Prova adaptada de Silva & Paulo, 1963, pp. 299 – 300).
26
Quando queremos calcular
( )
( ), nestas circunstâncias, podem ocorrer 3 situações,
como vimos nos exemplos:
se
( ) e ( ) , então o valor do limite da fração no ponto é ;
se
( ) e ( ) , então o valor do limite da fração no ponto é
(consoante
( ) seja ou , o limite da fração é ou ,
respetivamente);
se
( ) e ( ) , então o valor do limite da fração no ponto é
finito e diferente de . (Silva e Paulo, 1963, p. 301)
No caso das funções irracionais apresentadas aos alunos (envolvendo apenas raízes quadradas), bastará multiplicar e dividir a expressão, pela expressão conjugada de um dos termos da fração, por forma a poder simplificar a expressão e, consequentemente, levantar a indeterminação.
Indeterminação do tipo :
Consideremos duas funções reais de variável real e tais que
( ) e
( ) . Assim, se quisermos calcular . / ( ) e utilizarmos as regras
operatórias sobre limites, ou seja, se fizermos
. / ( ) ( ) ( ) , obteremos o símbolo ou, simplesmente, .
Mas, dependendo da situação, ou seja, dependendo das funções envolvidas, o valor do limite, se existir, é diferente de caso para caso, podendo ser, , ou um número real. Assim, quando obtemos o símbolo , não podemos determinar, a priori, qual o valor do limite da função.
27 Vamos então perceber como poderemos levantar esta indeterminação. Neste trabalho, vamos considerar apenas situações em que as funções e são polinómios ou funções irracionais simples (envolvendo apenas raízes quadradas).
Assim, quando queremos calcular
( )
( ), onde e são funções polinomiais e
obtemos o símbolo de indeterminação , poderemos levantar a indeterminação da seguinte forma: Se ( ) ( ) * + então, ( ) ( ) ( ) ( ) . / . /
Deste modo, calcular
( )
( ) é o mesmo que calcular
( ) . / . /
28
No caso das funções irracionais referidas, bastará multiplicar e dividir pela expressão conjugada de um dos termos da fração, por forma a poder simplificar a expressão e, consequentemente, levantar a indeterminação.
Indeterminação do tipo :
Consideremos duas funções reais de variável real e tais que
( ) e
( ) ou ( ) e ( ) . Assim, se quisermos calcular
( )( ) e utilizarmos as regras operatórias sobre limites, ou seja, se fizermos
( )( ) ( ) ( ), obteremos o símbolo ( ) ( ) ou ( )
( ), respetivamente, ou simplesmente, .
Mas, dependendo da situação, ou seja, dependendo das funções envolvidas, o valor do limite, se existir, é diferente de caso para caso, podendo ser, , ou um número real. Assim, quando obtemos o símbolo , não podemos determinar, a priori, qual o valor do limite da função.
Relativamente a estas indeterminações, vamos estudar o seu levantamento apenas o caso dos polinómios e de funções irracionais simples.
De um modo geral, quando queremos calcular
( ), onde ( )
, com * + , podemos levantar uma possível indeterminação da seguinte forma: ( ) ( ) * ( )+ ( ) ( ) ( ) . /
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( ) ( )
Se quisermos calcular
( ), podemos levantar a indeterminação de forma análoga.
No caso das funções irracionais apresentadas aos alunos, a indeterminação do tipo que ocorre poderá ser levantada multiplicando e dividindo, a expressão, pela expressão conjugada.
Indeterminação do tipo :
Consideremos duas funções reais de variável real e tais que
( ) e ( )
ou
( ) e ( ) . Assim, se quisermos calcular ( )( ) e
utilizarmos as regras operatórias sobre limites, ou seja, se fizermos
( )( )
( ) ( ), obteremos o símbolo de indeterminação ou, simplesmente,
.
Mas, dependendo da situação, ou seja, dependendo das funções envolvidas, o valor do limite, se existir, é diferente de caso para caso, podendo ser, , ou um número real. Assim, quando obtemos o símbolo , não podemos dizer, a priori, qual o valor do limite da função, se existir.
Vamos ver como poderemos levantar esta indeterminação.
De um modo geral, quando queremos calcular
, ( ) ( )- e o cálculo deste limite
conduz, pela aplicação das regras operatórias sobre limites, à indeterminação do tipo , então poderemos levantar esta indeterminação da seguinte forma:
Sabemos que
( ) ( ) ( )
( )
ou ( ) ( ) ( )
( )
Deste modo, calcular
, ( ) ( )- é o mesmo que calcular ( ) ( ) ou ( ) ( ) .
Suponhamos, sem perda de generalidade, que
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no primeiro caso, obteríamos, pela aplicação das regras operatórias, uma indeterminação do tipo ;
no segundo caso, obteríamos, pela aplicação das regras operatórias, uma indeterminação do tipo .
Mas, estas indeterminações já sabemos levantar e, portanto, a partir daqui, poderemos aplicar as regras de levantamento das indeterminações do tipo ou , respetivamente.
(Prova adaptada de Silva & Paulo, 1963, pp. 306 – 307).
Limites Notáveis
O Programa de Matemática A do 12º ano refere ainda que deve ser dada aos alunos a informação sobre alguns limites notáveis, que são indeterminações que os alunos não possuem ferramentas de cálculo para as levantar. Os limites notáveis abordados nesta fase são os seguintes:
É explicado aos alunos que este limite é , uma vez que a função exponencial cresce muito mais rapidamente do que qualquer função real de variável real definida por , com .
O valor deste limite é explicado aos alunos graficamente.
Vejamos:
Seja a função definida por ( ) . Uma possível representação gráfica desta função é:
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Figura 2.3: Representação gráfica da função ( )
Observando a representação gráfica, quando tende para , quer seja por valores inferiores ou superiores, ( ) tende para .
( )
O valor deste limite pode ser explicado à custa do anterior.
Seja ( ). Quando tende para , também tende para . Sabemos também que ( ) . Deste modo, ( )
O valor deste limite pode ser explicado à custa do primeiro.
Seja . Quando tende para , tende para . Sabemos também que .
32 Assim,