A estrutura causal do espaço-tempo

A Teoria da Relatividade se baseia na causalidade. A causalidade pode ser entendida como o fato de que eventos futuros são consequências de eventos passados. Dessa forma, mantém-se a ideia da RE de que nenhum sinal pode viajar mais rápido do que a luz fazendo com que qualquer trajetória que carregue informação seja tipo tempo (para partículas com massa) ou tipo luz (para partículas sem massa), nunca tipo espaço [13, 17–19, 21].

A visualização da causalidade em RE, é dada por cones de luz em cada evento, ponto P do espaço-tempo, como podemos ver na Figura 1. Dividimos o mesmo em cone de luz futuro e passado. Eventos no interior do cone de luz futuro podem ser alcançados por uma partícula com massa a partir do ponto P. Essa região é chamada de futuro cronológico de P. O futuro cronológico juntamente com os eventos repousando no cone de luz futuro compreendem o futuro causal de P. Eventos nessa região podem ser influenciados por um sinal luminoso emitido em P. Analogamente, a mesma interpretação é feita para eventos no passado. Localmente a causalidade, como é entendida em RG, é idêntica em RE. As diferenças residem nas definições globais devido a peculiaridades da geometria do espaço-tempo curvo, como as singularidades8_.

Para lidarmos com a causalidade precisamos definir que tipo de curvas que a obedecem. Essas são as curvas causais. Curvas xµ_{(α) tais que para cada ponto P∈ x}µ_{seu vetor tangente t}µ

seja tipo tempo ou tipo luz. Dizemos que uma curva, causal ou qualquer, aponta para o futuro ou

6 _{Para mais detalhes ver Referências [2, 13].}

7 _{Não forneceremos aqui uma definição técnica de espaço-tempo assintoticamente plano (para uma}

discussão completa ver Referência [17]). Entretanto, podemos dizer que ela é relacionada ao fato do espaço-tempo poder ser “compactificado” por meio de uma transformação conforme, possuindo uma “borda” ∂M para a variedade M . Essa “borda” equivale a união de 3 construções: i0_{(infinito tipo espaço),}

I+_{(infinito futuro nulo) e I}−_{(infinito passado nulo). Para mais detalhes sobre a compactificação conforme}

ver Nota de Rodapé 9 a seguir.

2.4. A estrutura causal do espaço-tempo 35

Figura 1 – Cone de luz do ponto P para representação de sua estrutura causal em um diagrama do espaço-tempo: t × x. Representamos 3 vetores: tipo nulo, tipo espaço e tipo tempo. Fonte: Elaborada pela autora.

passado se seus vetores tangentes apontarem para o futuro ou para o passado, respectivamente. Tal como destacamos em RE para um ponto P , podemos definir para RG o futuro cronológico I+_{e o futuro causal J}+_{, tanto para um ponto P quanto para uma região S do espaço-tempo.}

Dado um subconjunto S de uma variedade M, o futuro cronológico I+_{(S) é o conjunto de}

pontos que, partindo de S, podem ser alcançados seguindo uma curva tipo tempo dirigida para o futuro. Já o futuro causal J+_{(S) representa o conjunto de pontos que, partindo de S,}

pode ser alcançado seguindo curvas causais dirigidas para o futuro. A mesma ideia segue para o passado cronológico I−_{(S) e para o passado causal J}−_{(S). Podemos restringir ainda mais}

condições sobre o subconjunto S e associar ao mesmo regiões com as quais ele está causalmente conectado. Essas regiões são definidas como:

Definição (Domínios de Dependência Futuro e Passado). Dado um subconjunto acronal fechado S, tal que S _{⊂ M, definimos o domínio de dependência futuro D}+_{(S) como o conjunto de todos}

os eventos P tal que cada curva causal apontando para o passado e inextensível que atravesse P intercepte S. Analogamente definimos o domínio de dependência passado D−_(S).

Por conjunto acronal fechado S entendemos um conjunto tal que nenhum par de pontos P, Q_{∈ S possa ser unido por uma curva tipo tempo e por curva inextensível entendemos uma} curva que não possui um ponto final passado ou futuro (de acordo para onde a curva apontar). As superfícies de D+_{(S) e D}−_{(S) recebem os nomes de horizonte futuro H}+_{(S) e passado}

H−_{(S) de Cauchy e representam superfícies nulas, pois como “bordas” de D}+_{e D}−_{são geradas}

por curvas causais nulas. A junção do domínio de dependência futuro D+_{(S) com o passado}

D−_{(S) de uma região S recebe o nome de domínio de dependência D(S) = D}+_{(S)∪ D}−_(S).

Podemos ver os domínios de dependência futuro D+_{(S) e passado D}−_{(S) para uma}

Figura 2 – Representação de um subconjunto S de uma hiper-superfície Σ e sua estrutura causal. Representamos os domínios de dependência futuro e passado D±_{(S) e seus respectivos}

horizontes de Cauchy H±_{(S). Além disso representamos os pontos P}±_{conjuntamente com}

seus cones de luz. Fonte: Elaborada pela autora.

H+_{(S) e passado H}−_{(S) representam os cones de luz passado e futuro para os pontos P}±_.

Portanto, qualquer curva que permaneça dentro ou sobre esse cone deve interceptar S, de forma que as informações obtidas em S sejam suficientes para predizer informações nos pontos P±_{. Ainda da Figura 2, notamos que como S encontra-se no cone de luz passado de P}+_{e no}

cone de luz futuro de P−_{, seu domínio de dependência não é o espaço-tempo completo. Isso é}

equivalente a dizer que o domínio de dependência D(S) representa o conjunto completo de eventos que podem ser determinados em S.

Agora que definimos causalidade para um subconjunto S ⊂ M, falta definirmos a causalidade para a variedade M, ou seja, para o espaço-tempo como um todo. Dizemos que um espaço-tempo é causalmente conectado se o mesmo puder ser definido como:

Definição (Espaço-tempo Globalmente Hiperbólico). Um espaço-tempo é globalmente hiperbó- lico se possuir uma superfície de Cauchy Σ.

Por uma superfície de Cauchy entendemos uma superfície Σ que seja acronal e fechada de modo que seu domínio de dependência seja a variedade M completa D(Σ) = M. Uma superfície de Cauchy para uma variedade Lorentziana M é uma hiper-superfície que é interceptada exatamente uma vez por toda curva causal inextensível em M. Pode-se mostrar (ver Referência [17]) que um espaço-tempo globalmente hiperbólico pode ser folheado por uma família de superfícies de Cauchy Σtdescritas por um parâmetro real t = cte. Dessa forma, todo o futuro e

o passado do mesmo pode ser previsto ou revisto a partir de condições dadas sob uma superfície de Cauchy Σt.

Essas definições nos serão úteis na análise dos diagramas de Penrose9_{(ver Figuras 3, 5,}

9, 10) dos espaços-tempo em questão e na definição dos campos sob o espaço-tempo (ver Seção

9 _{Um diagrama de Penrose é uma representação compacta e finita de um espaço-tempo infinito. Eles são}

construídos por meio de uma transformação conforme. Essa transformação é definida tal que a métrica resultante da transformação ˜gµνesteja relacionada com a métrica original gµνda forma ˜gµν = Ω2(x)gµν,

2.5. O espaço-tempo de Minkowski sob a perspectiva de um referencial uniformemente acelerado 37

3.2).

2.5 O espaço-tempo de Minkowski sob a perspectiva de