3 TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS EM ESPA ÇOS CURVOS
3.1 Teoria quântica de campos em espaços planos
3.1.1 A equação de Klein-Gordon
A equação de Klein-Gordon foi proposta para descrever partículas relativísticas, escala- res e sem carga [2]. Dessa forma, dada uma partícula com massa m e 4-momento kµ= (E, k),
ela obedece a seguinte relação relativística
kµkµ=−m2 ⇒ E2 = k· k + m2. (3.1)
Definimos partículas como possuindo energia positiva E =√k· k + m2.
Reescrevendo e atribuindo aos constituintes da equação (3.1) interpretações operacionais da MQ: E = H = i∂t, sendo H o operador hamiltoniano e k = −i∇ e aplicando no campo
escalar φ(x)1, temos
E2− k · k − m2 φ(x) = 0
(i∂t)2− (−i∇)2− m2 φ(x) = 0, (3.2)
o que define a equação de Klein-Gordon
∂t2− ∇2+ m2 φ(x) = 0. (3.3)
Agora vamos para o tratamento campístico.
3.1.2 O campo de Klein-Gordon
Toda teoria de campos clássicos nasce da ação clássica, que, para um campo φ(x) é da forma
S [φ] = Z
d4xL (φ, ∂µφ, x) , (3.4)
sendo L (φ, ∂µφ, x) a densidade de Lagrangiana do respectivo campo [3, 13, 19, 20]. Podemos
extremizar essa ação, pelo método das variações, calculando δS = Z d4x ∂L ∂φ − ∂ ∂xµ ∂L ∂ (∂µφ) δφ = 0, (3.5) δS δφ = 0 ⇒ ∂L ∂φ − ∂ ∂xµ ∂L ∂ (∂µφ) = 0, (3.6)
3.1. Teoria quântica de campos em espaços planos 55
onde o lado direito da equação (3.6) nos dá as equações de Euler-Lagrange. Para o campo escalar real φ(x), de massa m e sem interações, a densidade de Lagrangiana L é escrita como
L = −1 2 η
µν ∂
µφ ∂νφ + m2φ2 , (3.7)
na qual ηµν é a inversa do tensor métrico de Minkowski e as equações de Euler-Lagrange nos
levam a equação de Klein-Gordon
ηµν∂µ∂νφ− m2φ = 0, (3.8)
tal como na equação (3.3). As soluções para essa equação podem ser expandidas no espaço dos momentos k e vamos representá-las por meio de ondas planas da forma
φ ∝ fk ⇒ fk∝ e−i(ωkt−k·x), (3.9)
sendo ωk a frequência de oscilação do campo e k o vetor de onda. A frequência de oscilação,
obtida substituindo a solução (3.9) na equação (3.8), é ωk ≡
√
k· k + m2. (3.10)
Para que a solução do campo φ(x) seja expandida em um conjunto completo e ortogonal de soluções temos que fazer uso do produto interno do campo de Klein-Gordon, que é definido nas Referências [3, 13, 19, 31], para duas funções f e g, como
(f, g)KG ≡ −i Z
d3x(f ∂tg∗− g∗∂tf ). (3.11)
Calculando-o para fk1 = e−i(ωk1t−k1·x) e fk2 = e−i(ωk2t−k2·x) obtemos
(fk1, fk2) = −i Z d3x i(ωk1 + ωk2)e −i(ωk1−ωk2)tei(k1−k2)·x = (ωk1 + ωk2) δ 3(k 1− k2)(2π)3e−i(ωk1−ωk2)t, (3.12)
onde usamos que
δ3(k1− k2) =
Z d3x
(2π)3e
i(k1−k2)·x, (3.13)
representando a delta de Dirac 3-dimensional. Da equação (3.12) inferimos que o produto interno se anula a menos que k1 = k2 ≡ k e, por conseguinte, ωk1 = ωk2 ≡ ωk. Por fim,
normalizamos os modos (3.9) como fk= 1 (2π)3/2 1 √ 2ωk eikµxµ. (3.14)
A partir dos modos normalizados (3.14) associados ao produto interno (3.12) obtemos as relações
(fk, fk′) = δ3(k− k′), (3.15)
(fk, fk∗′) = 0, (3.16)
sendo que a relação (3.15) implica que os modos fksão ortonormais entre si com norma positiva,
a relação (3.16) diz que os modos fke fk∗são ortogonais e a relação (3.17) mostra que os modos
f∗
k são ortonormais entre si com norma negativa. Nesse sentido, o conjunto {fk, fk∗} é completo
e ortogonal, possibilitando a expansão do campo φ(x) como a combinação de modos fke fk∗.
Antes de apresentarmos a expansão do campo φ(x) nesses modos, vamos defini-los como: modos de frequência positiva e modos de frequência negativa. Vamos chamar o conjunto de modos {fk} de modos de frequência positiva, satisfazendo
∂tfk =−iωkfk, ωk > 0 (3.18)
e o conjunto de modos {f∗
k} de modos de frequência negativa satisfazendo
∂tfk∗ = iωkfk∗, ωk> 0, (3.19)
sendo assim definidos com relação ao tempo t, de um referencial inercial, do espaço-tempo de Minkowski2. Essa definição é importante para a padronização do conceito de partículas que
será apresentada e que ficará mais clara na próxima seção.
Finalmente, podemos expandir o campo φ(x) como uma combinação dos modos de frequência positiva fke negativa fk∗. Portanto, expandindo-o continuamente no espaço dos
momentos temos φ(x) = Z d3k (2π)3/2 1 √ 2ωk ake−i(ωkt−k·x)+ a∗kei(ωkt−k·x) = Z d3k (akfk+ a∗kfk∗) , (3.20)
sendo ake a∗kcoeficientes da expansão. Vamos agora quantizar o campo de Klein-Gordon.
3.1.3 Quantização do campo escalar no espaço-tempo plano
A construção de uma teoria quântica a partir de uma teoria clássica consiste na escolha de um espaço de Hilbert de estados H e de operadores auto-adjuntos ˆa, ˆb que representem observáveis clássicos fundamentais [3, 13, 18–20, 24]. Essa escolha é, historicamente, baseada
2 A nomeação: modos de frequência positiva e modos de frequência negativa para f
ke fk∗, respectiva-
mente, possui uma origem histórica [20]. Ela remete-se a interpretação do operador Hamiltoniano ˆH fornecendo a autoenergiza E do campo e, então, de sua partícula em questão. Assim, fkdescreve
partículas com energia positiva E > 0 e f∗
k descreve partículas com energia negativa E < 0 da
forma
ˆ
Hfk = i~∂tfk= ~ωkfk ⇒ E > 0
ˆ
Hfk∗ = i~∂tfk∗ =−~ωkfk∗ ⇒ E < 0,
onde retomamos a unidade de energia. Como definimos partículas com energia positiva em TQC e, por conseguinte, no presente texto (ver Subseção 3.1.1), essa interpretação consolida-se apenas historicamente. Entretanto, emprestamos essa nomeação para a diferenciação dos modos fke fk∗.
3.1. Teoria quântica de campos em espaços planos 57
nos parênteses de Poisson { , }, que fornecem a estrutura algébrica [ , ] dos operadores em questão
h ˆ
a, ˆbi = i{a, b} . (3.21)
Assim, o comutador fundamental da MQ fica [ˆx, ˆp] = i, pois{x, p} = 1. Na TQC fazemos a chamada segunda quantização onde promovemos o campo φ(x) e seu campo canonicamente conjugado π(x) ≡ ∂L
∂(∂tφ) = ∂tφ a operadores ˆφ(x) e ˆπ(x) [32]. Vale dizer que, de acordo com
esse procedimento de quantização, estamos fazendo uso da representação de Heisenberg3.
Essa quantização é feita postulando as seguintes relações de comutação h ˆφ(x), ˆπ(y)i
= iδ3(x− y), (3.22)
h ˆφ(x), ˆφ(y)i
= [ˆπ(x), ˆπ(y)] = 0, (3.23)
que são tomadas em tempos iguais. Dessa forma, os coeficientes ake a∗k, da equação (3.20), são
promovidos a operadores ˆake ˆa†ksatisfazendo
h ˆ ak, ˆa†k′ i = δ3(k− k′), (3.24) [ˆak, ˆak′] = h ˆ a†k, ˆa†k′ i = 0. (3.25)
Essas relações de comutação são similares às relações do Oscilador Harmônico Quântico (OHQ). Similares porque a expressão (3.24) conta com uma delta de Dirac δ3(k− k′) e não uma delta de
Kronecker δk,k′(como é o caso do OHQ) [24], de modo que há um infinito número de operadores
indexados por k [13]. Assim, os operadores ˆa†ke ˆak não possuem interpretação física tão direta
como no caso do OHQ, como operadores de criação e destruição, respectivamente. Para mais detalhes ver Apêndice D.
Portanto, os campos φ(x) e π(x) quantizados ficam escritos como ˆ φ(x) = Z d3k (2π)3/2 1 √ 2ωk h e−i(ωkt−k·x)ˆa k+ ei(ωkt−k·x)ˆa†k i , (3.26) ˆ π(x) = −i Z d3k (2π)3/2 r ωk 2 h e−i(ωkt−k·x)ˆa k− ei(ωkt−k·x)ˆa†k i , (3.27)
Esses campos são expressos no espaço de Hilbert de estados de partículas FKG, conhecido
como espaço de Fock [3, 24, 31]. O espaço de Fock FKGé acompanhado da representação/base de
Fock que descreve estados de partículas descritos por kets | i construídos a partir do estado de vácuo |0i. Esse estado tem seu nome devido ao fato dele representar o estado sem partículas e possui a propriedade de ser aniquilado por cada operador destruição ˆakda forma
ˆ
ak|0i ≡ 0, ∀k. (3.28)
3 Por representação de Heisenberg estamos nos referindo a evolução temporal do campo sendo atribuída
Por fim, para explorarmos a interpretação física dos estados de Fock, é interessante definirmos mais um operador, o operador número
ˆ
Nk ≡ ˆa†kˆak. (3.29)
Quando definido no caso do OHQ, seu valor esperado fornece exatamente o número de partículas de um determinado estado. O mesmo acontece, por exemplo, quando o definimos para a expansão discreta do campo ˆφ (ver Apêndice D). Porém, sua interpretação física no contínuo não é tão direta como para o OHQ, dado que ele expressa o produto de ˆa†ke ˆak, como comentamos
após as equações (3.24) e (3.25). Portanto, seguindo a discussão do Apêndice D, podemos interpretar seu valor esperado como uma densidade de partículas.
Aqui mostramos a quantização do campo escalar no espaço-tempo plano. A quantização em espaços-tempo curvos segue o mesmo princípio.