2 A TEORIA DA RELATIVIDADE
2.8 Buracos negros
Até a presente seção, muito dissemos a respeito da concepção geral de um buraco negro: que os mesmos absorvem matéria e nunca a emitem, relacionamos pontos da solução de
2.8. Buracos negros 49
Schwarzschild à “anatomia” do mesmo, verificamos o que acontece com as geodésicas nulas na solução de Eddington-Finkelstein e até já o representamos no diagrama de Penrose do espaço-tempo de Schwarzschild estendido. Porém, até agora não fornecemos uma definição precisa, não dissemos nada sobre a formação e nem mencionamos que existe uma classificação para os mesmos [13, 15, 17, 18]. Esses são os objetivos dessa seção.
Uma definição formal para um buraco negro é dada como:
Definição (Buraco Negro). Um espaço-tempo assintoticamente plano (M, gµν) admite um buraco
negro B tal que
B = M − J− I+ 6= ∅ (2.64)
sendo J−(I+) o passado causal do infinito futuro nuloI+.
Por passado causal J−(Σ) entendemos o conjunto de eventos que pode ser atingido por
Σ seguindo uma curva causal dirigida para o passado e por futuro infinito nuloI+entendemos
uma superfície nula que delimita o espaço-tempo como um todo. Dada a definição de buraco negro definimos seu horizonte de eventos da forma:
Definição (Horizonte de Eventos). Dado um buraco negro B seu horizonte de eventos é definido como sua borda H+tal que
H+= ˙J− I+
(2.65) sendo ˙J−(I+) a fronteira de J−(I+) do infinito futuro nuloI+.
Portanto, um buraco negro é a região a partir da qual nenhum sinal causal consegue atingir I+. E o horizonte de eventos do mesmo é superfície que separa os pontos do espaço-
tempo que estão conectados com o infinito por uma curva tipo tempo dos que não estão, ou seja, o limite da região visível para um observador em I+.
Na Seção 2.3 falamos sobre horizonte de Killing. É claro que a noção dos mesmos é independente da ideia de horizontes de eventos, mas, em espaços-tempo que possuem simetrias temporais, eles estão profundamente conectados: horizontes de eventos Σ’s de um espaço- tempo estacionário e assintoticamente plano são horizontes de Killing para algum vetor de Killing Kµ. Podemos interpretar o horizonte de eventos para um buraco negro de Schwarzschild
por meio da análise do módulo do vetor de Killing KS = ∂t. Seu cálculo leva a
KµKµ= gµνKµKν =− 1−2M r , (2.66)
que indica que o vetor de Killing é: tipo tempo para r > 2M, tipo luz para r = 2M e tipo espaço para r < 2M. Assim, quando o vetor de Killing é tipo luz temos um horizonte de Killing, de acordo com a definição da Seção 2.3, e, portanto, temos o horizonte de eventos do buraco negro em questão.
Podemos dizer que até hoje não temos uma concepção completa da formação geral de buracos negros. Isso porque, por exemplo, não sabemos exatamente como e quais processos seriam responsáveis pela formação dos buracos negros primordiais, possivelmente formados no início da formação do universo. Além disso, o estudo sobre a formação de buracos negros foge dos objetivos da presente dissertação. De forma geral, buracos negros são formados pelo colapso gravitacional estelar. Uma estrela pode ser pensada como uma estrutura que se sustenta pelo equilíbrio da pressão, devido a fusão nuclear de seus constituintes, com a força gravitacional. Quando a força gravitacional começa a ganhar dizemos que a estrela entra em estágio de colapso: a combustão nuclear se esgota. A partir daí a densidade da estrela aumenta consideravelmente de forma que, ao passar de um determinado ponto (o raio de Schwarzschild e seu então horizonte de eventos), o espaço-tempo fica tão distorcido que nada mais consegue escapar. Temos então um buraco negro.
Figura 10 – Diagrama de Penrose de uma estrela colapsando esfericamente. A estrela colapsando é repre- sentada pela região hachurada em cinza. A linha em zigue-zague representa a singularidade r= 0. O horizonte de eventos é representado por H+. Fonte: Elaborada pela autora.
Dessa forma, o espaço-tempo de Schwarzschild estendido representa uma idealização para o que esperamos de um buraco negro: ele não representa sua evolução temporal pelo colapso gravitacional. Ainda assim, podemos utilizar a solução de Schwarzschild (2.42) para descrever a região exterior ao colapso esfericamente simétrico de uma estrela de massa M19. O
teorema de Birkhoff garante que o exterior de uma estrela em colapso esfericamente simétrico é descrito pela métrica de Schwarzschild, que é estática. É claro que o interior da estrela envolve uma dinâmica estelar interna extremamente complexa, porém nesse modelo não estamos considerando como essa dinâmica funciona. O que importa no mesmo é a solução do exterior
19 O colapso esfericamente simétrico também é uma situação idealizada: não apenas pela simetria
esférica, mas principalmente por ser completamente livre de qualquer outro parâmetro físico (como momento angular L, por exemplo) além da massa M .
2.8. Buracos negros 51
da matéria em colapso e o momento a partir do qual, ao passar de um determinado ponto (o raio de Schwarzschild), temos a formação do horizonte de eventos H+e então seu desenvolvimento
temporal até a singularidade r = 0. A representação do colapso esfericamente simétrico pode ser vista por meio do diagrama de Penrose 10, sendo as geodésicas nulas representadas por superfícies com ±45◦ com relação à vertical e a região do buraco negro representada acima
do horizonte de eventos H+, como região tal que todas as curvas causais que dela saem não
alcançam o infinito futuro nulo I+.
Até hoje conhecemos apenas um pequeno número de soluções para as equações de Einstein. Para buracos negros esse número se limita a 4 se nos referirmos as soluções que descrevem buracos negros 4-dimensionais, estacionários e assintoticamente planos, a saber: Schwarzschild (caracterizada pela massa M do buraco negro), Kerr (caracterizada pela massa M e pelo momento angular L do buraco negro), Reissner-Nordström (caracterizada pela massa M e pela carga Q do buraco negro) e Kerr-Newman (caracterizada pela massa M , carga Q e momento angular L do buraco negro). O interesse para os casos estacionários se concentra no fato de serem o estágio final do colapso gravitacional. Essas 4 soluções consideram apenas 3 parâmetros observáveis para o exterior dos buracos negros, que são dadas pelo teorema do “no-hair”. Esse teorema estabelece que buracos negros possuem apenas esses parâmetros para
caracterizá-los.
Na presente dissertação vamos nos restringir apenas ao buraco negro de Schwarzschild, como vimos no presente capítulo e como veremos nos Capítulos 3 e 4.
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