4 TERMODINÂMICA DE BURACOS NEGROS
4.1 Leis da termodinâmica de buracos negros
Após toda a discussão feita na Seção 3.4 mostramos que buracos negros de Schwarzschild emitem radiação com espectro térmico dado por (3.140). Portanto, temos motivos mais do que suficientes para tratar um buraco negro como um sistema termodinâmico com temperatura T e entropia S. Nessa seção vamos mostrar que podemos atribuir quantidades físicas que operam analogamente às grandezas termodinâmicas, fazendo o paralelo com as leis da Termodinâmica Clássica [45] e suas devidas modificações [18–20, 46, 47].
A Lei Zero
A Lei Zero da Termodinâmica é a lei do equilíbrio térmico. Se dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro eles estarão em equilíbrio térmico entre si. Assim, a temperatura de um sistema é a propriedade que determina se um sistema está em equilíbrio térmico com outros sistemas. No caso de um sistema único a Lei Zero diz que, para que o mesmo esteja em equilíbrio térmico, sua temperatura deve ser uniforme ao longo do mesmo.
Para a termodinâmica de buracos negros, assumindo a temperatura de um buraco negro como T = κ
2π, sendo κ a gravidade superficial do mesmo, postulamos:
A gravidade superficial κ de um buraco negro estacionário é constante ao longo de seu horizonte de eventos.
No caso de um buraco negro de Schwarzschild a gravidade superficial vale κ = 1 4M. O
cálculo de κ para Schwarzschild e os cálculos referentes ao fato de que ela é constante ao longo do horizonte de eventos podem ser vistos no Apêndice A.
o mesmo perde seu horizonte de eventos, a entidade que “esconde” seus estados internos. Assim, a informação que entrou no buraco negro “desaparece” com a evaporação do mesmo.
4.1. Leis da termodinâmica de buracos negros 85
A Primeira Lei
A Primeira Lei da Termodinâmica é a lei da conservação da energia. Ela pode ser escrita como
∆U = ∆Q− ∆W, (4.2)
relacionando a variação da energia interna ∆U com a troca de calor ∆Q e trabalho ∆W realizado (∆W > 0) ou absorvido (∆W < 0) pelo sistema. A versão diferencial da expressão (4.2), seguindo a definição usual da entropia dS = dQ
T , fica
dU = T dS − dW, (4.3)
sendo U a energia interna, T a temperatura, S a entropia e W o trabalho.
Como a Primeira Lei é a lei da conservação da energia, para desenvolver sua versão para buracos negros temos que saber como relacionar seus observáveis e suas respectivas variações de forma a descrever como essas grandezas ficam quando perturbadas infinitesimalmente para um novo estado estacionário.
Para a termodinâmica de buracos negros, postulamos:
Dado um buraco negro estacionário inicialmente de massa M, área A e gravidade superfi- cial κ, variamos esses parâmetros de forma que
dM = κ
8πdA. (4.4)
Um buraco negro de Schwarzschild possui como parâmetro externo apenas a sua massa M e é descrito pela métrica (2.42). A área A de seu horizonte de eventos é dada pela intersecção das hiper-superfícies Σt, para t = cte e do horizonte de eventos H+, definido para r = 2M.
Assim a métrica induzida fica
ds2 = γijdxidxj = r2dθ2+ r2sin2θdφ2, (4.5)
com √γ = r2sin θ. Portanto a área é
A = Z H+∪Σ t √γdθdφ =Z 2π 0 dφ Z π 0 dθ(2M )2sin θ = 16πM2. (4.6) Variando a área com relação a massa M temos
dA = 32πM dM. (4.7)
Rearranjando a expressão anterior chegamos a
dM = 1
32πMdA = κ
Essa é a Primeira Lei da Termodinâmica para um buraco negro de Schwarzschild. Fazendo o paralelo com a Primeira Lei Clássica (4.3), M é o equivalente da energia U, κ equivale a temperatura T , A representa a entropia S.
Vale comentar que, de forma geral, formula-se a Primeira Lei da Termodinâmica de buracos negros com relação aos observáveis: massa M, carga Q e momento angular L3. Assim
ela é enunciada como
dM = κ
8πdA + ΩHdL + ΦHdQ. (4.9)
Nessa expressão ΩH é a velocidade angular e φH é o potencial elétrico na superfície do buraco
negro. Fazendo o paralelo com a Primeira Lei Clássica (4.3), M é o equivalente da energia U, κ equivale à temperatura T , A representa a entropia S e ΩH e ΦH, em conjunto com suas
respectivas variações de momento angular L e carga Q, representam o trabalho W realizado. Voltando ao caso de Schwarzschild, como sabemos que T = κ
2π, comparando (4.8) com
(4.3), associamos a entropia S da forma S = A
4 = 4πM
2, (4.10)
sendo diretamente proporcional a área, tal como a entropia postulada por Bekenstein (4.1). Recuperando as unidades de (4.10) ficamos com S = kBc3
~G A
4 e verificamos que o fator numérico
η da entropia de Bekenstein (4.1) vale η = 1 4.
A Segunda Lei
A Segunda Lei da Termodinâmica possui duas formulações históricas, a de Kelvin e a de Clausius, ambas baseadas em máquinas térmicas mas que levam a definição de entropia e de sua propriedade máxima de que
δS ≥ 0, (4.11)
ou seja, a variação de entropia do universo (sistema + exterior) é sempre positiva ou permanece nula.
Para buracos negros, assumia-se a segunda lei da termodinâmica de buracos negros como: a área do horizonte de eventos de um buraco negro nunca decresce com o tempo, ou seja, δA ≥ 0 [41]. O que é provado de acordo com o teorema da Área de Hawking e que firma a relação entre a área A de um buraco negro e sua entropia S. Entretanto, Bekenstein [6, 42] propôs que
δSBH+ δSext≥ 0, (4.12)
a variação da entropia de um buraco negro, somada a variação da entropia do exterior nunca decrescem. Que é conhecida como a Segunda Lei da Termodinâmica Generalizada.
4.2. A inacessibilidade do equilíbrio térmico com um reservatório de energia e suas implicações 87
É importante notar que ela contempla a radiação Hawking porque a diminuição da entropia do buraco negro, devido a diminuição de sua massa e de sua área, é compensada pelo aumento da entropia do exterior.
A Terceira Lei
A Terceira Lei da Termodinâmica possui várias formulações históricas. Aqui vamos citar apenas a inacessibilidade do zero absoluto. Segundo essa formulação clássica é impossível alcançarmos o zero absoluto através de um número finito de processos termodinâmicos.
Para buracos negros postula-se que:
É impossível reduzir a gravidade superficial κ de um buraco negro a zero por um número finito de processos.
As Leis da Termodinâmica de Buracos Negros possuem inúmeras demonstrações e fornecem uma extensa discussão, tópicos que vão além dos objetivos da presente dissertação. Mais detalhes podem ser encontrados nas Referências [6, 41, 42]. Agora, relacionadas as Leis da Termodinâmica de Buracos Negros com a Leis da Termodinâmica Clássica, vamos discutir a evaporação ou o aumento da massa de Buracos Negros de Schwarzschild num contexto termodinâmico.