Este resultado é consequência imediata de um importante teorema provado por Brown em 1971, que enunciamos de seguida. Demonstrações deste teorema podem ser encontradas em [10, 38, 53, 56].
Teorema 2.9 (Teorema de Brown). Sejaπ um morfismo sobrejectivo de um semi-
grupoT para um semigrupo localmente finito S tal que eπ−1 é um subsemigrupo deT localmente finito, para cada e ∈ E(S). Então T é localmente finito.
Podemos, assim, concluir que a expansão de Malcev preserva a finitude se e só se é determinada por uma variedade localmente finita.
2.2 A expansão de Malcev nos produtos de
Malcev
SejamV e W variedades de semigrupos. Recordamos que V m W é a classe dos
semigruposT para os quais existe S ∈ W e um V-morfismo relacional sobrejectivo
deT para S. Deste modo, após definida a expansão de Malcev, observa-se que se S ∈ W é um semigrupo A-gerado, então V m S ∈ V m W. Mais ainda, tomando S ∈ W como semigrupo S-gerado, é fácil verificar que, pela propriedade universal
da expansão de Malcev,V m W é a variedade gerada por {V m S | S ∈ W}.
Proposição 2.10. Sejam V e W S-variedades tais que V é localmente finita. Seja V a variedade gerada por V. Então Vm W é a S-variedade gerada pelas expan-
sões de MalcevV m S, com S ∈ W.
Demonstração. Seja S ∈ W. Seja ϕ : A+
։ S um morfismo sobrejectivo,
para um certo alfabeto finito A. Consideramos V m S a expansão de Malcev de S determinada por V. Seja πS : V m S ։ S o morfismo canónico associado a
V m S. Como S é finito e V é localmente finita, pela Proposição 2.8 sabemos que V m S é um semigrupo finito. Em particular, os semigrupos eπ−1
S , come ∈ E(S), são finitos. Atendendo à Proposição 1.26, concluímos que eπ−1
S ∈ V, para cada
e ∈ E(S). Logo πS é um V-morfismo sobrejectivo e portantoV m S pertence a
Reciprocamente, sejaf : T ։ S um V-morfismo sobrejectivo, onde T e S são
semigrupos finitos, com S ∈ W. Sendo T finito, consideremos ψ : A+
։ T
um morfismo sobrejectivo, para um certo alfabeto finitoA. Tomemos o semigrupo A-gerado (S, ψf ). Como V ⊆ V, o morfismo f é um V-morfismo. Logo, pela Pro-
posição 2.2, o semigrupo T é imagem homomorfa do semigrupo V m S. Portanto T pertence à S-variedade gerada pelos semigrupos V m S, com S ∈ W.
SeS é uma banda então o morfismo canónico de I m S para S é um isomorfismo.
Logo, seW é uma variedade ou uma S-variedade de bandas, temos I m W = W.
Em particular, temosI m I = I e I m B = B.
A proposição que se segue mostra que os semigrupos livres emV m W se obtêm
dos semigrupos livres deW por aplicação da expansão de Malcev determinada por V. Em [44] encontra-se uma demonstração muito resumida desta propriedade, pelo
que decidimos apresentá-la aqui na íntegra.
Proposição 2.11. SejamV e W variedades de semigrupos e A um alfabeto. Então
FV m W(A) = V m FW(A).
Demonstração. É claro queV m FW(A) ∈ V m W. Tome-se um V-morfismo so- brejectivoα : T ։ S, com S ∈ W, e f : A+ → T um morfismo. Queremos pro- var a existência de um morfismoφ : V m FW(A) → T tal que f = ( )V m FW(A)◦ φ. Podemos supor que f é sobrejectivo; senão considerar-se-ia, para o lugar de T ,
o subsemigrupo T′ de T gerado por A+f , e, para α, o morfismo α′ : T′
։ S′
definido portα′ = tα, onde S′ = T′α.
Pela Proposição 2.2, existe um morfismo sobrejectivoγ : V m S ։ T tal que o
diagrama seguinte comuta:
V m S γ wwwwooooo oooo oooo πS A+ ( )V m S -- -- f // // f α 11 11 T α '' ''O O O O O O O O O O O O O O O S
2.2. A expansão de Malcev nos produtos de Malcev
Por outro lado, pela propriedade universal deFW(A), existe um morfismo sobre- jectivoϕ : FW(A) ։ S tal que ιϕ = f α, onde ι é o morfismo canónico de A+para
FW(A). Pela Proposição 2.4, existe um morfismo V m ϕ : V m FW(A) ։ V m S sobrejectivo tal que o diagrama
V m FW(A) V m ϕ // // πFW (A) V m S γ πS A+ ( )V m S 66 66 f // // f α )) )) ι ( )V m FW (A) == == == ^^^^== == == T α 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 FW(A) ϕ // //S
comuta, ondeπFW(A) : V m FW(A) ։ FW(A) e πS : V m S ։ S são os morfismos canónicos associados às expansões de Malcev consideradas. Podemos então tomar
φ = (V m ϕ)◦γ. Atendendo à Proposição 1.21, a demonstração fica concluída.
A definição de expansão de Malcev pode ser estendida a semigrupos profini- tos e pro-variedades, obtendo-se propriedades análogas às que apresentámos na Secção 2.1. Rhodes e Steinberg apresentam um resultado semelhante ao da Propo- sição 2.11, para o caso em que se consideram S-variedades, produto de Malcev de
S-variedades e semigrupos profinitos livres. Não é nossa intenção explorar o caso
profinito neste trabalho. Para mais detalhes sobre a expansão de Malcev profinita e a sua relação com o produto de Malcev de pseudovariedades, sugerimos [52, 49].
3 Alguns produtos de Malcev da
forma
I Wm
Neste capítulo, damos principal relevo a alguns produtos de Malcev da forma
I W, onde W é a S-variedade DV dos semigrupos S cujas D-classes regula-m
res são subsemigrupos deS em V, para uma S-variedade Varbitrária, ou é uma S-variedade de semigrupos localmente grupos.
Como referimos na Secção 1.7, os I-morfismos (relacionais) estão intrinseca- mente relacionados com o produto de Malcev I W. Na primeira secção, va-m
mos estabelecer propriedades destes morfismos (relacionais) que são determinantes para o desenvolvimento das secções e capítulos que se seguem.
Na segunda secção, provamos (Proposição 3.8) que I DV = DV, para umam S-variedade V arbitrária, e na última secção caracterizamos (Teorema 3.11), de um
modo geral, o produto de Malcev da forma I W, para uma S-variedade W talm
que W ⊆ LG, particularizando depois para o caso dos semigrupos unipotentes,
dos grupos e dos semigrupos simples.
Este capítulo não depende directamente da definição de expansão de Malcev, mas simplesmente do conceito de produto de Malcev e suas propriedades. Recor- damos que o produto de Malcev I W é a classe dos semigrupos finitos que ad-m
mitem um I-morfismo relacional sobrejectivo para algum semigrupo de W; mais, é a S-variedade gerada pelos semigrupos finitosT para os quais existe S ∈ W e
3.1
I-morfismos relacionais
Para o que se segue, tenhamos presente a noção de I-morfismo relacional definida na Secção 1.6.
Uma primeira observação que podemos fazer sobre os I-morfismos relacionais consiste no facto bem conhecido da classe dos I-morfismos relacionais ser fechada para a composição de relações.
Proposição 3.1. Sejam S, T e U semigrupos e f1 : S ⊖ //T e f2 : T ⊖ //U
I-morfismos relacionais. Sef1 e f2 são I-morfismos relacionais entãof1f2 é um
I-morfismo relacional.
Demonstração. Suponhamos quef1 ef2 são I-morfismos relacionais. Sejae ∈ U tal quee2 = e e para o qual existem s, t ∈ S tais que e ∈ (s)f
1f2∩ (t)f1f2. Sejam
x ∈ (s)f1 e y ∈ (t)f1 tais quee ∈ (x)f2 ∩ (y)f2. Como, por hipótese, f2 é um
I-morfismo relacional, obtemosx = y ∈ E(T ). Então x ∈ (s)f1 ∩ (t)f1 e, logo, porf1 ser um I-morfismo relacional, vems = t. Portanto, f1f2 é um I-morfismo relacional.
Na proposição anterior, se substituirmos a expressão “I-morfismo(s) relacio- nal(ais)” simplesmente por “I-morfismo(s)”, o resultado mantém-se verdadeiro. Para além disso, se exigirmos quef1 ef2 sejam I-morfismos sobrejectivos, o recí- proco também é válido.
Da Proposição 3.1 concluímos que a expansão de Malcev determinada por I é estável.
Corolário 3.2. Para todo o semigrupoA-gerado (S, ϕ), tem-se
I m (I m S) = I m S.
Demonstração. Consideremos os morfismo canónicosπSeπI m Sassociados às ex- pansõesI m S e I m (I m S), respectivamente. Como πS eπI m S são I-morfismos, da Proposição 3.1 aplicada a I-morfismos resulta que o morfismo de semigrupos
3.1. I-morfismos relacionais
pela propriedade universal da expansãoI m S, existe um morfismo de semigrupos A-gerados de I m S para I m (I m S).
LogoI m (I m S) = I m S.
Proposição 3.3. SejaK uma das relações de Green H , R, L ou J . Sejam S e
T semigrupos finitos e π : T ⊖ // //S um I-morfismo relacional sobrejectivo. Então,
para quaisquers, t ∈ T , sempre que s é regular e existem x ∈ sπ e y ∈ tπ tais que x ≤K y, temos s ≤K t.
Demonstração. Vamos provar o resultado paraK = J . As demonstrações para
as outras relações de Green são análogas.
Sejams, t ∈ T tais que s é regular e suponhamos que existem x ∈ sπ e y ∈ tπ
tais que x ≤J y. Logo existem e ∈ E(T ) e u1, u2 ∈ S1 tais que s R e e
x = u1yu2. Seja s′ ∈ T tal que e = ss′ e, considerando a extensão natural
T1 ⊖ // //S1 deπ, tomemos r
1 ∈ u1π−1 er2 ∈ u2π−1. Fixemosz ∈ s′π. Então
xz ∈ eπ ∩ (r1tr2s′)π, pelo que (xz)ω ∈ eπ ∩ (r1tr2s′)ωπ, ou seja, e, (r1tr2s′)ω ∈
(xz)ωπ−1. Porπ ser um I-morfismo relacional, vem e = (r
1tr2s′)ω ≤J t. Logo
s ≤J t.
Observamos que a Proposição 3.3 nos diz que os I-morfismos relacionais sobre- jectivos satisfazem a condição da alínea(a) da Proposição 1.32.
Com uma demonstração análoga, é fácil verificar que, quando nos restringimos a
I-morfismos sobrejectivos, o resultado da Proposição 3.3 é extensível a semigrupos
de cardinalidade arbitrária.
O próximo resultado encontra-se demonstrado para I-morfismos nas notas não publicadas de Pin [47].
Proposição 3.4. SejamS e T semigrupos finitos e π : T ⊖ //S um I-morfismo
relacional. Entãoπ é injectivo em Reg(T ).
Demonstração. Sejam s, t ∈ Reg(T ) tais que sπ ∩ tπ 6= ∅. Então sH t, pela
Proposição 3.3. O facto de π ser um I-morfismo relacional implica que π satis-
faz a condição da alínea(b) da Proposição 1.34 e, consequentemente, também a
No resultado anterior, a condição de um morfismo relacional de semigrupos fini- tos ser injectivo nos regulares é apenas necessária para ser um I-morfismo relacio- nal. Apresentamos de seguida um exemplo de um morfismo de semigrupos finitos injectivo nos regulares que não é um I-morfismo.
Exemplo. SejaA = {a, b} um alfabeto. Seja S o semigrupo finito com apresen-
tação de semigrupoha, b | ab = ba = a2b, b = b2, a2 = a3i e com o seguinte c.p.o dasJ -classes: a a2 ∗ b ∗ ab ∗
TemosFSL(A) = ha, b | ab = ba, b = b2, a = a2i, cujo c.p.o das J -classes é:
a ∗ b ∗ ab ∗
Existe um morfismo sobrejectivoφ : S ։ FSL(A) tal que aφ = a e bφ = b, que é injectivo nos regulares mas não é um I-morfismo, poisaφ = a2φ.
Dado um semigrupoA-gerado (S, ϕ), se a ∈ A for tal que aϕ não é idempotente,
então (a)I m S não é regular, embora aϕ o possa ser (por exemplo, se S for um grupo não trivial); assim, o morfismo canónico de I S para S pode não separarm
elementos regulares de elementos não regulares e, portanto, o mesmo se pode dizer dos I-morfismos.
Da Proposição 3.3 podemos obter mais dois corolários, com os quais finalizamos esta secção.