Teorema 1.24. SeV for uma variedade, então V é gerada por:
{FV(A) | A é alfabeto finito}.
Terminamos esta secção com alguns exemplos de variedades de semigrupos que usaremos mais adiante:
Notação Descrição Equações
I semigrupos triviais x = y
SL semi-reticulados xy = yx, x2 = x
LZ semigrupos zero à esquerda xy = x RZ semigrupos zero à direita yx = x
RB bandas rectangulares xyx = x
B bandas x2 = x
1.5
S-variedades
Uma S-variedade, ou ainda, uma pseudovariedade de semigrupos é uma classe não vazia de semigrupos finitos C tal que H(C) ⊆ C, S(C) ⊆ C e Pf(C) ⊆ C. Analogamente se define uma M-variedade ou pseudovariedade de monóides. A variedade trivialI é uma S-variedade e será denotada por I quando considerada
como tal. A classe S de todos os semigrupos finitos, a classe Nil dos semigrupos nilpotentes finitos e a classe G de todos os grupos finitos são também exemplos de S-variedades. A classe M de todos os monóides finitos e a classe de todos os grupos finitos são M-variedades.
Dada uma S-variedade V, a classe dos semigrupos finitos S cujas D-classes
regulares são subsemigrupos deS e estão em V é uma S-variedade que denotamos
por DV.
O que se segue vai ser enunciado para semigrupos, mas com as devidas altera- ções é válido para monóides.
Dada uma classeC de semigrupos finitos, existe a menor S-variedade que con-
témC, que é a intersecção de todas as S-variedades que contêm C. Tal S-variedade
é chamada de S-variedade gerada porC.
Proposição 1.25. Dada uma classe C de semigrupos finitos, a classe HSPf(C) é
a S-variedade gerada porC.
Dado um conjuntoΣ de identidades, representamos por [[Σ]] a classe dos semi-
grupos finitos que satisfazem Σ. Assim, [[Σ]] = [Σ] ∩ S. É claro que [[Σ]] é uma S-variedade. No entanto, nem toda a S-variedade é desta forma, sendo Nil e G
exemplos clássicos desse facto [1].
Uma variedade de semigrupos diz-se localmente finita se todo o seu semigrupo finitamente gerado é finito. Uma S-variedade V diz-se localmente finita se a va- riedade gerada por V o é. A variedade I dos semigrupos triviais é o exemplo
mais simples de variedade localmente finita. Todas as S-variedades de bandas e variedades de bandas são localmente finitas [20].
Proposição 1.26. Sejam V uma S-variedade eV a variedade gerada por V. São
equivalentes as seguintes afirmações: (a) V é localmente finita;
(b) Os semigrupos livres emV sobre alfabetos finitos são finitos;
(c) Os semigrupos livres emV sobre alfabetos finitos pertencem a V;
(d) Para cada alfabeto finitoA, existe um semigrupo livre em V sobre A.
A S-variedade Niln dos semigrupos finitosn-nilpotentes também é exemplo de
uma S-variedade localmente finita. Em 1964, Golod e Shafarevich apresentaram exemplos que provam que Nil e G não são localmente finitas [22, 23].
Observação. Há duas consequências da Proposição 1.26 que importa salientar.
Sejam V uma S-variedade eV a variedade gerada por V. Primeira, se V for lo-
calmente finita, claramente V = V ∩ S e, assim, qualquer conjunto de identidades
que definaV define também V, isto é, se V = [Σ] então V = [[Σ]]. Segunda, se V = [[Σ]], para algum conjunto Σ de identidades, e F[Σ](A) for finito para todo
1.5. S-variedades
o alfabeto A finito, então V = [Σ], F[Σ](A) = FV(A) e V é localmente finita. Para deduzirmos esta primeira igualdade, basta ter presente o Teorema 1.24 e o facto de que V ⊆ V ⊆ [Σ]. Observamos, porém, que nem toda a S-variedade da
forma[[Σ]], onde Σ é um conjunto de identidades, é localmente finita. É o caso de [[x2 = x3]], pois existe uma infinidade de palavras sobre um alfabeto de cardinal dois que não têm factores que sejam potências cúbicas (ver secção 2.2 de [39]).
Vamos agora estender o Teorema de Birkhoff a classes de semigrupos finitos. Como referência para a parte desta secção que se segue, sugerimos [1, 2, 4, 45].
Dizemos que(S, ρ), ou simplesmente S, é um semigrupo topológico se S é um
semigrupo eρ é uma topologia em S relativamente à qual, quando considerada a
topologia produto emS × S, a multiplicação em S é uma aplicação contínua. Todo
o semigrupo finito munido da métrica discreta é um semigrupo topológico. Se nada for dito em contrário, os semigrupos finitos serão considerados com esta topologia. SejaA um alfabeto. Um semigrupo S separa duas palavras u e v de A+se existe um morfismoϕ : A+ → S tal que uϕ 6= vϕ. Considerando A finito, definimos
r(u, v) = min|S| : S semigrupo finito que separa u e v
e
d(u, v) = 2−r(u,v)
com as convenções usuais demin ∅ = +∞ e 2−∞ = 0. Está assim definida uma aplicação d : A+× A+ → R. Por uma questão de coerência com a notação da literatura já existente, optamos por escrever à esquerda as aplicações d(u, v) em
vez de(u, v)d.
Proposição 1.27. A aplicaçãod é uma ultramétrica em A+, isto é, para quaisquer
u, v, w ∈ A+, (a) d(u, v) ≥ 0;
(b) d(u, v) = d(v, u);
(c) d(u, w) ≤ maxd(u, v), d(v, w) ; (d) d(u, v) = 0 se e só se u = v.
Além disso,d(ux, vy) ≤ max{d(u, v), d(x, y)}, para quaisquer u, v, x, y ∈ A+. A Proposição 1.27 permite concluir que a concatenação emA+é uma aplicação uniformemente contínua deA+× A+emA+.
Representamos por cA+ o completado topológico de A+ para d. Assim, toda a aplicaçãoA → S pode ser estendida a um morfismo contínuo cA+ → S.
Vamos agora estender a noção de identidade. Seja A um alfabeto finito. Uma
pseudoidentidade sobreA é um par (u, v) ∈ cA+× cA+, o qual representamos por
u = v. Dizemos que um semigrupo finito S satisfaz a pseudoidentidade u = v
se, para cada morfismo ϕ : cA+ → S contínuo, se tem uϕ = vϕ. Dizemos que
S satisfaz u = 1 [u = 0], onde u ∈ cA+, se, para cada morfismo ϕ : cA+ → S contínuo,uϕ é identidade de S [uϕ é zero de S]. Uma S-variedade V satisfaz uma
pseudoidentidade sobreA se cada semigrupo S de V a satisfaz.
A notação [[Σ]] definida anteriormente, onde Σ é um conjunto de identidades,
pode ser estendida ao caso em que Σ é um conjunto de pseudoidentidades, cada
uma das quais sobre um alfabeto finito. Dado um conjuntoΣ de pseudoidentidades,
denotamos por[[Σ]] a classe de todos os semigrupos finitos que satisfazem todas as
pseudoidentidades deΣ, a qual chamamos classe dos semigrupos finitos definida
porΣ.
Teorema 1.28 (Teorema de Reiterman [50]). Uma classe de semigrupos finitos é
uma S-variedade se e só se pode ser definida por um conjunto de pseudoidentida- des.
É um facto que cada elemento de cA+é o limite de uma sucessão de Cauchy de elementos deA+. A proposição seguinte mostra-nos um exemplo clássico.
Proposição 1.29. Para cadax ∈ cA+, a sucessão(xn!)
n≥0 é de Cauchy e converge para um elemento idempotente de cA+.
Representamos o limite da sucessão(xn!)
n≥0porxω. Dado um semigrupo finito
S e um morfismo contínuo ϕ : cA+ → S, a sucessão (xϕ)n!
n≥0 converge então para(xω)ϕ. Como S é finito, esta sucessão a partir de certa ordem é constante e igual ao idempotente que é potência de xϕ. Logo (xω)ϕ = (xϕ)ω. Deste modo,