Fa uldade de Ciên ias Departamento de Matemáti a
Sobre expansões de Mal ev de
semigrupos nitos
Joana Mendonça de Matos
Doutoramento em Matemáti a
Fa uldade de Ciên ias Departamento de Matemáti a
Sobre expansões de Mal ev de
semigrupos nitos
Joana Mendonça de Matos
Tese orientada pelo Professor Doutor Mário J. J. Bran o
e pela Professora Doutora Gra inda M. S. Gomes,
espe ialmente elaborada para a obtenção do grau de doutor em Matemáti a (Espe ialidade: Álgebra, Lógi a e Fundamentos)
“Eu sou do tempo, vivo no tempo, mas não tenho tempo.” António R. Fonseca
Agradecimentos
O meu primeiro agradecimento é com toda a certeza para os meus orientadores, o Prof. Mário e a Prof. Gracinda, que muito me transmitiram da sua sabedoria, cuidado, rigor e persistência. Um muito obrigada pelo apoio imensurável que me prestaram.
Um agradecimento particular ao Prof. J.-E. Pin pela sugestão do tema.
Agradeço aos meus colegas do CAUL e do CELC pela injecção de ânimo cons-tante e pela sua disponibilidade em ajudar-me sempre que necessitei.
Ao Adrian Dediu e ao Andreas Distler um muito obrigada pelo suporte técnico com o GAP e o TEX.
Um obrigada muito especial aos meus queridos pais e ao Adrian por terem sido a rede indispensável sem a qual não teria conseguido chegar ao fim deste percurso. Quero agradecer, por fim, à FCT pelo suporte através da bolsa de doutoramento SFRH/BD/24359/2005 e ao CAUL pela possibilidade de desenvolver o meu tra-balho dentro das actividades dos projectos PTDC/MAT/69514/2006, ISFL/1/143 e PEST-OE/MAT/UI0143/2011, por todos os meios técnicos e científicos dispensa-dos, pelo espaço de trabalho e pela oportunidade de poder participar em diversas conferências ao longo deste período.
Resumo
A expansão de Malcev foi formalmente introduzida por Elston em [17]. Dados um semigrupo A-gerado (S, ϕ) e uma variedade de semigrupos V (no sentido de
Birkhoff), podemos dizer, de uma forma simplificada, que a expansão de Malcev deS determinada por V, que denotamos por V m S, é o semigrupo que resulta de A+ao impormos as identidades satisfeitas porV aos seus subsemigrupos da forma
eϕ−1, com e ∈ E(S). Desta definição resulta naturalmente um V-morfismo de
V m S para S que torna V m S o “maior” semigrupo na categoria dos semigrupos A-gerados que admitem um V-morfismo para S.
Nesta dissertação estudamos em particular a expansão de Malcev determinada pela variedade trivial I e a expansão de Malcev determinada pela variedade LZ
dos semigrupos zero à esquerda.
A definição formal da expansão de Malcev e as suas propriedades são apresen-tadas no Capítulo 2, tendo como referência principal umas notas não publicadas de Pin [47] e [44]. Adicionalmente, na Proposição 2.10, fornecemos um conjunto de expansões de Malcev que gera o produto de Malcev V W de S-variedades,m
sempre que V é localmente finita.
O Capítulo 3, embora não dependa directamente da noção de expansão de Mal-cev, é dedicado à descrição dos produtos de Malcev I W de S-variedades, onde Im
é a S-variedade trivial e W é a S-variedade DV dos semigruposS cujas D-classes
regulares são subsemigrupos deS em V, para uma certa S-variedade V, ou é uma S-variedade de semigrupos localmente grupos (Proposição 3.8 e Teorema 3.11).
Particularizamos, depois, para os casos de W ser uma S-variedade de semigrupos unipotentes (Teorema 3.12), de grupos e de semigrupos completamente simples. A primeira secção deste capítulo trata de propriedades dos I-morfismos (relacionais) fundamentais para a demonstração de alguns resultados centrais neste trabalho.
nito, a primeira abordagem consiste na construção algorítmica de um semigrupo que depende de S e que é, em geral, “maior” do que I m S. Este semigrupo
é o semigrupo de transição S(A ) de um certo autómato A que construimos.
O Teorema 4.26 estabelece uma condição necessária e suficiente para que I m S
seja S(A ). A segunda abordagem é dada pela construção de duas
congruên-cias θϕ eρϕ em A+ para as quais existe uma cadeia de morfismos A-gerados da formaI m S ։ A+/ρ
ϕ ։ A+/θϕ ։ S. Provamos, como consequência do
Teo-rema 4.48, que, seS for um semigrupo localmente grupo ou um semigrupo cujos
idempotentes formam um subsemigrupo, entãoI m S = A+/ρ
ϕ = A+/θϕ.
No último capítulo estudamos a expansão de Malcev determinada pela varie-dadeLZ. Recordamos, na primeira secção, a sua relação com a expansão de
Rho-des e damos uma demonstração alternativa do resultado (Proposição 5.10) que diz que, para qualquer variedadeV de bandas que contenha a variedade SL dos
semi-reticulados, a expansãoLZ m FV(A) coincide com a expansão de Rhodes do semi-grupo livreFV(A) em V. Na secção seguinte, tal como para I m S, apresentamos um algoritmo para calcular a expansãoLZ m S de um semigrupo A-gerado (S, ϕ)
finito, com A finito. Também neste algoritmo construimos um autómato B que
depende deS e cujo semigrupo de transição S(B) é, de um modo geral, “maior”
do queLZ m S. O Teorema 5.33 dá-nos uma condição necessária e suficiente para
que se tenhaLZ m S ≃ S(B). Por fim, no Teorema 5.40, descrevemos
algebrica-menteLZ m S, quando S é um semigrupo finito localmente grupo. Esta descrição
adapta-se naturalmente aRZ m S e pode ser estendida a RB m S.
Implementações em GAP (Groups, Algorithms, Programming – a System for Computational Discrete Algebra) [19] dos dois algoritmos referidos podem ser en-contradas nos Anexos A e B.
Palavras chave: Semigrupo, Variedade, S-variedade,V-morfismo (relacional),
Abstract
The Malcev expansion was formally introduced by Elston in [17]. Intuitively, gi-ven anA-generated semigroup (S, ϕ) and a Birkhoff variety of semigroups V, the
Malcev expansion of S by V, denoted by V m S, is the semigroup obtained from A+ by imposing the identities satisfied by V to the subsemigroups of the form
eϕ−1, withe ∈ E(S). From this definition we naturally obtain a V-morphism from
V m S onto S for which V m S becomes the “largest” semigroup in the category of
theA-generated semigroups which admit a V-morphism onto S.
In this dissertation, we give particular relevance to the study of the Malcev ex-pansion by the trivial varietyI and to the Malcev expansion by the variety LZ of
the left zero semigroups.
The formal definition of the Malcev expansion and its properties are given in Chapter 2, based on some unpublished notes of Pin [47] and [44]. In addition, we present a set of Malcev expansions which generates the Malcev product V W ofm S-varieties, with V locally finite (Proposição 2.10).
Although Chapter 3 does not depend on the notion of Malcev expansion in a direct way, it is devoted to the description of the Malcev product I W of S-m
varieties, where I is the trivial S-variety and W is the S-variety of the semigroups
S for which regular D-classes are subsemigroups of S belonging to V, for some S-variety V, or is an S-variety of locally group semigroups (Proposição 3.8 and
Teorema 3.11). We adapt this description to the particular cases when W is an
S-variety of unipotent semigroups (Teorema 3.12), of groups and of completely
simple semigroups. The first section of this chapter shows several properties of the
I-(relational) morphisms that are important for the proofs of several main results in
this work.
neral, “larger” thanI m S. The new semigroup is the transition semigroup S(A )
of some automatonA that we construct. Teorema 4.26 establishes a sufficient and
necessary condition forI m S to be S(A ). The second approach is given through
the definition of two congruencesθϕ andρϕ onA+for which there exists a chain of morphismsI m S ։ A+/ρ
ϕ ։ A+/θϕ ։ S preserving the set of generators A. As a corollary of Teorema 4.48, we prove that I m S = A+/ρ
ϕ = A+/θϕ, wheneverS is a locally group semigroup or a semigroup whose idempotents form
a subsemigroup.
The last chapter is dedicated to the study of the Malcev expansion by the vari-etyLZ. In the first section, we recall its relationship with the Rhodes expansion
and give an alternative proof of a result (Proposição 5.10) which states that, for each variety of bands V containing the variety SL of semilattices, the expansion LZ m FV(A) is, up to isomorphism, the Rhodes expansion of the free semigroup
FV(A) for V. In the next section, likewise for I m S, we present an algorithm to compute the expansionLZ m S of a finite A-generated semigroup (S, ϕ), with A finite. Again, this algorithm consists on the construction of an automaton B,
depending on S, whose transition semigroup S(B) is, in general, “larger” than LZ m S. A sufficient and necessary condition for having LZ m S ≃ S(B) is
gi-ven in Teorema 5.33. To conclude, we describeLZ m S algebraically, when S is
a finite locally group semigroup (Teorema 5.40). This description can be naturally adapted toRZ m S and extended to RB m S.
Possible implementations of these two algorithms in GAP (Groups, Algorithms, Programming – a System for Computational Discrete Algebra) [19] can be found in the annexes A and B.
Key words: Semigroup, Variety, S-variety, V-(relational) morphism, Malcev
Conteúdo
Introdução 1
Notação 7
1 Fundamentos 9
1.1 Relações entre conjuntos . . . 9
1.2 Semigrupos . . . 11
1.3 Relações de Green . . . 18
1.4 Variedades de semigrupos . . . 22
1.5 S-variedades . . . 25
1.6 Morfismos relacionais . . . 29
1.7 Operações com variedades e com S-variedades . . . 32
1.8 Expansões de semigrupos . . . 33
1.9 Palavras, linguagens e autómatos . . . 36
2 A expansão de Malcev 41 2.1 A expansão de Malcev . . . 41
2.2 A expansão de Malcev nos produtos de Malcev . . . 49
3 Alguns produtos de Malcev da formaI Wm 53 3.1 I-morfismos relacionais . . . 54
3.2 O produto de Malcev I DV . . . .m 57 3.3 O produto de Malcev I W, com W ⊆ LG . . . .m 58 4 A expansão de Malcev determinada porI 65 4.1 Preliminares . . . 66
4.4 Semigrupos localmente grupos ou cujos idempotentes formam um subsemigrupo . . . 102
5 A expansão de Malcev determinada porLZ 107
5.1 A expansão de Rhodes . . . 108 5.2 Um algoritmo . . . 117 5.3 Semigrupos localmente grupos . . . 138
Questões em aberto 145
Anexo A - Algoritmo para calcularI m S em GAP 147 Anexo B - Algoritmo para calcularLZ m Sem GAP 155 Anexo C - O reticulado das variedades de bandas 163
Referências 170
Índice de notações 171
Introdução
Expansões de semigrupos e morfismos relacionais são ferramentas essenciais na Teoria Global dos Semigrupos [7, 3]. Estes conceitos aparecem na literatura, pela primeira vez, em meados dos anos setenta do século passado, pela mão de Tilson [16], na demonstração do Lema Fundamental da Complexidade, provado inicial-mente por Rhodes [51] em 1968, no seguimento do Teorema da Decomposição Prima de Krohn-Rhodes [35]. Este teorema diz que qualquer semigrupoS finito
divide um produto em coroa em que os factores são, alternadamente, grupos fini-tos e semigrupos aperiódicos finifini-tos; chamamos complexidade (de grupo) deS ao
menor número de factores que são grupos numa destas decomposições deS.
Birget e Rhodes em [7, 9] estudam em detalhe a expansão utilizada por Tilson em [16], conhecida por expansão de Rhodes, e formalizam o conceito de expansão de um semigrupo. A ideia subjacente ao conceito de expansão consiste em cons-truir um semigrupo bS a partir de um semigrupo S dado, que preserve propriedades
deS que se pretendem estudar, que cumpra certos requisitos e do qual S seja
ima-gem homomorfa. Por exemplo, no estudo da complexidade de um semigrupo é usual considerarem-se expansões aperiódicas, uma vez que estas preservam a com-plexidade [57].
Os morfismos relacionais de semigrupos são, essencialmente, generalizações de morfismos de semigrupos e, de algum modo, podemos dizer que a Teoria Global dos Semigrupos consiste no estudo de certos morfismos relacionais de semigrupos. Por exemplo, os morfismos relacionais aperiódicos desempenham um papel deter-minante na Teoria da Complexidade de Krohn-Rhodes [34, 35, 32]. Diz-se que um morfismo relacionalτ : S ⊖ //T é aperiódico se, para cada idempotente e de T ,
eτ−1é vazio ou é um subsemigrupo aperiódico deS.
fismo relacional aperiódico a classes de semigrupos arbitrárias.
Elston em [17] introduz a expansão de Malcev determinada por uma variedade
V de semigrupos e relaciona-a, para casos particulares, com outras expansões, por
ela apresentadas, construídas no contexto das categorias de Tilson [58]. Elston dá particular atenção às expansões de Malcev determinadas por uma variedade de se-migruposV localmente finita, atendendo ao Teorema de Brown [10]. Este teorema
garante-nos que, para V localmente finita, a expansão de Malcev preserva a
fini-tude. De um modo informal, dado um semigrupoA-gerado (S, ϕ), a expansão de
Malcev V m S de S determinada por uma variedade V é o semigrupo que resulta
deA+por imposição das identidades deV aos seus subsemigrupos da forma eϕ−1, come idempotente de S. Esta definição torna V m S o “maior” semigrupo que
ad-mite umV-morfismo para S. Recordamos que um semigrupo A-gerado é um par (S, ϕ), onde A é um conjunto não vazio, S um semigrupo e ϕ uma aplicação de A
paraS tal que Aϕ gera S.
As expansões de Malcev e os C-morfismos relacionais estão intimamente
rela-cionados com o produto de Malcev de variedades [S-variedades] de semigrupos [semigrupos finitos], sendo este uma importante operação no reticulado das varie-dades [S-varievarie-dades] (ver, por exemplo, [2, 41]). Dadas varievarie-dades [S-varievarie-dades]
V e W de semigrupos, o produto de Malcev V m W é a variedade [S-variedade]
dos semigrupos [semigrupos finitos] que admitem umV-morfismo relacional para
um semigrupo deW. É um facto que {V m S | S ∈ W} gera a variedade V m W.
O desenvolvimento da Teoria dos Autómatos Finitos nos anos cinquenta do sé-culo passado com o Teorema de Kleene [33] trouxe, para além de uma abordagem algébrica inerente à Teoria dos Semigrupos, uma abordagem sintáctica ao estudo dos semigrupos finitos. Este teorema diz que uma linguagemL é racional se e só
se é reconhecida por um autómato finito se e só se o seu semigrupo sintáctico é finito. A definição de pseudovariedade e a sua descrição por determinado tipo de identidades, bem como a identificação do reticulado das pseudovariedades com o reticulado de certas classes de linguagens, apresentadas por de Eilenberg e Schüt-zenberger [15, 16, 46], dão o mote ao desenvolvimento da Teoria Sintáctica dos
Semigrupos, a qual tem aplicações na Teoria Algébrica dos Autómatos Finitos e na Lógica. Com a descrição das S-variedades em termos de pseudoidentidades por Reiterman [50] nos anos oitenta do século passado, a introdução de métodos profinitos trouxe à Teoria Sintáctica dos Semigrupos Finitos objectos que desempe-nham numa S-variedade um papel semelhante ao dos semigrupos livres em relação a uma variedade. Assim surge a Teoria dos Semigrupos Profinitos. Um resultado de grande importância nesta teoria estabelece a existência de uma correspondên-cia biunívoca entre o reticulado das S-variedades e o reticulado de determinadas classes de semigrupos profinitos, as pro-variedades [52]. Deste modo, os méto-dos profinitos têm-se revelado de grande utilidade na descrição e no estudo das
S-variedades, em particular, do produto de Malcev de S-variedades, como se
cons-tata, por exemplo, com os trabalhos de Almeida, Pin, Rhodes, Steinberg e Weil [3, 4, 49, 52]. Rhodes e Steinberg em [52] definem a expansão de Malcev profi-nita de um semigrupo profinito determinada por uma S-variedade V, considerando para tal V-morfismos contínuos. Propriedades análogas às da expansão de Malcev não profinita são obtidas.
No princípio dos anos noventa do século passado, McCammond introduz a Aná-lise Geométrica e Topológica de Grafos no estudo do problema da palavra [42], dando origem à Teoria Geométrica dos Semigrupos. Esta nova abordagem baseia-se no estudo sistemático dos baseia-semigruposA-gerados, com A finito, através da
aná-lise da geometria e da topologia dos autómatos que lhes estão associados. Alguns anos mais tarde, juntamente com Rhodes, McCammond apresenta uma primeira versão de um trabalho em desenvolvimento sobre a expansão de Malcev deter-minada pela variedade das bandas rectangulares [43], usando estas técnicas sobre grafos. Esse trabalho surgiu recentemente [44], com a colaboração de um terceiro autor, Steinberg. Neste artigo, os autores focam-se no estudo das expansões de Malcev determinadas pela variedade dos semigrupos zero à esquerda, pela vari-edade dos semigrupos zero à direita e pela varivari-edade das bandas rectangulares, usando o facto destas expansões serem estáveis para a expansão de Rhodes e a ex-pansão de Karnofsky-Rhodes para as descrever a partir dos seus grafos de Cayley, concluindo algumas propriedades.
entre outros, tornam-se também, por si só, objecto de estudo.
Nesta dissertação, debruçamo-nos sobre o estudo de expansões de Malcev parti-culares, nomeadamente, da determinada pela variedade trivialI e da determinada
pela variedadeLZ dos semigrupos zero à esquerda (a abordagem e as conclusões
que apresentamos sobre esta última expansão diferem das apresentadas por Mc-Cammond, Rhodes e Steinberg em [44]). Salientamos que o estudo destas expan-sões não se tem revelado fácil, mesmo quando consideramos a expansão de Malcev determinada pela variedade dos semigrupos triviais, ao contrário do que à primeira vista seria de esperar.
Esta dissertação encontra-se dividida em cinco capítulos.
No primeiro capítulo, apresentamos os conceitos e resultados bem conhecidos da Teoria dos Semigrupos, da Álgebra Universal e da Teoria dos Autómatos e Lin-guagens necessários para a boa compreensão dos capítulos seguintes.
No segundo capítulo, recordamos a definição de expansão de Malcev de um se-migrupoA-gerado determinada por uma variedade de semigrupos V. O formalismo
da definição que apresentamos inspira-se num texto de Pin de 2006 não publicado [47]. Este formalismo é sugerido posteriormente em [44], mas de uma forma muito resumida. Recordamos, também, as propriedades gerais da expansão de Malcev determinada por uma variedade de semigrupos e a sua relação com os produtos de Malcev de variedades de semigrupos. Adicionalmente, na Proposição 2.10, exibi-mos um conjunto de expansões de Malcev que gera o produto de Malcev V Wm
de S-variedades, quando V é localmente finita.
No terceiro capítulo, apresentamos algumas propriedades dos I-morfismos, onde
I denota a S-variedade dos semigrupos triviais, as quais desempenham um papel
fundamental para a demonstração de resultados principais deste trabalho. Descre-vemos também os produtos de Malcev da forma I W, onde W é uma S-variedadem
de semigrupos localmente grupos ou, é a S-variedade DV dos semigruposS cujas D-classes regulares são subsemigrupos de S em V, para alguma S-variedade V
(Proposição 3.8 e Teorema 3.11). Analisamos, depois, os casos particulares de W ser uma S-variedade de semigrupos unipotentes (Teorema 3.12), de grupos e de
semigrupos completamente simples.
No quarto capítulo, duas abordagens à expansão de Malcev determinada pela variedadeI são apresentadas. Dado um semigrupo A-gerado (S, ϕ) finito, com A
finito, a primeira abordagem consiste na apresentação de um algoritmo que produz um semigrupo do qualI m S é imagem homomorfa. Este semigrupo é o semigrupo
de transição S(A ) de um certo autómato A sobre A que construimos
algoritmi-camente e que depende de(S, ϕ). No Teorema 4.26 estabelecemos uma condição
necessária e suficiente para queI m S seja S(A ). A segunda abordagem consiste
na definição de duas congruênciasθϕ eρϕ emA+ para as quais existe uma cadeia de morfismosA-gerados da forma I m S ։ A+/ρ
ϕ ։ A+/θϕ ։ S. Como
coro-lário do Teorema 4.48, provamos queI m S = A+/ρ
ϕ = A+/θϕ, sempre queS for um semigrupo localmente grupo ou um semigrupo cujos idempotentes formam um subsemigrupo.
No quinto e último capítulo, dedicamo-nos ao estudo da expansão de Malcev determinada pela variedade LZ. Na primeira secção, recordamos a sua relação
com a expansão de Rhodes e damos uma demonstração alternativa do resultado (Proposição 5.10) que diz que, para qualquer variedadeV de bandas que contenha
a variedadeSL dos semi-reticulados, a expansão LZ m FV(A) é, a menos de iso-morfismo, a expansão de Rhodes do semigrupo livre FV(A) em V. Na segunda secção, tal como paraI m S, apresentamos um algoritmo para calcular a expansão LZ m S de um semigrupo A-gerado (S, ϕ) finito, com A finito. Também este
algo-ritmo fornece um autómatoB sobre A que depende de (S, ϕ) e cujo semigrupo de
transiçãoS(B) admite LZ m S como imagem homomorfa. Uma condição
neces-sária e suficiente para que se tenhaLZ m S ≃ S(B) será dada no Teorema 5.33.
Terminamos o capítulo com o Teorema 5.40 que descreve algebricamenteLZ m S,
quandoS é um semigrupo finito localmente grupo. Esta descrição adapta-se
natu-ralmente aRZ m S e pode ser estendida a RB m S.
No final deste trabalho listamos uma série de questões em aberto relativamente ao estudo efectuado e disponibilizamos, nos Anexos A e B, duas implementações em GAP (Groups, Algorithms, Programming – a System for Computational Dis-crete Algebra) [19] dos algoritmos referidos.
Notação
N designa o conjunto dos números naturais
N0 designa o conjunto dos números naturais com o zero
Z designa o conjunto dos números inteiros
|A| designa o cardinal (ou ordem, no caso dos grupos) do conjuntoA R designa o conjunto dos números reais
·∪ designa a união disjunta de conjuntos
+∞ símbolo de infinito positivo
−∞ símbolo de infinito negativo
1 representa a identidade de um semigrupo, caso exista 0 representa o zero de um semigrupo, caso exista
1 Fundamentos
Neste capítulo enunciamos os conceitos e resultados da Teoria dos Conjuntos [31], da Teoria dos Semigrupos, da Álgebra Universal e da Teoria dos Autómatos essen-ciais à compreensão do trabalho desenvolvido nos capítulos seguintes.
Para uma visão geral sobre a Teoria dos Semigrupos, referenciamos o livro de Howie [30], o livro de Lallement [36] e o livro de Pin [46] e, para os conceitos de Álgebra Universal, sugerimos o livro de Burris e Sankappanavar [11] e o livro de Grätzer [24].
Na Secção 1.5 usamos o livro [1] e o artigo [2] de Almeida como principais re-ferências e para alguns conceitos topológicos usados nesta secção sugerimos [12]. Na Secção 1.7 utilizamos [1], [2] e [28] e para a última secção recomendamos [29], [37] e [46].
Para as restantes secções e para certas afirmações deste capítulo apresentamos a sugestão de bibliografia in loco.
1.1 Relações entre conjuntos
Sejam A e B conjuntos. Se θ for uma relação binária de A para B, escrevemos
muitas vezes θ : A → B para representar este facto e a θ b para significar que (a, b) ∈ θ. Se a for um elemento de A, denotamos por aθ ou [a]θ a classe de a relativamente aθ, também chamada a θ-classe de a, ou seja,
aθ = [a]θ =
b ∈ B : (a, b) ∈ θ .
SeX é um subconjunto de A, denotamos por Xθ o seguinte subconjunto de B: [
x∈X
Dadas relações bináriasθ : A → B e η : B → C, definimos a composição de θ por η, que denotamos por θη ou, sempre que o texto exija maior clareza, com o
intuito de evitar ambiguidades, porθ ◦ η, como sendo a relação de A para C: θη = θ ◦ η =(a, c) ∈ A × C | ∃ b ∈ B : (a, b) ∈ θ e (b, c) ∈ η .
O conjunto quociente de uma relação de equivalênciaθ : A → A será denotado
como habitualmente porA/θ = {aθ : a ∈ A}.
Uma relação de equivalênciaθ : A → A satura X ⊆ A se X =Sx∈Xxθ.
Uma relação de ordem parcial num conjunto A é uma relação binária em A
reflexiva, anti-simétrica e transitiva, e será denotada por ≤, como é usual. Uma
quase-ordem ou pré-ordem num conjuntoA é uma relação binária em A reflexiva e
transitiva. Uma ordem parcial≤ em A diz-se uma boa ordem se todo o subconjunto
não vazio deA tiver elemento mínimo. Usaremos a abreviatura c.p.o. [c.b.o.] para
conjunto parcialmente ordenado [conjunto bem ordenado].
Teorema 1.1 (Teorema de Indução Transfinita). Seja(A, ≤) um c.b.o.. Uma
pro-priedadeP de domínio A vale para todo o a ∈ A se, para cada a ∈ A, sempre que P vale para todo o x ∈ A tal que x < a (hipótese de indução) então vale para a.
Uma aplicação parcial ou transformação parcial de A em B é uma relação
bináriaθ : A → B tal que |aθ| ≤ 1, para todo o a ∈ A. Neste caso, dado a ∈ A,
o único elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ θ, a imagem de a por θ, se existir, é
representado poraθ ou (a)θ. A relação θ é uma aplicação ou transformação se |aθ| = 1, para todo o a ∈ A.
Uma relação binária θ : A → B diz-se injectiva se, sempre que a, b ∈ A e aθ ∩ bθ 6= ∅, se tiver a = b; ou, equivalentemente, se a relação inversa θ−1 é uma aplicação parcial. Diz-se queθ é sobrejectiva se para todo o b ∈ B, existe a ∈ A
tal queb ∈ aθ, isto é, bθ−1 6= ∅. Escrevemos θ : A ։ B para indicar que θ é uma relação binária sobrejectiva deA para B.
1.2. Semigrupos
1.2 Semigrupos
Um semigrupo é um par (S, ⊗) formado por um conjunto S não vazio, dito o
suporte ou o universo do semigrupo, e por uma operação binária⊗ sobre S
asso-ciativa, ou seja, uma aplicação ⊗ : S × S → S que, para quaisquer a, b, c ∈ S,
verificaa ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c, onde a ⊗ b denota a imagem de (a, b) por meio
de⊗. Não havendo perigo de ambiguidade, representamos um semigrupo (S, ⊗)
apenas pelo seu suporte. Usaremos em geral a linguagem multiplicativa, represen-tando assim a operação binária por ·, ou simplesmente por nada. Um semigrupo
diz-se finito se o seu suporte é um conjunto finito.
As noções de identidade e zero de um semigrupo que consideraremos são as usuais. Chamamos monóide a um semigrupo com identidade. Em geral, represen-tamos a identidade de um monóideM por 1M ou, não havendo perigo de ambi-guidade, simplesmente por1. O conjunto T (X) de todas as aplicações sobre um
conjuntoX com a composição de aplicações como multiplicação é um monóide
com identidade idX. Também o conjunto P T (X) de todas as aplicações parciais sobreX com a composição é um monóide com identidade idX. Recordamos que um grupo é um monóideG tal que, para qualquer elemento g ∈ G, existe g′ ∈ G tal quegg′ = g′g = 1.
Para um semigrupo S qualquer, denotamos por SI o monóide que tem como suporte a união disjunta deS com um conjunto singular, digamos {1}, e cuja
mul-tiplicação estende a mulmul-tiplicação emS e s · 1 = 1 · s = s, para qualquer s ∈ SI. Designamos por S1 o “menor” monóide que contém S, i.e., se S é um monóide entãoS1 = S, caso contrário S1 = SI.
Denotamos porS0 o “menor” semigrupo com zero que contémS, i.e., se S tem zero então S0 = S, caso contrário S0 é o semigrupo que possui como suporte a união disjunta deS com um conjunto singular, digamos {0}, e cuja multiplicação
estende a multiplicação emS e s · 0 = 0 · s = 0, para qualquer s ∈ S0.
Um elemento u de um semigrupo S diz-se um zero à esquerda [à direita] se us = u [su = u], para qualquer s ∈ S. Um semigrupo S diz-se um semigrupo
zero à esquerda [à direita] se todos os seus elementos são zeros à esquerda [à direita].
Dado um semigrupoS, um elemento e ∈ S diz-se um idempotente se e2 = e. Representamos por E(S) o conjunto de todos os elementos idempotentes de S.
Dizemos que S é uma banda se S = E(S). Um semigrupo diz-se unipotente se
possui um único idempotente, tal como é o caso de um grupo. Um semigrupoS
diz-se trivial se o seu suporte é formado apenas por um único elemento.
Num semigrupo finitoS, para todo o elemento x, existe um único idempotente
deS que é potência de x, que denotamos por xω. Por isso, existe n ∈ N tal que, para todo ox ∈ S, xné idempotente; podemos verω como sendo o mínimo destes naturaisn. Isto permite-nos escrever, por exemplo, xω,xω+1 ex2ω−1.
SejamS um semigrupo e S′ um subconjunto não vazio deS. Dizemos que S′ é um subsemigrupo deS se for fechado para a operação de S, i.e., se st ∈ S′, para quaisquers, t ∈ S′; se além disso for grupo, diz-se queS′é um subgrupo deS. Se
S é um monóide, então um submonóide de S é um subsemigrupo de S que contém
a identidade deS.
Dado um semigrupoS, chamamos subsemigrupos locais de S aos
subsemigru-pos deS da forma eSe, para algum e ∈ E(S). Observe-se que um subsemigrupo eSe é de facto um monóide com identidade e.
Dados um semigrupoS e um subconjunto X não vazio de S, o subsemigrupo
deS gerado por X, representado por hXi é o menor (para a relação de inclusão)
subsemigrupo de S que contém X. Se S′ for um subsemigrupo de S, diz-se que
S′ é gerado porX, ou que X é um conjunto gerador de S′, seS′ = hXi. De um modo análogo, definimos submonóide gerado por um determinado subconjunto.
Dizemos que um semigrupo é localmente finito se todo o seu subsemigrupo fini-tamente gerado é finito. Um semigrupo [monóide] diz-se cíclico se for gerado por um conjunto com um único elemento. Um semigrupo [monóide] diz-se finitamente gerado se for gerado por um conjunto finito.
Proposição 1.2. SejaS um semigrupo tal que |S| ≤ n, para algum n ∈ N. Então
Sn= SE(S)S.
Um semigrupo finitoS diz-se nilpotente se, para quaisquer e ∈ E(S) e s ∈ S,
1.2. Semigrupos
Proposição 1.3. SejaS um semigrupo finito. As afirmações seguintes são
equiva-lentes:
(a) S é nilpotente;
(b) S tem um zero, que é o seu único idempotente;
(c) S tem um zero e existe n ∈ N tal que, para todos os x1, x2, . . . , xn∈ S, se tem
x1x2· · · xn= 0;
(d) Existen ∈ N tal que, para todos os x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn ∈ S, se tem
x1x2· · · xn= y1y2· · · yn.
Dadon ∈ N, um semigrupo S diz-se n-nilpotente se, para quaisquer x1, . . . , xn,
y1, . . . , yn∈ S, se tem x1· · · xn = y1· · · yn.
Um elementos de um semigrupo S diz-se regular se existir x ∈ S tal que sxs = s. Esta igualdade implica que sx, xs ∈ E(S). Denotamos por Reg(S) o conjunto
de todos os elementos regulares deS. Dizemos que S é regular se todos os seus
elementos são regulares. Um elementox ∈ S diz-se inverso de s ∈ S se sxs = s
ex = xsx. Denotamos por V (s) o conjunto dos elementos inversos de s. Todo o
elemento regular deS admite pelo menos um inverso. Dizemos que S é inverso se
todo o elemento s ∈ S tem exactamente um inverso, que representamos por s−1. Prova-se que um semigrupo é inverso se e só se é regular e os seus idempotentes comutarem.
Dados subconjuntos A e B de um semigrupo S, denotamos por AB o
subcon-junto{ab ∈ S | a ∈ A e b ∈ B} de S. Se A = {a}, escrevemos apenas aB. Do
mesmo modo, seB = {b}, escrevemos Ab.
O produto directo de uma família não vazia(Si)i∈Ide semigrupos é o semigrupo com suporteQi∈ISi e multiplicação dada por: dados(si)i∈I, (ti)i∈I ∈Qi∈ISi,
(si)i∈I · (ti)i∈I = (siti)i∈I,
onde siti denota a multiplicação na componente Si, para todo o i ∈ I . Se I é um conjunto finito, dizemos queQi∈ISi é um produto directo finitário. SeI = ∅ entãoQi∈ISié um semigrupo trivial, isto é, com um único elemento.
Dados semigruposS e T , uma aplicação φ : S → T diz-se um homomorfismo
de semigrupos, ou simplesmente morfismo de semigrupos, sesφtφ = (st)φ, para
quaisquers, t ∈ S. Se S e T são monóides, dizemos que um morfismo de
semi-gruposφ : S → T é um morfismo de monóides se φ preserva a identidade, i.e., se 1φ = 1. É fácil ver que todo o morfismo de semigrupos entre grupos é um
mor-fismo de monóides. Todo o mormor-fismo de semigruposφ : S → T estende-se de um
modo natural aS1 eT1 do seguinte modo: denotando ainda por φ esta extensão, para cadas ∈ S, sφ é a imagem de s por φ : S → T e 1φ = 1. Um morfismo de
semigrupos, ou de monóides, é um isomorfismo se é bijectivo. A aplicação inversa de um isomorfismo é também um isomorfismo. Dizemos queS e T são isomorfos
se existe um isomorfismo entre eles, e escrevemosS ≃ T . Diz-se que T é imagem
homomorfa deS se existe um morfismo sobrejectivo de S para T .
Observamos ainda que a composição de morfismos de semigrupos [monóides] ainda é um morfismo de semigrupos [monóides].
Proposição 1.4. SejamS e T semigrupos e φ : S → T um morfismo de
semigru-pos. Então:
(a) See ∈ E(S) então eφ ∈ E(T );
(b) SeS′ é um subsemigrupo deS então S′φ é um subsemigrupo de T ;
(c) SeT′ é um subsemigrupo de T tal que T′φ−1 é não vazio, entãoT′φ−1 é um subsemigrupo de S.
(d) Ses ∈ S é regular então sφ é regular em T ;
(e) SeS é inverso então Sφ é inverso, tendo-se (sπ)−1 = s−1π, para todo o s ∈ S.
Teorema 1.5 (Teorema da representação de semigrupos). Todo o semigrupo é
iso-morfo a um subsemigrupo de algumT (X).
Seja S um semigrupo. Dizemos que um subconjunto não vazio I de S é um
ideal [ideal esquerdo, ideal direito] de S se S1IS1 ⊆ I [S1I ⊆ I, IS1 ⊆ I]. Diz-se que um idealI de S é minimal se, para qualquer ideal J de S, sempre que J ⊆ I, se tiver J = I. Um semigrupo não pode ter mais do que um ideal minimal,
uma vez que o produto de dois ideais é um ideal contido em cada um dos factores. Um semigrupo finito tem sempre um ideal minimal. Dizemos que S é simples
1.2. Semigrupos
se tiver um único ideal, necessariamente S. Os semigrupos simples finitos têm
uma boa representação à custa dos grupos, que é dada pelo Teorema de Rees, que enunciamos a seguir.
DadosI e J conjuntos não vazios, G um grupo e P = (pji)(j,i)∈J×I uma família de elementos deG, o semigrupo de Rees, denotado por M (I, J, G, P ), é o conjunto I ×G×J munido da multiplicação: para quaisquer (i, g, j), (i′, g′, j′) ∈ I ×G×J,
(i, g, j) · (i′, g′, j′) = (i, gpji′g′, j′).
Teorema 1.6 (Teorema de Rees). Um semigrupo finito é simples se e só se é
iso-morfo a um semigrupo de Rees.
Sejaθ uma relação binária em S. Dizemos que θ é compatível à esquerda
[com-patível à direita] com a multiplicação deS se, para quaisquer r, s, t ∈ S tais que s θ t, temos rs θ rt [sr θ tr]. Dizemos que θ é uma relação de congruência sobre S
seθ é uma relação de equivalência compatível à esquerda e à direita com a
multipli-cação deS. No conjunto S/θ, em que θ é uma relação de congruência, definimos
de um modo natural uma estrutura de semigrupo: para quaisquers, t ∈ S, sθ · tθ = (st)θ.
Um exemplo importante de congruência é a congruência associada a um ideal. Sejam S um semigrupo e I um ideal de S. Definimos a congruência ∼I em S, denominada por congruência de Rees associada aI, da seguinte forma:
s ∼I t se e só se s = t ou s, t ∈ I,
para quaisquers, t ∈ S. Dado s ∈ S, é claro que [s]∼I = I se s ∈ I, ou caso contrário[s]∼I = {s}. Usualmente denotamos S/∼I simplesmente porS/I. Ob-servamos ainda que S/I é um semigrupo com zero I. A S/I damos o nome de
semigrupo de Rees associado aI.
Dado uma relação bináriaR sobre S, a congruência gerada por R, que
denota-mos porR♯, é a menor (para a relação de inclusão) congruência sobreS que contém
R. Naturalmente, para cada relação de congruência θ de S, temos um morfismo de
morfismo canónico e denotamo-lo porθ♮.
Proposição 1.7. SejamS e T semigrupos e φ : S ։ T um morfismo sobrejectivo.
Seja R uma relação binária em S e seja ρ uma congruência em T que contenha
(xφ, yφ) | (x, y) ∈ R . Então existe um morfismo sobrejectivo deS/R♯paraT /ρ que a cadasR♯ ∈ S/R♯, coms ∈ S, faz corresponder (sφ)ρ ∈ T /ρ.
Dada uma aplicação φ : S → T , designamos por núcleo de φ a relação de
equivalência kerφ de S definida por:
(s, t) ∈ kerφ se e só se sφ = tφ,
para quaisquers, t ∈ S. Se φ é um morfismo de semigrupos então o núcleo de φ é
uma congruência deS.
Proposição 1.8. Sejam S e T semigrupos, φ : S → T um morfismo e θ uma
congruência emS tal que θ ⊆ kerφ. Então existe um único morfismo ψ : S/θ → T
tal que θ♮ψ = φ, que é sobrejectivo no caso de φ o ser. Mais ainda, se φ for sobrejectivo eθ = kerφ, então ψ é um isomorfismo.
Mais geralmente, temos o seguinte resultado.
Proposição 1.9. Sejam S, T e U semigrupos, ϕ : S ։ U morfismo sobrejectivo
e φ : S → T morfismo tais que kerϕ ⊆ kerφ. Então existe um único morfismo ψ : U → T tal que φ = ϕψ.
Seja A um conjunto não vazio. Denotamos por A+ o conjunto de todas as sequências finitas e não vazias de elementos deA, i.e.
A+=(a1, a2, . . . , an) | n ∈ N e a1, a2, . . . , an∈ A
.
ConsideramosA+como semigrupo munido da operação de concatenação:
(a1, a2, . . . , an) · (b1, b2, . . . , bm) = (a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bm),
para quaisquer(a1, a2, . . . , an), (b1, b2, . . . , bm) ∈ A+. Em certos contextos é usual chamar ao conjunto A alfabeto, letras aos elementos de A e aos elementos do
semigrupoA+palavras, representando cada sequência(a
1, a2, . . . , an) de A+por
1.2. Semigrupos
O semigrupoA+ juntamente com a aplicaçãoι : A → A+definida poraι = a, para todo oa ∈ A, satisfaz a seguinte propriedade, chamada de propriedade
uni-versal: para todo o semigrupo S e aplicação f : A → S, existe um e um só
morfismoϕ : A+ → S tal que aϕ = af , para todo o a ∈ A, ou seja, verifica-se a comutatividade do diagrama seguinte:
A ι ~~|||| ||| f ? ? ? ? ? ? ? ? A+_ _ _ϕ_ _ _ _//S
Como consequência desta propriedade temos o seguinte resultado.
Proposição 1.10. Sejam ϕ : A+ → S um morfismo e η : T ։ S um morfismo
sobrejectivo. Então existe um morfismoψ : A+→ T tal que ϕ = ψη.
Denotamos porA∗o monóide(A+)1. Quando o conjuntoA é interpretado como alfabeto, a identidade deA∗é interpretada como sendo a palavra vazia e será habi-tualmente representada porǫ. Também A∗satisfaz uma propriedade universal para monóides, semelhante à deA+.
Dado um conjunto A não vazio, chamamos semigrupo A-gerado a um
semi-grupo S munido de um morfismo ϕ : A+ → S tal que Aϕ gera S, i.e., ϕ é sobrejectivo. Representamo-lo pelo par(S, ϕ) ou, simplesmente, por S.
Sejam (S, ϕ) e (T, ψ) semigrupos A-gerados e π : T → S um morfismo de
semigrupos. Dizemos queπ é um morfismo que respeita geradores ou um morfismo
de semigruposA-gerados se ψπ = ϕ, ou seja o diagrama seguinte comuta: A+ ψ ~~~~|||| |||| ϕ A A A A A A A A T π // //S
Notamos queπ é, necessariamente, sobrejectivo e único nestas condições. Se π for
injectivo, dizemos queS e T são semigrupos A-gerados isomorfos. Se existirem
morfismos de semigruposA-gerados de S para T e de T para S, então S e T são
Uma apresentação de semigrupo é um par formado por um alfabeto A e uma
relação binária R em A+, que denotamos por hA|R i. Um semigrupo S diz-se definido por uma apresentação de semigrupohA|R i se S ≃ A+/R♯. Neste contexto é habitual representar-se um elemento (u, v) de R por u = v. Por exemplo, a
apresentação hA|R i, onde A = {a, b} e R = (aba, a), (bab, b), (a2, b2) , pode ser representada porha, b | aba = a, bab = b, a2 = b2i.
Quando um semigrupoS é definido por uma apresentação de semigrupo sobre
um alfabetoA, é recorrente identificar cada elemento de S por um seu representante
deA+. Nos capítulos que se seguem fazemos uso sistemático desta identificação. SubstituindoA+porA∗obtemos as definições de apresentação de monóide e de monóide definido por uma apresentação de monóide.
1.3 Relações de Green
As relações de Green foram introduzidas na Teoria dos Semigrupos por J. A. Green [25] em 1951 e desde então desempenham um papel determinante no estudo dos semigrupos.
SejaS um semigrupo. Em S definimos as seguintes relações de equivalência: sRt se e só se sS1 = tS1;
sL t se e só se S1s = S1t;
sJ t se e só se S1sS1 = S1tS1,
para quaisquer s, t ∈ S. As relações R e L são compatíveis com o produto à
esquerda e à direita, respectivamente. Por outro lado,R e L são permutáveis, i.e., RL = L R, e, portanto, D = RL = L R é ainda uma relação de equivalência
emS. Além disso, a relação D é a menor relação de equivalência que contém R e L , i.e., é o supremo de R com L para a relação de inclusão. Definimos ainda a
relaçãoH em S como sendo a intersecção de R e L .
Dado um semigrupoS, às relações R, L , J , D e H chamamos relações de
1.3. Relações de Green
H = R ∩ L ⊆ R ∪ L ⊆ D ⊆ J .
SeK é uma das relações de Green, denotamos por Ks aK -classe de um ele-mentos ∈ S. Dizemos que um semigrupo S é K -trivial se K é a relação binária
identidade emS. Uma K -classe diz-se regular se todos os seus elementos forem
regulares emS.
Como cadaD-classe D é união de L -classes (todas com o mesmo cardinal α)
e é também união deRclasses (todas de cardinal β) que se intersectam em H
-classes (todas com o mesmo cardinalγ), a imagem clássica de Clifford and Preston
[13] de uma caixa de ovos para representar uma D-classe D é frequentemente
utilizada. Nesta representação, cada linha refere-se a umaR-classe, cada coluna
refere-se a umaL -classe e cada célula representa uma H -classe. É usual colocar
um asterisco∗ para sinalizar as H -classes de idempotentes.
∗ ∗ Ra La He Ha D
AsH -classes de um semigrupo têm um papel determinante na sua estrutura. O
próximo resultado mostra-nos uma propriedade clássica.
Proposição 1.11. SejamS um semigrupo e H uma H -classe de S. As afirmações
seguintes são equivalentes: (a) H possui um idempotente;
(b) Existema, b ∈ H tais que ab ∈ H;
(c) H é um subgrupo de S;
(d) H é um subgrupo maximal de S.
Proposição 1.12. SejamS um semigrupo e D uma D-classe de S. As afirmações
que se seguem são equivalentes: (a) D é regular;
(b) D possui um elemento regular;
(c) CadaR-classe contida em D tem um idempotente;
(d) CadaL -classe contida em D tem um idempotente.
No caso em queS é finito, estas condições são ainda equivalentes a
(e) Existems, t ∈ D tais que st ∈ D.
Em determinados semigrupos algumas relações de Green podem ser coinciden-tes. Por exemplo, nos grupos todas as relações de Green coincidem com a relação binária universal e o seu estudo nada nos diz, mas tal não se passa num semigrupo em geral.
Proposição 1.13. SeS é um semigrupo finito então D = J .
O ideal minimal de um semigrupo, se existir, é umaJ -classe regular.
É fácil ver que um semigrupoS é simples se e só se J = S × S. Proposição 1.14. São válidas as seguintes afirmações:
(a) Se umaD-classe regular de um semigrupo for um semigrupo, então é um
se-migrupo simples;
(b) Se uma J -classe regular de um semigrupo for um semigrupo, então é um
semigrupo simples. Em particular, o ideal minimal de um semigrupo finito é um semigrupo simples.
Dado um semigrupoS, definimos as seguintes quase-ordens: s ≤R t se e só se sS1 ⊆ tS1;
s ≤L t se e só se S1s ⊆ S1t;
s ≤J t se e só se S1sS1 ⊆ S1tS1;
1.3. Relações de Green
para quaisquers, t ∈ S. A quase-ordem ≤R é compatível com o produto à esquerda e a quase-ordem≤L é compatível com o produto à direita. Também no conjunto
S/R podemos definir uma ordem parcial:
Rs≤ Rt se e só se s ≤R t,
para quaisquers, t ∈ S. Analogamente se podem definir ordem parciais em S/L , S/H e S/J .
Proposição 1.15. SejaS um semigrupo e sejam s, t ∈ S.
(a) Sef é um idempotente de S então
(a.1) s ≤R f se e só se f s = s; (a.2) s ≤L f se e só se sf = s. (b) SeS é finito, tem-se:
(b.1) Ses ≤R t e sJ t então sRt; (b.2) Ses ≤L t e sJ t então sL t.
Proposição 1.16. SejamT e S semigrupos finitos e seja π : T ։ S um morfismo
sobrejectivo. SejaJ uma J-classe de S. Se K é uma J-classe ≤J-minimal em
Js ∈ T /J | sπ ∈ J
, entãoKπ = J. Se J é regular então K também o é.
Corolário 1.17. SejamS e T semigrupos finitos e π : T ։ S um morfismo
sobre-jectivo. Então, para cada subgrupoH de S, existe um subgrupo G de T tal que Gπ = H.
Um semigrupo S diz-se aperiódico se, para todo o s ∈ S, existe um natural n ∈ N tal que sn = sn+1. A proposição que se segue caracteriza um semigrupo finito aperiódico.
Proposição 1.18. SejaS um semigrupo finito. As afirmações seguintes são
equi-valentes:
(a) S é aperiódico;
(b) Existem ∈ N tal que sm = sm+1, para todo os ∈ S; (c) Todos os subgrupos deS são triviais;
(d) S é H -trivial.
Dizemos que um semigrupoS é localmente grupo se todos os seus
subsemigru-pos locais são grusubsemigru-pos.
Proposição 1.19. Sejam S um semigrupo finito e I o seu ideal minimal. Então,
são equivalentes as afirmações que se seguem: (a) S é localmente grupo;
(b) Para quaisquere, f ∈ E(S), tem-se eJ f ;
(c) E(S) ⊆ I;
(d) Reg(S) ⊆ I;
(e) Reg(S) = I.
1.4 Variedades de semigrupos
SejaC uma classe de semigrupos [monóides]. Denotamos por:
– H(C), a classe dos semigrupos [monóides] que são imagens homomorfas
[imagens homomorfas por meio de um morfismo de monóides] de semigru-pos [monóides] deC;
– S(C), a classe dos subsemigrupos [submonóides] de semigrupos [monóides]
deC;
– P (C), a classe dos produtos directos de semigrupos [monóides] de C;
– Pf(C), a classe dos produtos directos finitários de semigrupos [monóides] deC.
Dizemos que uma classeC não vazia de semigrupos [monóides] é uma variedade
(no sentido de Birkhoff ) de semigrupos [monóides] se H(C) ⊆ C, S(C) ⊆ C e P (C) ⊆ C. Notamos que toda a variedade contém a variedade formada pelos
semi-grupos triviais. Denotamos esta variedade porI. A classe de todos os semigrupos
é uma variedade de semigrupos; porém, a classe de todos os grupos não é uma variedade de semigrupos nem de monóides.
1.4. Variedades de semigrupos
Os conceitos e resultados que se seguem vão ser definidos para variedades de semigrupos, mas com as devidas adaptações aplicam-se também a variedades de monóides.
Dada uma classe de semigruposC, define-se a variedade de semigrupos gerada
porC como sendo a menor (para a relação de inclusão) variedade que contém C,
que é a intersecção de todas as variedades de semigrupos que contêmC.
Teorema 1.20 (Teorema de Tarski). Para qualquer classe C de semigrupos, a
classe de semigruposHSP (C) é a variedade gerada por C.
SejamC uma classe de semigrupos, A um alfabeto, S um semigrupo e ι : A → S
uma aplicação. Dizemos que o par (S, ι) satisfaz a propriedade universal para C
sobreA se, para qualquer semigrupo T ∈ C e cada aplicação f : A → T , existe
um morfismoϕ : S → T tal que ιϕ = f , ou seja, verifica-se a comutatividade do
seguinte diagrama: A ι // f ? ? ? ? ? ? ? ? S ϕ T
Se para além disso,S for gerado por Aι então dizemos que (S, ι), ou, no caso de ι
estar subentendido, simplesmenteS, é objecto livre para C sobre A. Neste caso, a
aplicaçãof determina o morfismo ϕ univocamente.
Se o semigrupo (S, ι) for objecto livre para C sobre A e S ∈ C, dizemos que (S, ι) é um objecto livre em C sobre A.
Proposição 1.21. Sejam C uma classe de semigrupos não vazia, A um alfabeto,
S um semigrupo e ι : A → S uma aplicação. Se (S, ι) satisfaz a propriedade
universal paraC sobre A, então também a satisfaz para a variedade gerada por C
sobreA.
Pela propriedade universal, observa-se que um objecto livre emC sobre A, caso
exista, é único a menos de isomorfismo, sendo este isomorfismo um morfismo que respeita geradores. Assim,A+ é o semigrupo livre sobre A e A∗ o monóide livre sobreA.
Seja A um alfabeto não vazio. Uma identidade sobre A é um par ordenado (u, v) ∈ A+× A+, o qual neste contexto representamos normalmente poru = v. Dizemos que um semigrupoS satisfaz a identidade u = v (sobre o alfabeto A)
se, para todo o morfismo φ : A+ → S, se tem uφ = vφ. Apesar dos pares
(u, 1) e (u, 0), com u ∈ A+, não serem identidades sobre A como acabámos de definir, vamos, em certas situações, considerá-los identidades. Assim, dizemos queS satisfaz a identidade u = 1 [u = 0] se, para todo o morfismo φ : A+ → S,
uφ é identidade de S [uφ é zero de S], isto significa que S satisfaz as identidades ux = xu = x [ux = xu = u], onde x é uma letra. Diz-se que um semigrupo S satisfaz um conjunto Σ de identidades se S satisfaz todas as identidades de Σ.
Uma classe C de semigrupos satisfaz um conjunto de identidades Σ se todos os
semigrupos deC satisfazem Σ. Denotamos por [Σ] a classe dos semigrupos que
satisfazemΣ. Por IdC(A) representamos o conjunto de todas as identidades sobre A satisfeitas porC. É claro que [Σ] é uma variedade e que IdC(A) é uma congruência emA+, a qual é completamente invariante, o que significa que se(u, v) ∈ Id
C(A) e
φ : A+→ A+ é um morfismo, então(uφ, vφ) ∈ Id
C(A). O semigrupo A+/IdC(A) é um semigrupo livre paraC sobre A e denota-se usualmente por FC(A).
Teorema 1.22 (Teorema das variedades de Birkhoff). SejaC uma classe de
semi-grupos e sejaX um conjunto infinito. As seguintes afirmações são equivalentes:
(a) C é uma variedade;
(b) C = [Σ], para algum alfabeto B e algum conjunto Σ de identidades sobre B;
(c) C = [Σ], para algum conjunto Σ de identidades sobre X.
Mais ainda, seC é uma variedade então C =IdC(X)
.
Proposição 1.23. SejaC uma classe de semigrupos e sejam A e B alfabetos. Então
FC(A) é o semigrupo livre na variedade de semigrupos gerada por C sobre A. Mais, seC = [Σ], onde Σ é um conjunto de identidades sobre B, então IdC(A) é a congruência emA+gerada por:
(uσ, vσ) | (u, v) ∈ Σ e σ : B+ → A+é um morfismo .
Este último resultado diz-nos que um semigrupoA-gerado de uma variedade V
1.5. S-variedades
Teorema 1.24. SeV for uma variedade, então V é gerada por:
{FV(A) | A é alfabeto finito}.
Terminamos esta secção com alguns exemplos de variedades de semigrupos que usaremos mais adiante:
Notação Descrição Equações
I semigrupos triviais x = y
SL semi-reticulados xy = yx, x2 = x
LZ semigrupos zero à esquerda xy = x RZ semigrupos zero à direita yx = x
RB bandas rectangulares xyx = x
B bandas x2 = x
1.5
S
-variedades
Uma S-variedade, ou ainda, uma pseudovariedade de semigrupos é uma classe não vazia de semigrupos finitos C tal que H(C) ⊆ C, S(C) ⊆ C e Pf(C) ⊆ C. Analogamente se define uma M-variedade ou pseudovariedade de monóides. A variedade trivialI é uma S-variedade e será denotada por I quando considerada
como tal. A classe S de todos os semigrupos finitos, a classe Nil dos semigrupos nilpotentes finitos e a classe G de todos os grupos finitos são também exemplos de S-variedades. A classe M de todos os monóides finitos e a classe de todos os grupos finitos são M-variedades.
Dada uma S-variedade V, a classe dos semigrupos finitos S cujas D-classes
regulares são subsemigrupos deS e estão em V é uma S-variedade que denotamos
por DV.
O que se segue vai ser enunciado para semigrupos, mas com as devidas altera-ções é válido para monóides.
Dada uma classeC de semigrupos finitos, existe a menor S-variedade que
con-témC, que é a intersecção de todas as S-variedades que contêm C. Tal S-variedade
é chamada de S-variedade gerada porC.
Proposição 1.25. Dada uma classe C de semigrupos finitos, a classe HSPf(C) é
a S-variedade gerada porC.
Dado um conjuntoΣ de identidades, representamos por [[Σ]] a classe dos
semi-grupos finitos que satisfazem Σ. Assim, [[Σ]] = [Σ] ∩ S. É claro que [[Σ]] é uma S-variedade. No entanto, nem toda a S-variedade é desta forma, sendo Nil e G
exemplos clássicos desse facto [1].
Uma variedade de semigrupos diz-se localmente finita se todo o seu semigrupo finitamente gerado é finito. Uma S-variedade V diz-se localmente finita se a va-riedade gerada por V o é. A vava-riedade I dos semigrupos triviais é o exemplo
mais simples de variedade localmente finita. Todas as S-variedades de bandas e variedades de bandas são localmente finitas [20].
Proposição 1.26. Sejam V uma S-variedade eV a variedade gerada por V. São
equivalentes as seguintes afirmações: (a) V é localmente finita;
(b) Os semigrupos livres emV sobre alfabetos finitos são finitos;
(c) Os semigrupos livres emV sobre alfabetos finitos pertencem a V;
(d) Para cada alfabeto finitoA, existe um semigrupo livre em V sobre A.
A S-variedade Niln dos semigrupos finitosn-nilpotentes também é exemplo de
uma S-variedade localmente finita. Em 1964, Golod e Shafarevich apresentaram exemplos que provam que Nil e G não são localmente finitas [22, 23].
Observação. Há duas consequências da Proposição 1.26 que importa salientar.
Sejam V uma S-variedade eV a variedade gerada por V. Primeira, se V for
lo-calmente finita, claramente V = V ∩ S e, assim, qualquer conjunto de identidades
que definaV define também V, isto é, se V = [Σ] então V = [[Σ]]. Segunda, se V = [[Σ]], para algum conjunto Σ de identidades, e F[Σ](A) for finito para todo
1.5. S-variedades
o alfabeto A finito, então V = [Σ], F[Σ](A) = FV(A) e V é localmente finita. Para deduzirmos esta primeira igualdade, basta ter presente o Teorema 1.24 e o facto de que V ⊆ V ⊆ [Σ]. Observamos, porém, que nem toda a S-variedade da
forma[[Σ]], onde Σ é um conjunto de identidades, é localmente finita. É o caso de [[x2 = x3]], pois existe uma infinidade de palavras sobre um alfabeto de cardinal dois que não têm factores que sejam potências cúbicas (ver secção 2.2 de [39]).
Vamos agora estender o Teorema de Birkhoff a classes de semigrupos finitos. Como referência para a parte desta secção que se segue, sugerimos [1, 2, 4, 45].
Dizemos que(S, ρ), ou simplesmente S, é um semigrupo topológico se S é um
semigrupo eρ é uma topologia em S relativamente à qual, quando considerada a
topologia produto emS × S, a multiplicação em S é uma aplicação contínua. Todo
o semigrupo finito munido da métrica discreta é um semigrupo topológico. Se nada for dito em contrário, os semigrupos finitos serão considerados com esta topologia. SejaA um alfabeto. Um semigrupo S separa duas palavras u e v de A+se existe um morfismoϕ : A+ → S tal que uϕ 6= vϕ. Considerando A finito, definimos
r(u, v) = min|S| : S semigrupo finito que separa u e v
e
d(u, v) = 2−r(u,v)
com as convenções usuais demin ∅ = +∞ e 2−∞ = 0. Está assim definida uma aplicação d : A+× A+ → R. Por uma questão de coerência com a notação da literatura já existente, optamos por escrever à esquerda as aplicações d(u, v) em
vez de(u, v)d.
Proposição 1.27. A aplicaçãod é uma ultramétrica em A+, isto é, para quaisquer
u, v, w ∈ A+, (a) d(u, v) ≥ 0;
(b) d(u, v) = d(v, u);
(c) d(u, w) ≤ maxd(u, v), d(v, w) ; (d) d(u, v) = 0 se e só se u = v.
Além disso,d(ux, vy) ≤ max{d(u, v), d(x, y)}, para quaisquer u, v, x, y ∈ A+. A Proposição 1.27 permite concluir que a concatenação emA+é uma aplicação uniformemente contínua deA+× A+emA+.
Representamos por cA+ o completado topológico de A+ para d. Assim, toda a aplicaçãoA → S pode ser estendida a um morfismo contínuo cA+ → S.
Vamos agora estender a noção de identidade. Seja A um alfabeto finito. Uma
pseudoidentidade sobreA é um par (u, v) ∈ cA+× cA+, o qual representamos por
u = v. Dizemos que um semigrupo finito S satisfaz a pseudoidentidade u = v
se, para cada morfismo ϕ : cA+ → S contínuo, se tem uϕ = vϕ. Dizemos que
S satisfaz u = 1 [u = 0], onde u ∈ cA+, se, para cada morfismo ϕ : cA+ → S contínuo,uϕ é identidade de S [uϕ é zero de S]. Uma S-variedade V satisfaz uma
pseudoidentidade sobreA se cada semigrupo S de V a satisfaz.
A notação [[Σ]] definida anteriormente, onde Σ é um conjunto de identidades,
pode ser estendida ao caso em que Σ é um conjunto de pseudoidentidades, cada
uma das quais sobre um alfabeto finito. Dado um conjuntoΣ de pseudoidentidades,
denotamos por[[Σ]] a classe de todos os semigrupos finitos que satisfazem todas as
pseudoidentidades deΣ, a qual chamamos classe dos semigrupos finitos definida
porΣ.
Teorema 1.28 (Teorema de Reiterman [50]). Uma classe de semigrupos finitos é
uma S-variedade se e só se pode ser definida por um conjunto de pseudoidentida-des.
É um facto que cada elemento de cA+é o limite de uma sucessão de Cauchy de elementos deA+. A proposição seguinte mostra-nos um exemplo clássico.
Proposição 1.29. Para cadax ∈ cA+, a sucessão(xn!)
n≥0 é de Cauchy e converge para um elemento idempotente de cA+.
Representamos o limite da sucessão(xn!)
n≥0porxω. Dado um semigrupo finito
S e um morfismo contínuo ϕ : cA+ → S, a sucessão (xϕ)n!
n≥0 converge então para(xω)ϕ. Como S é finito, esta sucessão a partir de certa ordem é constante e igual ao idempotente que é potência de xϕ. Logo (xω)ϕ = (xϕ)ω. Deste modo,
1.6. Morfismos relacionais
podemos interpretarxω no semigrupoS como sendo a potência de x idempotente, o que é consistente com a definição de sω
emS da secção 1.2. Assim, podemos
escreverx2ω = (xω)2 = xω,xω+1 = xωx = xxω,etc..
Na tabela seguinte apresentamos uma lista de S-variedades que usaremos neste trabalho.
Notação Descrição Pseudoidentidades
I semigrupos triviais x = y
LZ semigrupos zero à esquerda xy = x
RZ semigrupos zero à direita yx = x
SL semi-reticulados xy = yx, x2= x
B bandas x2= x
IE semigrupos unipotentes xω = yω
Niln semigruposn-nilpotentes x1. . . xn = 0
Nil semigrupos nilpotentes xω = 0
G grupos xω = yω, xω+1 = x
A semigrupos aperiódicos xω = xω+1
CS1 semigrupos simples xω+1 = x, (xyx)ω = xω
LG semigrupos localmente grupos (xωyxω)ω = xω Gcom grupos comutativos xω = yω, xω+1= x, xy = yx Ecom semigrupos cujos idempotentes comutam xωyω = yωxω
1.6 Morfismos relacionais
Os morfismos relacionais têm-se revelado ferramentas importantes na teoria dos semigrupos finitos. O conceito de morfismo relacional foi introduzido por Tilson em [16]. Estamos interessados numa classe especial de morfismos relacionais, os
1 Como no caso finito, os semigrupos completamente simples coincidem com os semigrupos
(V, W)-morfismos relacionais. Para mais detalhes sobre estes morfismos
relacio-nais recomendamos [46].
Um morfismo relacional de semigrupos entre dois semigruposS e T é uma
re-lação bináriaτ de S para T que satisfaz:
1) sτ 6= ∅, para todo o s ∈ S;
2) (s1τ )(s2τ ) ⊆ (s1s2)τ , para quaisquer s1, s2 ∈ S.
Se S e T são monóides, a relação binária τ diz-se um morfismo relacional de
monóides se satisfizer1), 2) e ainda a condição:
3) 1 ∈ 1τ .
Adoptamos a notação de Delgado [14] para morfismo relacional. Isto é, escre-vemos τ : S ⊖ //T , sempre que τ for um morfismo relacional de S para T , e
τ : S ⊖ // //T se τ for um morfismo relacional sobrejectivo. O morfismo relacional
τ pode ser estendido naturalmente a S1eT1; denotando ainda porτ essa extensão, para cadas ∈ S, sτ é o subconjunto de T dado por τ : S ⊖ //T e 1τ = 1.
Notamos que os morfismos relacionais deS para T de semigrupos [monóides]
são precisamente os subsemigrupos [submonóides] deS × T cuja projecção para S é sobrejectiva. Denotando por α e β as projecções para S e T , respectivamente,
de um morfismo relacional τ ⊆ S × T de S em T , tem-se τ = α−1β. A esta factorização chamamos factorização canónica deτ .
O que se segue vai ser enunciado para semigrupos, mas é naturalmente ajustável ao caso dos monóides.
Proposição 1.30. Sejaτ : S ⊖ //T um morfismo relacional de semigrupos e seja
τ = α−1β a sua factorização canónica. Então, (a) τ é injectivo se e só se β é injectiva;
(b) τ é sobrejectivo se e só se β é sobrejectiva.
Seτ : S ⊖ // //T é um morfismo relacional sobrejectivo então τ−1 : T ⊖ // //S
é um morfismo relacional sobrejectivo. Dados τ1 : S ⊖ //T e τ2 : T ⊖ //U morfismos relacionais, a composição τ1τ2 : S ⊖ //U é também um morfismo relacional.
1.6. Morfismos relacionais
Algumas propriedades dos morfismos de semigrupos podem ser generalizados para morfismos relacionais.
Proposição 1.31. Sejaτ : S ⊖ // //T um morfismo relacional de semigrupos
sobre-jectivo.
(a) SeS′ é um subsemigrupo deS então S′τ é um subsemigrupo de T.
(b) SeT′é um subsemigrupo deT então T′τ−1é um subsemigrupo de S.
Proposição 1.32. SejaK uma das relações de Green H , R, L ou J . Sejam S
eT semigrupos finitos e π : T ⊖ // //S um morfismo relacional sobrejectivo. São
equivalentes as afirmações seguintes: para quaisquers, t, e, f ∈ T ,
(a) ses ∈ Reg(T ) e existem x ∈ sπ e y ∈ tπ tais que x ≤K y, então s ≤K t; (b) ses ∈ Reg(T ) e sπ ∩ tπ 6= ∅, então s ≤K t;
(c) ses, t ∈ Reg(T ) e sπ ∩ tπ 6= ∅, então sK t;
(d) see, f ∈ E(T ) e eπ ∩ f π 6= ∅, então eK f ;
(e) ses, t ∈ Reg(T ) e existem x ∈ sπ e y ∈ tπ tais que xK y, então sK t.
Demonstração. Vamos mostrar o resultado paraK = J . As demonstrações para
as outras relações de Green são análogas.
É claro que temos(a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d). Provemos (d) ⇒ (a).
Suponhamos que s ∈ Reg(T ) e existem x ∈ sπ e y ∈ tπ tais que x ≤J y. Sejame ∈ E(T ) tal que eRs e u1, u2 ∈ S1 tais quex = u1yu2. Considerando a extensão naturalT1 ⊖ // //S1deπ, existem r
1 ∈ u1π−1er2 ∈ u2π−1. Sejams′ ∈ S tal que e = ss′ e z ∈ s′π. Temos xz ∈ (r
1tr2s′)π ∩ eπ e, consequentemente, obtemos (xz)ω ∈ (r
1tr2s′)ωπ ∩ eπ. Pela alínea (d), vem (r1tr2s′)ωJ e. Logo
e ≤J t e, portanto, s ≤J t.
Portanto(a) ⇔ (b) ⇔ (c) ⇔ (d).
É imediato que(a) ⇒ (e) ⇒ (c).
Definimos agora uma classe de morfismos relacionais determinante no desen-volvimento dos capítulos que se seguem.
SejamV e W duas classes não vazias de semigrupos. Um morfismo relacional
