Proposição 3.5. Sejam S e T semigrupos finitos e π : T ։ S um I-morfismo
sobrejectivo. Então, para cada J-classe J regular de S, existe uma e uma só J-classe K regular de T tal que Kπ ⊆ J, tendo-se Kπ = J.
Demonstração. Seja J uma J-classe regular de S. Então, pela Proposição 1.16,
existe uma J-classe K regular de T tal que Kπ = J. Atendendo às Proposi-
ções 3.3 e 1.32, se existisse umaJ-classe regular K′ deT tal que K′π ⊆ J, então teríamos necessariamenteK = K′.
Proposição 3.6. SejamS e T semigrupos finitos, J uma J-classe regular de S e
π : T ։ S um I-morfismo sobrejectivo. Seja K a única J-classe regular de T tal
queKπ ⊆ J. Então K é um subsemigrupo de T se e só se J é um subsemigrupo
deS.
Demonstração. A Proposição 3.5 diz-nos queKπ = J. Logo, se K for um subse-
migrupo deT então J é um subsemigrupo de S.
Para provarmos o recíproco, suponhamos que J é subsemigrupo de S. Sejam s, t ∈ K e mostremos que st ∈ K. Ora, sπ, tπ ∈ Kπ = J e, sendo assim, obtemos (st)π = sπtπ ∈ J. Logo sπJ(st)π e, como s é regular, pela Proposição 3.3 vem s ≤Jst. Mas st ≤Js. Logo sJst e, portanto, st ∈ K.
3.2 O produto de Malcev
I DVm
Dada uma S-variedade V, vamos provar que I DV é a classe dos semigruposm
finitosS cujas D-classes regulares são subsemigrupos de S e estão em V.
Proposição 3.7. Sejam S e T semigrupos finitos e π : T ։ S um I-morfismo
sobrejectivo. SeS ∈ DS, então cada J-classe K regular de T é um subsemigrupo
deT isomorfo a Kπ.
Demonstração. É consequência das Proposição 3.5 e 3.6 e do facto dos I-morfismos serem injectivos no conjunto dos elementos regulares.
Demonstração. Temos DV⊆ Im DV, como foi mencionado na Secção 1.7.
A inclusão I DV ⊆ DV resulta do facto de Imm DV ser gerada pela classe dos
semigrupos finitos T para os quais existe um I-morfismo sobrejectivo de T para
algum semigrupoS de DV e da aplicação da Proposição 3.7.
Observemos que embora tenhamos provado que I DV = DV, dado S ∈ DV,m
de um modo geral não se tem I S ≃ S. Por exemplo, todo o grupo finito nãom
trivial está em DS e, no entanto, I G e G não são isomorfos, como vimos nam
Proposição 2.7.
3.3 O produto de Malcev
I Wm
, com
W
⊆ LG
SejamA um alfabeto infinito numerável e W uma S-variedade. Seja
ΣW = {u ∈ A+| a identidade de semigrupo u2 = u é satisfeita por W}. Observamos que podemos ter ΣW = ∅, por exemplo se tomarmos W = G. Denotamos porΣW = 0 o conjunto de identidades {u = 0 | u ∈ ΣW}.
Proposição 3.9. Para qualquer S-variedade W, temos Nil∩ [[ΣW = 0]] ⊆ Im W.
Além disso, I W satisfaz as pseudoidentidades um 2 = u satisfeitas por W, com
u ∈ cB+, ondeB é um alfabeto finito.
Demonstração. Observe-se que, por Nil=Sn∈NNiln, tem-se Nil∩ [[ΣW = 0]] = [
n∈N
Niln∩ [[ΣW = 0]].
No parágrafo que se segue, dever-se-á ter em conta a Proposição 1.26 e a obser- vação em destaque que se lhe segue.
Dadon ∈ N, seja Wn= Niln∩ [[ΣW = 0]]. Provemos que Wn ⊆ Im W. SeB é um alfabeto finito então FNiln(B) é finito, pois Niln é localmente finita; como Wn ⊆ Niln, tem-se queFWn(B) é imagem homomorfa de FNiln(B) e, con- sequentemente, também é finito. LogoFWn(B) ∈ Wn, para todo o alfabeto finito
3.3. O produto de Malcev I W, com W ⊆ LGm
B, atendendo à segunda parte da observação em destaque mencionada. Como cada
semigrupoS de Wn é imagem homomorfa deFWn(B), para qualquer alfabeto B finito tal que|B| ≥ |S|, basta, então, provar que FWn(B) ∈ Im W, para todo o alfabeto finitoB ⊆ A de cardinal maior do que n.
SejaB ⊆ A tal que |B| > n. Vejamos primeiro que
Niln∩ [[ΣW = 0]] = Niln∩ [[ΣBW = 0]],
ondeΣB
W = 0 denota o conjunto {u = 0 | u ∈ ΣW∩ B+}. É claro que Niln∩ [[ΣW = 0]] ⊆ Niln∩ [[ΣBW = 0]].
Reciprocamente, seja S ∈ Niln∩ [[ΣBW = 0]]. Sejam u ∈ ΣW e ϕ : A+ → S um morfismo. Se|u| ≥ n então, como S ∈ Niln, temos uϕ = 0. Suponhamos
agora que|u| < n. Seja c(u) = {a1, . . . , am}, com ai ∈ A, i ∈ {1, . . . , m}, letras distintas entre si. Como|B| > n, existem b1, . . . , bm ∈ B, letras distintas entre si. Deste modo, como B ⊆ A, existem morfismos α : A+ → A+ eβ : A+ → A+ tais que aiα = bi e biβ = ai, para todo o i ∈ {1, . . . , m}. Ora, se u ∈ ΣW então a identidade u2 = u é satisfeita por W. Logo a identidade u2α = uα também é satisfeita por W. Como uα ∈ B+, vem uα ∈ Σ
W ∩ B+. Logo, por
S ∈ [[ΣB
W = 0]], obtemos (uα)βϕ = 0, pelo que uϕ = 0. Portanto S ∈ [[ΣW = 0]]. Logo Niln∩ [[ΣB
W = 0]] ⊆ Niln∩ [[ΣW = 0]].
Sendo assim, o semigrupoFWn(B) é, a menos de isomorfismo, o conjunto
N =u ∈ B+| |u| < n e nenhum factor de u pertence a ΣW
∪ {0},
com a multiplicação definida por: para todos osu, v ∈ N \ {0},
u · v = (
uv seuv ∈ N \ {0} 0 caso contrário
u · 0 = 0 · u = 0 · 0 = 0
Para cadau ∈ N \{0}, temos u /∈ ΣW; logo a identidadeu2 = u não é satisfeita por W, pelo que existem um semigrupoSu em W e um morfismoϕu : B+ → Su tal queu2ϕ
u 6= uϕu.
morfismo ϕ : B+ → S definido por xϕ = (xϕ
u)u∈N\{0}, para cada x ∈ B+. Consideremos o morfismo canónico σ : B+
։ N (notemos que se Wn não for trivial, entãoA ∩ ΣW = ∅, pelo que bσ = b, para todo o b ∈ B). Seja τ = σ−1ϕ.
B+ ϕ B B B B B B B B σ }}}}{{{{ {{{{ N ⊖τ //S
Vejamos queτ é um I-morfismo relacional. Sejam e ∈ E(S) e s ∈ eτ−1. Existe
u ∈ B+ tal que uσ = s e uϕ = e. Então u2ϕ = uϕ, pelo que u /∈ N \ {0}, donde s = uσ = 0. Assim eτ−1 ⊆ {0}. Logo τ é um I-morfismo relacional e, consequentemente, pela definição de produto de Malcev, obtemosN ∈ Im W.
Portanto Wn ⊆ Im W.
Por fim, dado um alfabeto finitoB, provemos que Im W satisfaz as pseudoi-
dentidades u2 = u satisfeitas por W, com u ∈ cB+. Relembramos que cB+ é o completado topológico para a métricad definida na Secção 1.5.
Sejau ∈ cB+ tal queu2 = u é satisfeita por W. Dado um semigrupo T para o qual existe S ∈ W e um I-morfismo π : T ։ S sobrejectivo, tomemos um morfismoϕ : cB+ → T contínuo. Por S e T serem semigrupos finitos, o morfismo
ϕπ é contínuo. Logo, como S ∈ W, temos u2ϕπ = uϕπ, pelo que uϕπ ∈ E(S). Uma vez queπ é um I-morfismo, concluímos que u2ϕ = uϕ e, portanto, T satisfaz a pseudoidentidadeu2 = u.
Em [49], usando métodos profinitos e propriedades de certos morfismos relacio- nais, Pin e Weil caracterizam o produto de Malcev de duas quaisquer S-variedades de semigrupos [semigrupos ordenados] e apresentam também a descrição de um conjunto de pseudoidentidades que o definem.
A partir de agora vamos considerar S-variedades de semigrupos localmente gru- pos.
Proposição 3.10. Tem-se I LG = LG.m
Demonstração. Como referimos na Secção 1.7, a inclusão LG⊆ Im LG verifica-
3.3. O produto de Malcev I W, com W ⊆ LGm
I-morfismoπ : T ։ S sobrejectivo. Sendo K o ideal minimal de T , sabemos que K é uma J -classe regular de T e que Kπ é o ideal minimal de S e, por isso, uma J -classe regular de S. Uma vez que, pela Proposição 1.19, E(S) ⊆ Kπ, obtemos E(T ) ⊆ K, pela Proposição 3.5. Logo, atendendo novamente à Proposição 1.19,
concluímos queT ∈ LG.
Então I LG ⊆ LG e, portanto, Imm LG = LG.
Tal como observámos no final da secção anterior, embora I LG = LG, nãom
se verifica I S ≃ S, para todo o S ∈ LG. O caso de um grupo finito não trivialm
serve também para exemplificar este facto.
Teorema 3.11. Para qualquer S-variedade W tal que W⊆ LG, temos
I W = W ∨ (Nil ∩ [[Σm W = 0]]).
Demonstração. Seja W uma S-variedade tal que W ⊆ LG.
Seja T um semigrupo finito para o qual existe um I-morfismo π : T ։ S sobrejectivo, ondeS ∈ W. Pela Proposição 3.10, também T ∈ LG. Seja K o
ideal minimal deT e consideremos o morfismo canónico α : T ։ T/K. Então
T /K ∈ Nil e como, pela Proposição 3.4, π é injectivo em K, a aplicação de T em S × (T /K), que a cada t ∈ T faz corresponder (tπ, tα), é um morfismo injectivo.
Porπ ser um I-morfismo, é claro que se S satisfaz uma identidade u2 = u sobre
A, então T também a satisfaz. Logo T /K ∈ Nil ∩ [[ΣW = 0]]. PortantoT ∈ W ∨ (Nil ∩ [[ΣW = 0]]).
Podemos concluir, então, que I W ⊆ W ∨ (Nil ∩ [[Σm W = 0]]). A outra inclusão obtém-se do facto de W ⊆ Im W e da Proposição 3.9.
Se W for uma S-variedade contida em LG, então W ⊆ DW. Logo, das Pro-
posiões 3.8 e 3.10 deduzimos que I W ⊆ LG ∩ DW. Esta inclusão diz-nos quem
os semigrupos de I W pertencem a LG e que os seus ideais minimais pertencemm
a W.
Teorema 3.12. SejamS um semigrupo finito e W uma S-variedade de semigrupos
unipotentes não trivial. As afirmações seguintes são equivalentes: (a) S ∈ Im W;
(b) S ∈ W ∨ Nil ∩ [[ΣW = 0]]
; (c) S é tal que:
(i) S tem um único idempotente;
(ii) O ideal minimal deS pertence a W;
(iii) S satisfaz as identidades u2 = u sobre A satisfeitas por W.
(d) O ideal minimalI de S pertence a W e S/I pertence a Nil ∩ [[ΣW = 0]]. Demonstração. Pelo Teorema 3.11, temos(a) equivalente a (b).
É uma questão de rotina verificar que a classe dos semigrupos finitos que satis- fazem(c) é uma S-variedade; chamemos-lhe V.
É claro que tanto os semigrupos de W como os semigrupos de Nil∩ [[ΣW = 0]] satisfazem(i), (ii) e (iii), logo W ∨ Nil ∩ [[ΣW = 0]]
⊆ V. Assim, (b) implica (c).
Suponhamos agora queS satisfaz (c) e provemos que S satisfaz as condições de (d).
Seja I o ideal minimal de S. Por (ii), I ∈ W e, por (i), S/I é nilpotente.
O facto de S verificar (iii) implica que S/I também verifica (iii). Então S/I
satisfaz as identidades u = 0, com u ∈ ΣW, ou seja S/I ∈ [[ΣW = 0]]. Logo
S/I ∈ Nil ∩ [[ΣW = 0]].
Por fim, suponhamos(d) e provemos (b). Então I tem um único idempotente,
digamos e, e, consequentemente é um grupo com identidade e. Deste modo, a
aplicaçãoS → I ×(S/I), que a cada s ∈ S faz corresponder (se, [s]∼I), é injectiva, pelo queS ∈ W ∨ Nil ∩ [[ΣW = 0]]
.
No caso em que W é uma S-variedade de grupos,ΣWé o conjunto das palavras
u ∈ A+ tais que a identidade u = 1 é satisfeita por W. É claro que uma S- variedade W de grupos satisfaz uma identidade da formau = 1, com u ∈ A+, se e só se W satisfaz uma identidade da formaxk = 1, onde x ∈ A e k ∈ N.
Seja Π um conjunto não vazio de números naturais primos. Dizemos que um
grupo G finito é um Π-grupo se os factores primos da ordem de cada elemento
3.3. O produto de Malcev I W, com W ⊆ LGm
primos da ordem de G pertencerem a Π. A classe dos Π-grupos forma uma S-
variedade e é denotada por GΠ. SeΠ é o conjunto de todos os números naturais primos então G= GΠ. Sep for um número primo, Gpdenota G{p}.
Podemos agora tirar conclusões, algumas delas já conhecidas [26, 27, 28].
Corolário 3.13. Se W for uma S-variedade de semigrupos localmente grupos que
contenha Gcom∩ Gp, para algum número primop, então Im W = W ∨ Nil.
Demonstração. Recordamos que Gcom é a S-variedade dos grupos finitos comu- tativos.
Se W for uma for S-variedade de semigrupos localmente grupos que contenha
Gcom∩ Gp, para algum número primop, então os grupos cíclicos de ordem pn, com n ∈ N, pertencem a W. Por isso, W não satisfaz nenhuma identidade da
formau = 1, com u ∈ A+. Logo, o conjuntoΣ
W é vazio e, consequentemente, vem[[ΣW = 0]] = S. Portanto, pelo Teorema 3.11, temos Im W = W ∨ Nil.
Seja Gnil a S-variedade dos grupos nilpotentes finitos e seja Gsol a S-variedade dos grupos finitos solúveis. Como não vamos desenvolver mais teoria sobre estas classes particulares de grupos, optamos por não definir estes grupos, mas indica- mos [54] como bibliografia específica. Visto que Gcom ⊆ Gnil ⊆ Gsol, o
Corolário 3.13 também se aplica a Gnil e a Gsol.
Se Π é um conjunto não vazio de números naturais primos, então Gp ⊆ GΠ, para algum número primo p, pelo que o Corolário 3.13 é ainda válido para GΠ. Destacamos a seguir o caso de GΠ= G.
Corolário 3.14. Temos I G = G ∨ Nil = IE.m
Demonstração. A primeira igualdade resulta, como já dissemos, do Corolário 3.13. Claramente, G∨ Nil ⊆ IE, onde IE, recorde-se, é a S-variedade dos semigrupos
finitos unipotentes.
SejaS ∈ IE. Então S é um semigrupo unipotente, pelo que o seu ideal minimal
é um grupo. LogoS verifica a condição (c) do Teorema 3.12 aplicado a W = G,
donde concluímos queS pertence a Im G.
Consideremos a S-variedade CS dos semigrupos simples. Pelo Corolário 3.13, temos também I CS = CS ∨ Nil.m
Proposição 3.15. Seja W uma S-variedade contida em CS. Então Im W é gerada
pela classe dos semigrupos finitosT para os quais existe um I-morfismo de T para
o seu ideal minimalK, tendo-se K ∈ W.
Demonstração. Seja T ∈ Im W. Tomemos π : T ։ S um I-morfismo sobre-
jectivo, onde T é um semigrupo finito e S ∈ W. Sendo K o ideal minimal de T , então Kπ é o ideal minimal de S. Logo Kπ = S, uma vez que W ⊆ CS.
Pela injectividade deπ nos regulares, concluímos que K ≃ S. Portanto K ∈ W e
existe um I-morfismo sobrejectivo deT para K.
O recíproco é imediato atendendo à definição de produto de Malcev. Quando W= CS, a última proposição admite o seguinte corolário.
Corolário 3.16. A S-variedade I CS é gerada pela classe dos semigrupos finitosm
4 A expansão de Malcev
determinada por
I
Este capítulo é dedicado particularmente à expansão de Malcev determinada pela variedadeI. As definições, as notações e os resultados da Secção 1.9 serão neces-
sários aqui.
Iniciamos este capítulo com uma secção preliminar onde enunciamos conceitos e resultados sobre combinatória nas palavras fundamentais para a Secção 4.2 e, mais tarde, para as Secções 5.2 e 5.3.
Um algoritmo para calcular a expansão de Malcev de um semigrupo finito de- terminada porI será apresentado na Secção 4.2. Dado um semigrupo A-gerado (S, ϕ) finito, com A finito, construimos um autómato finito, completo, determi-
nista e acessível AI(S) sobre A cujo semigrupo de transição S AI(S) admite
I m S como imagem homomorfa. De um modo geral, S AI(S)é “maior” do que
I m S. O Teorema 4.26 estabelece uma condição necessária e suficiente para que I m S e S AI(S)sejam isomorfos.
Na Secção 4.3, dado um semigrupoA-gerado (S, ϕ) e uma linguagem L de A+, definimos duas congruênciasθϕ(L) e ρϕ(L) sobre A+ que determinam expansões de semigruposA-gerados que se comportam, em certos aspectos, como a expansão
de Malcev determinada por I. Em particular, quando L = E(S)ϕ−1, estas con- gruências contêm a congruência associada à definição deI m S, tendo-se a sequên-
cia de morfismos de semigruposA-gerados I m S ։ A+/ρ
ϕ(L) ։ A+/θϕ(L). Na Secção 4.4, como corolário do Teorema 4.48, mostramos que, seS for um semi-
grupo finito localmente grupo ou um semigrupo finito para o qual os idempotentes formam um subsemigrupo, as expansões encontradas na Secção 4.3 coincidem com
deI m S pode ser simplificada quando S é um semigrupo finito localmente grupo
ou um semigrupo finito para o qual os idempotentes formam um ideal.
4.1 Preliminares
Os conceitos e resultados sobre combinatória nas palavras que enunciamos de se- guida são cruciais na Secção 4.2 e nas Secções 5.2 e 5.3 do capítulo seguinte.
SejamA um alfabeto finito, S um semigrupo finito e ϕ : A+
։ S um morfismo
sobrejectivo.
Seja k um número natural. Dizemos que uma palavra w ∈ A+ é k-potência para ϕ se w = w1w2. . . wk, com wi ∈ A+ e w1ϕ = w2ϕ = · · · = wkϕ. A
w1, w2, · · · , wkdamos o nome de componentes dew (relativamente à factorização
w = w1w2. . . wk). Se adicionarmos a condição|w1| = |w2| = · · · = |wk|, dizemos quew é uma k-potência uniforme para ϕ .
O morfismoϕ diz-se uniformemente repetitivo se, para cada k ∈ N, existe ℓ ∈ N
tal que cada palavraw ∈ A+, com|w| = ℓ, contém um factor k-potência uniforme paraϕ .
Teorema 4.1 (Teorema 4.2.2 de [39]). Sejam A um alfabeto finito e S um semi-
grupo finito. Então todo o morfismo sobrejectivo ϕ : A+
։ S é uniformemente
repetitivo.
Corolário 4.2 (Exercício 4.2.2 de [39]). Sejaϕ : A+
։ S um morfismo sobrejec-
tivo, ondeA é um alfabeto finito e S um semigrupo finito. Então, para cada k ∈ N,
toda a palavra suficientemente comprida contém um factor k-potência uniforme
paraϕ cujas componentes têm o mesmo idempotente de S como imagem por ϕ.
Demonstração. Sejan ∈ N tal que sn∈ E(S), para todo o s ∈ S.
Sejak ∈ N. Pelo Teorema 4.1, existe ℓ ∈ N tal que toda a palavra w ∈ A+, com
|w| = ℓ, admite um factor kn-potência uniforme para ϕ. Ou seja, dado w ∈ A+, com|w| = ℓ, existe um factor u de w tal que
4.2. Um algoritmo com ui ∈ A+, i ∈ {1, . . . , kn}, u1ϕ = u2ϕ = · · · = unϕ = · · · = uknϕ e |u1| = |u2| = · · · = |un| = · · · = |ukn|. Tomemos w1 = u1u2. . . un, w2 = un+1un+2. . . u2n, .. . wk = u(k−1)n+1u(k−1)n+2. . . ukn. Entãow1ϕ = w2ϕ = · · · = wkϕ = (u1ϕ)n ∈ E(S) , |w1| = |w2| = · · · = |wk| e
u = w1w2. . . wk. Logou é uma k-potência uniforme para ϕ cuja imagem das suas componentes porϕ é o mesmo idempotente de S.
4.2 Um algoritmo
Recordamos ser necessário ter presente as definições, as notações e os resultados da Secção 1.9, tais como, por exemplo, a definição de autómato finito, completo, determinista e acessível e as notações de maior prefixo próprio p(u), de maior
sufixo próprio s(u), de letra inicial i(u), e de letra final t(u) de uma palavra u ∈ A+. Dado um semigrupo A-gerado (S, ϕ) finito, com A finito, vamos determinar
de forma algorítmica um semigrupo que contenha um conjunto de representan- tes da congruência associada à definição de I m S e do qual I m S seja imagem
homomorfa. Para tal, consideramos uma ordem total em A, depois ordenamos
as palavras de A∗ pelo comprimento e, dentro de cada comprimento, ordenamo- las lexicograficamente. O semigrupo a determinar será o semigrupo de transição de um autómato finito, completo, determinista e acessível sobre A. Os estados
desse autómato serão palavras deA∗ que incluem a palavra vaziaǫ. A ideia sub- jacente consiste em que, para cada caminho com estado inicialǫ, estado final q e
etiquetau ∈ A+, se tenhaq menor ou igual que u (para a ordem fixada em A∗) e
(q)I m S = (u)I m S. A escolha dos estados e das transições desse autómato basear- se-á na análise das palavras de A∗ seguindo a ordem estabelecida e será feita da seguinte maneira:
2) escolhem-se as letras a cuja imagem por ϕ não seja idempotente e as tran-
sições ǫ −→ a. Para cada letra a tal que aϕ seja idempotente, escolhe-se aa
menor letrab tal que bϕ = aϕ e escolhe-se a transição ǫ−→ b;a
3) dada uma palavrau tal que |u| ≥ 2 e tal que p(u) já tenha sido escolhida,
3.1) se uϕ for idempotente, escolhe-se a menor palavra v tal que vϕ = uϕ
e escolhe-se a transição p(u)−−→ v;t(u)
3.2) seuϕ não for idempotente, prosseguimos do seguinte modo:
3.2.1) se s(u) já tiver sido escolhida, escolhe-se também u e escolhe-se a
transição p(u)−−→ u;t(u)
3.2.2) caso contrário, consideram-se os caminhosǫ −−→ p e ǫs(u) −−→ q ei(u)p
escolhe-se a transição p(u)−−→ q.t(u)
O algoritmo será dividido em duas partes. A primeira parte do algoritmo con- sistirá na construção do autómato finito AI que acabámos de descrever e na se- gunda parte mostrar-se-á que a expansão de Malcev determinada pela variedade trivial é, de um modo geral, um quociente próprio do semigrupo de transição
S(AI) e apresentar-se-á uma condição necessária e suficiente para que se tenha
I m S ≃ S(AI).
Parte I
Seja(A, ≤) um alfabeto finito totalmente ordenado. Consideramos em A∗a ordem shortlex≤sl: dadosu, v ∈ A∗, u ≤sl v ⇐⇒ |u| ≤ |v| e |u| = |v| =⇒ u = v ou u = wau′ev = wbv′, onde w ∈ A∗, a, b ∈ A, com a < b, e u′, v′ ∈ A∗
Então,A∗com esta ordem também é um conjunto bem ordenado, sendo esta ordem compatível com o produto à direita e à esquerda.
4.2. Um algoritmo
SejamS um semigrupo finito e ϕ : A+
։ S um morfismo sobrejectivo. Defini-
mosQ =Sn∈N0Qn, onde
Q0 = {ǫ}
Q1 = Q0 ∪
x ∈ A : xϕ ∈ E(S) e ∀a ∈ A (a <sl x ⇒ aϕ 6= xϕ)
∪ x ∈ A : xϕ /∈ E(S) e, para cadan ∈ N, Qn+1 = Qn ∪ q ∈ A+ : p(q) ∈ Q n, qϕ ∈ E(S) e ∀q′ ∈ Q n∪ QnA ǫ 6= q′ <sl q ⇒ q′ϕ 6= qϕ ∪ q ∈ A+ : p(q) ∈ Q n\{ǫ}, qϕ /∈ E(S) e s(q) ∈ Qn . DefinimosE =Sn∈N0En, onde E0 = ∅ E1 = E0 ∪ (ǫ, x, y) : x ∈ A, y ∈ Q1\{ǫ} e xϕ = yϕ ∈ E(S) ∪ (ǫ, x, x) : x ∈ A e xϕ /∈ E(S) e, para cadan ∈ N, En+1 = En∪ En+1(1) ∪ En+1(2) ∪ En+1(3) , onde En+1(1) = (q, x, qx) : q ∈ Qn, x ∈ A, qx ∈ Qn+1 En+1(2) = (q, x, q′) : q ∈ Q n, x ∈ A, q′ ∈ Qn+1\{ǫ}, q′ <sl qx e q′ϕ = (qx)ϕ ∈ E(S) En+1(3) = (q, x, q′) : q ∈ Q n\{ǫ}, x ∈ A, q′ ∈ Qn+1\{ǫ}, (qx)ϕ /∈ E(S), existep ∈ Qn\{ǫ} tal que p <sl s(qx), existem (ǫ, a1, p1),
(p1, a2, p2), . . . , (pk−1, ak, p) em Entais que a1a2. . . ak = s(qx) e existem(ǫ, b1, q1), (q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, q′) ∈ En tais queb1b2. . . br= i(qx)p
.
Observemos que, para cadan ∈ N0, temos
Qn ⊆ Qn+1 e Qn+1 ⊆ Qn∪ QnA
En ⊆ En+1 e En+1 ⊆ Qn× A × Qn+1
logo,E ⊆ Q × A × Q. Além disso, para todo o (q, x, q′) ∈ E, tem-se q′ 6= ǫ. Seja AI(S) = Q, A, E, ǫ, ∅. Com o objectivo de mostrar que o autómato
AI(S) é finito, completo, determinista e acessível, vamos provar uma série de propriedades relativas aos conjuntosQ e E.
Lema 4.3. Para todo on ∈ N0e para todo oq ∈ Q,
(a) seq ∈ Qnentão|q| ≤ n; (b) se|q| = n então q ∈ Qn.
Demonstração. A alínea (a) é imediata por um raciocínio simples de indução.
Provemos então(b), também por indução.
Sejaq ∈ Q.
Se|q| = 0 então q = ǫ e, logo, q ∈ Q0.
Se |q| = 1 então q ∈ A. Se qϕ /∈ E(S) então q ∈ Q1, por definição. Se
qϕ ∈ E(S) então, por construção, q está em Q1, poisq ∈ Q.
Suponhamos agora que|q| = n + 1, com n ≥ 1, e que a condição (b) é válida
para todos os elementos deQ de comprimento n.
Como|q| ≥ 2 e Q =Sm∈N0Qm, existek ∈ N tal que q ∈ Qk+1\Qk. Logo p(q) pertence a Qk. Como|p(q)| = n, a hipótese de indução garante que p(q) ∈ Qn. Logo, se qϕ ∈ E(S), temos necessariamente k ≤ n, pelo que q ∈ Qn+1, por
Qk+1 ⊆ Qn+1. Se qϕ /∈ E(S) então s(q) ∈ Qk e, por |s(q)| = n, obtemos
s(q) ∈ Qn, por hipótese de indução. Logo, por construção, também neste caso
obtemosq ∈ Qn+1.
Corolário 4.4. Dadosq ∈ Q e n ∈ N0, temos
(a) q ∈ Qnse e só se|q| ≤ n;
(b) q ∈ Qn+1\Qnse e só se|q| = n + 1; (c) se p(q) ∈ Qnentãoq ∈ Qn+1;
4.2. Um algoritmo
(d) sen ≥ 1 então Qn+1 ⊆ Qn∪ (Qn\Qn−1)A.
Lema 4.5. Para todo on ∈ N0, seq ∈ Qnentão Pref(q) ⊆ Qn.
Demonstração. Seq ∈ Q0 entãoq = ǫ e, logo, Pref(q) = {ǫ} ⊆ Q0.
Sen ∈ N0entãoQn+1 ⊆ Qn∪ QnA, pelo que podemos concluir o resultado por um simples processo de indução.
Lema 4.6. Sejam p ∈ A∗ e q = a
1a2. . . an ∈ A+, com ai ∈ A, para cada
i ∈ {1, . . . , n}. Se pq ∈ Q então
(p, a1, pa1), (pa1, a2, pa1a2), . . . , (pa1a2. . . an−1, an, pq) ∈ E.
Demonstração. Por indução no comprimento de q, o resultado é imediato, tendo
em conta o Lema 4.5.
Lema 4.7. Se(q, x, q′) ∈ E então q′ ≤
slqx.
Demonstração. ComoE = Sn∈NEn, a demonstração será efectudada por indu- ção.
Se(q, x, q′) ∈ E
1 então, por definição, temosq = ǫ e q′ ≤slx = qx.
Sejan ∈ N e suponhamos que o resultado é verdadeiro para todas as transições
emEne que(q, x, q′) ∈ En+1. Se(q, x, q′) ∈ E
nentão, por hipótese de indução, obtemosq′ ≤sl qx.
Se(q, x, q′) ∈ E(1) n+1∪ E
(2)
n+1 então, por definição, temosq′ ≤slqx.
Suponhamos que(q, x, q′) ∈ E(3)
n+1. Então existep ∈ Qn\{ǫ} tal que p <sl s(qx)
e existem(ǫ, b1, p1), . . . , (pr−1, br, q′) ∈ En tais queb1. . . br = i(qx)p. Logo, por hipótese de indução e pelo facto da ordem shortlex ser compatível com o produto, vem
q′ ≤slpr−1br ≤slpr−2br−1br ≤sl · · · ≤sl b1. . . br = i(qx)p <sli(qx)s(qx) = qx.
Corolário 4.8. Se(q0, a1, q1), (q1, a2, q2), . . . , (qn−1, an, qn) ∈ E então
Lema 4.9. Para todo o(q, x, q′) ∈ E, se |q| = n então (q, x, q′) ∈ E
n+1\En. Demonstração. Seja (q, x, q′) ∈ E tal que |q| = n. Então (q, x, q′) ∈ Em, para algumm ∈ N. Provemos o resultado por indução em N.
Pelo Lema 4.7, temosq′ ≤
slqx. Logo |q′| ≤ |qx|. Temos também q′ 6= ǫ.
Sem = 1 então n = 0 e (q, x, q′) ∈ E 1\E0.
Suponhamos quem > 1 e, como hipótese de indução, admitamos que, para todo
o(p, y, p′) ∈ E
m−1 tal que|p| ≤ n, se tem (p, y, p′) ∈ E|p|+1\E|p|. Suponhamos quen = 0. Então q = ǫ; logo, (q, x, q′) ∈ E
m−1∪ Em(1)∪ Em(2). Se(q, x, q′) ∈ E
m−1então, por hipótese de indução, vem(q, x, q′) ∈ E1\E0. Se(q, x, q′) ∈ E(1)
m entãoq′ = qx = x, pelo que (q, x, q′) ∈ E1\E0. Se(q, x, q′) ∈ E(2)
m então ǫ 6= q′ <sl qx = x e q′ϕ = (qx)ϕ ∈ E(S). Logo
q′ ∈ A; donde, pelo Corolário 4.4, vem q′ ∈ Q
1. Portanto(q, x, q′) ∈ E1\E0. Suponhamos agora quen ≥ 1. Pelo Corolário 4.4, sabemos que q ∈ Qn\Qn−1. ComoEn ⊆ Qn−1× A × Qn, deduzimos que(q, x, q′) /∈ En.
Se(q, x, q′) ∈ E
m−1então(q, x, q′) ∈ En+1\En, por hipótese de indução. Admitamos que(q, x, q′) ∈ E(1)
m ∪ Em(2)∪ Em(3). Ora, |q′| ≤ |qx| = n + 1, pelo que q′ ∈ Q
n+1, atendendo ao Corolário 4.4. Assim, se(q, x, q′) ∈ E(1)
m ∪ Em(2)então(q, x, q′) ∈ En+1(1) ∪ En+1(2) . Suponhamos que(q, x, q′) ∈ E(3)
m . Então(qx)ϕ /∈ E(S), existe p ∈ Qm−1 tal queǫ 6= p <sl s(qx), existem (ǫ, a1, p1), (p1, a2, p2), . . . , (pn−1, an, p) em Em−1tais quea1a2. . . an = s(qx) e existem (ǫ, b1, q1), (q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, q′) em Em−1 tais queb1b2. . . br = i(qx)p. Pelo Corolário 4.8, vem
q′ ≤ sl b1b2. . . br = i(qx)p, qi ≤sl b1b2. . . bi ≤slb1. . . br = i(qx)p, p ≤sla1. . . an e pj ≤sl a1. . . aj, onde i ∈ {1, . . . , r − 1} e j ∈ {1, . . . , n − 1}. Logo |pj| < n e |qi| ≤ n. Assim, novamente por hipótese de indução, obtemos (ǫ, a1, p1), (p1, a2, p2), . . . ,
(pn−1, an, p), (ǫ, b1, q1), (q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, q′) ∈ Ene, como|p| ≤ |q| = n, pelo Corolário 4.4, temosp ∈ Qn. Logo(q, x, q′) ∈ En+1(3) .
4.2. Um algoritmo
Lema 4.10. Seja(q, x, q′) ∈ E. Então, qx ∈ Q se e só se qx = q′.
Demonstração. Seja n ∈ N0 tal que(q, x, q′) ∈ En+1. Entãoq ∈ Qn e x ∈ A. Supondo queqx ∈ Q, provemos o resultado por indução em N0.
Se(q, x, q′) ∈ E
1 entãoq = ǫ, q′ ∈ Q1 eqx = x. Pelo Corolário 4.4, x ∈ Q1. Logo, atendendo às definições deE1 eQ1, obtemosq′ = x = qx.
Suponhamos, agora, quen ≥ 1 e admitamos, como hipótese de indução, que,
para todo o(p, y, p′) ∈ E
ntal quepy ∈ Q, se tem py = p′. Se(q, x, q′) ∈ E
nentão, por hipótese de indução, temosq′ = qx. Se(q, x, q′) ∈ E(1)
n+1entãoq′ = qx, pela definição de E (1) n+1. Se(q, x, q′) ∈ E(2)
n+1entãoq′ <sl qx e q′ϕ = (qx)ϕ e, por conseguinte, atendendo
à definição deQ|qx|, concluímos o absurdoqx /∈ Q. Portanto (q, x, q′) /∈ En+1(2) . Suponhamos, também com vista a um absurdo, que (q, x, q′) ∈ E(3)
n+1. Então, por definição, sabemos que(qx)ϕ /∈ E(S), existe p ∈ Qn\{ǫ} tal que p <sl s(qx)
e existem(ǫ, a1, p1), (p1, a2, p2), . . . , (pk−1, ak, p) ∈ En coma1a2. . . ak = s(qx). Comoqx ∈ Q, pela definição de Q|qx|, temos s(qx) ∈ Q. Pelo Lema 4.5, sabe- mos que Pref s(qx) ⊆ Q. Logo, por hipótese de indução, obtemos p1 = a1 e, sucessivamente,p2 = a1a2, . . . , p = a1. . . ak = s(qx), o que é absurdo. Portanto
(q, x, q′) /∈ E(3) n+1. O recíproco é óbvio.
Lema 4.11. Sejae ∈ E(S) e seja m = min≤sl(eϕ
−1). Então Fact(m) ⊆ Q. Demonstração. Por indução no conjunto Fact(m) com a ordem ≤sl.
Temosǫ ∈ Q0.
Seja x ∈ Fact(m) ∩ A. Tomamos m = m′xm′′, com m′, m′′ ∈ A∗. Se xϕ não é idempotente, então x ∈ Q1. Suponhamos que xϕ ∈ E(S). Se x /∈ Q1, então existea ∈ A tal que a <sl x e aϕ = xϕ. Logo m′am′′ <sl m′xm′′ = m e
(m′am′′)ϕ = (m′xm′′)ϕ = mϕ = e, uma contradição. Portanto x ∈ Q 1.
Seja w ∈ Fact(m) tal que |w| ≥ 2 e suponhamos, como hipótese de indução,
que Fact(m) ∩ {u ∈ A∗| u <
sl w} ⊆ Q.
Tomamosm = m′wm′′, comm′, m′′ ∈ A∗, ew = qx, com q ∈ A+ ex ∈ A. Comoq ∈ Fact(m) ∩ {u ∈ A∗| u <
sl w}, por hipótese de indução, temos q ∈ Q.
Admitamos que (qx)ϕ ∈ E(S). Se existe q′ ∈ (Q
n+1 ∪ Qn+1A) \ {ǫ} tal que
q′ <
sl qx e q′ϕ = (qx)ϕ, então e = mϕ = (m′qxm′′)ϕ = (m′q′m′′)ϕ, tendo-se
m′q′m′′ <
sl m′qxm′′ = m e m′qm′′ ∈ A+, novamente uma contradição. Logo
w = qx ∈ Qn+2.
Suponhamos que(qx)ϕ /∈ E(S). Como s(qx) <sl qx = w e s(qx) ∈ Fact(m),
da hipótese de indução vem s(qx) ∈ Q. De |s(qx)| = n + 1, temos s(qx) ∈ Qn+1, pelo Lema 4.3. Logow = qx ∈ Qn+2.
Portanto Fact(m) ⊆ Q.
Lema 4.12. Sejaq ∈ A+tal queqϕ ∈ E(S). Então
q ∈ Q se e só se q = min≤sl(qϕ)ϕ
−1. Demonstração. Suponhamos queq ∈ Q. Seja m = min≤sl(qϕ)ϕ
−1. Temos então
mϕ = qϕ e m ≤slq.
Seq ∈ A então q ∈ Q1\ Q0, m ∈ A e, para todo o a ∈ A, se a <sl q então
aϕ 6= qϕ. Logo m = q.
Suponhamos que |q| ≥ 2. Seja n = |q| − 1. Pelo Lema 4.11, sabemos que m ∈ Q. Por |q| = n + 1 e q ∈ Q, o Corolário 4.4 garante que q ∈ Qn+1\Qn. Como
|m| ≤ |q| = n + 1, temos do mesmo modo m ∈ Qn+1. Logom ∈ Qn∪ QnA, uma vez queQn+1 ⊆ Qn∪ QnA. Como qϕ ∈ E(S) e q ∈ Qn+1\Qn, temos
∀q′ ∈ Qn∪ QnA (ǫ 6= q′ <sl q ⇒ q′ϕ 6= qϕ).
Dem ∈ Qn∪QnA, ǫ 6= m ≤sl q e mϕ = qϕ, podemos assim deduzir que m ≮sl q,
pelo quem = q.
O recíproco é consequência imediata do Lema 4.11.
Lema 4.13. Sejamq ∈ Q, q′ ∈ A+ex ∈ A tais que (qx)ϕ ∈ E(S). Então,
(q, x, q′) ∈ E se e só se q′ = min
≤sl (qx)ϕ
ϕ−1. Demonstração. Se(q, x, q′) ∈ E então q′ ∈ Q.
Se qx ∈ Q então, pelo Lema 4.10, temos q′ = qx e, pelo Lema 4.12, vem
qx = min≤sl (qx)ϕ
ϕ−1.
Seqx /∈ Q então, como q′ϕ = (qx)ϕ, obtemos q′ = min