Capítulo 1. Princípios da Klangfarbenmelodie
2. A visão sobre Timbre no final do século XIX
As ondas sonoras são bastante complexas, o que requer métodos matemáticos e experimentos físicos sofisticados para um entendimento do fenômeno que denominamos som.
Quando dizemos que vamos fazer uma análise de um certo objeto ou assunto, temos em mente que este possui uma complexidade tal que é necessário abstrair da sua realidade (concreta) e então proceder com um método que possa descrever a abstração (ideia) com objetos, embora abstratos, mais simples. No caso da complexidade da onda sonora, a ideia é considerá-la como um sinal periódico (função periódica) e então descrevê-la em termos de ondas mais simples. Uma análise deste tipo foi descoberta pelo matemático francês Jean Baptiste Fourier (1768–1830), que pensou matematicamente da seguinte maneira: um sinal periódico pode ser representado por uma soma ponderada (finita ou infinita) de sinais mais simples. Este conjunto de sinais mais simples é denominado Base da Representação de Fourier, e um dos mais simples e úteis é o conjunto de ondas chamadas senoidais, isto é, ondas constituídas de uma única frequência. Assim, se definirmos a base da representação como o conjunto das funções (ondas) senoidais
Ω = sin !!! , !cos(!!! , ! = 0,1,2, … }, onde !! são as frequências das ondas
senoidais, temos a seguinte fórmula:
! ! = ! !!!!!!sin !!! +!!!cos(!!!)
Nesta fórmula, denominada Decomposição (ou Representação) de
Fourier, os coeficientes !! e !! fazem o papel da ponderação da soma
mencionada acima. Eles são interpretados como a amplitude (ou tamanho) da contribuição de cada função senoidal. São chamados usualmente de
Coeficientes de Fourier e as funções senoidais de Parciais de Fourier.
A figura 6, abaixo, mostra as parciais fundamentais do C6 (!! = 1047!!"),
E6 (!!= 1319!!") e G6 (!! = 1568!!") por um tempo de 1 milissegundo,
indetectável pelo o ouvido humano. Na figura 7 temos a forma de onda resultante da soma (síntese) das três parciais com amplitudes de 1, 0.4 e 0.1 respectivamente, no mesmo intervalo de 1 milissegundo. A figura 8 mostra o comportamento da forma de onda resultante a longo prazo, isto é, em um intervalo de tempo de 0.01 seg.
Fig. 6: Três Parciais de Fourier fundamentais de C6 (S1), E6 (S2) e G6 (S3) com amplitudes a1=1, a2=0.5 e a3=0.1, respectivamente, em 0.001 seg.
Fig. 7: Forma de Onda resultante da síntese das três Parciais de Fourier fundamentais de C6 (S1), E6 (S2) e G6 (S3) em 0.001 seg.
Fig. 8: Síntese de Fourier das 3 parciais em uma onda S= S1 + S2 + S3, com razoável “complexidade”, em 0.01 seg.
É possível provar que a energia, ou melhor, a potência (que é simplesmente energia por unidade de tempo) com que cada Parcial de Fourier contribui para o sinal é proporcional ao “quadrado do seu correspondente Coeficiente de Fourier”, ou amplitude da parcial. Parciais mais altas, em geral14, (com n crescente) tem energias com valores sempre decrescentes e contribuem
14 Pode acontecer que parciais mais altas tenham uma maior amplitude do que as mais
fundamentais. Isto depende de vários fatores, como, por exemplo, a geometria e a constituição da caixa de ressonância do corpo em vibração. Algumas parciais podem ser ampliadas em detrimento de outras.
cada vez menos para a representação do sinal. Isso foi vital para a interpretação de Helmholtz sobre a participação dos harmônicos na formação da klangfarbe e na interpretação que Schoenberg faz dessa participação, como veremos posteriormente. A soma das energias de todas as parciais, mesmo, teoricamente, em número infinito, é igual à energia do sinal. Isto é necessário, visto que é preciso ser satisfeito o Princípio da Conservação da Energia da Física, mesmo neste caso ideal, em que não levamos em conta processos de dissipação de energia, em forma de calor, por exemplo, de um sistema físico real. No caso acima, por exemplo, a energia por unidade de tempo (segundos, por exemplo) seria dada pela equação (Eq. 1) !~[1!+! !
! !
+! !"! !], em unidades convenientes de energia.
Um pouco de reflexão sobre a fórmula de Fourier apresentada acima nos permite ver, ou melhor, “adivinhar”, que “qualquer sinal sonoro” (ou periódico, em geral), por mais complexo que seja, tem uma Representação de Fourier na base de funções senoidais Ω. Este é o famoso Teorema de Decomposição de Fourier, o qual tem uma prova matemática bastante elaborada e está fora do escopo desta dissertação (FIGUEIREDO 1977). Atualmente, o processo de decompor um sinal em Parciais de Fourier é denominado Análise de Fourier e o processo de construir (ou sintetizar) um som a partir de um conjunto de parciais dadas é denominado Síntese de Fourier. Uma consequência imediata deste teorema é que, teoricamente, o timbre de um instrumento musical é constituído das várias contribuições das parciais de Fourier. Vemos que, neste caso, a característica “timbre” não pode ser separada da própria forma de representar o som.
Qual é o problema com este conceito e representação? Primeiramente, que vivemos em um mundo real onde a periodicidade nunca é ideal. Há sempre uma componente aperiódica (ruído) em qualquer sinal da natureza, incluindo os sons. Portanto, a representação de Fourier fornece apenas uma aproximação do sinal real. Além disto, sons reais têm começo e fim, ataque e decaimento e, como vimos na Seção 1, isto tem uma grande importância no reconhecimento do
timbre. Além disto, a Análise de Fourier não é muito efetiva nestes regimes, pois as parciais, embora de frequência definida, são, teoricamente, de duração infinita. Para somá-las, temos que fazer um corte abrupto dentro de um intervalo de tempo, o que não é efetivo.
Embora teoricamente coerente, a representação do som por adição de parciais também não mostrou-se de fácil aplicação no campo da composição musical. Por exemplo, no caso da Música Espectral, a simulação de parciais através das notas musicais acabou esbarrando tanto no temperamento das alturas quanto nos timbres específicos de cada instrumento utilizados para simular uma parcial. Foi esse aspecto que exigiu um posicionamento dos compositores “espectralistas” já no final do século XX, ao definir tal aplicação por síntese sonora instrumental.
Os sons da natureza, ou mesmo de instrumentos musicais, têm uma complexidade tal que é necessário um número enorme de Parciais de Fourier para termos uma boa aproximação deles. O nosso ouvido capta um número limitado de Parciais de Fourier, a saber, aquelas com maior amplitude e que, portanto, têm maior energia para ativar o aparelho auditivo humano. Por outro lado, esta é também a razão porque é difícil sintetizar sons de instrumentos musicais. Por exemplo, são necessárias tantas Parciais de Fourier, que, por sua vez, dependem de outras tantas variáveis do instrumento, para modelar um som real de um violino que, nos dias de hoje, com a rapidez de processamento e a enorme capacidade de armazenamento de informação dos computadores, fica mais simples tomar amostras de sons reais e manipulá-las digitalmente.
Foi Helmholtz quem mostrou como construir uma formulação físico- matemática para a Teoria da Harmonia (da Música Tonal) baseada nas Parciais de Fourier, as quais ele denomina parciais superiores (overtones), e relacioná-la com a fisiologia do ouvido e com características psicoacústicas da percepção sonora. Uma vez que o Tratado de Helmholtz é bastante extenso e abrangente, na próxima seção, fazemos uma apresentação resumida desta teoria, no que tange ao nosso objeto de pesquisa, o timbre musical .
2.2) Timbre conforme Helmholtz
Com seus escritos sobre percepção sonora, Helmholtz quis unir a física dos sons (acústica) com a fisiologia do ouvido humano com o intuito de apresentar fundamentos científicos para a estética musical, ou melhor ainda, para justificar o sistema tonal. Na introdução de seu tratado ele escreve:
No presente trabalho, uma tentativa será feita em aproximar as fronteiras de duas ciências, que, apesar de serem atraídos um para o outro por muitas afinidades naturais, têm hitherto continuado praticamente distintas, eu quero dizer as fronteiras da física e fisiologia acústica em um lado, e da ciência musical e estética do outro (HELMHOLTZ 1954, pg. 1) 15.
A abordagem científica de Helmholtz é empírica e busca descobrir princípios gerais que possam nortear o entendimento da Harmonia do sistema tonal que já estava completamente consolidado. É importante ressaltar aqui que as experiências realizadas por Helmholtz tinham um modelo teórico de suporte, ou seja, a Teoria de Fourier. Quando Helmholtz fala de parciais harmônicos (overtones) ou simplesmente harmônicos, ele, essencialmente, está se referindo às parciais superiores da Decomposição de Fourier.
Compositores que compartilham um enfoque mais científico e experimental de suas ideias, tais como Varèse e Schoenberg, preocuparam-se em tornar o timbre um elemento importante. Por exemplo, Varèse reconhece a Teoria de Helmholtz como ponto de partida para seu conceito de música como “som organizado” no tempo:
Helmholtz foi a primeira pessoa a me fazer perceber a música como sendo uma massa de sons evoluindo no espaço, ao invés de uma série ordenada de notas (como eu havia sido ensinado) (VARÈSE 1983, apud LALITTE 2011, pg. 330) 16.
15In the present work an attempt will be made to connect the boundaries of two sciences, which,
although drawn towards each other by many natural affinities, have hitherto remained practically distinct I mean the boundaries of physical and physiological acoustics on the one side, and of musical science and aesthetics on the other. (Tradução do autor)
16Helmholtz was the first person to make me perceive music as being a mass of sounds evolving
Helmholtz tinha em mente uma concepção intuitiva de timbre, ou seja, aquela qualidade perceptual do som que nos faz identificar a sua fonte, conforme vimos anteriormente, segundo a definição por ele proposta. Nesta sua definição, Helmholtz está se restringindo somente a instrumentos (ou voz) que têm alturas definidas. Observe também que, para isolar a característica “timbre”, a fim de analisá-la, ele “fixa” as outras, isto é, “mesma nota, na mesma altura”. Esta é a forma mais comum de cientistas experimentais elaborarem um plano de pesquisa para um fenômeno: isola-se a variável (ou característica) de interesse, mantendo-se constante todas as outras. O problema com o timbre é que, fixando-se as outras características usuais do som, tais como duração, altura e intensidade, que são quantidades que podem ser ordenadas numericamente, sobra um enorme espaço não ordenado, que se refere inteiramente apenas à timbres, Helmholtz percebe que pequenas variações de timbre (qualidade do som) ocorrem para um mesmo instrumento ou ainda para a voz humana.
Variedades de timbre (quality of tone) aparentam ser infinitamente numerosas. Nós não apenas sabemos a longa série de instrumentos musicais que podem produzir uma nota de mesma altura; não somente instrumentos individuais da mesma espécie, e as vozes de diferentes cantores mostram certas sombras mais delicadas do timbre, que o nosso ouvido é capaz de distinguir; mas notas da mesma altura podem, algumas vezes soar no mesmo instrumental com diferentes variedades qualitativas ([timbrísticas] (HELMHOLTZ 1954, pg. 19) 17.
A solução de Helmholtz foi buscar ajuda na Análise de Fourier, uma vez que este afirma que a série das parciais, dada pela Equação apresentada anteriormente (Eq. 1), é uma representação completa, embora, como vimos, não realista, de qualquer som, inclusive, claramente, a informação do timbre. Em
17 Varieties of quality of tone appear to be infinitely numerous. Not only do we know a long series
of musical instruments which could each produce a note of same pitch; not only do different individual instruments of the same species, and the voices of different individual singers show certain more delicate shades of quality of tone, which our ear is able to distinguish; but notes of the same pitch can sometimes be sounded on the same instrument with several qualitative varieties. (Tradução do autor)
outras palavras, Helmholtz relacionou o conjunto das Parciais de Fourier (ou harmônicos) do espectro do som, com suas respectivas amplitudes, com a sensação provocada por ele no aparelho auditivo humano, o qual considerou, muito propriamente, como um filtro que percebe ( ou “analisa”) as componentes. O excerto abaixo, do seu Tratado, resume as ideias da sua análise psicoacústica dos sons musicais.
O ouvido quando sua atenção é propriamente direcionada para o efeito das vibrações que o atingem, não ouve meramente aquele único som musical, cuja altura é determinada pelo período das vibrações da maneira já explicada anteriormente, mas soma-se a isso ele tornar-se atento de uma série inteira de sons musicais mais agudos, a que chamamos de parciais harmônicas superiores, e algumas vezes simplesmente parciais do som musical ou nota, em contra-distinção com a fundamental ou parcial primária ou simplesmente primeira, como pode ser chamada, que é a mais grave e normalmente mais forte [em intensidade] de todas as outras parciais, e pela altura a qual nós avaliamos a altura de todo o composto sonoro em si (HELMHOLTZ 1954, pg. 22) 18.
Na sua intenção de usar o paradigma da Análise de Fourier, Helmholtz teve acesso a um estudo anterior, do físico George Ohm, que mostrou que a distribuição de energias entre as parciais era muito importante para a caracterização do timbre.
Em 1843, o físico Georg Ohm (1787-1854) formulou a hipótese de que sons musicais são caracterizados pela distribuição de energias entre os harmônicos, de acordo com a análise de Fourier, e que o padrão da distribuição é a fonte da percepção do timbre. A lei de Ohm motivou Helmholtz a demonstrar experimentalmente que, na realidade, o ouvido mesmo realiza a análise de Fourier em uma onda sonora complexa, distinguindo cada parcial no espectro das frequências (GREEN; BUTLER 2008, pg. 256) 19.
18 The ear when its attention has been properly directed to the effect of the vibrations which
strikes it, does not hear merely that one musical tone whose pitch is determined by the period of the vibrations in the manner already explained, but in addition to this it becomes aware of a whole series of higher musical tones, which we will call the harmonic upper partials tones, and sometimes simply upper partials of the whole musical tone or note, in contra-distinction to the fundamental or prime partial tone or simply the prime, as it may be called, which is the lowest and generally the loudest of all the partials tones, and by the pitch of which we judge the pitch of the whole compound musical tone itself. (Tradução do autor)
19In 1843, the physicist Georg Ohm (1787-1854) hypothesized that musical sounds are
characterized by the distribution of energies among the harmonics in accordance with Fourier analysis and that the distribution pattern is the source of timbre perception. Ohm’s law motivated
Em seu Tratado, Helmholtz escreve sobre esta ideia de Ohm:
A regra pela qual o ouvido procede na sua análise foi primeiramente colocada como geralmente verdadeira por G. S. Ohm (…) Todo movimento do ar, então, que corresponde a uma massa composta de sons musicais, é, de acordo com a lei de Ohm, capaz de ser analisada em uma soma simples de vibrações pendulares, e para cada uma dessas únicas vibrações simples corresponde uma nota simples, sensível para o ouvido, e tendo uma altura determinada, pelo tempo periódico correspondente ao movimento do ar (HELMHOLTZ 1959, pg. 33) 20
A solução de Helmholtz, baseada em Fourier e Ohm, justifica-se em parte, pois não há, por exemplo, uma formalização simples, que possa comparar o espectro de um oboé com o de um violino. Soma-se a isto a forma de ataque do som (parte transiente), registro (oitava), decaimento, entre outras características, e somos induzidos a ver que a solução de Helmholtz foi quase uma necessidade lógica, mais simples e pragmática das consequências da Teoria de Fourier. Para isto, ele desconsidera na sua análise os problemas de transientes mencionados acima e analisa somente a parte estável do sinal.
Quando nós falamos no que se segue como qualidade musical de um som [timbre], nós devemos descartar essas peculiaridades do começo e fim, e confinar nossa atenção para as peculiaridades do som musical, que continua uniforme (HELMHOLTZ 1954, pg. 67) 21.
Foi somente na década de 1960 que Risset e Mathews (RISSET; MATHEWS 1969) e, independentemente, Tenney (TENNEY 1965), mostraram que o ataque do som, ou seja, o seu transiente inicial, ou a evolução temporal
Helmholtz to demonstrate experimentally that, in effect, the ear itself performs a Fourier analysis on a complex sound wave, discerning each partial tone in the frequency spectrum. (Tradução do autor)
20 The rule by which the ear proceeds in its analysis was first laid down as generally true by G. S.
Ohm (... )Every motion of the air, then, which corresponds to a composite mass of musical tones, is, according to Ohm’s law, capable of being analyzed into a sum of simple pendular vibrations, and to each such single simple vibration corresponds a simple tone, sensible to the ear, and having a pitch determined, by the periodic time of the corresponding motion of the air. (Tradução do autor)
21 When we speak in what follows of musical quality of tone, we shall disregard these peculiarities
of beginning and ending, and confine our attention to the peculiarities of the musical tone, which continues uniformly.
do envelope espectral, tem uma grande importância na identificação psicoacústica do timbre. O compositor Pierre Schaeffer também atuou no estudo do timbre e de transiente inicial (SCHAEFFER 1986), o que posteriormente foi exemplificado, por exemplo, pelo fato do espectro de uma flauta e o de um oboé serem praticamente os mesmos, se retirado o momento do ataque com seus transientes (envelope dinâmico).
Um outro problema que chamou a atenção de Helmholtz foi o que acontece com o timbre de um som se suas parciais são defasadas. Helmholtz mostrou que o timbre é mantido praticamente inalterado, como percebido pelo ouvido humano. Abaixo apresentamos um exemplo deste fenômeno. Na Figura 9 mostramos as mesmas parciais do exemplo acima com a diferença que a onda de C6 é defasada em 0.3 milissegundos da onda original (Fig. 6). A Figura 10 mostra a forma de onda resultante no intervalo de 1 milissegundo. No entanto, observe na Figura 11 que, ao longo de vários ciclos, necessários para a identificação do som pelo ouvido humano, o padrão das ondas permanece quase inalterado, ou seja, o timbre é praticamente o mesmo, à exceção de pequenas irregularidades.
Fig. 9: Três Parciais de Fourier fundamentais de C6 (S1f) com uma defasagem de aproximadamente 0.3 milisegundos, E6 (S2) e G6 (S3) com amplitudes a1=1, a2=0.5 e a3=0.1
Fig. 10: Forma de Onda resultante da síntese das três Parciais de Fourier fundamentais de C6 com defasagem de 0.3 milisegundos (S1f, ), E6 (S2) e G6 (S3) em 0.001 seg.
Fig. 11: Síntese de Fourier das 3 parciais em uma onda S= S1f + S2 + S3 com razoável “complexidade” em 0.01 seg. Onda S1f, com defasagem de 0.3 milisegundos.
Tomando-se por base a Teoria de Fourier e a proposta de que o som é composto por parciais e de que as alterações dessas parciais alterariam o timbre, diversos compositores se valeram da teoria como ferramenta
composicional. Desde a distribuição métrica de uma obra seguindo as proporções da série harmônica (frequências mais graves correspondendo a estruturas de durações mais longas e o inverso) até a simulação de conteúdos e comportamentos espectrais como os choques de segundas menores e seus sons diferenciais empregados por Varèse (ZUBEN 2007), a exploração dos batimentos como realizado por Xenakis, em Nomos Alpha e Dhikta ou a simples simulação de espectros com sobreposições de notas desde Varèse até a música espectral recente.
Resumindo, Helmholtz propôs, então, que o timbre de um som fosse unicamente identificado pela distribuição dos harmônicos (ou ondas senoidais com frequência definida) do som, bem como as amplitudes destes harmônicos, formando o que hoje se denomina espectro do som. O seu Tratado teve uma enorme importância, direta ou indiretamente, tanto na física acústica, como nas obras de compositores modernos tais como Varèse, Penderecki, Stockhausen, Messiaen e, claramente, no começo do século XX, no pensamento e música de Arnold Schoenberg.