1.3 Motiva¸c˜ ao e Considera¸c˜ oes Anal´ıticas
1.3.4 Abordadem do C´ alculo Diferencial e Integral de Ordem Arbitr´ aria
Apesar de ainda n˜ao ser um assunto dos mais difundidos, o c´alculo fracional apresenta algumas vantagens na abordagem de determinados fenˆomenos, especialmente na ´area de pol´ımeros, em problemas biof´ısicos e em Termodinˆamica (HILFER et al., 2000). Recente- mente, vem encontrando maior variedade de aplica¸c˜oes pr´aticas, como em controle n˜ao- linear (MACHADO, 2011), sistemas difusivos e meios viscoel´asticos (SABATIER; AGRAWAL; MACHADO, 2007), evolu¸c˜ao temporal (HILFER et al., 2000) e at´e sistemas el´etricos (OLI- VEIRA; MAINARDI; VAZ JUNIOR, 2011), tamb´em encontrando uso em Mecˆanica Quˆantica (LASKIN, 2000b; OLIVEIRA; COSTA; VAZ JUNIOR, 2010), F´ısica de Part´ıculas e Teoria do
Caos (LASKIN, 2000a; ZASLAVSKY, 2002), j´a tendo sido estabelecidos, inclusive, os fun- damentos de uma dinˆamica fracional de sistemas ca´oticos hamiltonianos (ZASLAVSKY, 2008).
Existe uma clara vantagem no uso da teoria das equa¸c˜oes diferenciais de ordem abitr´aria, pois ela se presta a um duplo papel, j´a que os processos de resolu¸c˜ao podem ser usados tanto em equa¸c˜oes diferenciais fracion´arias obtidas diretamente na formula¸c˜ao de determinados problemas, como atrav´es de transforma¸c˜oes em algumas equa¸c˜oes de ordem inteira para torn´a-las fracion´arias, conduzindo a m´etodos alternativos de resolu¸c˜ao. Isso proporciona uma ferramenta a mais nas t´ecnicas de resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais de ordem inteira.
1.4
Estado da Arte
A utiliza¸c˜ao de matrizes operacionais na base de Fourier, ao que pudemos constatar, s´o foi implementada para a s´erie real, n˜ao tendo sido encontrado nenhum exemplo desse uso para a base complexa. Os artigos relativos a essas formaliza¸c˜oes s˜ao especificados e resumidos nesta se¸c˜ao.
J´a no caso das matrizes operacionais no c´alculo fracion´ario, embora a abordagem esteja sendo efetivada (CHALISHAJAR; KANTAWALA, 2008;KHADER, 2011), n˜ao encontra- mos referˆencias sobre seu uso na base complexa de Fourier na solu¸c˜ao de problemas desse tipo. No entanto, acreditamos que sua implementa¸c˜ao para qualquer tipo de equa¸c˜ao diferencial ordin´aria, homogˆenea ou n˜ao-homogˆenea, linear ou n˜ao-linear, com vistas a uma utiliza¸c˜ao racional e efetiva em fun¸c˜oes peri´odicas a valores complexos seja alta- mente desej´avel, pois uma ampla quantidade de fenˆomenos f´ısicos apresenta caracter´ısticas
peri´odicas e uma descri¸c˜ao matem´atica nesses termos, aliada a um tratamento complexo, se ajustaria consideravelmente melhor a tais fenˆomenos, ampliando o escopo e aplicabili- dade do m´etodo. Acreditamos que essa formula¸c˜ao mais ampla proporcione efetivo ganho nas aplica¸c˜oes. Al´em disso, um evidente v´ınculo com a teoria das wavelets parece sugerir um caminho bastante promissor.
A respeito do uso de matrizes operacionais na base de Fourier, as fontes s˜ao escassas e nenhuma delas se refere `a base complexa, utilizando-se somente das s´eries de Fourier reais. Vamos citar detalhadamente o que conseguimos encontrar sobre o assunto:
O artigo mais antigo encontrado sobre matrizes operacionais de Fourier ´e devido a Paraskevopoulos, Sparis e Mouroutsos (1985), onde se determina uma express˜ao geral para a matriz operacional de integra¸c˜ao de Fourier em base real. Em Razzaghi e Razzaghi (1988) ´e apresentado um m´etodo direto para resolver problemas variacionais usando s´eries de Fourier, utilizando a defini¸c˜ao da matriz operacional de integra¸c˜ao de Fourier do artigo anterior. Endow (1989) fornece as equa¸c˜oes de estado no problema de um regulador ´otimo em termos das s´eries truncadas de Fourier e das MOIs associadas e esenvolve um algoritmo computacional para calcular os coeficientes de expans˜ao das derivadas das vari´aveis de estado. Obs: Um outro artigo de 2005, de B.M. Mohan, listado abaixo, indica uma incorre¸c˜ao deste artigo, revisando-o.
Caiti e Cannata (1993) analisam e comentam as propriedades das matrizes operaci- onais de deriva¸c˜ao e integra¸c˜ao para as fun¸c˜oes trigonom´etricas de Fourier. Razzaghi, Arabshahi e Lin (1995) discutem um m´etodo para identifica¸c˜ao de parˆametros de EDOs n˜ao-lineares via s´eries de Fourier. A MOI de integra¸c˜ao ´e usada tamb´em na vers˜ao para integra¸c˜ao repetida para reduzir problemas de identifica¸c˜ao a sistemas alg´ebricos de re- solu¸c˜ao. Em Mohan e Kar (2005) mostra-se que a abordagem das s´eries de Fourier para o problema de controle ´otimo no artigo de Endow est´a incorreta. Ebrahimi et al. (2007) desenvolvem um algoritmo computacional direto para estimativa de controle ´otimo e tra- jet´oria de sistemas lineares singulares e expandem as vari´aveis de estado e o vetor de controle na base de Fourier real com coeficientes desconhecidos. Toutounian, Tohidi e Kilicman (2013) introduzem as matrizes operacionais de Fourier de deriva¸c˜ao e de trans- miss˜ao para resolver EDOs de alta ordem com coeficientes constantes e estendem o m´etodo para equa¸c˜oes de pant´ografo generalizadas (tipo de ED de delay) com coeficientes vari´aveis usando nodos de coloca¸c˜ao de Legendre-Gauss.
Na pesquisa bibliogr´afica, localizamos diversos artigos referentes `a aplica¸c˜ao de ma- trizes operacionais ao c´alculo fracional, principalmente referentes aos ´ultimos dois anos.
A seguir, mostramos um resumo dessas referˆencias.
Existe um ´otimo apanhado geral (survey) do que havia sido realizado neste assunto at´e ent˜ao, elaborado por Luchko (1999). Ap´os a publica¸c˜ao desse survey, Podlubny (2000) sugere uma forma de representa¸c˜ao matricial para an´alogos discretos de v´arias formas de diferencia¸c˜ao e integra¸c˜ao fracionais. A inten¸c˜ao ´e implementar uma unifica¸c˜ao entre a diferencia¸c˜ao num´erica de ordem inteira e integra¸c˜oes repetidas usando um tipo espec´ıfico de matrizes triangulares (triangular strip matrices), referidas em Bulgakov (1954) e Su- prunenko e Tyshkevich (1966). Aplicada a solu¸c˜oes num´ericas de EDOs, a abordagem unifica tamb´em a solu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais de ordem inteira ou fracion´aria com a das equa¸c˜oes integrais fracion´arias, conseguindo uma significativa simplifica¸c˜ao.
No artigo j´a mencionado de Chalishajar e Kantawala (2008), os autores utilizam matrizes operacionais em bases de Walsh para resolver o problema de sistemas distribu´ıdos no c´alculo fracional e comparar os resultados com os obtidos por fun¸c˜oes ortogonais em geral, especialmente, com os do m´etodo num´erico de Wu e Chen (2004) para resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais fracion´arias.
Khader (2011) generaliza a matriz operacional de Legendre para derivadas de or- dem fracion´aria a fim de resolver equa¸c˜oes diferenciais fracion´arias n˜ao-lineares usando a defini¸c˜ao da derivada fracional de Caputo. Compara o m´etodo com o ADM (Adomian Decomposition Method) (ADOMIAN, 1988).
Maleknejad, Basirat e Hashemizadeh (2011?) prop˜oem um m´etodo aproximativo de resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes integrais de Hammerstein atrav´es das matrizes operacionais de Bernstein. Em Rahmani, Rahimi e Mordad (2011) s˜ao usadas fun¸c˜oes Block-Pulse e suas matrizes operacionais na solu¸c˜ao da equa¸c˜ao integro-diferencial de Volterra-Fredholm. J´a Loghmani (2012) a soluciona por meio do uso das fun¸c˜oes cardinais de Chebyshev. Ainda com rela¸c˜ao a essa mesma equa¸c˜ao, Maleknejad, Basirat e Hashemizadeh (2012) apresen- tam uma solu¸c˜ao num´erica de alta ordem via matrizes operacionais de Bernstein. Wang et al. (2012) apresentam um algoritmo (OPM) de simula¸c˜ao no dom´ınio do tempo baseado em matrizes operacionais para a abordagem de sistemas de EDOs, EDFs, equa¸c˜oes dife- renciais alg´ebricas e de alta ordem, com atua¸c˜ao similar a m´etodos de an´alise transiente avan¸cada, como os m´etodos de Gear e trapezoidal.
Kazem, Abbasbandy e Kumar (2013) prop˜oem fun¸c˜oes de Legendre de ordem fracional na solu¸c˜ao de EDFs. Baleanu, Alipour e Jafari (2013) obtˆem uma solu¸c˜ao anal´ıtica aproximada da equa¸c˜ao diferencial quadr´atica de Riccati com derivadas fracionais de Riemann-Liouville usando as matrizes operacionais de Bernstein. Nesse mesmo ano s˜ao
estabelecidas as matrizes operacionais de integra¸c˜ao fracional dos polinˆomios transladados (shifted ) de Legendre (ERJAEE, 2013) e Chebyshev (BHRAWY; ALOFI, 2013). Em 2014,
Labecca, Guimar˜aes e Piqueira (2014) determinam as matrizes operacionais de deriva¸c˜ao e integra¸c˜ao da base complexa de Fourier.
1.5
Conclus˜ao da Apresenta¸c˜ao
Tendo constatado, portanto, a grande variedade de utiliza¸c˜oes de todas essas t´ecnicas e a ausˆencia de unifica¸c˜ao e de um desenvolvimento apropriado do assunto, propomos neste trabalho uma sistematiza¸c˜ao e uma amplia¸c˜ao desse formalismo linear operacional na linguagem bra-ket para o c´alculo fracional a vari´aveis complexas, com base nas defini¸c˜oes integrais de Riemann-Liouville, Caputo e Weyl, enfatizando as s´eries de Fourier complexas e as transformadas de Fourier e Laplace, tendo como principal objetivo o direcionamento `a solu¸c˜ao de problemas pr´aticos espec´ıficos pass´ıveis de formula¸c˜ao por meio de equa¸c˜oes diferenciais, com aplica¸c˜ao, em especial, na Engenharia e na F´ısica.
Adicionalmente, proceder´ıamos `a sondagem de poss´ıveis interpreta¸c˜oes f´ısicas das condi¸c˜oes inerentes `as transformadas de Laplace e de Fourier das diferintegrais, cuja esfera de a¸c˜ao pr´atica pode se estender de forma bastante promissora. Com isso, acreditamos estar contribuindo para ampliar de modo significativo as t´ecnicas num´ericas de resolu¸c˜ao das EDOs (com posterior extens˜ao `as EDPs), o que possibilitaria abordagens pr´aticas mais poderosas em diversas ´areas de grande importˆancia hoje, como fluidodinˆamica, vis- coelasticidade, caos e automa¸c˜ao e controle, por exemplo.
2
FUNDAMENTAC¸ ˜AO
TE ´ORICA
Iniciamos este cap´ıtulo pelo desenvolvimento formal da extens˜ao da nota¸c˜ao de Dirac para uso efetivo na teoria geral de equa¸c˜oes diferenciais e, mais especificamente, `a sua aplica¸c˜ao no m´etodo das matrizes operacionais. Nossa meta ´e desenvolver um m´etodo tensorial nessa linguagem com aplica¸c˜oes espec´ıficas na teoria de equa¸c˜oes diferenciais.
Vamos come¸car com algumas defini¸c˜oes importantes e conven¸c˜oes de nota¸c˜ao.