Defini¸c˜ oes e Nota¸c˜ ao

Sistemas e Eixos Em se tratando de vetores comuns, isto ´e, inseridos no espa¸co euclidiano tridimensional R3_{, ´e intuitiva a compreens˜ao de alguns conceitos relacionados}

a aspectos geom´etricos que emergem naturalmente. Um deles se refere ao sistema de eixos. Em um espa¸co f´ısico tridimensional usual existe a necessidade de se determinar pelo menos trˆes vetores linearmente independentes que atuem como base. Normalmente s˜ao eleitos vetores perpendiculares entre si, o que constitui um sistema ortogonal. Entretanto, essa condi¸c˜ao n˜ao ´e obrigat´oria e, eventualmente, pode ser definida uma base n˜ao-ortogonal ou, como tamb´em ´e conhecida, um sistema de eixos obl´ıquos.

Em um sistema de eixos obl´ıquos n˜ao h´a apenas uma ´unica maneira de determinarmos as componentes de um vetor, mas duas. Para um sistema de eixos cartesianos, isto ´e, ortogonais entre si, as componentes de um vetor s˜ao definidas pelas proje¸c˜oes ortogonais a cada eixo. Ao somarmos vetorialmente essas proje¸c˜oes reobtemos o vetor projetado. Embora isso seja ´obvio num sistema cartesiano, o mesmo n˜ao ocorre num sistema n˜ao- ortogonal.

de estabelecer crit´erios semelhantes aos consagrados no formalismo tensorial. Um deles diz respeito `as nota¸c˜oes dos diferentes tipos de coordenadas.

Coordenadas Covariantes e Contravariantes No caso de procedimento semelhante ao descrito acima, mas efetuado agora em um sistema obl´ıquo, as proje¸c˜oes obtidas, denominadas coordenadas covariantes, s˜ao tais que, ao serem vetorialmente somadas, o resultado dessa opera¸c˜ao n˜ao fornece o vetor projetado. Define-se, ent˜ao, outro tipo de coordenadas, chamadas de coordenadas contravariantes, com diferente regra de forma¸c˜ao, obtidas pelas proje¸c˜oes paralelas aos eixos, produzindo novas componentes cuja soma vetorial resulte no vetor original.

H´a, por conseguinte, duas proje¸c˜oes poss´ıveis: a paralela e a ortogonal. Cada uma delas fornece componentes de natureza diversa, que recebem, portanto, denomina¸c˜oes e nota¸c˜oes distintas, as quais adotaremos, em conformidade com as conven¸c˜oes utilizadas no c´alculo tensorial e na geometria diferencial. Em suma:

• Proje¸c˜oes paralelas fornecem coordenadas contravariantes, denotadas por ´ındices sobrescritos: ui_;

• Proje¸c˜oes ortogonais fornecem coordenadas covariantes, denotadas por ´ındices subs- critos: ui.

Na figura 1 s˜ao mostradas todas as coordenadas referidas acima para dois sistemas bidimensionais distintos: um cartesiano_{ˆe1, ˆe2} e um obl´ıquo {ˆe′1, ˆe′2}, nos quais as coorde-

nadas covariantes aparecem como (u1, u2) e (´u1, ´u2), respectivamente, e as contravariantes

como (u1_{, u}2_{) e (´u}1_{, ´u}2_).

Existe uma rela¸c˜ao expl´ıcita entre as coordenadas covariantes e contravariantes, a ser deduzida posteriormente, obtida pela no¸c˜ao de funcionais lineares e expressa atrav´es do tensor m´etrico.

Descri¸c˜ao Geom´etrica Evidentemente, os conceitos discutidos nesta se¸c˜ao podem ser estendidos do espa¸co f´ısico comum a espa¸cos vetoriais mais gerais, desde que possuam produto interno definido. Isso acontece porque as no¸c˜oes de perpendicularidade e parale- lismo fazem sentido em espa¸cos IP, como ´e o caso dos espa¸cos de Hilbert. Gra¸cas a isso, a formula¸c˜ao tradicional do c´alculo tensorial pode ser estendido para um espa¸co de fun¸c˜oes. Ao tratarmos de espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita, como ´e o caso do espa¸co de ordem _On, definido adiante, ´e poss´ıvel interpretar uma base como um sistema de co-

Figura 1: Sistema de eixos obl´ıquos

ordenadas num espa¸co n-dimensional, o que permite adotar uma descri¸c˜ao de natureza geom´etrica. Isso torna o tratamento mais intuitivo, al´em de fornecer elementos para um desenvolvimento formal afim ao da geometria diferencial.

Como o espa¸co de fun¸c˜oes _L2 _{´e um espa¸co de Hilbert, a equivalˆencia entre kets deO} n

e vetores, entendidos como entes espaciais n-dimensionais, possibilita, pelo que foi dito acima, uma interpreta¸c˜ao geom´etrica de car´ater simb´olico para os kets e, consequente- mente, um tratamento tensorial adequado em nota¸c˜ao de Dirac.

2.1.2

Formalismo no Espa¸co de Ordem

A primeira ideia a ser esclarecida diz respeito ao conceito de ket. Uma vez que este incorpora o significado de vetor, gozando das mesmas propriedades, ´e poss´ıvel us´a-lo n˜ao apenas em espa¸cos de Hilbert, mas tamb´em em espa¸cos de dimens˜ao finita. Com isso, ´e poss´ıvel implementar-se uma nota¸c˜ao comum a qualquer tipo de espa¸co, com o intuito de unificar os tratamentos em uma abordagem apropriada `a teoria das equa¸c˜oes diferenciais. Esta ´e a motiva¸c˜ao por tr´as da extens˜ao do formalismo.

Antes, por´em, de prosseguir neste caminho, ´e preciso especificar com rigor alguns conceitos fundamentais de suma importˆancia, ainda que n˜ao-triviais, cuja compreens˜ao e tratamento afastam-se um pouco do modus operandi tradicional.

O primeiro ponto diz respeito aos espa¸cos de atua¸c˜ao de cada opera¸c˜ao definida nesse formalismo estendido. N˜ao ´e ´obvio, por exemplo, que quaisquer opera¸c˜oes definidas em um espa¸co discreto e finito possam ser efetuadas tamb´em num espa¸co cont´ınuo infinito da mesma maneira e que sejam intercambi´aveis entre eles. Para esclarecer este ponto, vamos discutir os espa¸cos de atua¸c˜ao.

Outro ponto significativo se refere `a representa¸c˜ao mais adequada de cada espa¸co em termos operacionais e `a escolha da melhor abordagem do ponto de vista efetivo do c´alculo. Essa discuss˜ao ser´a efetuada na se¸c˜ao das representa¸c˜oes isom´orficas.

Iniciemos, portanto, pelos conceitos envolvidos nos espa¸cos de atua¸c˜ao.

2.1.2.1 Determina¸c˜ao dos Espa¸cos de Atua¸c˜ao

As opera¸c˜oes envolvendo express˜oes de fun¸c˜oes expandidas em s´erie ocorrem em dois espa¸cos distintos:

• O espa¸co de Hilbert H, de dimens˜ao infinita;

• O espa¸co de dimens˜ao finita n, gerado na expans˜ao em s´erie de n termos da fun¸c˜ao considerada.

Assim, trabalharemos constantemente em espa¸cos de natureza diversa, o Espa¸co de Hilbert H e o outro referido acima, denotado por On, que designaremos por Espa¸co de

Ordem n ou, simplesmente, por Espa¸co de Ordem, subentendendo-se, implicitamente, o n que representa o n´umero de termos da expans˜ao. Adiantamos que as matrizes operacionais geradas em _On pertencem a Mn(C).

Vale lembrar que_Onpode ser estendido a um espa¸co enumer´avel de dimens˜ao infinita,

o que ser´a feito na se¸c˜ao referente a expans˜oes de s´eries infinitas.

Al´em disso, pode-se especificar o espa¸co de ordem de acordo com a natureza de seus elementos: se estes pertencerem a um espa¸co vetorial V, denotaremos o espa¸co assim constitu´ıdo por On(V).

Desse modo, se seus elementos fizerem parte do espa¸co de Hilbert, denotaremos esse espa¸co por _On(H), ao passo que, se pertencerem ao corpo complexo, lembrando que todo

corpo ´e um espa¸co vetorial sobre si mesmo, a nota¸c˜ao ser´a _On(C). Todavia, para este

trabalho uma defini¸c˜ao um pouco mais espec´ıfica e rigorosa ´e desej´avel.

Defini¸c˜ao 1 : Dados um intervalo fechado I = [a, b] _{⊂ R e uma fun¸c˜ao li-} mitada f : I → C | f ∈ C0_{[a, b], define-se o espa¸co de ordem O}

n(H) como o

espa¸co de dimens˜ao n finita gerado pelas fun¸c˜oes componentes do desenvolvi- mento em s´erie, com n termos, da fun¸c˜ao f no intervalo I.

Esse espa¸co ´e, obviamente, um espa¸co vetorial de dimens˜ao n, visto que ´e gerado por um conjunto de fun¸c˜oes _L2_{, geralmente ortogonais, mas n˜ao necessariamente, que}

obedecem `as condi¸c˜oes de espa¸co vetorial.

Em princ´ıpio, conforme j´a foi dito, n˜ao h´a por que os dois espa¸cos,H e On, “dialoga-

rem”entre si, isto ´e, nada garante que as defini¸c˜oes estabelecidas em um sejam semelhantes `as do outro e nem se configura evidente o fato de que possam existir opera¸c˜oes h´ıbridas entre eles.

Por esse motivo, ´e sumamente importante discriminar com precis˜ao em qual dos espa¸cos determinadas opera¸c˜oes est˜ao sendo efetuadas e quais suas propriedades, de- fini¸c˜oes e condi¸c˜oes de existˆencia, para que a exposi¸c˜ao do m´etodo proposto n˜ao fique comprometida.

As principais opera¸c˜oes entre os elementos de um espa¸co vetorial V sobre um corpo K_{, como se sabe, s˜ao o produto de um escalar desse corpo por um vetor de V e o produto} interno entre dois elementos de V. Por´em, tamb´em existem outras possibilidades, como, por exemplo, o produto vetorial, no caso de um espa¸co R3_{, ou outras mais amplas, como}

as relacionadas `as defini¸c˜oes de produtos externos, tensoriais ou di´adicos, os quais, no entanto, ser˜ao abordados neste trabalho apenas de forma introdut´oria, na medida da necessidade.

As duas primeiras opera¸c˜oes citadas acima s˜ao aplica¸c˜oes com correspondˆencias tais que:

C_{× H −→ H H × H −→ C}

C_{× O}n(C)−→ On(C) On(C)× On(C)−→ C

C_{× On}(_{H) −→ O}n(H) On(H) × On(H) −→ C

Entretanto, tamb´em ´e poss´ıvel definirmos aplica¸c˜oes mistas, isto ´e, que relacionem os dois espa¸cos de naturezas diferentes, de modo que tenhamos:

H × On(C) −→ On(H) H × On(H) −→ On(C)

Denotaremos os kets, respectivamente, no espa¸co de Hilbert e no espa¸co de ordem, por:

| i∞ ∈ H, | i0n ∈ On (2.1)

e, analogamente, para os bras:

Dessa forma, uma fun¸c˜ao φi(x), componente de uma base numa expans˜ao em s´erie,

pode ser grafada_|φii∞ e um vetor u∈ On(C), com n coordenadas ui ∈ C, como |ui0n. Ob-

serve que tamb´em ´e poss´ıvel representarmos vetores ϕ∈ On(H) com componentes ϕi(x)

no espa¸co de Hilbert por |ϕi0n. Formalmente, ter´ıamos que denotar esses dois ´ultimos

vetores por _|ui0n(C) e _|ϕi0n(H), respectivamente, mas isso sobrecarregaria indevidamente a nota¸c˜ao.

Para efeitos pr´aticos, a nota¸c˜ao inferior referente ao espa¸co de atua¸c˜ao pode at´e mesmo ser suprimida, desde que os conceitos estejam claros e n˜ao surjam ambiguidades. No entanto, nos casos em que a necessidade de clareza assim o exija, utilizaremos a nota¸c˜ao completa.

Existe tamb´em a possibilidade de lidarmos com kets ou bras cujas componentes este- jam em C, o que induziria `a nota¸c˜ao _|AiiC para todo Ai ∈ C, a qual ser´a dispensada, por

tratar-se apenas de um escalar complexo, cuja operacionalidade n˜ao requer este tipo de tratamento.

´

E digno de nota ainda que, no caso de bases ortonormais, pode ser adotada a pr´atica usual de denotar-se um elemento de base de On(H) ou On(C) apenas pelo seu ´ındice, ou

seja, _{| φ}ii∞ ≡ | i i∞ e | bii0n ≡ | i i0n, uma vez que n˜ao h´a distin¸c˜ao entre as coordenadas

covariantes e contravariantes.

2.1.2.2 Espa¸cos de Kets

Um espa¸co de kets deve obedecer as propriedades de um espa¸co vetorial, quer dizer, os kets devem pertencer a um conjunto V munido de duas opera¸c˜oes fundamentais: a adi¸c˜ao (+) : V× V −→ V e a multiplica¸c˜ao por escalar (·) : C × V −→ V, de maneira que, para ∀λ, µ ∈ C, ∀ |αi , |βi , |γi ∈ V, tenhamos:

Para a adi¸c˜ao (+) :

• (A0) fechamento : |αi + |βi ∈ V,

• (A1) comutatividade : |αi + |βi = |βi + |αi ,

• (A2) associatividade : (|αi + |βi) + |γi = |αi + (|βi + |γi) ,

• (A3) elemento neutro aditivo : ∃ |0i ∈ V : |αi + |0i = |0i + |αi = |αi , • (A4) elemento oposto : ∃ |−αi ∈ V : |αi + |−αi = |−αi + |αi = |0i .

• (M0) fechamento : λ |αi ∈ V,

• (M1) distributividade `a esquerda : (λ + µ) |αi = λ |αi + µ |αi , • (M2) distributividade `a direita : λ (|αi + |βi) = λ |αi + λ |βi , • (M3) elemento neutro : 1 |αi = |αi , 1 = 1 + 0i ∈ C,

• (M4) associatividade : λ (µ |αi) = (λµ) |αi .

Um espa¸co de kets obedecendo a essas condi¸c˜oes tem a estrutura de um espa¸co vetorial complexo. Mas o espa¸co de ordem _On(C) ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao n, podendo,

portanto, ser identificado com o conjunto de kets definido acima. O mesmo vale para On(H), o que significa que podemos expandir a no¸c˜ao de espa¸co vetorial a On(V).

Naturalmente, uma vez que desejamos que as propriedades de espa¸cos vetoriais sejam preservadas na mudan¸ca de nota¸c˜ao de um espa¸co vetorial ordin´ario para o espa¸co de kets, devemos assumir que o mapeamento Φ : V_{−→ O}n(V) | Φ(α) = |αi seja um isomorfismo,

isto ´e, seja bijetivo e satisfa¸ca as condi¸c˜oes: Φ(α + β) = Φ(α) + Φ(β), Φ(λα) = λΦ(α), ou seja, deve-se verificar que|u + vi = |ui + |vi e |λ ui = λ|ui.

Bases de Kets Seja _On(C) um espa¸co de ordem n sobre C. Ent˜ao, o conjunto de

kets E =_{|e1i , . . . , |eni}, grafado sinteticamente como {|eii}n_i=1, constitui uma base de

On(C). Eventualmente, faremos men¸c˜ao a essa base denominando-a base original, em

oposi¸c˜ao `a base do espa¸co dual, que ser´a definida adiante. Deve-se notar que isso se aplica tamb´em para o caso de um um espa¸co de ordem atuando sobre um outro mais gen´erico, i.e., _On(V), o que nos permite estender o conceito a V≡ H.

Decorre das propriedades de fechamento dos espa¸cos vetoriais, (A0) e (M 0), apresen- tadas no in´ıcio dessa se¸c˜ao, que uma soma do tipoPn_i αi_|e

ii , αi ∈ C, pertence ao espa¸co

On(V) , podendo, por conseguinte, ser escrito como um ket. Logo, qualquer elemento

|αi ∈ On(V) pode ser expresso em termos da base E e de coeficientes αi ∈ C apropriados,

como |αi = n X i=1 αi_|eii

Do ponto de vista pr´atico, isso significa que a representa¸c˜ao “natural”de um ket, que chamaremos preferencialmente de representa¸c˜ao original, ´e aquela em que o ket ´e escrito em termos de suas coordenadas contravariantes αi_.