Aplica¸c˜ ao do M´ etodo - de Modelagem Operacional

de Modelagem Operacional

4.2.4 Aplica¸c˜ ao do M´ etodo

4.2.4.1 Exemplos Num´ericos

Nesta se¸cão aplicamos o método das matrizes operacionais complexas de Fourier a uma equa¸cão de terceira ordem não-homogênea do tipo

d3_y dx3 + ν (x) d2_y dx2 + µ (x) dy dx + λ (x) y = φ (x)

onde µ (x) , ν (x) e λ (x) são fun¸cões polinomiais escolhidas e φ (x) é uma senoide de amplitude gaussiana:

φ (x) = cos (7x) e−x2

A fim de exemplificar o uso do método, dois casos serão mostrados. O primeiro, apenas como uma ilustra¸cão didática do processo, tomando ℓ = 2, e semiper´ıodo π/7, o

que corresponde a uma fun¸cão aproximada com apenas 5 termos. Em seguida, um outro exemplo é desenvolvido para a mesma equa¸cão, para semiper´ıodo π, com ℓ = 12, isto é, uma aproxima¸cão com 25 termos. O objetivo deste segundo exemplo é mostrar a precisão do método.

Exemplo didático Como primeiro exemplo, o método descrito, com extensão ℓ = 2 e rodando em um PC Dual-core com 2GB RAM e usando Mathematica 6 é aplicado à equa¸cão acima com as seguintes fun¸cões coeficientes:

ν (x) = x + 9, µ (x) =_{−x − 1,} λ (x) = x2

Conforme foi abordado na se¸c˜ao anterior, podemos reescrever a equa¸c˜ao sinteticamente como D3

eq(x) f2(x) = φ (x), onde Deq3 ≡ D3 + (x + 9)D2 − (x + 1)D + x2 e D ≡ dxd. A

equa¸cão resultante será resolvida pelo método proposto, gerando como solu¸cão uma fun¸cão aproximada f2(x). A precisão da solu¸cão obtida será avaliada através da compara¸cão

entre os dois membros da equa¸c˜ao anterior, isto ´e, entre D3

eq(x) f2(x) e φ (x) .

O resto local, definido por

R2(x) :=ℜ D3 eq(x) f2(x)− φ (x) , fornece então uma estimativa da precisão da solu¸cão obtida.

Al´em disso, definindo-se o resto quadr´atico como R2ℓ(x) := |Rℓ(x)|2,

obtemos um critério apropriado para estimar a precisão. Apresentamos, em seguida, ambos os gráficos, do resto e do resto quadrático.

Tomamos, para esse primeiro exemplo, um semiper´ıodo L = π/7 com condi¸c˜oes de contorno yc(−π/7) = yc(π/7) = 0, apenas para ilustrar o funcionamento do m´etodo,

conforme esclarecido anteriormente. Assim, o cálculo é efetuado com uma fun¸cão aproximada de apenas 5 termos e uma condi¸cão livre, já que a equa¸cão é de 3a _{ordem nas}

derivadas. Os valores intermedi´arios, determinados por espa¸camento constante, ser˜ao x1 =−₁₄π, x2 = 0, x3 = +₁₄π.

Nestas circunstˆancias, o covetor das condi¸c˜oes hYC|_0n :=

yc(x0) φ (x1) φ (x2) φ (x3) yc(x4)

assume a forma hYC| = h 0 0 1 0 0 i , enquanto a matriz _{M ser´a}

Os coeficientes do covetorh C | na fun¸c˜ao-s´erie aproximada f2(x) = h C | B i assumem

os valores: C1 =− (1.6109 + 2.51978i) × 10−6; C4 = (−6.88813 + 5.46831i) × 10−4; C2 =− (6.88668 + 5.46711i) × 10−4; C5 = 0 C3 = (−1.37587 × 10−3+ 2.63941× 10−6i) ; fornecendo a solu¸c˜ao: f2(x) = −1.37587 × 10−3+ 2.63941× 10−6i + − (6.88668 + 5.46711i) × 10−4_{exp (}_{−7ix) +}

− (6.88813 − 5.46831i) × 10−4exp (7ix)₋ − (1.6109 + 2.51978i) × 10−6_{exp (}_{−14ix) ,}

cujo gráfico é apresentado na figura (18). Logo em seguida, na figura (19) mostra- se o gráfico da superposi¸cão entre a fun¸cão φ(x) e o lado esquerdo da EDO: ed(x) = D3

eq(x)f2(x). O erro quadr´atico total Eℓ2 no per´ıodo, definido por

E2 2 = Z L −L φ (x) − D3 eq(x)f2(x) 2 dx, assume o valor num´erico E2

2 ∼= 3.32346× 10−3.

Pode-se constatar que, mesmo neste exemplo tão simples, de caráter essencialmente didático, o resultado obtido pelo método descrito é bastante satisfatório, como demonstra o gráfico da figura (20), que representa a fun¸cão resto quadrático para a solu¸cão f2(x)

Figura 18: Gráfico da fun¸cão solu¸cão f2(x)

Figura 19: Gr´afico da superposi¸c˜ao entre _D3

Figura 20: Gr´afico do resto quadr´atico de _D3 eqf2(x)

Exemplo mais significativo Agora, num segundo exemplo, cálculos mais apurados, com maior número de termos, são efetuados com a finalidade espec´ıfica de estimar o poder de precisão do método. Neste caso, tomamos L = π e range ℓ = 12 na mesma equa¸cão anterior, obtendo uma série com 25 termos. Consideramos as mesmas condi¸cões de contorno anteriores, i.e., y (_{−π) = y (π) = 0.}

E importante salientar que, curiosamente, para certos tipos de equa¸cões diferenciais, a melhor solu¸cão depende do número de termos da fun¸cão-candidata de uma maneira não linear. Em outras palavras, para este tipo de equa¸cões, existe um valor máximo do número de termos para o qual a solu¸cão fica otimizada, quer dizer, qualquer número além desse valor espec´ıfico irá inevitavelmente piorar a precisão da solu¸cão obtida.

A determina¸cão do range de otimiza¸cão parece não ser tarefa muito fácil no momento. Entretanto, algumas rela¸cões mais claras parecem emergir entre esse valor e o tipo de equa¸cão a ser solucionada.

Por exemplo, se o termo independente for altamente não-linear ou apresentar uma forma inapropriada na base de Fourier, isto é, não se ajustar bem à descri¸cão matemática nessa base, aparece então a necessidade de determinar esse fator de otimiza¸cão. Caso contrário, ou seja, se a fun¸cão se adapta bem à descri¸cão na base de Fourier ou é linear, certamente a precisão da solu¸cão crescerá diretamente com o número de termos da fun¸cão candidata, conforme seria esperado. Além disso, há o fator de escolha das condi¸cões iniciais ou de contorno. É evidente que condi¸cões de contorno inapropriadas podem modificar o formato da solu¸cão obtida, chegando mesmo a impossibilitar algumas solu¸cões. Toda- via, essa questão exige estudos futuros mais cuidadosos a fim de obtermos uma descri¸cão

formal e pormenorizada para sua determina¸c˜ao.

Solucionando este segundo caso, a fun¸c˜ao aproximada f12(x) ´e dada a seguir, acom-

panhada de seu gr´afico, apresentado na figura (21).

Figura 21: Gráfico da fun¸cão solu¸cão f12(x)

Uma análise gráfica comparativa da superposi¸cão entre _D3

eq(x) f12(x) e φ (x) revela

um ajuste praticamente perfeito entre elas, n˜ao sendo poss´ıvel discernir as diferen¸cas visualmente no gr´afico mostrado na figura (22).

De fato, a observa¸cão da fun¸cão resto quadrático local R2

12(x), mostrado na figura

(23), fornece uma ideia apropriada da excelente precisão atingida nesse ajuste. Podemos observar que o resto quadrático local gira em torno de 10−8_{, que é um valor consideravel-}

Figura 22: Gr´afico da superposi¸c˜ao entre_D3

eqf12(x) e φ(x)

Figura 23: Gr´afico do resto quadr´atico de _D3

representa um resultado bastante satisfat´orio.

Também é interessante notar que, neste caso espec´ıfico, o resto não cresce simetri- camente nos extremos do intervalo, como normalmente acontece na expansão de fun¸cões periódicas. Uma poss´ıvel razão para essa assimetria pode estar relacionada à propaga¸cão de erros no processo de deriva¸cão, mas isso constitui apenas uma hipótese, exigindo in- vestiga¸cão posterior.

E preciso esclarecer que a precisão depende não apenas do número de termos, mas também da extensão do per´ıodo da fun¸cão. Em geral, quanto maior o per´ıodo para dadas condi¸cões iniciais ou de contorno, tanto maior será o número de termos necessários no desenvolvimento para se conseguir uma desejada precisão.

Outra observa¸cão importante diz respeito às condi¸cões de contorno ou iniciais. Em- bora o método funcione muito bem para certas condi¸cões de contorno ou iniciais, pode falhar completamente para outros valores para os quais a equa¸cão parece não apresentar solu¸cão. Esse aspecto será bem explorado na próxima se¸cão. Além disso, a mudan¸ca de per´ıodo acarreta modifica¸cões radicais na validade da solu¸cão. Uma solu¸cão válida para um per´ıodo pode não valer para outros, se não houver uma redefini¸cão das condi¸cões de contorno e uma escolha apropriada do conjunto de pontos.

Em resumo, a existência de solu¸cões para uma dada equa¸cão através do método aqui apresentado, além do número de termos no desenvolvimento, depende tanto das condi¸cões de contorno (ou iniciais) quanto da defini¸cão do per´ıodo, além da adequada escolha dos pontos nodais.

Nesse sentido, averiguamos a possibilidade de aprimorar a eficácia do método pela inser¸cão de outros fatores, como a redefini¸cão dos intervalos dos pontos de elei¸cão para os nodos de Chebyshev e a introdu¸cão prática das séries de Fourier associadas, além do método NBV/NIV, que será exemplificado adiante.

Quanto à solu¸cão com condi¸cões iniciais, o procedimento é basicamente o mesmo que nas condi¸cões de contorno e, portanto, não vemos necessidade de exemplificá-lo separa- damente.

4.3 Implementa¸c˜ao das S´eries Associadas

Agora, conforme a exposi¸cão feita no cap´ıtulo anterior, utilizaremos o método em sua forma alternativa, com as séries associadas, comparando os resultados entre as duas

formula¸cões. Acrescentamos a isso, a compara¸cão entre as solu¸cões obtidas das duas formas com os conjuntos de pontos a espa¸camento constante e pelos nodos de Chebyshev. Inicialmente, constru´ımos os gráficos obtidos pelas expansões em série de Fourier original e associada para cada uma das fun¸cões abaixo:

1. Sign function: f (x) =        +1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0 , x_{∈ [−L, L] , L =} 9π 7 , ℓ = 13; 2. Fun¸cão identidade: f (x) = x, x∈ [−L, L] , L = 9π 7 , ℓ = 13; 3. Fun¸cão quadrática: f (x) = x2_{, x}_{∈ [−L, L] , L =} 9π 7 , ℓ = 3; 4. Fun¸cão cúbica: f (x) = x3_{, x}_{∈ [−L, L] , L =} 9π 7 , ℓ = 16; 5. Fun¸cão quártica: f (x) = x4_{, x}_{∈ [−L, L] , L =} 9π 7 , ℓ = 7;

6. Fun¸c˜ao exponencial: f (x) = exp x, x∈ [−L, L] , L = 8π

7 , ℓ = 12;

7. Mexican Hat Wavelet:

f (x) = 1_{− 2x}2exp _−x2, x_{∈ [−L, L] , L =} 10π

7 , ℓ = 5 8. Morlet Wavelet:

f (x) = cosπxp2/ ln 2exp −x2_{, x}_{∈ [−L, L] , L =} 13π

7 , ℓ = 12 A seguir, são mostrados os gráficos de todas as fun¸cões listadas acima, sendo que o gráfico em preto reproduz a fun¸cão original sem expansão, enquanto a linha vermelha representa a série de Fourier e a azul, a série associada. Algumas das figuras apresentam, além do gráfico no per´ıodo total, também um gráfico menor na restri¸cão de per´ıodo da série associada, no qual se pode observar melhor o comportamento de ambas as fun¸cões e o detalhe dos pontos de jun¸cão.

A fun¸cão de expansão h´ıbrida consiste, como já dissemos, na jun¸cão entre a série associada na restri¸cão de per´ıodo [xe, xd] e a de Fourier original fora dele,i.e., [−L, xe)∪

(xd, L]. Na verdade, os pontos de jun¸c˜ao xe e xd pertencem ao interior do intervalo de

restri¸cão e são calculados pelas interseçcões das fun¸cões aproximadas pelas duas séries mais próximas às bordas da restri¸cão.

Como não foi efetuado aqui o alisamento das jun¸cões, podemos notar, em alguns gráficos, os “bicos”correspondentes aos pontos não-deriváveis da fun¸cão h´ıbrida.

Também é exposta uma tabela dos erros integrais das duas séries, original e associada, na restri¸cão de per´ıodo. Esse erro é definido, para a fun¸cão em série fs(x), como

ǫ2_c(fs) :=

Z xd

|f(x) − fs(x)|2dx,

mesma defini¸c˜ao que a do erro quadr´atico no per´ıodo ǫ2

T, na qual, entretanto, os extremos

de integra¸c˜ao v˜ao de −L a L.

Figura 24: S´eries de Fourier original e associada da fun¸c˜ao sinal

Tabela 8: Erros quadráticos das expansões SF/SA de algumas fun¸cões nas restri¸cões correspondentes Fun¸cão ǫ2 c(SF ) ǫ2c(SA) Sinal 0.11577 0.00711986 Identidade 0.0194534 0.0117219 Quadrática 0.230418 0.0649601 Cúbica 4.75659 0.787174 Quártica 11.8574 0.846174 Exponencial 0.584564 0.159626 Mexican Hat 5.01441_{× 10}−3 _9.31469_{× 10}−6 Morlet 3.04926_{× 10}−2 _4.96976_{× 10}−3

Figura 25: S´eries de Fourier original e associada da fun¸c˜ao identidade

Comentários Os erros quadráticos totais das fun¸cões FR(x) e fs(x), que são uma

forma de mensura¸cão do afastamento em rela¸cão à fun¸cão original, onde fs(x) é a expansão

de Fourier e FR(x) ´e a fun¸c˜ao h´ıbrida, foram calculados em todos os casos e os resultados

obtidos, indicados nos gr´aficos por ǫ2

T, foram unanimemente mais precisos para a fun¸c˜ao

FR(x).

Nos dois primeiros casos, por exemplo, a fun¸c˜ao sinal apresentou ǫ2

T(FR) ∼= 0.18889 e

ǫ2

T(fs) ∼= 0.23347 e a fun¸c˜ao identidade: ǫ2T(FR) ∼= 1.9697 e ǫ2T(fs) ∼= 1.9775, mostrando

ligeira vantagem de precisão para a fun¸cão h´ıbrida. Nos casos seguintes, essa maior precisão da fun¸cão FR(x) é bastante significativa e pode ser vista diretamente pelo gráfico,

sendo o gr´afico de fs(x) representado pela curva vermelha e o de FR(x), pela curva azul.

Para alguns casos, como os das fun¸cões cúbica e quártica, a diferen¸ca entre os dois erros é extremamente acentuada, com uma vantagem de precisão notável para a série associada. Na Mexican Hat wavelet também ocorre um aumento de precisão significativo com o uso da série associada em vez da original, por volta de mil vezes, já que a precisão passa da ordem de 10−3 _{para 10}−6_.

Em resumo, o importante a ressaltar-se aqui é que, em todas as fun¸cões estudadas, a aproxima¸cão proposta por meio das séries associadas foi bem melhor que a obtida pela série de Fourier original, ilustrando na prática a demonstra¸cão formal feita no cap´ıtulo anterior.

Figura 30: S´eries de Fourier original e associada da wavelet Mexican Hat

tri¸cão de per´ıodo do que a devida à série de Fourier original. Isso significa que a série associada tende mais rapidamente à fun¸cão original do que a série de Fourier. Esse fato é ilustrado pela figura (32), na qual aparecem os gráficos da wavelet de Morlet original e as duas expansões, em desenvolvimentos com vários ranges diferentes, com varia¸cão unitária, desde ℓ = 4 até ℓ = 11 para um semiper´ıodo L = 10π₇ .

Como podemos ver, já com ℓ = 6 a série associada se aproxima da fun¸cão original de modo quase perfeito, enquanto a série de Fourier só mostra um resultado comparável ao obtido no desenvolvimento associado com ℓ = 5 ao atingir o range ℓ = 11, o que revela uma convergência muito mais rápida da série associada. Logo, fica bem ilustrada a vantagem oferecida pelo uso da série associada para per´ıodos inferiores a 2π.

No documento Matrizes operacionais e formalismo coadjunto em equações diferenciais fracionais (páginas 169-185)