4 APLICAC ¸ ˜ OES DO M ´ ETODO
4.1 Aproxima¸c˜ ao de Derivadas e Integrais pelo
M´etodo Operacional de Fourier Complexo
Procedimento: Usaremos o mesmo algoritmo descrito em [cite gui1, gui2] para estimar o valor do erro da derivada obtida pela matriz operacional de deriva¸c˜ao em compara¸c˜ao ao valor da derivada de uma fun¸c˜ao gen´erica φ (x) calculada diretamente.
Estimativa an´aloga ´e feita para os valores da integral calculada diretamente e a obtida pela matriz operacional de integra¸c˜ao. Al´em disso, comparamos esses erros ao erro da expans˜ao de Fourier complexa de mesma extens˜ao (range). Adotamos o semiper´ıodo L = π e expandimos v´arias fun¸c˜oes com dois valores de extens˜ao diferentes, primeiro para ℓ = 12, o que gera matrizes quadradas de ordem 25 e, em seguida, para ℓ = 15, produzindo matrizes de ordem 31. Apenas para lembrar, a extens˜ao corresponde aos limites superior e inferior da soma na s´erie para φℓ(x) =Pℓk=−ℓckbk(x) , o que perfaz um
total de N = 2ℓ+1 termos e gera matrizes operacionais de ordem N, conforme definido em se¸c˜ao pr´evia. Todos os c´alculos, para ambas as extens˜oes, s˜ao feitos com extrema rapidez no M athematica c, n˜ao apresentando nenhuma esp´ecie de problema de processamento.
As fun¸c˜oes escolhidas para an´alise foram a quadr´atica, exponencial, gaussiana, senoi- dal com argumento quadr´atico e senoidal com amplitude gaussiana (tipo Morlet wavelet). Foram determinadas suas derivadas e primitivas e as correspondentes operacionais. Uma vez calculadas as derivadas e integrais de ambas as maneiras, isto ´e, diretamente e pelo m´etodo das matrizes operacionais, constru´ımos os gr´aficos de suas partes reais e os com- paramos. Em seguida, comentamos os resultados.
Dadas as express˜oes para os restos locais das partes reais referentes `a expans˜ao da fun¸c˜ao: R(φs) = ℜ{φ(x) − φs(x)}, `a derivada operacional: R(Dφ) = ℜ{φ′(x)− Dφ(x)} e `a integral operacional: R(Jφ) = ℜ{Φ(x) − Jφ(x)},
onde φs(x) ´e a expans˜ao em s´erie de Fourier, D representa a matriz operacional de de-
riva¸c˜ao, φ′(x) ´e a derivada usual de φ (x), J ≡ M
I ´e a matriz operacional de integra¸c˜ao
e Φ (x) = R φ (x) dx ´e a integral da fun¸c˜ao calculada diretamente, passamos a definir os restos quadr´aticos locais pelos quadrados dos restos locais, i.e., R2(φ
s) := (R(φs))2 e
por Erel(φs) := R(φs)/I(φ), Erel(Dφ) := R(Dφ)/I(Dφ), Erel(Jφ) := R(Jφ)/I(Jφ), onde I(φ) = Z L −L|φ(x)| dx, I(Dφ) = Z L −L|Dφ(x)| dx, I(Jφ) = Z L −L|Jφ(x)| dx
A partir disso, constru´ımos os gr´aficos correspondentes `as fun¸c˜oes-resto assim calcu- ladas, mostradas nas figuras 7 a 16, para as fun¸c˜oes seguintes:
Tabela 1: Fun¸c˜oes analisadas na compara¸c˜ao MOD/MOI × D/J φi fun¸c˜ao φ1 x2 φ2 exp x φ3 exp(−x2/2) φ4 cos(x2) φ5 exp(−x2) cos (7x) A seguir, os gr´aficos.
Gr´aficos dos restos locais de primeira ordem e quadr´atico das fun¸c˜oes: Figura 7: Deriva¸c˜ao operacional de φ1(x) = x2 com ℓ = 12
Figura 8: Integra¸c˜ao operacional de φ1(x) = x2 com ℓ = 12
Figura 9: Deriva¸c˜ao operacional de φ2(x) = ex com ℓ = 12
Figura 11: Deriva¸c˜ao operacional de φ3(x) = exp(−x
2
2) com ℓ = 12
Figura 12: Integra¸c˜ao operacional de φ3(x) = exp(−x
2
2 ) com ℓ = 12
Figura 14: Integra¸c˜ao operacional de φ4(x) = cos(x2) com ℓ = 12
Figura 15: Deriva¸c˜ao operacional de φ5(x) = e−x
2
cos (7x) com ℓ = 12
Figura 16: Integra¸c˜ao operacional de φ5(x) = e−x
2
cos (7x) com ℓ = 12
Coment´arios sobre os gr´aficos: Observando os gr´aficos anteriores, constata-se que a matriz operacional de deriva¸c˜ao apresenta, em geral, resultados melhores que a de integra¸c˜ao, com exce¸c˜ao dos dois ´ultimos casos, em que ocorre o inverso, com grande vantagem para esta ´ultima.
obtido para fun¸c˜oes de natureza gaussiana, tanto na deriva¸c˜ao quanto na integra¸c˜ao opera- cional. Na fun¸c˜ao tipo Morlet wavelet, por exemplo, o resto local na deriva¸c˜ao operacional para a expans˜ao com range 12, gira em torno de 10−4, enquanto na integra¸c˜ao atinge a
ordem de 10−6. Tamb´em a fun¸c˜ao cos(x2) apresenta bons resultados para ambos os casos,
com vantagem para a integra¸c˜ao, da ordem de 102.
A explica¸c˜ao para esse ´otimos resultados est´a na classe dessas fun¸c˜oes. Em primeiro lugar, as expans˜oes de Fourier tendem, de maneira natural, a ser melhores para fun¸c˜oes pares ou sim´etricas, que n˜ao apresentam descontinuidades nos extremos, atenuando o fenˆomeno de Gibbs. Em segundo, fun¸c˜oes originalmente peri´odicas, como o cosseno, tamb´em adaptam-se melhor `a expans˜ao de Fourier, cuja base ´e constitu´ıda de senos e cossenos, ou de sua combina¸c˜ao, no caso complexo.
Para essas fun¸c˜oes os gr´aficos das duas formas de integra¸c˜ao, assim como os das derivadas, ajustam-se perfeitamente, ou seja, n˜ao ´e poss´ıvel sequer perceber a presen¸ca de duas fun¸c˜oes. O mesmo ocorre com os outros gr´aficos, excetuando-se os da fun¸c˜ao exponencial, cujos desvios atingem dimens˜oes catastr´oficas, apontando para um problema de dimens˜ao significativa nesse desenvolvimento.
´
E poss´ıvel verificar o desvio catastr´ofico da integral operacional para o caso da fun¸c˜ao exponencial observando o gr´afico seguinte:
Figura 17: Gr´afico da expans˜ao e das integrais direta e operacional de exp x
Nestes gr´aficos, correspondentes `a expans˜ao com range 12 e semiper´ıodo π, nota-se claramente o deslocamento translacional do gr´afico da fun¸c˜ao para baixo (na altura do eixo x em x = 0) provocado pelo processo de integra¸c˜ao operacional. Isto ´e consequˆencia direta do c´alculo efetuado pela abordagem cl´assica, acrescido do fato de a exponencial n˜ao ser muito adequada `a expans˜ao na base de Fourier, o que gera uma amplitude de oscila¸c˜ao excessiva.
Posteriormente veremos que esse efeito translacional ´e parcialmente corrigido na pri- meira abordagem do c´alculo fracional, devido `a presen¸ca de termos n˜ao-nulos na coluna central da matriz operacional de integra¸c˜ao calculada por Riemann-Liouville, os quais n˜ao aparecem no resultado cl´assico. No m´etodo de Weyl, contudo, o efeito desaparece por completo, pois os operadores s˜ao apropriadamente constru´ıdos para atuarem sobre bases de fun¸c˜oes peri´odicas, como a de Fourier.
Vale notar ainda que n˜ao s˜ao todas as fun¸c˜oes ´ımpares ou assim´etricas que apresentam esse desvio. A fun¸c˜ao identidade, por exemplo, ´e um dos casos em que isso n˜ao ocorre. Sem entrarmos em maiores detalhes, a n˜ao-ocorrˆencia desse fenˆomeno nessa fun¸c˜ao est´a ligada ao fato de ela cruzar a origem, embora seja ´ımpar.
Os gr´aficos das expans˜oes n˜ao foram apresentados, mas ser´a poss´ıvel verificar, pelas tabelas dos erros anexadas adiante, que as aproxima¸c˜oes s˜ao, via de regra, muito boas.
Passamos agora a estabelecer o c´alculo dos erros totais para a constru¸c˜ao das tabelas. Definem-se, para a fun¸c˜ao φ :
• erro total: E(φ) = R−LL R (φs(x)) dx;
• erro total relativo: Erel(φ) = E(φ)I(φ);
• erro quadr´atico total: E2(φ) =RL −LR
2(φ
s(x)) dx
Os erros para as fun¸c˜oes D(φ) e J(φ), s˜ao definidos de maneira an´aloga, com φ sendo substitu´ıdo por Dφ ou Jφ nas equa¸c˜oes escritas acima.
A seguir, as tebelas de erros para dois desenvolvimentos, com range 12 e 15. Tabela 2: Erros nas expans˜oes de algumas fun¸c˜oes para ℓ = 12
Fun¸c˜ao φ E(φ) Erel(φ) E2(φ)
x2 0.132204 0.00639569 0.00855134 exp x 3.91463 0.169483 13.5493 exp (−1 2x2) 4.58997× 10−4 1.83421× 10−4 1.04914× 10−7 cos (x2) 0.0630572 0.014392 0.00187314 cos (7x) exp (−x2) 1.33369× 10−4 1.18196× 10−9 3.5043× 10−9
Coment´arios sobre os erros: Como pode ser visto nas tabelas expostas acima, os erros nas fun¸c˜oes polinomiais s˜ao muito grandes (apresentamos apenas a fun¸c˜ao quadr´atica a t´ıtulo de exemplo). Al´em disso, como foi mencionado no caso da fun¸c˜ao exp x, para fun¸c˜oes ´ımpares ou assim´etricas de maneira geral o erro pode se tornar catastr´ofico. A
Tabela 3: Erros nas derivadas operacionais de algumas fun¸c˜oes para ℓ = 12
Fun¸c˜ao φ E(Dφ) Erel(Dφ) E2(Dφ)
x2 2.13452 0.108136 4.0191 exp x 52.914 2.2909 2136.25 exp (−1 2x 2) 7.4522× 10−3 3.75309× 10−3 5.04827× 10−5 cos (x2) 1.00455 0.0823767 0.822535 cos (7x) exp (−x2) 1.74608× 10−3 2.16761× 10−4 6.01282× 10−7
Tabela 4: Erros nas integrais operacionais de algumas fun¸c˜oes para ℓ = 12
Fun¸c˜ao φ E(Jφ) Erel(Jφ) E2(Jφ)
x2 3.50199 0.215708 10.8468
exp x 23.76000 1.02868 98.4574
exp (−12x2) 0.425092 0.0723443 0.15939
cos (x2) 0.187812 0.0471337 0.0318655
cos (7x) exp (−x2) 1.22327× 10−5 7.42844× 10−5 3.21201× 10−11
Tabela 5: Erros nas expans˜oes de algumas fun¸c˜oes para ℓ = 15
Fun¸c˜ao φ E(φ) Erel(φ) E2
x2 0.0902838 0.00436769 0.00448758
exp x 3.17082 0.13728 10.8287
exp (−12x2) 3.1823× 10−4 1.27169× 10−4 5.61061× 10−8
cos (x2) 0.04218 9.62704× 10−3 9.39641× 10−4
cos (7x) exp (−x2) 6.0318× 10−6 5.3456× 10−6 1.82088× 10−11
Tabela 6: Erros nas derivadas operacionais de algumas fun¸c˜oes para ℓ = 15
Fun¸c˜ao φ E(Dφ) Erel(Dφ) E2(Dφ)
x2 1.79231 0.0907993 3.24181
exp x 46.4096 2.00929 1734.16
exp (−12x2) 6.31975× 10−3 3.18276× 10−3 4.11323× 10−5
cos (x2) 0.825713 0.0677112 0.644114
cos (7x) exp (−x2) 1.14547× 10−4 1.42201× 10−5 1.10856× 10−8
Tabela 7: Erros nas integrais operacionais de algumas fun¸c˜oes para ℓ = 15
Fun¸c˜ao φ E(Jφ) Erel(Jφ) E2(Jφ)
x2 2.89798 0.178503 8.7464 exp x 23.6376 1.02339 95.8451 exp (−1 2x 2) 0.356908 0.0607405 0.128561 cos (x2) 0.158994 0.0399015 0.0259105 cos (7x) exp (−x2) 1.94752× 10−6 1.18265× 10−5 4.58874× 10−12
explica¸c˜ao para esse fenˆomeno tem rela¸c˜ao com um fato t´ıpico da formula¸c˜ao da matriz operacional cl´assica, que deixa de considerar elementos importantes no c´alculo. Esse desvio, por´em, ser´a completamente corrigido na abordagem fracional, com a introdu¸c˜ao dos operadores fracionais de Weyl.
O fato, em resumo, ´e que o c´alculo cl´assico das matrizes operacionais n˜ao especifica terminais, o que nos fornece primitivas e derivadas usuais. J´a no processo fracional, a especifica¸c˜ao dos terminais acrescenta termos que n˜ao existem na vers˜ao cl´assica e, como consequˆencia, as matrizes obtidas tˆem outra forma. Do ponto de vista pr´atico, ocorre no c´alculo cl´assico, al´em do mais, uma transla¸c˜ao das integrais no eixo y para determinadas fun¸c˜oes, o que inviabiliza a an´alise do erro e gera esse afastamento catastr´ofico, embora isso s´o ocorra na matriz operacional de integra¸c˜ao, devido `a ausˆencia das constantes adicionais que surgem somente na abordagem fracional. Por outro lado, a presen¸ca de tais constantes na integral fracional de Riemann e Riemann-Liouville, tamb´em tende a gerar transla¸c˜oes desse tipo no caso das exponenciais. Logo, a natureza do processo de integra¸c˜ao a ser empregado deve estar vinculado `a classe da fun¸c˜ao sobre a qual se deseja operar.
Uma outra constata¸c˜ao interessante ´e o aumento significativo de precis˜ao obtido com um ligeiro acr´escimo de range (de 12 para 15), o que constitui uma grande vantagem, visto que os c´alculos alg´ebricos s˜ao muito r´apidos e n˜ao ficam comprometidos por esse acr´escimo de termos no desenvolvimento. Assim, o progn´ostico de precis˜ao ´e excepcionalmente bom para ranges consideravelmente maiores.
Uma caracter´ıstica not´avel surge na observa¸c˜ao dos erros na fun¸c˜ao tipo Morlet, para a qual, em ambos os ranges, os erros totais de primeira e ordem e quadr´aticos da matriz operacional de integra¸c˜ao foram menores que os da pr´opria expans˜ao de Fourier. Em ou- tras palavras, o processo de integra¸c˜ao pelo m´etodo de matriz operacional fornece maior precis˜ao que a pr´opria expans˜ao em s´erie da fun¸c˜ao original. Embora isso pare¸ca sur- preendente `a primeira vista, encontra explica¸c˜ao na an´alise dos erros relativos, nos quais a matriz de integra¸c˜ao apresenta precis˜ao menor que a da expans˜ao. Ainda assim, esse excelente resultado na MOI n˜ao deixa de causar certo estranhamento, considerando o que dissemos antes sobre a limita¸c˜ao da abordagem cl´assica. Esse fator ´e algo extremamente promissor para o papel exercido pela MOI fracional que dever´a ser desenvolvida mais tarde.
Um ponto peculiar que surge como conclus˜ao ´e que, ao contr´ario da pr´atica usual em matrizes operacionais, na qual se costuma utilizar a matriz de integra¸c˜ao no processo de
resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais, na vers˜ao complexa de Fourier parece prefer´ıvel usar a matriz de deriva¸c˜ao, o que ´e exemplar, devido `a sua extrema simplicidade. Ainda assim, deve-se observar que, embora se possa usar ami´ude o m´etodo de deriva¸c˜ao em vista de sua concis˜ao, o processo de integra¸c˜ao pode ser eventualmente utilizado nos casos em que o outro m´etodo n˜ao seja satisfat´orio, como parece ocorrer no caso da fun¸c˜ao tipo Morlet.