Adaptatividade

Segundo [110], adaptatividade é o processo pelo qual busca-se a melhoria da qualidade de uma aproximação por meio do enriquecimento de seu espaço. O enriquecimento empregado nesse trabalho será obtido por meio dos seguintes procedimentos:

• Refinamento h: provove a redução do tamanho característico dos elementos localizados na ponta da fratura, obtido nesse trabalho por refinamento direcional.

• Refinamento p: provove o aumento da ordem polinomial do espaço de aproximação dos elementos localizados na fratura.

3.1.7.1 Refinamento h direcional

Para muitas aplicações, as características das soluções a serem aproximadas são de natureza anisotrópica, ou seja, elas mudam rapidamente em uma direção espacial e lentamente em ou- tras. Casos típicos ocorrem em problemas de fluxo de camada limite, mostrando forte variação da solução em regiões muito estreitas do domínio. Nesses casos, uma malha ajustada à camada limite é mais favorável para a qualidade da aproximação [3, 73]. Outro exemplo é a aproxi- mação de campo singular de tensões nas imediações de um contorno de geometria aguda, cuja solução tende ao infinito em um comportamento radial. Para esses tipos de problemas, o refi- namento adaptativo é uma boa alternativa, colocando elementos de maior resolução na direção perpendicular às regiões afetadas [81], motivando o uso de refinamento direcional.

Os refinamentos direcionais, além de proporcionarem uma melhor aproximação numérica em certos casos, podem também refletir em uma redução significativa na quantidade de novos elementos gerados ao final do procedimento. Este benefício torna-se ainda mais notável quando tratar-se de simulações numéricas tridimensionais, em que a geração de novos elementos du- rante o refinamento é muito superior em relação aos bidimensionais.

Desta forma, os benefícios apresentados motivaram o desenvolvimento de mais uma capaci- dade do PZ, que consiste no refinamento geométrico de um elemento na direção de um conjunto de lados. Sua utilização é simplificada pela identificação automática dos lados que pertencerão a esse conjunto (conjunto L), através da vizinhança com elementos assinalados por materiais específicos (denominados "materiais alvo").

A figura 3.24 exemplifica um hexaedro que deverá refinar-se nas direções das faces vizinhas aos quadriláteros de materiais alvo 1 e 2.

Figura 3.24: Conjunto L: lados que são vizinhos aos elementos de materiais alvo 1 e 2

Com base no conjunto L, é então definida a direção do refinamento através da identificação das arestas que compartilham apenas um único nó para cada um dos lados agrupados. Estas arestas também são agrupadas em um conjunto (conjunto A), que servirá como critério de busca na biblioteca de padrões disponíveis. A figura 3.25 ilustra as arestas que compartilham um único nó com as faces do conjunto L do exemplo.

O padrão desejado, será aquele que refinar no ponto médio das arestas contidas no conjunto A. A figura 3.26 ilustra o padrão que satisfaz a imposição de particionamento das arestas do conjunto A do exemplo.

Figura 3.26: Utilização do padrão que refina no ponto médio das arestas do conjunto A

Outra característica notável desta metodologia é o fato de permitir vários níveis de refina- mento direcional pelos mesmos procedimentos apresentados. A figura 3.27 ilustra um nível adicional de refinamento direcional para o exemplo.

Vale ressaltar que os dois níveis de refinamento direcional, apresentados nesse exemplo, geraram 7 novos elementos. Se o refinamento do hexaedro, na direção das duas faces, fosse realizado por meio de refinamento uniforme, seriam gerados 50 novos elementos (figura 3.27), o que comprova a economia computacional proporcionada por esta abordagem.

(a) Primeiro nível de refinamento (b) Segundo nível do refinamento

Figura 3.28: Dois níveis de refinamento uniforme na direção das faces

A aplicação do refinamento h direcional em direção aos elementos unidimensionais intro- duzidos na frente da fratura é exemplificado na figura 3.29.

3.1.7.2 Refinamento p

Conforme dito no início desta seção, o aumento da ordem polinomial do espaço de aproximação promovem uma melhor aproximação numérica do problema estudado. Em contra-partida, o aumento generalizado desta ordem polinomial, em todo o domínio, acarreta em um grande aumento de graus de liberdade do sistema numérico formado, encarecendo sobremaneira o custo computacional. Desta forma, torna-se essencial uma abordagem de adaptatividade, que consiste no enriquecimento localizado em regiões de interesse, em que o aumento polinomial promove uma melhoria significativa da aproximação numérica com o aumento de seu custo a um nível aceitável.

Esta adaptatividade pode ser automática1_{ou em regiões pré-definidas, sendo esta última a}

adotada nesse trabalho. Pelo fato da formulação elástica linear, no contexto deste trabalho, ter seu estado de tensão e deformação alterados em grande parte na região da fratura, foi estipulado que seu domínio utiliza uma ordem p = 1, exceto na região da fratura, na qual é utilizada uma ordem p = 2, assim como na malha bidimensional da formulação de fluxo de fluido acoplada.

Para atingir tal objetivo, inicialmente a malha computacional foi inicializada com ordem p = 1. Em seguida, são percorridos todos os seus elementos da malha computacional. Todos os elementos bidimensionais que pertenciam à face da fratura, tiveram suas ordens polinomi- ais aumentadas para p = 2. Tais elementos foram agrupados em um conjunto (C1). A partir

dos elementos bidimensionais do conjunto C1, foram identificados todos os seus vizinhos tridi-

mensionais até dois níveis, os quais tiveram suas ordens polinomiais também aumentadas para p = 2. A aplicação desta abordagem é exemplificada na figura 3.30.

Figura 3.30: Refinamento p nos elementos da fratura e dois níveis de vizinhos