UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
Paulo Cesar de Alvarenga Lucci
Implementação de Simulador Numérico de
Propagação Hidráulica de Fratura Plana em
Meio Tridimensional Multicamadas
CAMPINAS 2015
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Elizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098
Lucci, Paulo Cesar de Alvarenga,
L962i LucImplementação de simulador numérico de propagação hidráulica de fratura plana em meio tridimensional multicamadas / Paulo Cesar de Alvarenga Lucci. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
LucOrientador: Philippe Remy Bernard Devloo.
LucTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.
Luc1. Método de elementos finitos. 2. Métodos numéricos. 3. Fraturamento hidráulico. I. Devloo, Philippe Remy Bernard,1958-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Implementação de simulador numérico de propagação hidráulica
de fratura plana em meio tridimensional multicamadas
Palavras-chave em inglês:
Finite element method Numerical methods Hydraulic fracturing
Área de concentração: Estruturas Titulação: Doutor em Engenharia Civil Banca examinadora:
Pilippe Remy Bernard Devloo
José Luiz Antunes de Oliveira e Souza José Ricardo Pelaquim Mendes
Leonardo José do Nascimento Guimarães Luiz Fernando Campos Ramos Martha
Data de defesa: 11-09-2015
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Civil
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
Resumo
O fraturamento hidráulico é uma técnica amplamente utilizada pela engenharia de petróleo por formar um canal de grande condutividade na formação, aumentando por consequência o índice de produtividade ou injetividade de poços. Em função dos altos valores envolvidos (investi-dos e recupera(investi-dos), prever a geometria da fratura torna-se um (investi-dos aspectos mais relevantes de um projeto de fraturamento. Esta relevância torna-se ainda mais evidente em formações cu-jos contrastes de tensões mostram-se menos pronunciados, dificultando a contenção natural do crescimento vertical de fraturas, possibilitando que camadas confinantes sejam atingidas e que camadas permeáveis antes isoladas sejam conectadas, resultando em perdas de eficiência.
Vários simuladores foram desenvolvidos com esse propósito, mas devido à grande com-plexidade de modelagem dos fenômenos envolvidos, esse tipo de simulação ainda apresenta desafios. Esta afirmação é justificada pelas limitações particulares a cada um dos modelos matemáticos existentes, ocasionadas por considerações de cálculo simplificadoras. Por esta ra-zão, todas as tentativas de melhoria das técnicas de aproximação numérica, pertinentes a esse contexto, representam a possibilidade de desenvolvimentos de modelos mais detalhados, favo-recidos pela melhoria da precisão ou pela redução do consumo de recursos computacionais a níveis aceitáveis.
Este trabalho apresenta uma metodologia de aproximação numérica para a simulação de pro-pagação hidráulica de fraturas pelo modelo denominado planar-3D. Este contempla formações estratificadas horizontalmente, em que a mínima tensão compressiva in situ está posicionada na direção horizontal, implicando em fratura vertical (considerada plana). Essa metodologia baseia-se no método de elementos finitos, implementada em linguagem C++ orientado a obje-tos, através da qual são propostas novas concepções de: (i) remalhagem geométrica em cada passo de propagação por refinamento dinâmico; (ii) aproximação da resposta elástica do reser-vatório por espaços reduzidos e; (iii) método de resolução numérica do sistema acoplado por malha computacional multifísica.
Abstract
Hydraulic fracturing is a widely used technique in the petroleum engineering for the creation of a high conductivity channel in formation, increasing the productivity or injectivity index of wells. Due to the high amounts involved (invested and recovered), the fracture’s geometry prediction becomes one of the most important aspects of a fracturing project. This relevance be-comes even more evident in formations whose contrasts stress are less pronounced, difficulting the natural containment of the vertical growth of fractures, as confining layers can be affec-ted in such a process and can even connect previously isolaaffec-ted permeable layers, resulting in efficiency losses.
Several simulators have been developed for this purpose, but due to the great complexity of modeling the involved phenomena, this type of simulation still presents challenges. This statement is justified by the particular limitations of each of the existing mathematical mo-dels, occasioned by considerations of simplifying calculation. For this reason, all attempts at improvement of numerical approximation techniques, relevant to this context, represent the pos-sibility of development of more detailed models, favored by improving the precision or reducing the consumption of computing resources to acceptable levels.
This work presents a numerical simulation methodology of the hydraulic fracture propaga-tion model named Planar-3D. This model considers horizontally layered formapropaga-tions, where the minimum in situ compressive stress is positioned in the horizontal direction, implying vertical fracture (considered planar). This methodology is based on the finite element method, imple-mented in C++ object-oriented, by which new concepts are proposed: (i) remeshing techniche by dynamic refinement at each step propagation ; (ii) aproximation of elastic response of the reservoir using reduced space and; ( iii ) coupled numerical solution system using multiphysics methodology approach.
Lista de Figuras
1.1 Sequência de operação de fraturamento hidráulico . . . 3
1.2 Faixa operacional do modelo planar-3D . . . 6
2.1 Estado de tensão in situ . . . 8
2.2 Net pressure . . . 9
2.3 Contraste vertical de tensões . . . 10
2.4 Curvas reológicas . . . 13
2.5 Deformações axiais e transversais . . . 15
2.6 Exemplo de curva obtida em ensaio de tração . . . 16
2.7 Placa infinita, com fratura centrada, sob tração . . . 18
2.8 Modos de fraturamento . . . 19
2.9 Contorno da Integral J . . . 22
2.10 Elementos triangulares quarter-points na ponta da fratura . . . 24
2.11 Fluxo de fluido no interior de uma asa da fratura . . . 26
2.12 Plano da fratura ortogonal à menor tensão horizontal in situ . . . 28
2.13 Modelos 2D . . . 30
2.14 Modelos pseudo-3D . . . 31
2.15 Modelo PL3D multicamadas . . . 32
2.16 Técnicas de remalhagem . . . 36
3.1 Sequência da remalhagem por refinamento dinâmico . . . 49
3.2 Elementos geométricos disponíveis no PZ . . . 50
3.3 Elemento particionado em lados . . . 52
3.4 Lados sendo identidades topológicas . . . 53
3.5 Vizinhança entre elementos . . . 54
3.6 Refinamentos uniformes dos elementos triangular e quadrilateral . . . 55
3.7 Refinamentos não-uniformes dos elementos triangular e quadrilateral . . . 55
3.8 Arquivo texto do padrão de refinamento . . . 56
3.9 Padrão de refinamento . . . 56
3.10 Padrões de refinamento originando padrões de seus lados . . . 57
3.12 Compatibilidade topológica . . . 58
3.13 Criação de novos padrões utilizando compatibilidade topológica . . . 59
3.14 Exemplo dos testes de compatibilidade topológica . . . 61
3.15 Utilização de simetrias na definição do domínio do problema . . . 62
3.16 Intersecções da corrente poligonal com as arestas dos elementos bidimensionais 64 3.17 Inserção de elementos unidimensionais e refinamento com base nas intersecções 64 3.18 Refinamento dinâmico nos elementos bidimensionais . . . 65
3.19 Refinamento dinâmico nos elementos tridimensionais . . . 65
3.20 Inserção de elementos unidimensionais na frente da fratura . . . 66
3.21 Conversão dos elementos quarter points . . . 66
3.22 Exemplo de malha gerada . . . 67
3.23 Determinação do elemento 2D interno à fratura, vizinho do elemento 1D . . . . 68
3.24 Conjunto L: lados que são vizinhos aos elementos de materiais alvo 1 e 2 . . . 70
3.25 Conjunto A: arestas que compartilham um único nó com os lados do conjunto L 70 3.26 Utilização do padrão que refina no ponto médio das arestas do conjunto A . . . 71
3.27 Segundo nível de refinamento direcional . . . 71
3.28 Dois níveis de refinamento uniforme na direção das faces . . . 72
3.29 Refinamento direcional na frente da fratura . . . 72
3.30 Refinamento p nos elementos da fratura e dois níveis de vizinhos . . . 73
3.31 Domínio da formulação elástica linear . . . 75
3.32 Domínio da formulação de fluxo de fluido . . . 77
3.33 Net pressure constante no acoplamento por subdomínios verticais . . . 79
3.34 Subdomínios em faixas verticais no interior da fratura . . . 79
3.35 Espaços reduzidos de uma fratura em que m = 5 . . . 81
3.36 Acoplamento entre as malhas computacionais . . . 81
3.37 Estruturas de malhas na abordagem multifísica . . . 84
3.38 Integração numérica avaliada nos elementos das malhas gerenciadas . . . 84
3.39 Volume filtrado por unidade de área no instante t4 . . . 85
3.40 Elementos refinados deixam de ser, conforme a fratura propaga . . . 87
3.41 Integrais J calculadas nos elementos unidimensionais da frente da fratura . . . . 91
3.42 Plano da integral J . . . 92
3.43 Integral J considerando simetria com o plano xz, y = 0 . . . 92
3.44 Funções mapeamento para o arco e parede da fratura . . . 94
3.45 Mapeamento do arco seguindo regra da mão direita . . . 95
3.46 Mapeamento da linha na parede da fratura . . . 96
3.47 Corrente poligonal inicial . . . 99
3.48 Fluxograma do kernel numérico . . . 100
4.2 Testes do cálculo de KI . . . 102
4.3 Domínio 3D associado à placa tracionada . . . 103
4.4 Teste 1 - Domínio 3D deformado pela tração uniformes . . . 104
4.5 Teste 1 - Resultados da simulação numérica . . . 104
4.6 Domínio 3D associado ao bloco tracionado . . . 105
4.7 Teste 2 - Domínio 3D deformado pela tração uniformes . . . 106
4.8 Teste 2 - Resultados da simulação numérica . . . 106
4.9 Teste 3 - Comparativo fratura radial (r ⇥t) . . . 108
4.10 Teste 3 - Comparativo fratura radial (w ⇥t) . . . 108
4.11 Teste 3 - Comparativo fratura radial (pnet⇥t) . . . 109
4.12 Teste 3 - Volume injetado e da fratura (vol ⇥t) . . . 109
4.13 Teste 3 - Geometrias de propagação e Pressão no interior da fratura (tf inal) . . . 110
4.14 Teste 3 - Malha deformada (tf inal) . . . 110
4.15 Teste 4 - Superposição de efeitos . . . 111
4.16 Teste 4 - Comparativo fratura radial (r ⇥t) . . . 112
4.17 Teste 4 - Comparativo fratura radial (w ⇥t) . . . 112
4.18 Teste 4 - Comparativo fratura radial (pnet⇥t) . . . 113
4.19 Teste 4 - Volume injetado e da fratura (vol ⇥t) . . . 113
4.20 Teste 4 - Geometrias de propagação e Pressão no interior da fratura (tf inal) . . . 114
4.21 Teste 4 - Malha deformada (tf inal) . . . 114
4.22 Teste 5 - Comparativo fratura de altura constante (L ⇥t) . . . 116
4.23 Teste 5 - Comparativo fratura de altura constante (w ⇥t) . . . 116
4.24 Teste 5 - Comparativo fratura de altura constante (pnet⇥t) . . . 117
4.25 Teste 5 - Volume injetado e da fratura (vol ⇥t) . . . 117
4.26 Teste 5 - Geometrias de propagação . . . 118
4.27 Teste 5 - Pressão no interior da fratura (tf inal) . . . 118
4.28 Teste 5 - Malha deformada final . . . 118
4.29 Teste 6 - Comparativo fratura de altura constante, alta e baixa eficiência (L ⇥t) 120 4.30 Teste 6 - Comparativo fratura de altura constante, alta e baixa eficiência (w ⇥t) 120 4.31 Teste 6 - Volume injetado, da fratura e leak off . . . 121
4.32 Teste 6 - Eficiência volumétrica (h ⇥t) . . . 121
4.33 Teste 6 - Geometrias de propagação . . . 122
4.34 Teste 6 - Pressão no interior da fratura (tf inal) . . . 122
4.35 Teste 6 - Malha deformada (tf inal) . . . 123
4.36 Teste 6 - Leak off final em uma parede da fratura (m) . . . 123
4.37 Teste 6 - Net pressure (pnet⇥t) . . . 124
4.38 Teste 7 - Comparativo 3 camadas (L) . . . 126
4.39 Teste 7 - Comparativo 3 camadas (H) . . . 126
4.41 Teste 7 - Comparativo 3 camadas (pnet) . . . 127
4.42 Teste 7 - Volume injetado, da fratura e leak off (vol ⇥t) . . . 128
4.43 Teste 7 - Eficiência volumétrica (h ⇥t) . . . 128
4.44 Teste 7 - Geometrias de propagação . . . 129
4.45 Teste 7 - Pressão no interior da fratura (tf inal) . . . 129
4.46 Teste 7 - Malha deformada final . . . 130
4.47 Teste 7 - Leak off final em uma parede da fratura (m) . . . 130
4.48 Teste 8 - ComparativoDs (L ⇥t) . . . 132
4.49 Teste 8 - ComparativoDs (H ⇥t) . . . 132
4.50 Teste 8 - ComparativoDs (w ⇥t) . . . 133
4.51 Teste 8 - ComparativoDs (pnet⇥t) . . . 133
4.52 Teste 8 - Geometrias de propagação . . . 134
4.53 Teste 8 - Pressão no interior da fratura (tf inal) . . . 135
4.54 Teste 8 - Malha deformada final . . . 136
Lista de Tabelas
3.1 Domínios de referência - ˆW . . . 51
3.2 Quantidade de lados - Q . . . 51
3.3 Identificações dos ladosWj e suas partições . . . 52
4.1 Dados de entrada - Teste 1 . . . 103
4.2 Dados de entrada - Teste 2 . . . 105
4.3 Dados de entrada - Teste 3 . . . 107
4.4 Dados de entrada - Teste 5 . . . 115
4.5 Dados de entrada - Teste 7 . . . 125
Lista de Símbolos
sv Tensão vertical in situ.
sH Máxima tensão horizontal in situ.
sh Mínima tensão horizontal in situ.
pnet Pressão líquida.
pf Pressão de fluidos.
pp Pressão de poros.
pc Pressão de fechamento.
Dsi Contraste de tensão entre as camadas i e a menos competente.
h Eficiência volumétrica.
Vf rac Volume da fratura.
Vin j Volume de fluido injetado.
Dp Carga hidráulica. uL Velocidade de filtração.
a Coeficiente de correção do CL em função daDp e Dpre f.
CL Coeficiente de filtração de Carter.
Dpre f Pressão em que CL foi mensurado.
t⇤ Tempo de exposição da parede da fratura ao fluido.
sp Spurt loss.
e Deformação elástica linear uniaxial. ep Deformação plástica.
s Tensão uniaxial.
C Módulo de elasticidade linear. E Módulo de Young.
E0 Módulo de Young referente aos estados planos de tensão ou deformação.
!
s Tensor de tensão de Cauchy. ~b Vetor de forças de volume.
!e Tensor de deformação infinitesimal. !I Tensor identidade.
~u Vetor de deslocamentos. si j Componente i, j do tensor !s .
ei j Componente i, j do tensor !e .
ui Componente i do vetor ~u.
n Coeficiente de Poisson. G Taxa de liberação de energia. g Densidade de energia de superfície.
(r,q) Raio e ângulo de um sistema de coordenadas polares. fi j Funções angulares de tensão.
KI,II,III Fatores de intensidade de tensão nos modos I, II e III respectivamente.
KIc Fator de intensidade de tensão crítico no modo I.
sc Tensão crítica.
a Comprimento das 2 asas da fratura.
Lc Comprimento característico das arestas dos elementos da malha.
lf Comprimento de 1 asa da fratura.
W Densidade energética. ~n Normal externa ao contorno.
µ Viscosidade do fluido de fraturamento.
vx,y,z Velocidade do fluido de fraturamento nas direções x, y e z respectivamente.
w Abertura da fratura.
~q Vetor vazão por unidade de comprimento no interior da fratura. qi Componente i do vetor ~q.
Q Vazão por unidade de comprimento em uma seção da entrada da fratura. t Tempo.
Sumário
1 Introdução 1
1.1 Objetivos do FH na Engenharia de Petróleo . . . 2
1.2 Operação de fraturamento hidráulico . . . 3
1.3 Seleção dos poços candidatos . . . 4
1.4 Simulação numérica de fraturamento hidráulico . . . 5
1.5 Motivação . . . 5 1.6 Objetivos . . . 6 2 Revisão bibliográfica 8 2.1 Tensões in situ . . . 8 2.2 Pressão líquida . . . 9 2.3 Leak off . . . 10
2.4 Reologia dos fluidos de fraturamento . . . 12
2.5 Mecânica elástica linear . . . 14
2.5.1 Coeficiente de Poisson . . . 15
2.5.2 Lei de Hooke . . . 16
2.6 Mecânica da fratura . . . 17
2.7 Integral J . . . 21
2.8 Elementos quarter-points . . . 23
2.9 Fluxo de fluido no interior da fratura . . . 25
2.10 Modelos numéricos de fraturamento hidráulico . . . 27
2.10.1 Modelos 2D . . . 29
2.10.2 Modelos pseudo-3D . . . 31
2.10.3 Modelo planar-3D . . . 32
2.10.3.1 Considerações de cálculo . . . 33
2.10.3.2 Modelagem dos fenômenos mecânicos . . . 34
2.10.3.3 Modelagem do fluxo de fluido de fraturamento . . . 34
2.10.3.4 Critério de propagação de fratura . . . 35
2.10.3.5 Técnica de remalhagem . . . 35
2.10.4.1 S.A. Holditch & Assoc. (TRIFRAC) . . . 37
2.10.4.2 Meyer & Associates (MFRAC-II) . . . 38
2.10.4.3 Advani (HYFRAC3D) . . . 39 2.10.4.4 Shell (ENERFRAC) . . . 39 2.10.4.5 Halliburton (PROP) . . . 39 2.10.4.6 Chevron (CHEVRON) . . . 39 2.10.4.7 Marathon (GOHFER) . . . 40 2.10.4.8 ARCO (TERRAFRAC) . . . 40 2.10.4.9 NSI (STIMPLAN) . . . 41
2.10.4.10 Resources Engineering Systems (FRACPRO) . . . 41
2.10.4.11 Gu and Yew (GY) . . . 42
2.11 Método de elementos finitos . . . 42
2.11.1 Método de Ritz . . . 45
2.11.2 Método de Galerkin . . . 45
3 Metodologia 47 3.1 Remalhagem geométrica por refinamento dinâmico . . . 49
3.1.1 Topologia . . . 50
3.1.2 Vizinhança . . . 53
3.1.3 Refinamento geométrico . . . 54
3.1.4 Refinamento dinâmico . . . 58
3.1.4.1 Compatibilidade topológica . . . 60
3.1.5 Geração da malha geométrica . . . 62
3.1.6 Separação dos elementos 2D em internos e externos à fratura . . . 68
3.1.7 Adaptatividade . . . 69
3.1.7.1 Refinamento h direcional . . . 69
3.1.7.2 Refinamento p . . . 73
3.2 Formulações fracas . . . 74
3.2.1 Equação elástica linear . . . 75
3.2.2 Equação de fluxo de fluido no interior da fratura . . . 76
3.3 Método de Galerkin aplicado ao domínio discretizado . . . 77
3.4 Aproximação da resposta elástica por espaços reduzidos . . . 78
3.5 Acoplamento das equações . . . 81
3.6 Sistema acoplado por abordagem multifísica . . . 83
3.7 Cálculo numérico e armazenamento de dados do leak off . . . 85
3.8 Transferência de dados do leak off . . . 86
3.9 Critério de propagação . . . 88
3.10 Estratégia de propagação . . . 89
3.11.1 Implementação computacional da integral J . . . 91 3.11.1.1 ArcPath3D . . . 95 3.11.1.2 LinearPath3D . . . 96 3.11.1.3 AreaPath3D . . . 97 3.11.1.4 Expressão final . . . 97 3.12 Procedimento global . . . 98 3.12.1 Dados de entrada . . . 98 3.12.2 Inicializações . . . 99
3.12.3 Fluxograma do kernel numérico . . . 100
4 Testes de validação 101 4.1 Cálculo do fator de intensidade de tensão . . . 102
4.1.1 Teste 1: Fratura em um bordo livre de uma placa tracionada uniforme-mente . . . 103
4.1.2 Teste 2: Fratura radial localizada no interior de um bloco tracionado uniformemente . . . 105
4.2 Propagação hidráulica de fratura . . . 107
4.2.1 Teste 3: Modelo radial (sem leak off ) . . . 107
4.2.2 Teste 4: Modelo radial (sem leak off ) - critério de propagação modificado111 4.2.3 Teste 5: Modelo de altura constante (sem leak off ) . . . 115
4.2.4 Teste 6: Modelo de altura constante (com leak off ) . . . 119
4.2.5 Teste 7: Teste comparativo de 3 camadas . . . 125
4.2.6 Teste 8: Teste da influência do contraste de tensões confinantes . . . 131
5 Conclusões 138
Capítulo 1
Introdução
Fraturamento hidráulico (FH) pode ser definido como o processo pelo qual uma fratura é ini-ciada e propagada através de tensões ocasionadas pela injeção de um fluido em seu interior. Por resultar na criação de um canal de grande condutividade, o FH tem sido frequentemente utilizado pela indústria do petróleo como uma técnica de estimulação, favorecendo a explora-ção econômica da formaexplora-ção. Denomina-se estimulaexplora-ção de uma rocha-reservatório a qualquer operação ou intervenção feita em uma jazida portadora de hidrocarboneto, de forma a aumentar sua permeabilidade, favorecendo o escoamento de fluido dos poros da rocha para o poço [53].
A possibilidade de utilização do FH como técnica de estimulação foi notada nos anos 30, quando a empresa Dow Chemical Company descobriu que as pressões atingidas no fundo do poço poderiam ser aplicadas para iniciar fraturas nas proximidades do poço, permitindo uma estimulação ácida mais eficaz [64]. Esta aplicação mostrou-se extremamente benéfica em ce-nários calcários e dolomíticos, mas sem grande sucesso em outros tipos de formação [63], restringindo inicialmente sua utilização em formações de baixa permeabilidade, com o objetivo de ultrapassar o dano gerado pela operação de perfuração [8].
Para estender esta aplicação para outros tipos de formação, R. F. Farris, no início da década de 40 pela Stanolind Oil and Gas, realizou um estudo detalhado que relacionou a pressão de quebra da formação e o respectivo desempenho do poço durante a acidificação. A partir deste trabalho, Farris postulou a idéia de fraturar hidraulicamente uma formação para aumentar a produção dos poços.
A primeira operação planejada de FH como técnica de estimulação foi executada em 1947 no Kansas, em um poço de gás no campo de Hugoton [129]. Este teste não apresentou melhorias significativas na produção, mas foi o suficiente para motivar o aprimoramento da técnica.
Em 1948, J. B. Clark, também na Stanolind Oil and Gas, iniciou estudos com fluidos de baixa penetração com adição de material granular. Foi observado que, quando o fluido era in-jetado com tais elementos, era obtido como resultado uma fratura sustentada mecanicamente, impedindo-a de fechar após a operação, aumentando de forma considerável a capacidade de drenagem da formação [63]. Tais elementos granulares são conhecidos como "agentes de sus-tentação" ou "propantes". O sucesso desta metodologia fomentou suas aplicações, tornando-se, a partir dos anos 80, a técnica preferencial de estimulação de poços no mundo inteiro [49].
1.1 Objetivos do FH na Engenharia de Petróleo
Em geral, os tratamentos de FH são utilizados para aumentar o índice de produtividade ou de injetividade de um poço. O índice de produtividade expressa a relação entre a taxa volumétrica de óleo ou gás produzido e o diferencial de pressão obtido entre o reservatório e o poço produtor. O índice de injetividade, de forma análoga ao de produtividade, expressa a relação entre a taxa volumétrica de fluido injetado e o diferencial de pressão obtido entre o reservatório e o poço injetor.
Reservatórios de baixa permeabilidade apresentam uma elevada resistência ao fluxo de fluido, possibilitando atingir maiores pressões a um menor custo operacional, sendo portanto considerados excelentes candidatos para a estimulação por FH. Por outro lado, um reservatório de alta permeabilidade pode ser danificado durante a operação de perfuração, implicando em uma perda de fluido de circulação para o reservatório até que ocorra o tamponamento dos poros, motivando uma técnica de estimulação. Para estimular reservatórios danificados, uma fratura hidráulica é muitas vezes a solução desejada. Existem portanto muitas aplicações diferentes para o FH, sendo possível citar como as mais relevantes [5]:
• Aumentar a taxa de fluxo de óleo e/ou gás em reservatórios de baixa permeabilidade; • Aumentar a taxa de fluxo de óleo e/ou gás a partir de poços que tenham sido danificados; • Conectar fraturas naturais da formação com o poço;
• Diminuir a queda de pressão ao redor do poço para minimizar a produção de areia; • Diminuir a queda de pressão ao redor do poço para minimizar problemas com deposição
de asfaltenos e/ou parafina;
• Aumentar a área de drenagem ou a quantidade de formação em contato com o poço; • Possibilitar a conexão de toda a extensão vertical do reservatório com poços inclinados
1.2 Operação de fraturamento hidráulico
A operação de FH é realizada posteriormente à completação do poço. A completação consiste no conjunto de serviços efetuados desde o momento em que a broca de perfuração atinge a base da zona produtora. Nesta fase ocorre, de forma simplificada, o revestimento (responsável pela sustentação do poço e isolamento hidráulico) e canhoneio, que consiste na destruição localizada do revestimento na região de interesse para acesso à formação. Essa sequência é apresentada de forma extremamente simplificada na figura 1.1.
Segundo [52], a operação de FH incorpora sistemas de unidades de armazenamento, mis-tura e preparo de fluidos (blenders), que adicionam os componentes necessários para fornecer ao fluido as propriedades químicas e reológicas requeridas para a operação. Após preparado o fluido e adicionado o agente de sustentação, o mesmo é enviado às unidades de bombeamento que garantem pressão e vazão adequadas para iniciar a fratura hidráulica na região canhoneada e sequente propagação (programada). Tal início da fratura é obtido pelo bombeamento de um fluido isento de sólidos, denominado colchão, cuja função adicional é resfriar a formação para preservar as propriedades reológicas do fluido fraturante. Após o colchão, é bombeada uma pasta composta de fluido gelificado e um agente granular de carreamento, cuja função é pro-pagar a fratura e, ao mesmo tempo, introduzir em seu interior o agente de sustentação, que vai manter a fratura aberta após a conclusão do bombeio.
Terminada a operação, o fluido fraturante injetado na formação degrada-se e perde suas pro-priedades reológicas iniciais, sendo facilmente removido do poço, permanecendo na fratura ape-nas o agente de sustentação que estabelece um canal de alta condutividade para o escoamento do fluido da rocha reservatório para o poço, no caso de poços injetores. O monitoramento dos parâmetros de tratamento, tais como pressão, vazão e propriedades do fluido, tem se constituído em um elemento de vital importância na análise da propagação da fratura e no diagnóstico de possíveis problemas que possam vir a ocorrer durante a operação. Atualmente, a utilização de sofisticados equipamentos de registro dos parâmetros operacionais tornou-se uma necessidade nas operações de fraturamento hidráulico, tão importante quanto os próprios equipamentos de bombeio.
1.3 Seleção dos poços candidatos
A decisão de submeter um poço a um FH, geralmente, é tomada com base em estudos de produ-tividade da formação, a fim de verificar se a resposta da rocha-reservatório ao tratamento torna o mesmo economicamente viável. A otimização do projeto consistirá na escolha do tratamento que possa produzir maior lucro, ou seja, maior produtividade com o menor custo possível [52]. Desta forma fica evidente a importância da escolha dos melhores candidatos ao tratamento de FH.
O reconhecimento de reservatórios candidatos para uma correta configuração de poço é um elemento-chave. Os passos necessários para a seleção de candidatos incluem engenharia de reservatório adequada, caracterização da formação, cálculos de estabilidade de poço, e a com-binação das previsões de produção com o potencial de produção de areia [49]. Para selecionar o melhor candidato para a estimulação, o engenheiro projetista deve considerar muitas variáveis. Os parâmetros mais críticos para o FH são a permeabilidade da formação, a distribuição da ten-são in situ, a viscosidade do fluido do reservatório, o fator skin, a condição do poço, a presten-são e a profundidade do reservatório [5].
O conceito de skin é uma idealização que condensa os principais aspectos do dano nas vizi-nhanças do poço: a perda de carga causada pelo dano, que é proporcional à vazão de produção. Mesmo empregando as melhores práticas de perfuração e completação, algum tipo de dano é instalado nas vizinhanças do poço na maioria dos casos. Outros fatores mecânicos, não causa-dos propriamente pelo dano, podem ser adicionacausa-dos ao skin. Estes podem incluir um canhoneio imperfeito, penetração parcial do poço na formação, mau dimensionamento do equipamento de completação, e outros [49]. Quando o poço está danificado (ou sua produtividade é infe-rior à esperada por algum motivo) o fator de skin é positivo, tornando o poço um excelente candidato para a estimulação. Os melhores candidatos também deverão apresentar um volume substancial de petróleo e gás no local, associados à necessidade de aumentarem seus índices de produtividade.
Nesse contexto e, diante de todas as informações provenientes de cada candidato, a simula-ção prévia de FH constitui uma poderosa ferramenta de engenharia de reservatórios na escolha do projeto de completação e estimulação.
1.4 Simulação numérica de fraturamento hidráulico
Mesmo em sua forma mais básica, o FH é um processo complicado de se modelar numerica-mente uma vez que consiste em um problema de fronteira móvel, que envolve o acoplamento da resposta elástica da formação em função do campo de pressões proveniente do fluxo de fluido, seguido de um critério de propagação. Complicações para esse problema já desafiador podem ser facilmente adicionadas, bastando considerar as condições em que as fraturas hidráulicas ocorrem em campo, como por exemplo: a presença de camadas não planas de diferentes tipos de rocha, mudanças na magnitude e/ou orientação das tensões confinantes in situ, falhas natu-rais, o leak off do fluido de fraturamento (termo histórico-dependente que descreve a filtração do fluido para a porção permeável do reservatório, devido a um gradiente de pressão positivo), os efeitos de cisalhamento e temperatura na reologia de fluidos de fraturamento, o transporte de propante no interior da fratura e a modelagem de fechamento da fratura (devido ao término do bombeamento, refluxo forçado etc). Além disso, o método pelo qual um poço foi completado estabelece as bases para o início da fratura, podendo influenciar sua geometria final [86]. Por estas razões, várias suposições são feitas para tornar o problema tratável, as quais são uma das fontes de diferenças entre os vários modelos existentes.
1.5 Motivação
Embora os modelos numéricos de FH desenvolvidos indiquem "tendências" para o compor-tamento da fratura, nem sempre estas são observadas em campo para um determinado trata-mento. Esta discrepância foi atribuída a muitas interações complexas entre os fluidos injetados e a formação, as quais não são bem compreendidas. Algumas tentativas de caracterizar feno-menologicamente alguns desses processos complexos, que ocorrem dentro da fratura e perto da ponta da fratura, foram feitas em vários simuladores com a introdução de parâmetros adicionais específicos. A escolha de valores para estes parâmetros é apenas com base na experiência do modelador, possivelmente com algumas orientações do laboratório, observações de campo ou de outros recursos computacionais. Estes parâmetros são usados para ajustar as previsões do modelo com o comportamento observado em campo, permitindo um ajuste de histórico [131].
Diante deste cenário e, devido à grande complexidade de modelagem dos fenômenos en-volvidos, esse tipo de simulação ainda apresenta desafios. Por esta razão, todas as tentativas de melhoria das técnicas de aproximação numérica, pertinentes a esse contexto, representam a possibilidade de desenvolvimentos de modelos mais detalhados, favorecidos pela melhoria de precisão ou pela garantia do consumo de recursos computacionais a níveis aceitáveis.
Outra motivação para esse trabalho é contribuir para as capacidades de nosso núcleo de pesquisas, denominado LabMeC (Laboratório de Mecânica Computacional1), pertencente ao Departamento de Estruturas da Faculdade de Engenharia Civil da Unicamp. O LabMeC visa o suporte a pesquisas na área de mecânica computacional e à capacitação de recursos humanos, desenvolvendo programas de computador para automatizar o processo de resolução de proble-mas de engenharia. A adoção da utilização do método de elementos finitos nesse trabalho é justificada pela experiência que o LabMeC adquiriu no decorrer dos tempos nesta metodologia, desenvolvendo inclusive um ambiente de programação científica denominado PZ, escrito em linguagem C++ orientado a objetos, o qual é voltado para o desenvolvimento de algoritmos de elementos finitos.
1.6 Objetivos
Esse trabalho apresenta uma metodologia de aproximação numérica para a simulação de pro-pagação hidráulica de fraturas pelo modelo planar-3D, focada na melhoria da qualidade de representação geométrica da fratura a custos computacionais aceitáveis, através de um código robusto e estável. Muito tem sido feito neste sentido, denotando a importância do assunto.
O modelo planar-3D contempla formações estratificadas horizontalmente, em que a mínima tensão compressiva in situ está posicionada na direção horizontal, implicando em fratura ver-tical (considerada plana). Esse modelo considera que a fratura já foi previamente iniciada, apresentando comprimento inicial de alguns diâmetros do poço, conforme figura 1.2, a qual ilustra um típico registro de pressão de fundo.
Figura 1.2: Faixa operacional do modelo planar-3D 1http://www.labmec.org.br
Esta metodologia baseia-se no método de elementos finitos, implementado em linguagem C++ orientado a objetos, cujos objetivos são:
• Melhoria da representação geométrica da fratura por refinamento dinâmico;
• Utilização de espaços de aproximação por espaços reduzidos na malha elástica, através de acoplamento multifísico;
• Produzir resultados compatíveis com o cenário proposto; • Apresentar tempo de processamento aceitável;
• Ser paralelizável por multithread e expansível, ou seja, flexível o suficiente para permitir a futura inclusão de outros fenômenos.
Capítulo 2
Revisão bibliográfica
Neste capítulo serão apresentados alguns dos modelos numéricos mais significativos que contri-buíram para a evolução da predição da geometria de fratura hidráulica, precedidos dos conceitos básicos inerentes a esse processo.
2.1 Tensões in situ
Considerando um ponto material em equilíbrio em uma rocha de grande profundidade, o estado de tensões in situ será compressivo, formado por três tensões principais, uma vertical e duas horizontais, conforme apresentado na figura 2.1. A tensão vertical in situ (sv) é resultante do
peso das camadas de rocha sobrejacentes e é, na maioria dos casos, a maior das três. Através de forças tectônicas que atuam na crosta terrestre e, em resposta ao carregamento vertical, o elemento de rocha tende a deformar-se lateralmente, sendo, contudo, limitado pelos elemen-tos vizinhos, resultando assim no aparecimento das tensões horizontais in situ máxima (sH) e
mínima (sh) [8]. A influência dessas tensões no processo de FH é explanada nas seções 2.2 e
2.10.
Figura 2.1: Estado de tensão in situ
2.2 Pressão líquida
A pressão líquida, ou net pressure (pnet), é a diferença entre a pressão de fluido exercida em
algum ponto no interior da fratura (pf) e aquela na qual a fratura se fecha (pc), conforme
equação 2.1.
pnet= pf pc (2.1)
Esta definição implica na existência de uma pressão de fechamento única. Se a pressão de fechamento é uma propriedade (característica) constante da formação, ou se ela depende forte-mente da pressão de poros (pp), esta é ainda uma questão em aberto. Em formações brandas, de
alta permeabilidade, é difícil (senão impossível) sugerir uma receita simples para determinar a pressão de fechamento a partir da análise de curvas de declínio. Além disso, devido aos baixos valores de módulo de elasticidade, mesmo pequenas variações na net pressure são amplifica-das, resultando em grandes variações na abertura calculada da fratura [49]. Uma simplificação frequente, em formações consideradas homogêneas, é a utilização de pcigual à tensão mínima
sh, conforme mostrado na figura 2.2.
Figura 2.2: Net pressure
Nesta condição, a equação 2.1 torna-se:
A magnitude da net pressure é uma das principais preocupações durante uma operação de FH pois, além de ser diretamente responsável pelo controle da abertura da fratura, sua relação com a diferença de tensão entre o reservatório e as barreiras adjacentes, definida porDsi,
con-trolará o crescimento vertical da fratura. Caso a pnet seja maior queDsi, a fratura penetrará nas
barreiras adjacentes, comprometendo o projeto de fraturamento inicialmente programado. Com base na figura 2.3, as equações paraDsisão:
Ds1=sh1 sh2
Ds3=sh3 sh2
(2.3)
Figura 2.3: Contraste vertical de tensões
2.3 Leak off
Durante uma operação de FH, um fluido geralmente polimérico é injetado na formação sob ele-vadas pressões, visando a criação e a propagação de uma fratura. Parte desse fluido se perde para a formação por filtração, deixando um filme (denominado reboco) aderido à superfície da fratura. O comportamento de filtração depende de quanto o polímero invade a rocha permeá-vel, do deslocamento e compressibilidade do fluido do reservatório e da espessura do reboco formado [128], a qual é limitada pela tensão de cisalhamento associada ao fluxo no interior da fratura [66]. Esse processo é conhecido como leak off e caracteriza-se como um dos aspectos mais importantes em um projeto de FH, uma vez que interfere diretamente na eficiência volu-métrica da operação (h), isto é, na relação entre o volume final da fratura (Vf rac) e o volume de
h =Vf rac
Vin j (2.4)
Por esta razão, a escolha do fluido de fraturamento assume um papel importantíssimo, uma vez que auxilia no controle do leak off pela ação de aditivos específicos na formação progra-mada de reboco. Estes aditivos consistem em partículas finamente granuladas com tamanho variando entre 0,1 e 50 micrômetros. O material mais efetivo de baixo custo é a sílica. Amidos, gomas, resinas e sabões também podem ser utilizados, com a vantagem de permitirem algum grau de limpeza posterior em virtude de sua solubilidade em água [49].
A abordagem numérica do leak off remete aos estudos de Carter [26], por ter sido ampla-mente aceito e utilizado com sucesso na indústria de petróleo e gás, referido inclusive como "o modelo padrão de perda de fluido de fraturamento" [91]. A primeira suposição feita em sua dedução foi que a carga hidráulica (Dp), que corresponde à diferença entre a pressão de fluido e a pressão de poros (pp), é praticamente constante, conforme equação 2.5.
Dp = pf ppt constante (2.5)
A segunda suposição é a aproximação do processo do leak off por um fluxo unidirecional, perpendicular ao plano da fratura. Sua formulação descreve a velocidade de filtração (uL) no
decorrer do tempo, em um ponto localizado na parede da fratura, representada pela equação 2.6:
uL= a Cp L
t⇤ (2.6)
Nesta equação, o termo t⇤representa o tempo de exposição do respectivo ponto ao fluido de
fraturamento, e o termo CL representa o coeficiente de filtração de Carter, o qual é mensurado
em laboratório a uma carga hidráulica de referência (Dpre f). Alguns modelos não adotam a
primeira suposição deDp constante, realizando a correção do coeficiente de filtração de Carter para aDp atuante na fratura, através do coeficiente a, conforme equação 2.7, apresentada em [98]. Modelos que consideramDp constante utilizam a = 1.
a = s
Dp
Dpre f (2.7)
A forma integrada no tempo da equação 2.6, a qual expressa o volume filtrado por unidade de área (sL) no respectivo ponto na parede da fratura, no instante t⇤, é dada pela equação 2.8:
sL=2aCLpt⇤+sp (2.8)
A utilização dessa última equação viabiliza o armazenamento do leak off em termos de volume filtrado, facilitando sobremaneira o atendimento às Leis de Conservação do modelo numérico adotado de propagação hidráulica de fratura.
A constante de integração sp é denominada "coeficiente de perda inicial", ou spurt loss, a
qual pode ser considerada como o volume instantâneo filtrado por unidade de área que ocorre no início do processo, ou seja, no instante t⇤=0. Vale ressaltar que o fator 2 resulta da integração,
não tendo nenhuma relação com “duas asas” da fratura ou “duas faces” de uma asa.
Pelo fato da formulação ser avaliada ponto a ponto na parede da fratura, e pelo fato de a fratura propagar-se, o tempo de exposição ao fluxo de cada ponto poderá ser diferente, tornando esse procedimento histórico dependente, implicando na necessidade de uma metodologia nu-mérica que utilize uma estrutura de armazenamento de dados que contemple esta característica.
2.4 Reologia dos fluidos de fraturamento
Os comportamentos dos materiais considerados ideais são os comportamentos de sólido Hoo-keano e de fluido Newtoniano. Para sólidos HooHoo-keanos, a tensão é diretamente proporcional à deformação, e quando a tensão é removida o corpo reassume sua configuração inicial (ver se-ção 2.5). Para fluidos Newtonianos, a tensão é diretamente proporcional à taxa de deformase-ção. No entanto, o fluido apresenta deformação contínua enquanto sobre ele houver tensão aplicada, e a remoção da tensão não resulta na recuperação da configuração inicial. Entre esses dois extremos, o comportamento real dos materiais com capacidade de deformação e escoamento, englobando sólidos não Hookeanos e fluidos não Newtonianos, é o foco do estudo da ciência chamada Reologia [140].
Os fluidos não Newtonianos geralmente são constituídos de soluções ou misturas de com-postos formados por macromoléculas, o que lhes confere uma estrutura microscópica que influ-encia seu comportamento macroscópico na resposta à aplicação de tensões. Alguns fenômenos reológicos que caracterizam o comportamento não Newtoniano de certos materiais podem ser observados em laboratório, através de experiências demonstrativas relativamente simples, algu-mas das quais são detalhadas em [15]. Quantitativamente, são as funções materiais que permi-tem descrever o comportamento reológico dos materiais, relacionando as diversas grandezas do escoamento, como tensões e deformações. As funções materiais são medidas em situações em que a cinemática do escoamento é conhecida. Elas também são utilizadas para a formulação de modelos empíricos para o comportamento dos materiais.
A função material de fluidos que relaciona a tensão cisalhante com a respectiva taxa de deformação é a curva reológica, necessária para o cálculo do gradiente de pressão numa situação de fluxo. Os fluidos podem ser classificados de acordo com o formato de suas curvas reológicas, onde o formato da curva do fluido Newtoniano é uma linha reta passando pela origem, conforme figura 2.4.
Figura 2.4: Curvas reológicas
O comportamento reológico do fluido de fraturamento é predominantemente não-Newtoniano. Isso significa que a viscosidade aparente do fluido, definida pela razão entre a tensão cisalhante e a respectiva taxa de deformação, é dependente do cisalhamento que o fluido experimenta a cada ponto, ou seja, a viscosidade aparente varia com a taxa de cisalhamento. Esse comportamento não-Newtoniano normalmente é modelado pelas Leis de Potência, e exerce um importante papel na operação de FH, tendo a viscosidade como propriedade de destaque, uma vez que promove:
• A largura de fratura suficiente para assegurar a entrada de propante na fratura;
• Controle da net pressure, garantindo o crescimento vertical projetado da fratura ou pre-venindo a invasão da fratura em zonas indesejadas, como por exemplo aquíferos;
• A capacidade de arrasto no transporte de propante desde o poço até a ponta da fratura; • O controle de perda de fluido. Em casos em que o reboco não é suficientemente formado,
O critério de escolha do fluido adequado para um certo tratamento deve também incluir as seguintes considerações:
• Segurança química: o pessoal envolvido no local deve expor-se minimamente a algum risco causado pelo fluido;
• Segurança ecológica: a composição do fluido deve adequar-se às exigências ambientais; • Capacidade de quebra: o fluido deve apresentar a característica de diminuir sua
viscosi-dade ao final do tratamento para que haja refluxo, promovendo a limpeza da fratura; • Custo efetivo: o fluido deve ser econômico e não levar o custo do tratamento a um nível
inaceitável;
• Compatibilidade: o fluido não deve interagir e causar danos à mineralogia e fluidos da formação;
• Característica inerte: o fluido não deve danificar a condutividade da fratura ou alterar a permeabilidade relativa da formação, prevenindo cones de água. Isso se torna muito importante em poços de baixa pressão ou poços que produzem gás;
• Manuseabilidade: o fluido deve ser de fácil mistura, mesmo em condições muito adversas. Os tipos de fluidos são: à base de água, à base de óleo, energizados, emulsões polifásicas e ácidos. Alguns dos possíveis aditivos são: gelificantes, reticulantes, quebradores, controle de perda de fluido, bactericidas, surfactantes e agentes não-emulsionantes [92].
2.5 Mecânica elástica linear
A teoria da elasticidade estuda o comportamento mecânico de um material solicitado por cargas externas, sob o ponto de vista da deformação reversível, até sua fluência ou ruptura. Desenvolveu-se no âmbito da Física Clássica antes da teoria atômica de John Dalton [1], ou Desenvolveu-seja, antes de se conhecer a estrutura íntima da matéria e a natureza das ligações químicas entre os átomos ou moléculas de um sólido. Com isso, os estudos foram conduzidos pelo princípio de causa e efeito, utilizando-se a mecânica newtoniana em meio contínuo. A relação elástica entre a so-licitação e a deformação, quando linear, é estudada pela teoria da elasticidade linear, que teve Robert Hooke [70] como precursor, cujos estudos resultou na denominada "Lei de Hooke".
2.5.1 Coeficiente de Poisson
Siméon Denis Poisson foi um engenheiro e matemático francês que estudou, dentre outras coi-sas, a razão entre a deformação transversal e a deformação longitudinal de um corpo homo-gêneo e isotrópico, submetido à uma tensão uniaxial (no sentido longitudinal). A partir de corpos de prova submetidos à tração axial, Poisson observou que a maioria dos materiais es-tudados apresentavam o esperado alongamento no sentido da tensão, enquanto que no plano ortogonal ocorriam contrações (figura 2.5a). O inverso era observado nos mesmos materiais, ou seja, os corpos de prova submetidos à compressão contraiam-se no sentido da força, enquanto expandiam-se no plano ortogonal (figura 2.5b).
(a) Corpos tracionados (b) Corpos comprimidos
Figura 2.5: Deformações axiais e transversais
Poisson ainda observou que, enquanto as deformações estivessem dentro dos limites da teoria da elasticidade linear, a razão entre as deformações transversais e longitudinais eram constantes, possibilitando definir o chamado "coeficiente de Poisson" (equação 2.9), um adi-mensional considerado como uma das propriedades mecânicas fundamentais.
n = eex
z =
ey
ez (2.9)
O sinal negativo está incluído nesta expressão para quen seja um número positivo na mai-oria dos casos, ou seja, quando ez tiver sinal oposto a ex e ey. Teoricamente, o coeficiente de
2.5.2 Lei de Hooke
A Lei de Hooke foi estabelecida pela observação experimental (empírica) em que constatou-se que uma pequena deformação sofrida por um corpo (e) é proporcional à força aplicada por unidade de área (s). A constante de proporcionalidade é denominada "módulo de elasticidade linear", ou "módulo de Young", representada por E, conforme equação 2.10.
s = E e (2.10)
Uma das formas mais simples de obter-se o módulo de Young de um material é através do ensaio de solicitação axial, o qual consiste em um corpo de prova padronizado sujeito à esforços de tração ou compressão. Esse teste produz um gráfico iniciado geralmente por um trecho linear (ou linearisável) para a maioria dos materiais utilizados em estruturas. Um exemplo típico para o aço carbono tracionado é ilustrado na figura 2.6. Neste exemplo pode-se observar não somente o trecho linear, mas como também o trecho de escoamento (patamar horizontal) e consequente ruptura.
Figura 2.6: Exemplo de curva obtida em ensaio de tração
Para sólidos tridimensionais submetidos a carregamentos que acarretem pequenas deforma-ções, existe a denominada "Lei de Hooke Generalizada", deduzida a partir da adoção de um sistema ortogonal de coordenadas (xyz), no qual são descritas as relações entre as componentes de tensão e deformação.
Considerando um sólido isotrópico, isotérmico e sem aceleração, com tensões pré-existentes, sua dedução resulta nas seguintes equações:
• Equações de equilíbrio: div !s 0+ !s +~b = 0 (2.11) • Lei constitutiva: !s = 0 B @ sxx txy txz tyx syy tyz tzx tzy szz 1 C A = ltr(!e ) !I + 2G !e (2.12) • Equações de compatibilidade: !e = 0 B @ exx exy exz eyx eyy eyz ezx ezy ezz 1 C A = —~u + —~u t 2 (2.13)
O termo !s 0 corresponde ao tensor de tensões pré-existentes, !s ao tensor de tensão de
Cauchy, ~b ao vetor de forças de volume, l e G aos coeficientes de Lamé, !e ao tensor de deformações infinitesimais, !I ao tensor identidade e ~u ao vetor de deslocamentos.
Os coeficientes de Lamé relacionam-se com o módulo de Young e com o coeficiente de Poisson da seguinte forma:
l = nE
(1 +n)(1 2n) , G = E
2(1 +n) (2.14)
Pelo fato de os tensores !s 0, !s e !e serem simétricos, o sistema linear formado pelas
equações 2.11, 2.12 e 2.13 é composto de 15 equações (3, 6 e 6 equações respectivamente) e 15 incógnitas (sxx,syy,szz,txy=tyx,txz=tzx,tyz=tzy,exx,eyy,ezz,exy=eyx,exz=ezx,eyz=ezy,
ux, uye uz), garantindo sua solução.
2.6 Mecânica da fratura
A Mecânica da Fratura é uma área da mecânica aplicada que foi estabelecida formalmente em 1921, com o trabalho pioneiro de Griffith [65]. Em seu trabalho o autor postulou um enfoque energético para o crescimento de trincas frágeis, ao considerar que todos os processos envolvi-dos deveriam ser conservativos. Ele propôs que, quando uma trinca cresce, a redução de energia potencial armazenada no sistema é compensada pelo aumento de energia de superfície, devido à criação de novas faces da trinca [96].
Em sua dedução (detalhada no livro [60]), utilizou como modelo uma placa infinita com uma trinca de comprimento 2a, sob tração uniforme (s), conforme a figura 2.7.
Figura 2.7: Placa infinita, com fratura centrada, sob tração
A partir do equilíbrio energético do sistema, Griffith determinou a relação entre a tensão atuante no sistema e a energia disponível para o crescimento da fratura (G ), a qual é denominada "taxa de liberação de energia". Esta relação é dada pela equação 2.15.
s = r G E0 pa (2.15) G = 2g (2.16) E0= 8 < :
E (estado plano de tensão)
E
1 n2 (estado plano de deformação)
(2.17) O temog é denominado "densidade de energia de superfície" e representa a energia consu-mida para a formação de uma nova unidade de superfície de fratura.
Em 1937, Westergaard [135, 136] complementa a teoria de Griffith com o equacionamento do estado de tensões ao redor da fratura, o qual é definido em um sistema de coordenadas polares (r,q) com origem na ponta da fratura. Esse equacionamento calcula as componentes do tensor de tensão bidimensional de Cauchy através das funções angulares de tensão ( fxx, fyy e
Essa formulação é expressa pelas equações 2.18, 2.19 e 2.20 [138]: sxx=s r a 2r fxx (2.18) syy=s r a 2r fyy (2.19) txy=s ra 2r fxy (2.20) fxx=cos✓q2 ◆ 1 sen✓q 2 ◆ sen✓3q 2 ◆ (2.21) fyy=cos✓q2 ◆ 1 + sen✓q 2 ◆ sen✓3q 2 ◆ (2.22) fxy=cos✓q2 ◆ sen✓q 2 ◆ cos✓3q 2 ◆ (2.23) Em 1948, Irwin [72] propõe uma extensão da teoria de Griffith, em que processos dissipa-tivos de energia eram considerados, como os que ocorrem na zona de processos inelásticos na vizinhança da ponta da fratura. Esse trabalho estabeleceu de forma clara as condições de aplica-bilidade da mecânica da fratura linear e critérios de dimensionamento [20], através da definição de três diferentes modos de fratura que podem ocorrer simultaneamente ou isoladamente, con-forme o tipo de deslocamento associado à propagação: abertura (modo I), cisalhamento no plano (modo II) e cisalhamento fora do plano (modo III), os quais são ilustrados na figura 2.8. Esses conceitos são contemplados nos denominados "fatores de intensidades de tensões", as-sociados a cada modo (KI, KII e KIII respectivamente), os quais representam a magnitude da
tensão localizada na singularidade da ponta da fratura.
A partir dos fatores de intensidade de tensão, Irwin reescreveu o equacionamento apresen-tado por Westergaard, cujas equações, quando restritas ao modo I1, são expressas pelas equações 2.24, 2.25 e 2.26: sxx= pKI 2pr fxx (2.24) syy= pKI 2pr fyy (2.25) txy=pKI 2pr fxy (2.26)
Ao comparar as equações 2.18, 2.19 e 2.20 com as equações 2.24, 2.25 e 2.26, pode-se facilmente verificar a equação de KI como sendo:
KI=sppa (2.27)
Assim, Irwin estabeleceu uma relação simples entre KI e G através das equações 2.15 e
2.27, dada por:
KI =pG E0 (2.28)
A partir desses conceitos, foi estabelecido um critério de propagação de fratura em que um valor crítico é utilizado, denominado "tenacidade ao fraturamento", que no modo I é represen-tado por KIc.
O valor da tenacidade ao fraturamento para cada tipo de material é obtido em laboratório, cujos testes seguem as normas descritas pela ASTM (American Society for Testing and Mate-riais). Analogamente à equação 2.27, a tenacidade ao fraturamento relaciona-se com a tensão crítica da seguinte maneira:
KIc=scppa (2.29)
Quando a medida de KI na ponta fratura atingir o valor limite do material, a fratura irá
propagar-se, conforme apresentado na equação 2.30. verificação KI:
(
se KI <KIc! não propaga
se KI =KIc! propaga (2.30)
1A restrição ao modo I nesse trabalho é devido ao fato de que, na maioria dos casos práticos de fraturamento,
o modo I é preponderante em relação aos demais (o modo II é responsável pela alteração de direção do plano da fratura), sendo razoável considerar apenas sua atuação nos modelos numéricos de fratura plana, segundo [53].
Existem diversos métodos para a determinação do KI de materiais submetidos
exclusiva-mente à deformação plana, os quais são válidos quando o tamanho da zona de processos inelás-ticos é pequeno, enquadrando-se na teoria da elasticidade linear. No entanto, para materiais que apresentam uma parcela significativa de plasticidade antes do crescimento estável da trinca, es-ses métodos não são mais aplicáveis, sendo necessário adentrar na área da Mecânica da Fratura Elasto-Plástica, a qual utiliza diversos métodos para lidar com relações não lineares entre os campos de tensões e deformações, como por exemplo o modelo coesivo proposto por Dugdale [48], modelo de fratura fictícia proposto por Hillerborg [69], Crack Tip Opening Displacement (CTOD) [97, 56] e a Integral J. Muitos desses métodos são detalhados em [138].
2.7 Integral J
A integral J é uma integral de linha, independente da trajetória, que fornece o valor da taxa de energia disponibilizada para a propagação da fratura. O primeiro a deduzir esta integral foi Eshelby [50], mas foi Rice [108] que reconheceu seu potencial na utilização na mecânica da fratura. Em seu trabalho, Rice demonstrou que a integral J, quando definida ao longo de um contorno ao redor da ponta da fratura, distante suficiente da zona de processos inelásticos, corresponde à variação da energia potencial total com relação à extensão virtual da fratura. Aplicando-se esta metodologia a materiais em regime elástico linear, encontra-se o mesmo valor determinado por Griffith para a taxa de energia disponibilizada para a propagação da fratura, possibilitando portanto utilizar a metodologia de Rice tanto a problemas elásticos lineares, como também elasto-plásticos [100].
A integral J para materiais elásticos é definida como a seguinte quantidade escalar: J =~e(lf)· Z g ⇣ W !I —~ut !s ⌘~nds (2.31) W =1 2si jei j (2.32)
em que ~e(lf), lf, W , ~n e ~u são, respectivamente, a direção de propagação da fratura, o
comprimento de uma asa da fratura, a densidade de energia de deformação, a normal externa ao contorno∂B do corpo e o campo de deslocamentos. O termo⇣W !I —~ut!s ⌘é denominado
A dedução a seguir refere-se à demonstração da equivalência entre G e J, extraída do artigo [28], no qual os autores afirmam que a taxa de liberação de energia na mecânica da fratura elástica linear pode também ser definida, para qualquer parte B de um corpo com fratura (não pressurizada) contendo a ponta da trinca e supondo o crescimento da fratura quasi-estático, como: G (lf) = dld f Z BW dV + Z ∂B ! s ~n ·~u0dA (2.33)
em que ~u0 é a derivada do campo de deslocamentos com respeito à lf. Quando o corpo
B é um cilindro infinitamente longo ou um disco, pode-se assumir estado plano de tensão ou deformação. Se uma trinca estiver presente na direção ~e(lf), pode-se aplicar o teorema de
transporte, desde que as hipóteses de regularidade sejam satisfeitas e, além disso, as forças de corpo sejam nulas. Com base na figura 2.9, chega-se à expressão:
G (lf) = lim d!0~e(lf)· Z ∂Dd ⇣ W !I —~ut!s ⌘~nds (2.34)
Figura 2.9: Contorno da Integral J
Novamente pelo fato de as forças de corpo serem nulas, temos nas regiões onde o corpo é homogêneo e não há singularidades:
A partir das equações 2.34 e 2.35 e supondo que⇣W !I —~ut !s ⌘é suave na região
for-mada pela curvag, é aplicado o teorema da divergência na região compreendida entre as curvas g e ∂Dd, chegando à seguinte equação:
G (lf) =~e(lf)·
Z
g
⇣
W !I —~ut!s ⌘~nds (2.36)
em que G (lf)é independente da curvag, que também inclui as bordas superior e inferior da
fratura, podendo ser calculada ao longo de um caminho arbitrário.
Desta forma verifica-se a equivalência entre G (lf) e J através das equações 2.36 e 2.31,
conforme demonstrado por Rice. Para materiais tridimensionais com as paredes da fratura pressurizadas, há a necessidade de incluir termos adicionais na equação 2.31, que compreendem uma integral de linha na parede da fratura e na área delimitada pelas duas linhas anteriores [79, 28], resultando em: J =~e(lf)· ~J (2.37) ~ J = Z g\gf rac ⇣ W !I —~ut!s ⌘~nds +Z gf rac pf—~ut ~nds + Z A ⇣ W !I —~ut!s ⌘ ,3~n3dA (2.38)
2.8 Elementos quarter-points
Na mecânica da fratura elástica linear, as tensões e deformações são funções singulares que podem ser caracterizadas por uma função do tipo inversa da raiz da distância radial de um ponto à ponta da fratura, ou seja: si j ⇠ r 0,5. Por esta razão, uma das dificuldades fundamentais na
modelagem numérica de fraturamento elástico linear, utilizando o método dos elementos finitos, é que as funções de base polinomiais (utilizadas pela maioria dos elementos convencionais) não podem representar esse estado de tensões singular. Esta limitação, e a consequente qualidade insatisfatória da solução de elementos regulares, foi reconhecida na década de 1970 por Chan, Tuba e Wilson [27], quando utilizaram aproximadamente 2000 graus de liberdade em uma análise de elementos finitos para obter, na melhor das hipóteses, um fator de intensidade de tensão com erro de 5% para uma configuração de fratura de borda [7].
A evidente necessidade de uma melhor representatividade levou ao desenvolvimento de ele-mentos que incorporassem os campos singulares em suas funções de forma. Tais eleele-mentos são conhecidos por "crack tip elements" (elementos de ponta da fratura), podendo citar os trabalhos iniciais [6, 14, 16, 125] (bidimensionais) e [17, 126] (tridimensionais).
O maior problema com as formulações inicialmente desenvolvidas é que suas funções sin-gulares não eram compatíveis com as funções resin-gulares sobre os limites com os elementos vizinhos. Além disso, suas funções muitas vezes não permitiam movimentos de corpo rígido ou estados constantes de tensão, que é o pré-requisito para a convergência da solução. Uma outra desvantagem de muitos elementos de ponta de fratura é que eles não foram incorporados em programas de elementos finitos comerciais, devido às peculiares de seus algoritmos, sendo portanto utilizados apenas por especialistas [80].
Neste contexto, Henshell e Shaw [68] e Barsoum [11] propuseram, de forma independente, uma metodologia que consistia em modificar elementos isoparamétricos com uma função qua-drática de tal forma que a posição dos nós centrais de arestas eram alteradas para 1/4 do com-primento de distância das mesmas, em direção ao vértice que contém a ponta da fratura.
A figura 2.10 exemplifica um conjunto de elementos triangulares quarter-points na ponta da fratura. Esta operação simples provoca uma mudança dos campos de deslocamento, deforma-ção e tensão no elemento de tal forma a gerar exatamente a fundeforma-ção radial da ponta da fratura, causada pelo mapeamento não linear entre as coordenadas de referência e mapeada. A desco-berta desse tipo de elemento foi um marco significativo no desenvolvimento de procedimentos de elementos finitos para mecânica da fratura elástica linear pois, através dos elementos qua-dráticos disponíveis na maioria dos programas de elementos finitos, pode-se modelar a ponta de uma fratura com um pré-processamento mínimo.
Pode-se exemplificar esse procedimento por um elemento unidimensional de mapeamento quadrático, de domínio de referência entre -1 e +1. Posicionando seus nós inicial, final e inter-mediário como sendo, -1, +1 e 0.5 respectivamente (esse último corresponde à 1/4 de distância do nó final), temos a seguinte função mapeamento e respectiva função jacobiana:
X(x) = 0,5x2+x + 0,5 (2.39)
dX
dx =1 x (2.40)
Nota-se que a função jacobiana apresenta valor nulo quandox = +1, que acarreta a inclusão da singularidade no espaço de funções na região de interesse do problema estudado.
2.9 Fluxo de fluido no interior da fratura
Determinar o fluxo de um fluido monofásico através do canal de uma fratura, contemplando a rugosidade das paredes, tem representado um grande desafio em hidrologia de rochas fraturadas, e tem sido o ponto de partida para estudos de questões mais complexas, tais como fluxo de fluidos bifásicos, fluxo através de redes de fratura, transporte de soluções, traçadores etc. Apesar de esse problema ter sido objeto de muitos estudos teóricos, computacionais e experimentais, ainda está longe de ser completamente entendido [139].
Em termos matemáticos, seria desejável ter uma compreensão mais clara das condições sob as quais as equações de Navier-Stokes poderiam ser substituídas por equações governantes mais simples e tratáveis, tais como as equações de Stokes ou a equação de lubrificação de Reynolds. Essa última, por questões práticas, tem sido normalmente utilizada para descrever o fluxo de fluido no interior da fratura, enquanto que as equações completas de Navier-Stokes são utilizadas para encontrar os limites válidos para equação Reynolds em um regime de fluxo de lubrificação, através da análise comparativa de resultados [120].
A figura 2.11 exemplifica uma asa da fratura, cuja adoção do sistema de coordenadas con-sidera que o eixo x está alinhado com a direção de propagação, o eixo y está alinhado com a abertura e o eixo z está alinhado com a altura da fratura. Devido ao seu perfil delgado, a va-riação da pressão do fluido ao longo de sua abertura pode ser desprezada, e as derivadas do componente de velocidade no plano xz (vx e vz) com respeito a y são muito maiores que as
demais.
Ignorando-se os efeitos da inércia e das forças de corpo, considerando o fluido de viscosi-dadeµ, monofásico, newtoniano e incompressível, a dedução das equações de lubrificação de Reynolds para estas suposições é iniciada pelas equações de Navier-Stokes 2.41 e 2.43.
Figura 2.11: Fluxo de fluido no interior de uma asa da fratura ∂ pf ∂x =µ ∂2v x ∂y2 (2.41) ∂ pf ∂y =0 (2.42) ∂ pf ∂z =µ ∂2v z ∂y2 (2.43)
Nessas formulações, deve-se observar a condição de não escoamento nas camadas limites, ou seja:
vx=0 em y = ±w/2 (2.44)
vz=0 em y = ±w/2 (2.45)
em que w é a abertura da fratura. Integrando as equações 2.41 e 2.43 duas vezes com relação a y, os perfis de velocidade ao longo da abertura da fratura podem ser expressos por:
vx= 2µ1 ⇣w2 ⌘2 y2 ∂ pf ∂x (2.46) vz= 2µ1 ⇣w2 ⌘2 y2 ∂ pf ∂z (2.47)
e a vazão por unidade de comprimento é: ~q =
Z +w/2
w/2 ~vdy (2.48)
Considerando um volume de controle, a lei de conservação de fluxo conduz à equação: ∂qx ∂x ∂qz ∂z uL2 f aces= ∂w ∂t (2.49)
em que∂w/∂t fornece a taxa de aumento de volume no tempo (t) e o termo uL2 f acesé a taxa
de filtração do fluido através das duas faces da fratura, sendo portanto o dobro da equação 2.6 (seção 2.6), ou seja:
uL2 f aces=2uL=2
aCL
p
t⇤ (2.50)
As substituições das equações 2.46 e 2.47 na equação 2.48 e o resultado na equação 2.49, gera a seguinte equação que governa o movimento do fluido dentro da fratura:
∂ ∂x ✓ w3 12µ ∂ pf ∂x ◆ + ∂ ∂z ✓ w3 12µ ∂ pf ∂z ◆ ∂w ∂t uL2 f aces=0 (2.51)
que pode ser reescrita na forma:
div⇣Q~⌘ ∂w
∂t uL2 f aces =0 (2.52)
sendo ~Q a vazão por unidade de comprimento na seção de entrada (assumindo que as mini-fraturas induzidas nos canhoneios tenham coalescido), expressa por:
~
Q =12µw3 —pf (2.53)
2.10 Modelos numéricos de fraturamento hidráulico
Durante a operação de FH, é realizado o bombeamento de um fluido até que a pressão no interior do poço supere a pressão de quebra da formação, iniciando a fratura. Uma vez iniciada, o fluido injetado começa a fluir para dentro da fratura promovendo sua propagação, conforme as tensões em sua ponta superem a resistência da rocha. Na maioria das formações, uma única fratura é criada que se propaga no plano vertical, nas duas direções opostas a partir do poço, formando duas "asas", as quais são normalmente assumidas de geometrias idênticas, em qualquer instante de tempo.
Esta hipótese baseia-se no fato de que uma fratura hidráulica propagará na direção normal a sh, justificando a propagação no plano vertical, conforme mostrado na figura 2.12. Poços
verticais certamente concordarão com esse plano de fratura. Poços horizontais ou desviados, a serem fraturados, devem ser perfurados em uma direção que concorde com esse azimute. Mesmo que o azimute desses últimos não coincidam com o plano de fratura, esta irá iniciar-se num determinado plano e, então, desviar-se pelo modo II, causando considerável tortuosidade, até atingir seu azimute final, que será normal àsh[49].
Figura 2.12: Plano da fratura ortogonal à menor tensão horizontal in situ
Segundo [137], há dois fatores que controlam o crescimento vertical de uma fratura hidráu-lica nestas condições: o contraste entre as propriedades do material e a distribuição vertical das tensões mínimas in situ. Warpinski e co-autores desenvolveram estudos detalhados sobre a predominância desses fatores tanto em laboratório quanto em campo [133, 132, 123]. Nes-ses estudos os autores concluíram que o contraste entre as tensões mínimas in situ é o fator predominante que influencia o crescimento vertical de fraturas hidráulicas, enquanto que o con-traste entre as propriedades, a não ser que muito grande (cinco vezes ou mais), não é um fator dominante. Concluíram ainda que, quando o contraste de tensões entre zonas adjacentes for alto, situação não rara, espera-se que o crescimento vertical da altura da fratura seja contido. A partir da adoção desta hipótese, surgiram os primeiros modelos teóricos simplificados: 2D e pseudo-3D.
