Método de Galerkin

O Método de Galerkin é uma generalização do Método de Ritz que pode ser aplicado a pro- blemas de contorno que não podem ser reduzidos aos variacionais. SejaW ⇢ Rn _{um domínio}

limitado, deseja-se obter emW uma solução da equação diferencial:

A [u] = 0 (2.56)

em que A é um operador diferencial de L2_{(W) e u : W ! R uma função de n variáveis que}

satisfaz a condição de contorno:

u|∂W=0 (2.57)

Se a função u(x1, ...xn)for solução de 2.56 emW, então A [u(x1, ...,xn)]⌘ 0 em W. Conse-

quentemente, a função A [u(x1, ...,xn)]é ortogonal à toda funçãoj(x) 2 L2(W), isto é:

Z

e a solução u(x1, ...,xn)é obtida por meio das aproximações: uN(x1, ...xn) = N

Â

em que {jj(x1, ...xn)}, j = 1,2,... é um sistema de funções linearmente independentes,

definidas emW e que satisfazem a condição 2.57.

Os coeficientesajsão escolhidos de modo que A [uN]seja ortogonal às primeiras N funções

do sistema {jj} e: Z WA [ N

Â

Desta forma as aproximações uN(x1, ...,xn) são projeções ortogonais da solução desejada

u(x1, ...,xn) em um subespaço de dimensão finita N 2 N. A solução u(x1, ...,xn) é obtida to-

mando o limite de uN _{quando N ! •.}

Em termos de Análise Funcional, o problema 2.56, 2.57 pode ser reformulado num contexto abstrato mais geral. Seja H um espaço de Hilbert e A : V ! H um operador definido em um subespaço V ⇢ H, denso em H. Dado f 2 H, procura-se um elemento u 2 V tal que A u = f .

O método de Galerkin consiste, portanto, na busca das aproximações uN _=Âa

jjjque são

projeções ortogonais de u 2 V em um subespaço de dimensão finita VN = [j1, ...,jN] ⇢ V ,

gerado pelos N primeiros vetores de base. Desta forma, os coeficientesajestão determinados

pelo sistema algébrico A uN f ,j_{j H}=0, h = 1,...,N, em que (·,·)_Hé o produto interno em H.

Capítulo 3

Metodologia

Esse trabalho apresenta uma metodologia de aproximação numérica para a simulação de pro- pagação hidráulica de fraturas pelo modelo PL3D (apresentado na subseção 2.10.3), focada na melhoria da qualidade de representação geométrica da fratura a custos computacionais acei- táveis, através de um código robusto e estável. Suas principais características, as quais serão detalhadas nesse capítulo, são:

1. Remalhagem geométrica por refinamento dinâmico: o lugar geométrico da frente da fra- tura é representada por uma corrente poligonal. As intersecções desta corrente com as arestas dos elementos envolvidos, definirão pontos que servirão de base para um algo- ritmo de refinamento dinâmico (definição do particionamento geométrico em tempo de execução), o qual resultará em subelementos que acompanham de forma precisa o con- torno da fratura.

2. Aproximação da resposta elástica por espaços reduzidos: o campo de pressões do fluido de fraturamento será acoplado à formação elástica linear através de seu valor médio, cal- culado em faixas verticais distribuídas no interior da fratura, utilizando para tanto espaços de aproximação reduzidos. Esta abordagem visa melhorar a estabilidade de convergência para o equilíbrio entre a pressão e a abertura de fratura, uma vez que são relacionadas por uma formulação não-linear.

3. Método de resolução numérica do sistema acoplado por malha computacional multifísica: modelos de simulações multifísicas têm sido amplamente estudados recentemente por terem uma diversidade de aplicações, dentre elas a resolução de sistemas de equações diferenciais parciais acopladas. Tendo em vista que em tais simulações é necessário con- templar diferentes fenômenos físicos envolvidos, um tratamento diferenciado para cada meio físico envolvido torna-se uma alternativa para se obter uma simulação otimizada. Em elementos finitos, por exemplo, tal abordagem poderia ser descrita utilizando-se, em cada meio físico, um espaço de aproximação diferente.

Esse código foi desenvolvido em um ambiente de programação científica denominado PZ, escrito em linguagem C++ orientada a objetos, o qual é voltado para o desenvolvimento de algoritmos de elementos finitos. O PZ foi idealizado e desenvolvido pelo Prof. Philippe R. B. Devloo, motivado pelas limitações das ferramentas disponíveis até então em linguagens se- quenciais (Fortran, por exemplo). Seu código continua em expansão através das contribuições de acadêmicos e pesquisadores, e encontra-se disponível no endereço www.labmec.org.br.

Pelo fato de ser composto por um conjunto de classes estruturadas, o PZ propicia muita flexibilidade em sua utilização. Sua implementação pode ser dividida basicamente em quatro módulos:

1. Modelagem da geometria: modelagem de elementos lineares ou curvos (polinomiais ou analíticos), os quais podem ser refinados em vários níveis, através de padrões uniformes e não-uniformes.

2. Geração do espaço de aproximação: disponibiliza espaços de aproximação H1, Descon- tínuos e HDiv, permitindo aproximar equações diferenciais parciais com diversas for- mulações. Estão sendo incorporados também espaços HCurl, Tensoriais e Enriquecidos (GFEM). A ordem polinomial dos elementos computacionais é apenas limitada pela dis- ponibilidade da regra de integração e tempo de CPU.

3. Definição da formulação variacional: qualquer formulação variacional pode ser incorpo- rada no ambiente PZ. As formulações pré-disponíveis vão desde a equação de Poisson, elasticidade bi e tridimensional, as equações de Euler compressíveis tridimensionais, hi- per elasticidade, plasticidade, placas, cascas etc.

4. Estruturas de resolução de sistemas numéricos lineares e não lineares: O cálculo e a assemblagem das matrizes globais é feito em multi-thread e o ambiente inclui solvers com otimização de inversão de sistemas de equações de grande porte out of core.

Uma grande vantagem na utilização desse ambiente é a expansibilidade proporcionada pela ori- entação a objetos, que tornou-se imprescindível na execução deste trabalho, uma vez que muitas das funcionalidades necessárias ainda não encontravam-se disponíveis. Estes desenvolvimentos são detalhados a seguir.

3.1 Remalhagem geométrica por refinamento dinâmico

A estratégia de remalhagem por front tracking consiste em uma abordagem híbrida entre a ma- lha móvel e fixa que utiliza o método de refinamento de malha localmente adaptativo (adaptive mesh refinement - AMR) [24, 87]. Nesse método uma nova malha é construída diretamente no espaço físico, adicionando ou removendo elementos computacionais para alcançar o nível desejado de precisão, que pode ser determinado de acordo com um certo número de critérios, incluindo uma estimativa de erro a posteriori. No contexto da simulação de FH, o nível de precisão é determinado pela qualidade da representação da frente da fratura, a qual é rastreada, ocasionando a substituição dos elementos interceptados por outros que modelem sua geome- tria. Pelo fato de necessitar de um algoritmo de remalhagem automática, como por exemplo Delaunay [46], esse procedimento torna-se um tanto dispendioso, uma vez que implica em reestruturação da malha, adição e remoção de nós, análises topológicas, compatibilidade de contorno, tratamento de escala e reconexões de vizinhanças entre elementos. Estudos a esse respeito são apresentados em [104, 124, 39].

Neste trabalho é utilizada uma abordagem que não envolve a substituição dos elementos in- terceptados pela frente da fratura, mas sim pelo particionamento geométrico dos mesmos atra- vés de padrões de refinamento estabelecidos em tempo de execução. Para realizar este feito, a frente da fratura é representada por uma corrente poligonal (uma cadeia aberta de segmentos de reta [99]). A partir de uma malha inicial intacta (não refinada), são determinadas as intersecções desta corrente poligonal com as arestas dos elementos envolvidos. Estas intersecções servem de base para o algoritmo de refinamento dinâmico, o qual geram subelementos que acompanham de uma forma mais precisa o contorno da fratura (figura 3.1).

(a) Intersecções da corrente poligonal (b) Refinamento dos elementos

Para a descrição do procedimento do refinamento dinâmico, há a necessidade de introduzir as noções de topologia, vizinhança e refinamento geométrico com que o PZ opera.