Ajuste de parâmetros CPLEX no modelo MDSL-2E-LT

O modelo MDSL-2E-LT foi resolvido com todas as variações de parâmetros apre- sentadas na Tabela 50do Apêndice E para todas as instâncias, a fim de avaliar a melhor combinação de parâmetros do CPLEX para esse modelo com essas instâncias.

Na Tabela 24estão apresentadas as dimensões das instâncias baseadas em dados reais utilizadas no modelo MDSL-2E-LT (4.4)-(4.43): o número total de variáveis, o número de variáveis inteiras, binárias e o número de restrições. É possível perceber, dependendo da instância, que o número de variáveis e restrições cresce consideravelmente. A influência da dimensão do conjunto Omt no tamanho das instâncias e no tempo computacional

para resolvê-las é percebido comparando as instâncias S1 e S2, em que ao reduzir a cardinalidade de Omt pela metade, o número de variáveis e restrições também é reduzido

aproximadamente pela metade. Isto porque as variáveis Xmjto, Ymjto, µI,smjto, µ I,e mjto, µ

II,s mjto, µII,emjto, ψImjtok, WmjtokI , WmjtolII , ωmjtokI , ωmjtolII , e as restrições (4.6), (4.7), (4.8), (4.17), (4.18),

(4.19), (4.20), (4.23), (4.24), (4.27), (4.28), (4.30), (4.31), (4.33), (4.34), (4.35), (4.36), (4.37), (4.38), (4.39), (4.40), (4.41), (4.42) dependem de Omt. Nas equações (4.44), (4.45)

e (4.46) é mostrada a parcela de |Omt| no número de variáveis e restrições.

Para nenhuma das 5 instâncias testadas (S1, M1, R1, R2, R3 e R4) a solução ótima foi encontrada e o critério de parada alcançado foi o tempo limite de 3.600 segundos.

146 Capítulo 6. Experimentos computacionais

Para a instância S2 algumas estratégias terminaram com o gap de 1% ou menos e o tempo computacional foi em média 1.274,31 segundos. Isso mostra a influência de |Omt|

na dificuldade de resolução do problema. Sendo assim, a comparação entre as estratégias é realizada apenas com relação à função objetivo e gap. As Figuras31ae31bmostram os perfis de desempenho para os valores obtidos de gap e função objetivo, respectivamente, pelas 17 estratégias apresentadas no ApêndiceE (Tabela50). No gráfico de perfil de desempenho 31a, o valor do eixo P (f, q) está variando de 0,95 a 1 para facilitar a visualização da ordem em que as estratégias atingem P (f, q) = 1. As Tabelas54 e 55no Apêndice G detalham os valores de função objetivo e gap encontrados pelas estratégias CPLEX e utilizados para fazer os gráficos da Figura 31.

Variáveis Variáveis Variáveis Restrições Inteiras Binárias S1 6.220 3.276 276 18.288 S2 3.076 1.668 60 7.032 M1 23.904 13.470 1.020 90.507 R1 63.104 32.680 2.504 398.424 R2 74.855 38.775 2.955 454.655 R3 59.884 31.020 2.364 363.724 R4 205.088 106.210 8.138 1.294.878

Tabela 24 – Dimensão das instâncias utilizadas no modelo MDSL-2E-LT.

Na Figura 31a é possível ver que a estratégia CPX12 foi a que teve o melhor desempenho no quesito valor função objetivo atingindo P (f, q) = 1 com q = 0; em segundo lugar ficou a estratégia CPX5 com q = 0, 68 quando P (f, q) = 1. As piores estratégias foram CPX8 e CPX3 que atingiram P (f, q) = 1 com q = 19, 96 e q = 20, 37, respectivamente.

Com relação ao gap, as melhores estratégias foram a CPX7 e a CPX10, que atingiram P (f, q) = 1 com q = 3, 20 e q = 4, 16, respectivamente (Figura31b). A pior foi a estratégia CPX13 que atingiu P (f, q) = 1 com q = 9, 37. Como melhor estratégia foi então escolhida a CPX12, que tem o melhor valor de função objetivo. Nessa estratégia são alterados a seleção de nós, que passa a ser pelo melhor limitante, e as heurísticas RINS são aplicadas a cada 10 nós da árvore (Tabela50). Durante a resolução dos problemas por meio da estratégia CPX12, foram explorados em média 31.312 nós. Como o número de nós explorados é alto, deixar a heurística RINS ligada a cada 10 nós é uma boa estratégia para obter boas soluções de função objetivo, como foi comprovado por CPX12 em que a RINS é aplicada a cada 10 nós.

Uma vez que a estratégia CPX12 é a que apresenta o melhor desempenho de função objetivo entre as estratégias CPLEX, na Tabela25 as soluções obtidas com essa estratégia são comparadas com o CPLEX no modo default. Essa tabela apresenta os valores da função objetivo e do gap encontrados pelo CPLEX no modo default e com a estratégia

6.3. Testes computacionais: parte I 147

(a) Perfil de desempenho - função objetivo.

(b) Perfil de desempenho - gap.

Figura 31 – Perfis de desempenho das estratégias CPLEX. Fonte: a autora.

CPX12. Na média, a estratégia CPX12 apresenta função objetivo 6 vezes menor do que o

default do CPLEX. No gap essa diferença não é tão grande. Entretanto, cabe observar que

para a instância R1 a estratégia CPX12 encontra uma solução com gap 24,29% a menos do que no default, e para R2, com 20,66% a menos.

Os valores da função objetivo que aparecem na Tabela 25 são altos devido a ocorrência de atrasos e estoques que possuem custos unitários de 100 e 10, respectivamente.

148 Capítulo 6. Experimentos computacionais

Tabela 25 – Resultados com o CPLEX no modo default e com a estratégia CPX12.

Default CPX12

Função objetivo gap* _{Função objetivo gap}*

Instância (u.m.) (%) (u.m.) (%)

S1 14,01 10,47 14,01 21,40 S2 14,01 0,01 14,01 0,93 M1 25,02 37,36 25,02 41,72 R1 25.266.143,00 100,00 41,18 75,71 R2 751.177,83 100,00 50,18 79,34 R3 12.199.625,33 100,00 1.237.545,21 100,00 R4 1.060.327.115,67 100,00 173.182.854,35 100,00 Média 156.934.873,55 63,98 24.917.220,43 59,79

* _{gap retornado pelo CPLEX.}

Para os resultados que não atingem nem a casa das centenas, não houveram atrasos e estoques, somente custos de trocas e de limpezas temporais. A Tabela 26 apresenta o detalhamento dos lotes estocados e atrasados para as instâncias R1, R2, R3 e R4. Nela é possível observar a grande quantidade de atraso e estoque que acarretam os altos valores de função objetivo.

Tabela 26 – Detalhes dos resultados da Tabela 25para as instâncias R1, R2, R3 e R4.

Default CPX12

Atraso Estoque Trocas Limp. Atraso Estoque Trocas Limp. Inst. (unid.) (unid.) (u.m.) temp. (unid.) (unid.) (u.m.) temp.

R1 246.062 65.989 26 18 0 0 19 22

R2 0 75.111 28 87 0 0 26 24

R3 121.995 0 20 66 12.375 0 18 27

R4 10.406.077 10.000 69 54 171.999.292 1.183.458 62 42

Os gaps altos mostrados na Tabela25se dão devidos ao fato dos limitantes inferiores serem muito ruins para esse modelo. Por exemplo, a Figura 32 apresenta o gráfico de convergência dos limitantes (solução inteira e limitante inferior) durante a resolução do exemplar S2 pela estratégia CPX12. Para esse exemplar, a melhor solução encontrada tem valor Z = 14, 01 com gap de 0, 01%. Porém, pela Figura32percebe-se que o branch-and-cut encontrou a solução inteira de valor Z = 14, 01 quando o limitante inferior (LI) estava com o valor LI = 6, 28, ou seja, com o gap em 55,14%. Isso mostra a dificuldade do

solver em encontrar bons limitantes inferiores. Por esse motivo, a estratégia CPX7 se saiu

melhor com relação ao gap. Lembrando que essa estratégia enfatiza fortemente a prova da otimalidade pelo branch-and-cut.

6.3. Testes computacionais: parte I 149

Figura 32 – Valores dos limitantes ao longo do tempo durante a resolução da instância S2 pela estratégia CPX12. Fonte: a autora.

Para as instâncias maiores, encontrar limitantes superiores (soluções inteiras) também pode ser uma tarefa difícil, como pode ser visto pela Figura 33 que representa a evolução dos limitantes ao longo do tempo na resolução da instância R1 pela estratégia CPX12. É possível perceber que a melhor solução foi encontrada depois de 1.500 segundos e que depois de 2.000 segundos não há mais nenhuma evolução relevante dos limitantes nos próximos 1.600 segundos.

Figura 33 – Valores dos limitantes ao longo do tempo durante a resolução da instância R1 pela estratégia CPX12. Fonte: a autora.

Na Tabela 27 estão descritos alguns detalhes das soluções obtidas pela CPX12. O limitante inferior apresentado nessa tabela é usado para calcular o gap dos resultados obtidos pelos métodos de solução e apresentados nesse capítulo. Na quinta coluna está apresentado o valor obtido com a relaxação linear do modelo MDSL-2E-LT; nota-se que

150 Capítulo 6. Experimentos computacionais

a relaxação é muito fraca. Nessa tabela é apresentado também o tempo para obter a primeira solução factível. Observa-se que esse tempo é menos do que 1 segundo para todas as instâncias, pois uma solução trivial para esse modelo é atrasar toda a demanda, o que é computado rapidamente. Observando o tempo para encontrar a solução incumbente, percebe-se que além de ser difícil obter bons limitantes inferiores, para as instâncias maiores, bons limitantes superiores também exigem bastante tempo computacional, como já discutido anteriormente.

Tabela 27 – Detalhes das soluções obtidas pela estratégia CPX12.

Função gap Limitante Relaxação Tempo para 1a _{Tempo para Tempo}

objetivo inferior linear solução factível solução incumbente total Instância (u.m.) (%) (u.m.) (u.m.) (seg.) (seg.) (seg.) S1 14,01 21,40 11,00 1,40 0,00 7,00 3.600,00 S2 14,01 0,93 13,87 2,79 0,00 2,94 531,89 M1 25,02 41,72 14,57 1,74 0,00 171,45 3.600,00 R1 41,18 75,71 9,96 4,78 0,02 1998,94 3.600,00 R2 50,18 79,34 10,33 6,14 0,03 3577,01 3.600,00 R3 1.237.545,21 100,00 8,62 5,25 0,02 2857,88 3.600,00 R4 173.182.854,35 100,00 22,56 16,92 0,05 3595,23 3.600,00

Todos os subproblemas MIP derivados do MDSL-2E-LT e utilizados pelas estra- tégias relax-and-fix e fix-and-optimize foram resolvidos utilizando a melhor configuração selecionada nestes testes pelo critério função objetivo que é a CPX12.