Modelo Relaxado 2 Pessimista (MR2-P)

O Modelo Relaxado 2 - Pessimista (MR2-P) é dado pela função objetivo (5.31) e pelas expressões (4.5)-(4.24), (5.37)-(5.40) e (5.36). Min ZP ₌X t∈T X j∈J (h+ jIjt++ h−jIjt−) + X m∈M X t∈T X j∈J X i∈J i6=j Cij Zmijt (5.31) + X m∈M X j∈J X t∈T Clp(UI mjt+ U II mjt). s.a.: (4.5), (4.6), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13), (4.14), (4.15). (4.16), (4.17), (4.18), (4.19), (4.20), (4.21), (4.22), (4.23), (4.24). UI mjt≥ (µII,s mjto− µ I,s mjt1) − Mgde(1 − Ymjto) + LPIIUmjtII T Pmax −1, ∀m ∈ M, ∀j ∈ J, ∀t ∈ T, ∀o ∈ Omt. (5.37)

114 Capítulo 5. Métodos heurísticos de programação matemática para o problema UII mjt≥ (µII,e mjto− µ II,s mjt1) + LPIUmjtI T Lmax −1, ∀m ∈ M, ∀j ∈ J, ∀t ∈ T. (5.38)

µI,emjtO ≤ Capmt− LTI

X i∈J UmitI − LT IIX i∈J UmitII , ∀m ∈ M, ∀j ∈ J, ∀t ∈ T. (5.39)

µII,emjtO ≤ Capmt− LTII

X i∈J UmitII − LT IX i∈J UmitI , ∀m ∈ M, ∀j ∈ J, ∀t ∈ T. (5.40)

Xmjto, I_jt+, I_jt−, Vmjt, µI,smjto, µ I,e mjto, µ II,s mjto, µ II,e mjto≥0; UmjtI , U II mjt∈ Z+; (5.36) Zmijt, Ymjto ∈ {0, 1}, ∀m ∈ M, ∀i, j ∈ J, ∀t ∈ T, ∀o ∈ Omt.

A função objetivo (5.31) é idêntica à do modelo MR1-O anterior.

As restrições (5.37) e (5.38) são parecidas com as restrições (5.32) e (5.33), respec- tivamente. Contudo, nelas é suposto que sempre que há uma limpeza temporal no estágio II, acontece uma espera no estágio I (espera (D) - Figura 9). Assim, essa espera entra na contagem do tempo total decorrido desde o início da produção do item j, com a parcela

LPII_UII

mjt na restrição (5.37). Da mesma forma, supõe-se que sempre há uma espera no

estágio II quando acontece uma limpeza temporal no estágio I (espera (C) - Figura9), e o tempo despendido com essas limpezas é estimado na restrição (5.38) por meio da parcela

LPI_UI mjt.

Os tempos decorridos com as limpezas temporais, juntamente com as esperas estimadas, são subtraídos da capacidade por meio das restrições (5.39) e (5.40). O domínio das variáveis é idêntico ao do modelo MR1-O, definido por (5.36).

Resumidamente, as esperas geradas em um estágio devido à realização de limpezas temporais no outro estágio nem sempre acontecem, mas no modelo MR2-P elas sempre são consideradas. Logo, a capacidade nesse caso fica subestimada, pois podem estar sendo descontados valores de espera que na realidade não existem.

A sincronia das soluções obtidas pelos modelos MR1-O e MR2-P também é realizada pelo Algoritmo1. O parâmetro NLotesmt é calculado por

X

o∈Omt

X

j∈J

Ymjto. Os parâmetros

que definem o sequenciamento (SBo) e a quantidade produzida por cada lote (Lto) também

são determinados de acordo com as variáveis Zmijt e Xmjto. A partir desses valores, a

inserção das limpezas temporais e das esperas seguem de acordo com o Algoritmo1. O critério de parada na resolução dos modelos MR1-O e MR2-P é a otimalidade ou um tempo limite. Por serem modelos relaxados e não levarem em consideração as

5.3. Heurísticas relax-and-fix 115

restrições de determinação de limpeza temporal (4.27)-(4.42), são modelos com menos variáveis e restrições do que o MDSL-2E-LT. Nota-se, assim, que o esforço computacional para resolvê-los é bem menor do que para resolver o modelo integrado MDSL-2E-LT, possibilitando, por exemplo, a resolução de instâncias de maior porte, conforme pode ser visto em testes computacionais apresentados no Capítulo6.

Resumo e relação entre os modelos propostos nas estratégias de solução do problema

Além do modelo integrado MDSL-2E-LT apresentado no Capítulo4, foram apresen- tados diversos modelos utilizados nas heurísticas de resolução do problema de programação da produção de bebidas à base de frutas nas Seções 5.1e 5.2. Com o intuito de resumir todos os modelos apresentados e comparar as decisões abordadas por cada um, apresenta-se um resumo destes na Tabela 18. Na primeira coluna é apresentada a abreviação do nome do modelo, juntamente com as expressões que o define. Na segunda coluna são indicados os estágios considerados na modelagem. Dado que o modelo aborda os dois estágios de produção, a consideração da sincronia na modelagem é mostrada na terceira coluna: sincro- nizado (S) ou não sincronizado (NS). E na última coluna é descrito se o modelo representa os custos e tempos de trocas dependentes (DS) ou independentes da sequência (IS). As características preenchidas com “-” não se aplicam ao modelo em questão. Cabe lembrar que a estrutura de modelagem do MDSL-2E-LT implica que esse modelo seja aplicado para ambos os casos (DS ou IS), e como os modelos MR1-O, MR2-P são derivados do MDSL-2E-LT, a mesma consideração é estendida a estes.

Tabela 18 – Resumo dos modelos desenvolvidos para o problema de programação da produção de bebidas à base de frutas.

Modelo Estágio Sincronia Trocas

Nome Expressões I II S NS DS IS MDSL-P (5.1)-(5.12) X - - X MDL-P (5.13);(5.2)-(5.6);(5.14)-(5.17) X - - X MDSL-L (5.18)-(5.23);(5.8)-(5.11);(5.24) X - - X MDL-L (5.25)-(5.30) X - - X MR1-O (5.31);(4.5)-(4.24);(5.32)-(5.36) X X X X X MR2-P (5.31);(4.5)-(4.24);(5.37)-(5.40);(5.36) X X X X X MDSL-2E-LT (4.4)-(4.43) X X X X X

5.3 Heurísticas relax-and-fix

As heurísticas baseadas em programação matemática apresentadas nas Seções 5.1 e 5.2 utilizam modelos próprios em sua composição, que independem do modelo integrado MDSL-2E-LT. Como mencionado anteriormente, esse modelo é difícil de ser resolvido por

116 Capítulo 5. Métodos heurísticos de programação matemática para o problema

Capítulo6. Para um melhor aproveitamento da eficiência do solver CPLEX, um ajuste de parâmetros foi realizado para resolução do modelo MDSL-2E-LT com as instâncias baseadas em dados reais. Uma descrição completa dos parâmetros que foram testados está apresentada no ApêndiceE. Cada configuração de parâmetros testada é chamada de estratégia CPLEX ao longo do texto.

A dificuldade em resolver o modelo é o alto número de variáveis inteiras, binárias e restrições, que, dependendo do tamanho da instâncias, pode passar de dezenas de milhões. Devido à estrutura de modelagem utilizada, o parâmetro |Omt| tem grande influência no

número de variáveis e restrições, que são em grande parte indexadas por o ∈ Omt, como

observado no Capítulo4 pelas expressões (4.44), (4.45) e (4.46), e é difícil de ser estimado de forma precisa.

Assim, nessa seção são propostas heurísticas construtivas relax-and-fix de progra- mação matemática baseadas no modelo MDSL-2E-LT. A heurística relax-and-fix é um método de decomposição que tenta construir iterativamente uma solução para o modelo por meio da resolução de diversos modelos menores derivados do modelo original (POCHET; WOLSEY, 2006). A ideia é explorar a estrutura do modelo, tentando resolvê-lo por partes, de maneira mais fácil. Essas heurísticas tem sido utilizadas com sucesso em diferentes clas- ses de problemas de otimização (TOLEDO et al.,2015; MORENO; ALEM; FERREIRA, 2016), em especial nos problemas de dimensionamento e sequenciamento de lotes de grande porte (FERREIRA; MORABITO; RANGEL, 2010; SANTOS; ALMADA-LOBO, 2012; BALDO et al., 2014; STEINRÜCKEA,2015).

De maneira geral, nas heurísticas relax-and-fix o conjunto de variáveis inteiras é particionado em P conjuntos disjuntos: S1, S2, . . . , Sk, . . . , SP. O procedimento possui P

iterações. A cada iteração k, apenas as variáveis pertencentes ao conjunto corrente Sk são

mantidas como inteiras; as demais variáveis inteiras são relaxadas ou fixadas e o problema menor resultante (subproblema) é resolvido. Se a solução do subproblema for factível, as variáveis do conjunto, ou parte delas, são fixadas em seu valor atual.

Os passos das heurísticas relax-and-fix são apresentados no Algoritmo4.

Como a cada iteração apenas um subconjunto de variáveis é mantido como inteiro, a ideia é que esses subproblemas sejam menores, mais fáceis e mais rápidos de serem resolvidos. Porém, pode ocorrer dos subproblemas ainda não serem resolvidos rapidamente. Neste caso, a cada iteração pode ser determinado um tempo limite para resolução do subproblema. Caso o subproblema seja resolvido até a otimalidade e ainda sobre tempo em uma iteração, esse tempo pode ser transferido para as próximas iterações.

Os diferentes critérios utilizados para particionar o conjunto de variáveis e para estabelecer a fixação das variáveis é que definem as mais diversas heurísticas do tipo

5.3. Heurísticas relax-and-fix 117