Se ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana, para cada par x, y de campos de vetores dife- renci´aveis, ∇xy ´e um campo de vetores diferenci´aveis chamada a derivada covariante
de y na dire¸c˜ao de x, ∇ ´e unicamente definida, bi-linear como fun¸c˜ao de x e y e satisfaz a condi¸c˜ao de simetria
∇xy − ∇yx = [x, y]. (5.1)
Agora se hy, zi = c (constante) ent˜ao
3.5 C´alculos 52
caso que ocorre, por exemplo, quando y e z s˜ao campos invariantes `a esquerda. Se x tamb´em ´e invariante `a esquerda ent˜ao ∇xy ´e invariante `a esquerda. Desta
forma pela equa¸c˜ao (5.2) segue que se x ∈❣, ent˜ao ∇x :❣ → ❣ ´e anti-adjunta.
Se x, y, z ∈❣, ent˜ao pela f´ormula de Kozul temos que h∇xy, zi =
1
2(h[x, y], zi − h[y, z], xi + h[z, x], yi . (5.3) Com uma base ortonormal e1, ..., en de❣ e αijk= h[ei, ej], eki podemos escrever
h∇eiej, eki =
1
2(αijk− αjki+ αkij). Em outras palavras,
∇eiej =
X
k
1
2(αijk− αjki+ αkij)ek. (5.4)
O tensor de curvatura de Riemann R associa a cada par de campos de vetores diferenci´aveis x e y a transforma¸c˜ao linear
Rxy = ∇[x,y]− ∇x∇y+ ∇y∇x
que ´e sempre anti-adjunta. Se u e v s˜ao ortonormais, ent˜ao k(u, v) = hRuvu, vi ´e a
curvatura seccional associada a u e v. As curvaturas seccionais determinam unica- mente R.
Demonstra¸c˜ao do Lema 3.1.1: Seja e1, ...enuma base ortonormal para a ´algebra
de Lie. Utilizando a f´ormula (5.4) na defini¸c˜ao
k(e1, e2) = ∇[e1,e2]e1− ∇e1∇e2e1+ ∇e2∇e1e1, e2
obtemos em cada parcela do produto interno, 1. ∇[e1,e2]e1, e2 = ∇P kα12keke1, e2 = X k α12kh∇eke1, e2i = 1 2 X k,i
α12kh(αk1i− α1ik + αik1)ei, e2i
= 1
2 X
k
2. h∇e1∇e2e1, e2i = * ∇e1 X k 1 2(α21k − α1k2+ αk21)ek, e2 + = 1 2 X k (α21k − α1k2+ αk21) h∇e1ek, e2i = 1 2 X k (α21k − α1k2+ αk21) * 1 2 X j (α1kj − αkj1+ αj1k)ej, e2 + = 1 4 X k (α21k − α1k2+ αk21)(α1k2− αk21+ α21k), 3. h∇e2∇e1e1, e2i = * ∇e2 X k 1 2(α11k− α1k1+ αk11)ek, e2 + = 1 4 X k,j h(α11k − α1k1+ αk11)(α2kj − αkj2+ αj2k)ej, e2i = 1 4 X k (α11k − α1k1+ αk11)(α2k2− αk22+ α22k) = −1 4 X k αk11αk22 e por (1), (2) e (3) se obt´em 3.1.1.
Suponha que a ´algebra de Lie ❣ contenha um ideal ✉ de codimens˜ao 1. Escolha um vetor b ortogonal a✉ e seja L : ✉ → ✉ a transforma¸c˜ao linear ad(b) restrita a ✉, ou seja, L(✉) = [b, ✉]. Considere L∗ a adjunta de L, S = 1
2(L + L
∗) a parte auto-adjunta
de L, o ideal✉ como uma ´algebra de Lie com a m´etrica induzida de ❣ e ∇ a conex˜ao Riemanniana de ✉.
Lema 3.5.1. Com a nota¸c˜ao acima o operador derivada covariante ∇b satisfaz
∇bb = 0 e ∇bu = 12(L − L∗)u ∀u ∈✉.
Similarmente o operador ∇u satisfaz
∇ub = −Su e ∇uv = ∇uv + hSu, vib ∀u, v ∈✉.
Demonstra¸c˜ao. Como,
3.5 C´alculos 54
devemos ter ∇bb = 0. Ainda para ∀z ∈❣
h∇bu, zi =
1
2(h[b, u], zi − h[u, z], bi + h[z, b], ui)
= 1
2(h[b, u], zi + h[z, b], ui)
= 1
2(h[b, u], zi − hu, [b, z]i) obtendo ∇bu = 12(L − L∗)u ∀u ∈✉. Al´em disso,
h∇ub, zi =
1
2(h[u, b], zi − h[b, z], ui + h[z, u], bi)
= 1
2(h[u, b], zi + hu, [z, b]i)
= −1
2(h[b, u], zi + hu, [b, z]i) assim, ∇ub = −Su ∀u ∈✉.
Quanto a ∇uv, calculemos em duas partes, uma nos dar´a a componente de ∇uv
na dire¸c˜ao de b e a outra a express˜ao das componentes que est˜ao na dire¸c˜ao de✉. 1.
h∇uv, bi =
1
2(h[u, v], bi − h[v, b], ui + h[b, u], vi)
= 1 2(hLv, ui + hLu, vi) = hSu, vi . (5.5) 2. Sejam u, v, w ∈✉, ent˜ao h∇uv, wi =∇uv, w ✉.
Logo as componentes de ∇uv que n˜ao na dire¸c˜ao de b coincidem com as componentes
de ∇uv, ou seja, ∇uv ´e igual a ∇uv mais a componente na dire¸c˜ao de b
∇uv = ∇uv + hSu, vib.
Demonstra¸c˜ao do Exemplo Especial: Para quaisquer elementos x e y na ´algebra de Lie ❣ suponha que [x, y] seja uma combina¸c˜ao linear de x e y ([x, y] = ax + by). Fixando x considere a aplica¸c˜ao ad(x) e induzimos uma aplica¸c˜ao Tx :❣/Rx → ❣/Rx
mapeia todo vetor y de❣/Rx em um m´ultiplo by. Mostremos agora que o fator b s´o depende de x. De fato, sejam x, y, z ∈❣, por um lado [x, y + z] = a1x + b1(y + z) e
por outro lado [x, y +z] = [x, y]+[x, z] = a2x+b2y +a3x+b3z = (a2+a3)x+b2y +b3z
e a1x + b1y + b1z = a2x + b2y + a3x + b3z. Se x, y e z s˜ao linearmente independentes
obtemos b1 = b2 = b3. Portanto tomando o processo acima atrav´es de uma base de
❣ obtemos o requerido. Denotaremos a constante b por l(x), ou seja, Tx(y) = l(x)y
e [x, y] ≡ l(x)y(modRx).
Tomemos uma base ortonormal {e1 = x, e2, ..., en} de ❣, ent˜ao {e2, ..., en} ´e uma
base de ❣/Rx. Tomando os operadores ad(x) e Tx, nas bases anteriores pode-se
checar facilmente a rela¸c˜ao tr(ad(x)) = (n − 1)l(x) onde tr designa a aplica¸c˜ao tra¸co. Com isso se ku + v ∈❣, (n − 1)l(ku + v) = (n − 1)(kl(u) + l(v)) verificando que l(x) depende linearmente de x. Note que [x, y] ≡ l(x)y(modRx) recupera a parte que depende linearmente de y enquanto [x, y] = −[y, x] ≡ −l(y)x(modRy) recupera a parte que depende linearmente de x. Desta forma podemos escrever [x, y] = l(x)y − l(y)x mesmo quando x e y s˜ao linearmente dependentes.
Desconsiderando o caso l = 0 (comutativo), seja ✉ = nucleo(l). Note que se u ∈ ✉ e y ∈ ❣, ent˜ao [u, y] = −l(y)u e [u, y] ∈ ✉, portanto nucleo(l) ´e um ideal e evidentemente comutativo.
Escolha um vetor unit´ario b⊥✉ e seja l(b) = klk = λ. Utilizando a nota¸c˜ao em 3.5.1 a aplica¸c˜ao L(u) = [b, u] ´e dada por L(u) = l(b)u = λu. Se z ∈ ❣, podemos escrever z = kb + v onde k ∈ R, v ∈✉. Observe que
·, ∇uv = 12(h[u, v], .i − h[v, .], ui + h[., u], vi) ∀u, v ∈✉
o que implica que ∇uv = 0.
Com isso obtemos,
∇uz = ∇ukb + ∇uv = − kkk Su + ∇uv + hSu, vi b
= λ(b hu, zi − u hb, zi). (5.6)
Agora afirmamos que Rxy ´e dado por
3.5 C´alculos 56
para todo x, y, z ∈❣.
Inicialmente se x = b e y = u ∈✉, aplicando 3.5.1 obtemos Rbu = ∇[b,u]− ∇b∇u+ ∇u∇b = ∇λu= λ∇u− 0 + 0
e por (5.6) temos (5.7). Suponha ent˜ao que x, y ∈✉, Rxyz = ∇[x,y]z − ∇x∇yz + ∇y∇xz
= −∇x∇yz + ∇y∇xz
= −λ∇x(b hy, zi − y hb, zi) + λ∇y(b hx, zi − x hb, zi)
= −λ hy, zi ∇xb + λ hb, zi ∇xy + λ hx, zi ∇yb − λ hb, zi ∇yx
= λ2hv, zi u + λ2hb, zi b hu, vi − λ2hu, zi v − λ2hb, zi b hv, ui = λ2(u hv, zi − v hu, zi).
O restante dos casos seguem destes e da bi-linearidade de R. Por fim, k(x, y) = hRxy(x), yi
= λ2hx hy, xi − y hx, xi , yi = λ2(hx, yi2− hx, xi hy, yi).
Portanto se x e y s˜ao ortonormais a curvatura seccional determinada por x e y ´e k(x, y) = −λ2. Em outras palavras o grupo de Lie possui curvatura seccional cons-
tante K ≡ − klk2.
Demonstra¸c˜ao do Lema 3.2.4: Por hip´otese existe um vetor unit´ario b⊥[❣, ❣], desta forma [❣, ❣] est´a contido no complemento ortogonal de b, que denotaremos ✉, fazendo de ✉ um ideal e nos deixando nas condi¸c˜oes de 3.5.1.
Por defini¸c˜ao r(b) = k(b, u1) + ... + k(b, un−1) onde u1, ..., un−1 ´e uma base orto-
normal de✉. Vamos trabalhar com uma base ortonormal de autovetores da aplica¸c˜ao auto-adjunta S, onde Sui = λiui.
Para qualquer vetor unit´ario em✉ temos, K(b, u) = hRbu(b), ui = h−S[b, u], ui + h∇bSu, ui = h−SLu, ui + 1 2(L − L ∗)Su, u .
hLui, uii = hui, L∗uii = λi, k(b, ui) se reduz a k(b, ui) = h−SLui, uii = − hLui, λiuii = −λ2i Portanto, r(b) = n−1 X i=1 −λ2i = −tr(S2)
e desta forma r(b) ≤ 0, obtendo r(b) = 0 se, e s´o se, S = 0, ou seja, se L ´e anti-adjunta.
Observa¸c˜ao 3.5.2. Isso n˜ao mostra que k(b, u) ≤ 0 para qualquer u ∈ ✉ e sim se u for autovetor de S. Para um exemplo, considere o grupo de Heisenberg onde [❣, ❣] = span {e1}, se tomarmos b = e3 e span {e1, e2} =✉ obtemos
k(e3, e1) = ke3× e1k2 ρ2 − r(e3 × e1) = ρ2 − ρ = −ρ2 > 0.
Note que Se1 = 12L∗e1 = −12λ1e2 e e1 n˜ao ´e autovetor de S.
Seja ❣ uma ´algebra de Lie, ✉ um ideal de codimens˜ao 1 com m´etrica induzida, ρ(❣) a curvatura escalar referente a ❣ e ρ(✉) a curvatura escalar restrita a u. Ainda com a nota¸c˜ao de 3.5.1 temos o seguinte.
Lema 3.5.3. A curvatura escalar ρ(❣) associada a ´algebra de Lie ❣ ´e igual a ρ(✉) − tr(S2) − (tr(S))2.
Demonstra¸c˜ao: Dados vetores ortonormais u, v ∈ ✉, comparemos a curvatura seccional
k(u, v) =∇[u,v]u, v − h∇u∇vu, vi + h∇v∇uu, vi
calculada em ❣, com a curvatura seccional
k(u, v) =∇[u,v]u, v − ∇u∇vu, v + ∇v∇uu, v
3.5 C´alculos 58
calculada em ✉. Utilizando do Lema 3.5.1 que ∇uv = ∇uv + hSu, vi b temos
k(u, v) = ∇[u,v]u, v − ∇u∇vu, v + ∇v∇uu, v + hSv, ui2 − hSu, ui hSv, vi
= k(u, v) + hSv, ui2− hSu, ui hSv, vi .
Escolhendo uma base ortonormal de autovetores, de Sui = λiui segue que
k(ui, uj) = k(ui, uj) − λiλj
para i 6= j. Combinando com a f´ormula k(b, ui) = −λ2i obtemos
r(ui) = k(b, ui) + n−1 X j=1 k(ui, uj) = −λ2i + n−1 X j=1 k(ui, uj) − λiλj = r(ui) − λitr(S) enquanto r(b) =Pn−1
i=1 −λ2i = −tr(S2), juntando teremos
ρ(❣) = n−1 X i=1 r(ei) − tr(S2) = ρ(✉) − n−1 X i=1 λitr(S)) − tr(S2) = ρ(✉) − (tr(S))2 − tr(S2).
Demonstra¸c˜ao do Teorema 3.3.1: Note que se❣ ´e sol´uvel ent˜ao [❣, ❣] = ❣(1) 6=❣,
desta forma todo subespa¸co de ❣ de dimens˜ao n − 1 que contenha ❣(1) ´e um ideal
de codimens˜ao 1. Agora seja n a dimens˜ao de❣ e mostremos por indu¸c˜ao em n que ρ(❣) ≤ 0.
Se❣ ´e sol´uvel e ✉ ´e um ideal de codimens˜ao 1, ✉ ´e tamb´em sol´uvel e por indu¸c˜ao ρ(✉) ≤ 0. Portanto,
ρ(❣) ≤ −(tr(S))2− tr(S2) ≤ 0
enquanto a igualdade vale se S = 0 e ρ(✉) = 0. Note que se dim(✉) = 2, ent˜ao ✉ ´e comutativo ou est´a nas condi¸c˜oes do exemplo especial e teremos ρ(✉) ≤ 0.
Agora suponha que S = 0 e ρ(✉) = 0 e mostremos que ❣ ´e flat. Como S = 0, de 3.5.1 obtemos
para quaisquer u, v ∈✉ e
Ruv(w) = ∇[u,v]w − ∇u∇vw + ∇v∇uw
= Ruv(w) (5.8)
para quaisquer u, v, w ∈✉. Assumindo que ρ(✉) = 0, por hip´otese de indu¸c˜ao ✉ ´e flat, assim Ruv(w) = 0. Novamente por 3.5.1, ∇xb = ∇kbb + ∇ub onde x = kb + u com
k ∈ R e u ∈✉ e disso ∇xb = −Su = 0 se S = 0. Portanto Rxy(b) = 0 ∀x, y ∈❣.
Por fim, pela simetria de R temos
hRxy(b), zi = hRbz(x), yi
e segue que Rbz = 0 ∀z ∈❣.
Em resumo Rbz = 0, Rxy(b) = 0 ∀x, y, z ∈❣ e Ruv(w) = 0 ∀u, v, w ∈✉. Portanto
pela tri-linearidade de R segue que R ≡ 0.