invariantes `a esquerda de curvaturas constantes negativas. Por fim se 0 < D < 1 e η = 0, ent˜ao 0 < ξ < 1 e com isso r(e1) = −2−2ξ2, r(e2) = −2−2ξ, r(e3) = −2+2ξ
e ρ = −6 − 2ξ2, se u, v ∈❣ s˜ao ortonormais com u × v = ǫ1e1 + ǫ2e2 + ǫ3e3, ent˜ao
novamente pelo Lema 3.4.3
k(u, v) = −3 − ξ2+ (2 + 2ξ2)ǫ21+ (2 + 2ξ)ǫ22+ (2 − 2ξ)ǫ23 ≤ −3 − ξ2+ 2 + 2ξ
= −1 + ξ(2 − ξ) = −(ξ + 2)2 < 0
e as curvaturas seccionais s˜ao estritamente menores que zero.
3.7
M´etricas bi-invariantes
Relembremos que uma m´etrica em G ´e chamada bi-invariante se ´e invariante por transla¸c˜oes a esquerda e a direita.
Lema 3.7.1. Uma m´etrica invariante `a esquerda em G ´e tamb´em invariante `a direita se, e s´o se, para cada elemento g ∈ G a transforma¸c˜ao linear
Ad :❣ −→ ❣
´e um isometria com respeito a m´etrica induzida em ❣.
Demonstra¸c˜ao. Sejam Lg : G −→ G e Rg : G −→ G as transla¸c˜oes `a esquerda e `a
direita respectivamente, a aplica¸c˜ao Ad(g) :❣ −→ ❣ ´e desta forma a diferencial em e de Lg ◦ Rg−1. Portanto se a m´etrica d invariante `a esquerda ´e tamb´em invariante
`a direita temos (Lg ◦ Rg−1)∗d = L∗gd = d onde * denota o pull-back da m´etrica
d e Ad(g) ´e uma isometria de ❣ com a m´etrica d restrita a ❣. Reciprocamente se Ad(g) :❣ −→ ❣ ´e uma isometria de ❣ com respeito a m´etrica d restrita a ❣, teremos R∗
gd = (Rg−1)∗e(Lg)g∗−1d = (Lg◦ Rg−1)∗ed = d.
Observa¸c˜ao 3.7.2. Do Lema 3.7.1 se conclui que o homomorfismo ❣ 7−→ Ad(g) deve mapear G no grupo ortogonal n-dimensional.
Lema 3.7.3. No caso de um grupo G conexo, a m´etrica invariante `a esquerda ´e bi-invariante se, e s´o se, a transforma¸c˜ao linear ad(x) ´e anti-adjunta para todo g ∈❣.
Demonstra¸c˜ao. Inicialmente tome g ∈ G na imagem de exp : ❣ −→ G. Assim g = exp(x) para algum x ∈❣. Como Ad(g) = Ad(exp(x)) = ead(x) e pelo Lema 3.7.1 µ ´e
bi-invariante se, e s´o se, Ad(g) ´e ortogonal para todo g ∈ G. Supondo µ bi-invariante temos que Ad(g)−1 = Ad(g)∗ e portanto e−ad(x) = Ad(g)−1 = Ad(g)∗ = ead(x)∗
e −ad(x) = ad(x)∗ para todo x na imagem de exp. Para um g arbitrario, note que pela
conexidade de G, g = exp(x1) · · · exp(xn), ent˜ao Ad(g) = Ad(exp(x1) · · · exp(xn)) =
Ad(exp(x1)) · · · Ad(exp(xn)) e o resultado segue do fato que produto de operadores
ortogonais ´e ortogonal.
Defini¸c˜ao 3.7.4. Diremos que uma m´etrica em ❣ ´e bi-invariante se ad(x) ´e anti- adjunta ∀x ∈❣.
Note que o definido acima se transfere naturalmente a qualquer sub´algebra de❣. Agora se❣ ´e bi-invariante temos,
h∇xy, zi = 1 2(h[x, y], zi − h[y, z], xi + h[z, x], yi = 1 2(h[x, y], zi + h[z, y], xi + h[z, x], yi = 1
2(h[x, y], zi − hy, [z, x]i + h[z, x], yi
= 1 2h[x, y], zi , ou seja, ∇x = 1 2ad(x)
ent˜ao a curvatura obt´em a forma Rxy = ∇[x,y] − ∇x∇y + ∇y∇x = 12ad([x, y]) − 1
4ad(x)ad(y) + 1
4ad(y)ad(x) e pela identidade de Jacobi ad([x, y]) = ad(x)ad(y) −
ad(y)ad(x) obtemos,
Rxy =
1
4ad([x, y]). Novamente por Jacobi se obt´em
k(x, y) = hRxyx, yi
= 1
4h[[x, y], x], yi
= 1
3.7 M´etricas bi-invariantes 72
e podemos concluir que k(x, y) ≥ 0, com igualdade se, e s´o se, [x, y] = 0. Ainda r(x) =P
ik(x, y) ≥ 0 sendo zero se, e s´o se, [x, ei] = 0 com i = 1, ..., n, ou seja, se,
e s´o se, x pertence ao centro de ❣.
Para uma f´ormula explicita da forma quadr´atica de Ricci seja K(x, y) = tr(ad(x)ad(y)) a forma de Killing. Como r(x) pode ser definida como o tra¸co da transforma¸c˜ao linear y 7−→ Rxyx = − 1 4[x, [x, y]] = − 1 4ad(x)ad(x)y = − 1 4ad(x) 2y
(veja [2] pg. 108) segue que r(x) = −14K(x, x). Desta forma a curvatura de Ricci ´e um invariante com rela¸c˜ao a m´etricas bi-invariantes.
Observa¸c˜ao 3.7.5. Do afirmado acima segue que no caso tridimensional todas as curvaturas independem da escolha da m´etrica bi-invariante.
Lema 3.7.6. Se a m´etrica em ❣ ´e bi-invariante, ent˜ao o complemento ortogonal de qualquer ideal ´e um ideal. Portanto ❣ pode ser expressa como uma soma direta ortogonal de ideais simples.
Demonstra¸c˜ao. Seja❛ um ideal de ❣ e considere y arbitr´ario e ortogonal a ❛. Ent˜ao devemos mostrar que [x, y] ´e ortogonal a ❛, ou seja, que est´a no complemento orto- gonal de ❛. De fato,
h[x, y], ai = − hy, [x, a]i
para todo a ∈❛. Assim ❣ = ❛ ⊕ ❛⊥ e o resultado segue por indu¸c˜ao.
Se❣ ´e igual a soma direta ortogonal ❛1⊕ · · · ⊕❛nde ideais simples, ent˜ao o grupo
de Lie simplesmente conexo ˜G com ´algebra ❣ pode ser expresso pelo cartesiano dos subgrupos normais e simplesmente conexos Ai gerados pelos ideais ❛i. Para cada
fator Ai existem duas op¸c˜oes:
Caso 1: Se ❛i ´e comutativa, ent˜ao ❛i deve ser 1-dimensional. Com efeito, se por
exemplo span {u, v} = ❛i, ent˜ao span {u} e span {v} s˜ao ideais de ❛i, um absurdo.
Portanto❛i ´e 1-dimensional e devemos ter❛i isomorfa a R. Como Ai ´e simplesmente
conexo se conclui que Ai ∼= R.
Caso 2: Se ❛i ´e n˜ao-comutativa, ent˜ao o centro de ❛i ´e um ideal trivial, pois ❛i
u 6= 0 tal que u⊥[❛i,❛i]. Isso junto ao fato de ad(x) ser anti-adjunta para todo x ∈❛i
(❛i ´e bi-invariante) aplicado ao Lema 3.2.1, nos garante que Ai possui curvatura de
Ricci estritamente positiva. Por fim, devido ao Lema 3.2.2, temos que Ai´e compacto.
Lema 3.7.7. O grupo de Lie conexo G admite uma m´etrica bi-invariante se, e s´o se, ele ´e o produto cartesiano de um grupo compacto e de um grupo vetorial aditivo. Demonstra¸c˜ao. Suponha que G admita uma m´etrica bi-invariante. Ent˜ao aplicando os casos 1 e 2 acima, seu recobrimento universal ˜G pode ser escrito ˜G = H × Rm
onde H ´e compacto. Agora G = ˜G/Γ onde Γ ´e um subgrupo discreto e central. Projetando Γ em Rm, considere V o espa¸co vetorial gerado por essa proje¸c˜ao e V⊥
seu complemento ortogonal. Ent˜ao ˜G ∼= H × V × V⊥ e G ∼= (H × V × V⊥)/Γ ∼= (H × V )/Γ × V⊥ onde (H × V )/Γ ´e compacto. De fato, escreva Γ = Γ
H× ΓV onde
ΓH ⊂ H e ΓV ⊂ V . Desta forma ´e suficiente, uma vez que H ´e compacto, mostrar
que V /ΓV ´e compacto. Para isso escolha uma base {v1, ..., vn} ⊂ ΓV de V e perceba
que pela estrutura de grupo de ΓV se vγ ∈ ΓV, ent˜ao kvγ ∈ ΓV para todo k ∈ Z. Se
v ∈ V ´e dado por v = a1v1+ · · · + anvn, escrevemos os coeficientes como ai = a
′ i+ a”i, onde a′ i ∈ [0, 1) e a”i ∈ Z. Ent˜ao v = a′1v1+ · · ·a ′ nvn+ a”1v1+ · · ·a”nvn= a ′ 1v1+ · · ·a ′ nvn+ vγ
para algum vγ ∈ ΓV e v pertence a classe de equivalˆencia de a
′
1v1+ · · ·a
′
nvn.
Agora note que isso mostra que V /ΓV ´e imagem do poliedro formado pelos vetores
da base {v1, ..., vn}, que ´e compacto.
Reciprocamente, suponha que G = H × Rm. Atribu´ımos m´etricas a H e a
Rm, este segundo sendo comutativo, toda m´etrica invariante `a esquerda ´e tamb´em
invariante `a direita. Quanto a H, sendo compacto, ´e unimodular, considere a medida de Haar bi-invariante µ e um produto interno h·, ·i qualquer em❣. Defina a aplica¸c˜ao (·, ·) :❣ × ❣ −→ R pondo,
(u, v) = Z
H
hAd(g)u, Ad(g)vi dµ.
Facilmente se mostra que Ad(g) ´e isometria com respeito a (·, ·) para todo g ∈ H. Logo o Lema 3.7.1 garante que a m´etrica induzida via transla¸c˜oes a esquerda de (·, ·) ´e tamb´em invariante `a direita. Por fim, para uma m´etrica bi-invariante em H × Rm,
3.7 M´etricas bi-invariantes 74
Lema 3.7.8. Se a ´algebra de Lie ❣ de um grupo de Lie compacto ´e simples, ent˜ao a m´etrica bi-invariante ´e ´unica a menos de multiplica¸c˜ao por uma constante positiva. Tal m´etrica necessariamente possui curvatura de Ricci constante.
Demonstra¸c˜ao. Seja h·, ·i uma m´etrica bi-invariante em❣. ´E poss´ıvel se obter todas as m´etricas em ❣ a partir da m´etrica inicial e um operador auto-adjunto S devida- mente escolhido (este fato n˜ao depende da bi-invariˆancia da m´etrica), pondo hS·, ·i. Se esta nova m´etrica obtida for bi-invariante, ent˜ao ad(x) ´e anti-adjunta em ambas, ou seja,
hv, Sad(u)yi = h−ad(u)v, Syi = hv, ad(u)Syi
e ad(u)S = Sad(u) para todo u ∈ ❣. Agora se ✈ ´e um autoespa¸co associado ao autovalor λ de S temos que, S([u, v]) = [u, Sv] = [u, λv] = λ[u, v] e ad(u)v pertence ao autoespa¸co ✈, ∀u ∈ ❣ e v ∈ ✈, ou seja, ´e um ideal. Como ❣ ´e simples, ✈=❣ e Su = λu para todo u ∈ ❣. Desta forma, hSx, yi = λ hx, yi e hS·, ·i = λ h·, ·i. Tamb´em pelo Lema 3.2.1, r(u) > 0 para todo u ∈ ❣ e as curvaturas principais de Ricci s˜ao maiores que zero. Em outras palavras a forma quadr´atica de Ricci possui diagonal com elementos estritamente maiores que zero (quando escrita na sua forma diagonal), portanto r ´e definida positiva e define um produto interno em ❣. Para ver que hˆr·, ·i ´e bi-invariante note que em tal m´etrica a norma de qualquer vetor permanece invariante por transla¸c˜oes. Por fim, pelo feito acima ˆr(x) = λx para todo x ∈❣ e
r(x) = hˆr(x), xi = λ para todo x ∈❣ com kxk = 1.
Se tomarmos a m´etrica hˆr(u), vi, ou equivalentemente, multiplicarmos a m´etrica h·, ·i por λ, como a forma de Ricci permanece inalterada, todo vetor unit´ario nesta m´etrica dever´a satisfazer r(x) = 1.
Corol´ario 3.7.9. Qualquer grupo de Lie G cujo recobrimento universal ˜G ´e com- pacto admite uma m´etrica bi-invariante com curvatura de Ricci constante +1. Demonstra¸c˜ao. Se ˜G ´e compacto, ent˜ao admite uma m´etrica bi-invariante, ❣ pode ser escrita como soma direta de ideais ❣ = ❛1 ⊕ · · · ⊕❛n e consequentemente ˜G =
pelo observado nos casos 1 e 2 anteriormente, Ai ´e compacto e ❛i ´e simples para
i = 1, ..., n. Aplicando o Lema 3.7.8, cada Ai admite uma m´etrica h·, ·ii tal que
ri ≡ +1. Definindo a m´etrica produto em ˜G teremos que com rela¸c˜ao a tal m´etrica
a curvatura de Ricci ´e identicamente +1. Por fim, G ´e localmente isom´etrico a ˜G e possui portanto uma m´etrica bi-invariante com curvatura de Ricci identicamente +1.
Observa¸c˜ao 3.7.10. Existe nas condi¸c˜oes do corol´ario anterior exatamente uma m´etrica bi-invariante tal que a curvatura de Ricci ´e identicamente +1. De fato nestas condi¸c˜oes a forma de Killing ´e n˜ao degenerada. Sendo bi-linear, sim´etrica e negativa definida, −B(x, y) define uma m´etrica bi-invariante e como j´a vimos, r(x) = −1
4B(x, x). Quanto a unicidade, note que qualquer m´etrica satisfazendo tais
condi¸c˜oes em G induz uma m´etrica de mesmas condi¸c˜oes em ˜G e consequentemente em Ai onde ˜G = A1× · · · × An. A unicidade de tais m´etricas nos Ai’s nos garante
que a m´etrica inicial ´e −14B(x, y).
Lema 3.7.11. Seja G um grupo de Lie e suponha que G seja isom´etrico a Rn.
Ent˜ao G n˜ao admite subgrupos compactos que n˜ao o trivial.
Demonstra¸c˜ao. Suponha por absurdo que G admita um subgrupo compacto K. Considere h·, ·i uma m´etrica invariante `a esquerda de forma que o elemento de volume Riemanniano νk = pdet(gij)dx esteja normalizado e f : G −→ Rn uma isometria.
Nestas condi¸c˜oes, o grupo de isometrias que age a esquerda em K dado por EK =
{Eg : G −→ G; g ∈ K} induz naturalmente um grupo de isometrias que age em f (K)
dado por FK = {fg = f ◦ Eg◦ f−1; Eg ∈ EK}. Mostremos que FK admite um ponto
fixo em Rn. Tal conclus˜ao implica na existˆencia de um ponto fixo em G para E K
o que nos conduz a um absurdo, pois transla¸c˜oes n˜ao triviais n˜ao admitem pontos fixos.
A isometria f induz em f (K) transla¸c˜oes dadas por fg ∈ FK. Como grupos de
Lie s˜ao orient´aveis, se considerarmos (uα, φα) um sistema de coordenadas positivo
em K, (uα, f ◦ φα) ´e um sistema de coordenadas em f (K) e fica bem definido o
elemento de volume νk(f (x)) = νk(x) em f (K). Como νk ´e invariante `a esquerda
em K teremos,
3.7 M´etricas bi-invariantes 76
e νk ´e invariante pelas transla¸c˜oes fg em f (K). Considere p : f (K) −→ f (K) o
vetor posi¸c˜ao de f (K) em Rn. Mostraremos agora que y = R
f(K)p(x)νk(x) ´e um
ponto fixo de FK. Seja (uα, ψα) = (uα, f ◦ φα) o sistema de coordenadas em f (K),
{ηα} uma parti¸c˜ao da unidade subordinada a esta cobertura, uα= X1α∪ · · · ∪ Xrα
onde Dα = {X1α, ..., Xrα} ´e uma parti¸c˜ao de uα em J-mensur´aveis e Dα∗ = (Dα, xjα)
um pontilhamento de Dα. A primeira afirma¸c˜ao a verificar ser´a a igualdade fg(y) =
R
f(K)fg◦ p(x)νk(x). Com efeito, escreva fg = L + b, onde L ´e uma transforma¸c˜ao
linear ortogonal e b um vetor de Rn. Ent˜ao teremos
fg(y) = fg( Z f(K) p(x)νk(x)) = fg( X α Z uα p(ψα(x))ηα(x) q det(gα ij)(x)dx) = fg( X α lim |Dα|→0 X j p(ψα(xjα))ηα(xjα)V ol(Xjα)) = lim |Dα|→0 fg( X α X j p(ψα(xjα))ηα(xjα)V ol(Xjα)) = lim |Dα|→0 L(X α X j p(ψα(xjα))ηα(xjα)V ol(Xjα)) + b = lim |Dα|→0 L(X α X j p(ψα(xjα))ηα(xjα)V ol(Xjα)) + bV ol(f (K)) = lim |Dα|→0 L(X α X j p(ψα(xjα))ηα(xjα)V ol(Xjα)) + X α X j bηα(xjα)V ol(Xjα) = lim |Dα|→0 X α X j (L(p(ψα(xjα)) + b)ηα(xjα)V ol(Xjα) = X α Z uα fg◦ p(ψα(x))ηα(x) q det(gα ij)(x)dx = Z f(K) fg ◦ p(x)νk(x).
Logo podemos concluir que fg(y) = Z f(K) fg◦p(x)νk(x) = Z f(K) p◦fg(x)νk(x) = Z f(K) p◦fg(x)νk(fg(x)) = Z f(K) p(z)νk(z),
onde a pen´ultima e a ´ultima igualdade segue da invariˆancia e mudan¸ca de coorde- nadas respectivamente.
Demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1.6: Seja G um grupo de Lie simplesmente co- nexo que admita uma m´etrica invariante `a esquerda flat. Como variedade Rieman- niana, G ´e isom´etrico a Rn (veja [2] pg.181). Segue imediatamente do Lema 3.7.11
que G n˜ao possui subgrupos compactos que n˜ao {e}. Para qualquer ❣ com m´etrica invariante `a esquerda, x, y e z ∈ ❣, a conex˜ao Riemanniana satisfaz x hy, zi = 0 = h∇xy, zi + hy, ∇xzi. Portanto h∇xy, zi = hy, −∇xzi e a aplica¸c˜ao linear x 7−→ ∇x
aplica ❣ na ´algebra de Lie ♦(n) das aplica¸c˜oes anti-adjuntas de ❣ em ❣. Se K ≡ 0, ent˜ao R ≡ 0 e temos ∇[x,y] = ∇x∇y − ∇y∇x, o que mostra que x 7−→ ∇x ´e um ho-
momorfismo de ´algebras de Lie. Seu n´ucleo✉ ´e um ideal. Como [x, y] 7→ ∇xy − ∇yx,
✉ ´e comutativo. Tome ❜ o complemento ortogonal de ✉. Ent˜ao para cada b ∈ ❜ e x ∈ ✉ vale [b, x] = ∇bx e a aplica¸c˜ao anti-adjunta ∇b mapeia ✉ em si mesmo. Se
b′ ∈ ❜, ent˜ao h∇
bb′, ui = − hb′, ∇bui = hb′, u′i = 0 e ∇b aplica ❜ em si mesmo.
Assim [b, b′] = ∇
bb′ − ∇b′b ∈ ❜ e ❜ ´e uma sub´algebra de Lie de ❣. Como ❜ n˜ao
possui elementos de ✉ diferentes do vetor nulo, x 7−→ ∇x aplica isomorficamente ❜
na sua imagem, uma sub´algebra de Lie de ♦(n), que por sua vez ´e ´algebra do grupo compacto O(n) e possui uma m´etrica bi-invariante. Portanto ❜ possui uma m´etrica bi-invariante e pelo Lema 3.7.6, ❜ = ❜1 ⊕ · · · ⊕❜k, com ❜i ideal simples para cada
i = 1, ..., k. Cada ❜i ´e comutativo, pois caso contrario o respectivo grupo de Lie
Bi seria compacto e a inclus˜ao ❜i ⊂ ❜ ⊂ ❣ induziria um homomorfismo Bi −→ G
n˜ao trivial e G conteria um subgrupo compacto n˜ao trivial, absurdo. Desta forma, ❜ ´e comutativo, para cada b ∈ ❜ e gu + gb = g ∈ ❣ onde gu ∈ ✉ e gb ∈ ❜ obtemos
ad(b)g = [b, g] = ∇bg = ∇bgu + ∇bgb = ∇bgu + [b, gb] = ∇bgu, ou seja, ad(b) ´e
anti-adjunta, restrita a ❜ ´e nula e restrita a ✉ coincide com ∇b. Logo ❣ = ✉ ⊕ ❜, ✉ ´e
ideal comutativo, ❜ ´e sub´algebra comutativa e ad(b) ´e anti-adjunta.
Reciprocamente. se as hip´oteses est˜ao satisfeitas se obt´em facilmente que ∇u ≡ 0,
∇b ≡ ad(b) e consequentemente Rxy ≡ 0.
Como aplica¸c˜ao deste resultado construiremos m´etricas de curvatura escalar es- tritamente positiva. Para isso utilizaremos o Teorema de Iwasawa abaixo.
Teorema de Iwasawa. Se G ´e um grupo de Lie conexo, ent˜ao:
1. Todo subgrupo compacto esta contido em um subgrupo compacto maximal H, qual ´e necessariamente um grupo de Lie conexo.
3.7 M´etricas bi-invariantes 78
3. Como espa¸co topol´ogico, G ´e homeomorfo ao produto de H e algum espa¸co Euclidiano Rm.
Para uma demonstra¸c˜ao veja [5].
Corol´ario 3.7.12. O recobrimento universal de G ´e homeomorfo ao espa¸co Eucli- diano se, e s´o se, todo subgrupo compacto de G ´e comutativo.
Demonstra¸c˜ao. No que se segue o s´ımbolos ∼=t ser´a utilizado para homeomorfismo.
Suponha que ˜G ∼=t Rn. Pelo Teorema de Iwasawa podemos escrever G ∼=t H ×
Rm, onde H ´e compacto e maximal. Desta forma, H admite m´etrica bi-invariante
e podemos decompor sua ´algebra de Lie ❤ em soma direta de ideais simples ❤1 ⊕
· · · ⊕❤l. Caso H admita subgrupos compactos n˜ao-comutativos, existiriam ideais
que denotaremos sem perda de generalidade ❤1, ...,❤s com s ≤ l n˜ao-comutativas
e pelo caso 2 acima os grupos de Lie simplesmente conexos respectivos ˜H1, ..., ˜Hs
seriam compactos. Portanto ˜G ∼=t H˜1 × · · · × ˜Hs × Rk, onde ˜H1 × · · · × ˜Hs ´e
compacto o que nos fornece um absurdo, uma vez que os grupos de homologia de Rne ˜H1× · · · × ˜Hs× Rk s˜ao distintos. Logo todo subgrupo compacto de G deve ser comutativo. Reciprocamente, se cada subgrupo compacto de G ´e comutativo, ent˜ao ❤1, ...,❤l s˜ao ideais comutativos e pelo caso 1 acima ˜H ∼=tRl como quer´ıamos.
Demonstra¸c˜ao do Teorema 3.3.4: Seja G um grupo de Lie conexo n˜ao ho- meomorfo a Rn, ent˜ao pelo corol´ario anterior G admite um subgrupo H compacto
e n˜ao-comutativo. Pelo Teorema de Iwasawa podemos assumir que H ´e conexo. A compacidade de H permite definir uma m´etrica em ❣ de forma que Ad(h) : ❣ −→ ❣ seja isometria sempre que h ∈ H. Basta proceder como na prova do Lema 3.7.7. Com esta m´etrica seja e1, ..., em uma base ortonormal para ´algebra de Lie ❤ de H
e estenda a uma base ortonormal e1, ..., en de ❣. Observando as igualdades ma de-
monstra¸c˜ao do Lema 3.7.3 se nota que ad(e1), ..., ad(em) ´e anti-adjunta. Fixe ǫ > 0 e
defina uma nova base e′
1 = e1, ..., e′m = em, e′m+1 = ǫem+1, ..., e′n= ǫen e uma m´etrica
h·, ·iǫ exigindo que tal base seja ortonormal. Analisando as novas constantes de es- truturas em termos das iniciais temos,
[e′ i, e′j] =
Pm
[e′
i, e′j] = [ei, ǫej] =
Pm
k=1(αijkǫ)ek +
Pn
k=m+1(αijk)ǫek caso i = 1, ..., m e j =
m + 1, ..., n e
[e′
i, e′j] = [ǫei, ǫej] =Pmk=1(αijkǫ2)ek+Pnk=m+1(αijkǫ)ǫek caso i, j = m + 1, ..., n.
Fazendo ǫ −→ 0, as constantes de estrutura no primeiro caso permanecem inal- teradas. No segundo caso αijk = 0 se k = 1, ..., m mostrando que [e′i, e′j] ∈ ❤⊥ se
i = 1, ..., m e j = m + 1, ..., n. No terceiro caso αijk = 0 para todo k mostrando
que ❤⊥ ´e um ideal comutativo. Escrevendo ❣0 a ´algebra de Lie limite vemos que
❣0 =❤ ⊕ ❤⊥. Assim temos uma nova ´algebra de Lie com base e m´etrica inicial fixada.
Perceba agora que ad(b) ´e anti-adjunta ∀b ∈❤. Com efeito, note que [e′
l, e′i], e′j = 0
se l, i = 1, ..., m e j = m + 1, ..., n. Nos casos onde i e j pertencem ao mesmo conjunto {1, ..., m} ou {m + 1, ..., n} teremos constantes de estruturas proporcionais as iniciais, logo ad(b) ´e anti-adjunta para todo b ∈ ❤. Pelo mesmo argumento da prova do Teorema 3.1.6, ∇u = 0 para todo u ∈ ❤⊥ e segue que Rxu = 0. Assim
k(x, u) = hRxux, uiǫ = 0. Em particular r(u) = 0 para todo u ∈ ❤⊥. Por outro
lado, se b ∈ ❤, ent˜ao r(b) ≥ 0 pelo Lema 3.2.1 onde a igualdade n˜ao pode ocorrer sempre, pois ❤ ´e n˜ao-comutativo. Portanto na ´algebra limite ❣0 com m´etrica h·, ·iǫ a curvatura escalar ρ = r(e′
1) + ... + r(e′n) > 0. Por continuidade ρ(❣ǫ0) > 0 para
ǫ0 suficientemente pequeno. Por fim a ´algebra de Lie ❣ǫ0 base e
′
1 = e1, ..., e′m =
em, e′m+1 = ǫ0em+1, ..., e′n = ǫ0en e m´etrica h·, ·iǫ0 ´e a ´algebra inicial com m´etrica tal
que ρ > 0.
Observa¸c˜ao 3.7.13. Note que acima k(u, x) = 0 se u ∈ ❤⊥. Como ad(b) ´e anti- adjunta para todo b ∈❤. podemos concluir por 3.1.2 que a ´algebra limite nos fornece um exemplo cujas curvaturas seccionais satisfazem K ≥ 0.
REFERˆENCIAS BIBLIOGR ´AFICAS
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[12] WARNER, F. W. Fundations of differentiable danifolds and Lie groups. Phila- delphia. Pennsylvania: Springer, 1983.
´INDICE REMISSIVO
´algebra de Lie, 21 centro de, 39 comutativa, 22 ideal de, 22 nilpotente, 22 semi-simples, 22 simples, 22 sol´uvel, 22 sub´algebra de, 22 campo de vetores diferenci´avel, 12 invariante `a direita, 23 invariante `a esquerda, 23 paralelo, 15 conex˜ao afim, 14 Riemanniana, 16 constantes de estrutura, 37 curvatura de Ricci, 41 escalar, 44 Riemanniana, 18 seccional, 37 derivada covariante, 15 exponencial, 17 de Lie, 25 grupo de Lie, 21 de Lie unimodular, 40 topol´ogico, 19 grupos de Lie E(1, 1), 33 E(2), 31 SL(2, R), 28 SO(3), 29 SU (2), 28 grupo de Heinsenberg, 30 identidade de Bianchi, 18 de Jacobi, 12 isometria, 14 local, 14 m´etrica bi-invariante, 70 invariante `a direita, 27invariante `a esquerda, 27 Riemanniana, 13 transla¸c˜ao `a direita, 20 `a esquerda, 20 variedade diferenci´avel, 9 orient´avel, 11 Riemanniana, 13 Riemanniana flat, 40