Algorítimo de bisseção e o método VPI

O algorítimo de bisseção é um tipo de Metropolis de múltiplos níveis normalmente usado na amostragem de caminhos ℛ = (𝑅1, 𝑅1, ..., 𝑅𝑀) a partir de uma distribuição de probabilidades dada por

𝑝(ℛ) ∝ 𝜌(𝑅1, 𝑅2, 𝜏 )...𝜌(𝑅𝑀 −1, 𝑅𝑀, 𝜏 ), (5.3.1) com 𝜌(𝑅, 𝑅′, 𝜏 ) sendo uma aproximação para o elemento de matriz do operador de evolução

temporal ^𝜌(𝜏 ) = exp(−𝜏 ^𝐻) válida para 𝜏 pequeno, como definido no Capítulo 2, ou seja,

𝜌(𝑅, 𝑅′, 𝜏 ) = 𝜌0(𝑅, 𝑅′, 𝜏 )e−𝜗(𝑅,𝑅

′_{,𝜏 )}

. (5.3.2)

Aqui, 𝜗(𝑅, 𝑅′, 𝜏 ) pode ser dado, por exemplo, pela aproximação primitiva, Eq. (2.2.4), pela aproximação Suzuki-Chin de pares, Eq. (2.2.7), ou qualquer outra aproximação encontrada na ref. [22], e 𝜌0(𝑅, 𝑅′, 𝜏 ) é o projetor de partículas livres dado por,

𝜌0(𝑅, 𝑅′, 𝜏 ) = (4𝜋𝜆𝜏 )−

3𝑁 2 e−

(𝑅−𝑅′)2

4𝜆𝜏 . (5.3.3)

Em um dado nível 𝑖 do algorítimo de bisseção, sorteamos configurações 𝑅′ com a probabi- lidade do nível sendo

𝜋𝑖(𝑅′) = 𝜌(𝑅, 𝑅′, 𝜏𝑖)𝜌(𝑅′, 𝑅”, 𝜏𝑖) (5.3.4) com 𝑅 e 𝑅′′ mantidos fixos e 𝜏𝑖 sendo um múltiplo de 𝜏 . No último nível 𝜏ℓ = 𝜏 para que o balanço detalhado do Metropolis de múltiplos níveis amostre 𝑝(ℛ). É necessário, então, uma regra para movermos a configuração 𝑅′ para uma configuração 𝑆′ que poderá ou não ser aceita dependendo do critério de Metropolis. Essa regra é dada pela probabilidade de transição 𝑇𝑖

𝑅′_𝑆′. Veremos que uma boa escolha é,

𝑇_𝑅𝑖′_𝑆′ = 𝑇_𝑆𝑖′ = 𝜌₀(𝑅, 𝑆′, 𝜏_𝑖)𝜌₀(𝑆′, 𝑅′′, 𝜏 ) ∝ exp ⎧ ⎨ ⎩ −(4𝜆𝜏𝑖)−1 [︃ 𝑆′− (︃ 𝑅 + 𝑅′′ 2 )︃]︃2⎫ ⎬ ⎭ . (5.3.5) Com essa probabilidade de transição, os 𝑆′ são gerados a partir de uma distribuição gaussiana cujo valor médio é (𝑅 + 𝑅”)/2 e a variância é √2𝜆𝜏𝑖, ou seja,

𝑆′ = 𝑅 + 𝑅”

2 +

√︁

2𝜆𝜏𝑖𝜂, (5.3.6)

com 𝜂 sendo uma configuração composta por 3𝑁 números aleatórios gerados a partir de uma distribuição normal centrada em zero e com variância igual a 1.

O critério de aceitação de 𝑆′ é obtido substituindo as Eqs. (5.3.4) e (5.3.5) na Eq. (5.2.2) e notando que as gaussianas provenientes de 𝑇𝑖 _{se cancelam com as de 𝜋}

𝑖, 𝐴𝑖_𝑅′_𝑆′ = min [︁ 1, exp(Δ𝜗𝑖−1_𝑅′_𝑆′ − Δ𝜗𝑖_𝑅′_𝑆′) ]︁ ,

onde Δ𝜗𝑖

𝑅′_𝑆′ = 𝜗(𝑅, 𝑆′, 𝜏_𝑖)+𝜗(𝑆′, 𝑅”, 𝜏_𝑖)−𝜗(𝑅, 𝑅′, 𝜏_𝑖)−𝜗(𝑅′, 𝑅”, 𝜏_𝑖). Note que não consideramos a gaussiana em 𝜋𝑖−1, já que ela já havia sido cancelada pela probabilidade de transição no nível anterior. Em outras palavras, uma probabilidade de transição dada pela Eq. (5.3.6) amostra exatamente os termos Gaussianos da distribuição de probabilidades 𝜋𝑖 de modo que não precisamos considerá-los no balanço detalhado.

Tendo o procedimento de como será feita a amostragem em cada um dos níveis falta esta- belecer quais serão as configurações que consideraremos em cada um deles. Da maneira que o algorítimo de bisseção é construído, o caminho a ser gerado aleatoriamente deverá conter 2ℓ+ 1 configurações caso executemos o Metropolis com ℓ níveis. Vamos adotar a notação de que as configurações que determinam este caminho discreto estejam representadas por índices que va- riem de 1 a 2ℓ+ 1. As extremidades deste caminho, 𝑅1 e 𝑅2ℓ₊₁, serão mantidas fixas, de modo

que serão amostradas apenas as 2ℓ_{− 1 configurações internas. No primeiro nível, seccionemos} o caminho ao meio e consideramos a configuração central, de índice 1 + 2ℓ−1_{, a partir do cami-} nho aproximado 𝑅1 → 𝑅1+2ℓ−1 → 𝑅₂ℓ₊₁ através de 𝜋₁ = 𝜌(𝑅₁, 𝑅₁₊₂ℓ−1, 𝜏₁)𝜌(𝑅₁₊₂ℓ−1, 𝑅₂ℓ₊₁, 𝜏₁)

com 𝜏1 = 2ℓ−1𝜏 , ou seja, deslocaremos 𝑅1+2ℓ−1 para uma configuração 𝑆₁₊₂ℓ−1 gerada a partir

de uma distribuição gaussiana centrada no ponto médio entre 𝑅1 e 𝑅2 com variância

√ 2ℓ_{𝜆𝜏 ,} vide Eq. (5.3.6). No segundo nível, consideramos as duas metades de caminho provenientes da etapa anterior e também as seccionamos ao meio de modo a gerar as configurações de ín- dices 1 + 2ℓ−2 e 1 + 3(2ℓ−2), pertencentes ao centro dos caminhos 𝑅1 → 𝑅1+2ℓ−2 → 𝑆₁₊₂ℓ−1 e

𝑆₁₊₂ℓ−1 → 𝑅₁₊₃₍₂ℓ−2₎ → 𝑅₂ℓ₊₁ com 𝜏₂ = 2ℓ−2𝜏 . Continuamos com esse processo de bisseção

e amostragem até que todas as configurações tenham sido sorteadas, exceto as extremidades. De forma geral, no 𝑖-ésimo nível consideramos as configurações de índice 1 + 2ℓ−𝑖𝑛, onde 𝑛 são

números ímpares menores que 2𝑖_{, com 𝜏}

𝑖 = 2ℓ−𝑖.

Por exemplo, na bisseção com 2 níveis, Fig. 5.1, deslocamos as configurações 𝑅2, 𝑅3e 𝑅4 do

caminho que vai de 𝑅1 a 𝑅5. No primeiro nível, dividimos o caminho ao meio para gerar novas

coordenadas para 𝑅3. No segundo nível, consideramos as duas metades de caminho provenientes

do nível anterior, partimos ao meio e geramos novas coordenadas para 𝑅2 e 𝑅4. Sempre no

primeiro nível, o deslocamento efetivo será maior, e esta é a vantagem deste algorítimo. Se o primeiro nível passa pelo critério de aceitação, entende-se que o caminho foi deslocado para uma região de probabilidades favoráveis e, portanto, é mais fácil de os outros níveis serem também aceitos, lembrando que no Metropolis de múltiplos níveis todos eles devem ser aceitos. Dessa forma, a amostragem se torna mais eficiente pois evita que o caminho se desloque para regiões ruins do espaço amostral onde pequenos movimentos são sempre recusados.

No método VPI, usamos a bisseção com 3 níveis, este é o número de níveis mais con- vencionalmente utilizado. Um número maior de níveis torna o passo inicial tão grande que a probabilidade de aceitação fica muito baixa. Dito isso, o caminho que amostraremos po- derá ter em torno de 50 configurações, sendo um número maior do que as 9 configurações que são consideradas na bisseção de 3 níveis. Então, escolhemos aleatoriamente um trecho com 9 configurações do caminho total e aplicamos o algorítimo nele. Em cada passo de Monte Carlo, sortearemos então um número de trechos tal que em média todas as configurações sejam amostradas. Através deste algorítimo, as extremidades nunca são consideradas e, assim, para amostrá-las usamos o Metropolis simples que funciona muito bem nelas já que estão associadas a funções de onda.

Com o método VPI já estando descrito e a maneira de gerar caminhos que amostrem a densidade de probabilidades estando definida, apresentaremos no capítulo seguinte nossos resultados e discussões.

(a)

(b)

(c)

Figura 5.1: Algorítimo de bisseção com 2 níveis. (a) Primeiro nível, 𝑆3 é gerada a partir do

ponto médio entre 𝑅1 e 𝑅2. (b) Segundo nível, 𝑆2 e 𝑆4 são geradas a partir dos pontos médios

entre 𝑅1 e 𝑆3 e 𝑆3 e 𝑅5. (c) Caminho original (linha tracejada) e caminho resultante (linha

Capítulo 6

Discussão dos resultados

Os sistemas formados por átomos de3_{He há muito são investigados e um sólido conhecimento}

de suas propriedades pode ser encontrado na literatura [1, 5, 6, 10, 19, 22, 24, 29, 33–39, 43,

52–55]. Entretanto, ainda hoje, os métodos teóricos mais sofisticados de que dispomos não conseguem explicar todos os resultados experimentais destes sistemas [1]. A energia cinética dos átomos de 3He em sua fase líquida é uma das propriedades onde há uma discordância entre resultados teóricos e experimentais. Neste trabalho, para enfrentar estas dificuldades, estendemos o método VPI para sistemas fermiônicos e o aplicamos a um líquido formado por átomos de 3He, sistema que é um importante ponto de referência para sistemas quânticos de muitos corpos.

Sistemas fermiônicos são de grande interesse em ciência abrangendo áreas que variam desde a física da matéria condensada até a física de partículas e até mesmo diversos campos da química. A discordância entre experimento e teoria na caracterização de uma quantidade tão simples quanto a energia cinética, que não ocorre unicamente em líquidos de3_{He, provavelmente}

o sistema de muitos férmions fortemente correlacionados mais simples, é no mínimo perturba- dora. Através do método VPI pudemos abordar este problema obtendo acordo com os dados experimentais [2]. Além disso, dada a sua versatilidade, fomos capazes de fazer uma análise das aproximações utilizadas nos cálculos teóricos prévios e que não forneciam acordo com dados experimentais. Antes de discutirmos nossos resultados, iremos primeiramente apresentar alguns detalhes sobre a simulação.

6.1

Simulação

Aplicamos o método VPI num sistema composto por 𝑁 = 54 átomos de 3_{He na sua densi-}

dade de equilíbrio 𝜌 = 0.0163 Å−3. Este método fornece estimativas à temperatura 𝑇 = 0 K. Nestas condições o sistema encontra-se na fase superfluida B, como mostra a Fig. 1.1.

Para compararmos nossos resultados com os dados experimentais, onde o sistema contém muito mais do que 54 átomos, utilizamos condições periódicas de contorno em todas as paredes da caixa de simulação. Consideramos um sistema não polarizado onde o número de átomos com spin ↑ é igual ao número de átomos com spin ↓. O número de partículas igual a 54 é escolhido para que a superfície de Fermi associada ao determinante de Slater da Eq. (4.2.2) seja preenchida.

Fizemos os cálculos da energia total, cinética e potencial para diversos valores do tempo imaginário 𝛽 = 𝑀 𝜏 , onde 𝜏 foi mantido fixo e igual a 1.5 10−3K−1e variamos o valor do número

de beads 𝑀 até atingirmos o estado fundamental. Também calculamos a função de distribuição de pares para um valor de 𝛽 onde foi observada a convergência para o estado fundamental.

O cálculo foi dividido em blocos compostos de um mesmo número de passos, em cada um destes passos geramos os caminhos discretos, como discutido no Capítulo 5. O problema fermiônico do sinal, que prejudica a eficiência dos cálculos, é contornado através de uma nova implementação da aproximação de nó fixo, apresentada no Capítulo 3. Calculamos então o valor local das propriedades de interesse através dos estimadores definidos no Capítulo2. Desta forma, somos capazes de calcular um valor médio e um erro estatístico associados à cada um destes blocos. Os primeiros blocos são sempre descartados para que consideremos no cálculo apenas amostragens que satisfaçam o balanço detalhado e que qualquer influência de uma configuração inicial arbitrária possa ser descartada. Como configuração inicial, escolhemos todos os átomos, de todas as configurações do caminho, posicionados numa rede fcc cujas dimensões são ajustadas à densidade do sistema, apesar de não estarmos simulando um sólido, esta escolha de configuração inicial ajuda a atingirmos o balanço detalhado mais rapidamente. Consideramos 150 blocos de 8 mil passos dos quais os 50 primeiros foram descartados.