Calculamos a energia total em função do tempo imaginário 𝛽, 𝐻(2𝛽), aplicando o Hamil- toniano diretamente no estado tentativa, Eq. (2.2.21), pois este estimador é o que fornece o menor erro estatístico e é exato no cálculo do valor esperado do Hamiltoniano. Os valores obtidos para 𝐻(2𝛽) foram calculados através das duas funções de onda tentativa consideradas neste trabalho, a função de Jastrow-Slater (JS), Eq. (4.0.1) e a função de Jastrow Slater com correlações de backflow e três-corpos (JS+BF+T). Os resultados são apresentados na Figura (6.1) onde é possível notar o decaimento exponencial para o estado fundamental que só pode ser atingido caso as estruturas nodais das funções de onda tentativa fossem idênticas àquela do estado fundamental. Nesse sentido, é evidente a melhoria na estrutura nodal devido às correlações de backflow. Daqui adiante, consideraremos apenas a função de onda JS+BF+T em nossos cálculos.
Para obter uma estimativa para a energia total do estado fundamental do sistema ajustamos à cauda da Figura6.1(𝛽 > 1.5 10−2K−1) a uma reta constante obtendo um valor de −2.41±0.01 K/atom, sendo um excelente limite superior para a medida experimental de −2.47 ± 0.01 K/atom [54].
Nos cálculos da energia cinética e potencial utilizamos o Hamiltoniano aplicado no bead central, Eq. (2.2.11), e também o estimador termodinâmico, Eqs. (2.2.14), (2.2.17) e (2.2.18). Também ajustamos os valores convergidos a uma reta constante, da mesma forma feita no cálculo da energia total, e apresentamos os resultados na Tabela6.1onde também consideramos uma média entre os dois estimadores utilizados.
Para a energia cinética, como nosso melhor valor, adotamos 10.16 K/atom que está de acordo com a maioria dos dados experimentais encontrados na literatura [36–39]. Na Figura
6.2, apresentamos o nosso resultado junto com estes dados que em sua maioria se encontram entre 8 e 11 K/atom.
Outros cálculos teóricos, utilizando principalmente o método diffusion Monte Carlo, para a energia cinética se encontram entre 12 e 13 K/atom [33–35] estando em desacordo com a maioria dos dados experimentais. Cabe aqui pontuar que a determinação de um valor para a energia cinética do estado fundamental deste sistema é desafiador tanto do aspecto teórico
−2.6
−2.4
−2.2
−2
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
H
(2
β
)
(K/atom)
β (10
−2K
−1)
Figura 6.1: Energia total 𝐻(2𝛽) de um sistema de 3He na fase líquida em função do tempo imaginário 𝛽. Quadrados representam cálculos considerando projeções a partir da função de onda JS e círculos representam os cálculos com a função JS+BF+T. Em 𝛽 = 0 plotamos o valor puramente variacional associado a cada uma das funções de onda.
Tabela 6.1: Valores estimados para as energias cinética e potencial em unidades de K/atom. Os resultados foram calculados através dos estimadores direto e termodinâmico (Term.), com projeções a partir da função de onda JS+BF+T. Também consideramos uma média entre as estimativas destes dois estimadores.
Estimador Energia cinética Energia potencial
Direto 10.19 ± 0.07 −12.75 ± 0.01
Term. 10.14 ± 0.07 −12.75 ± 0.01
7
8
9
10
11
12
13
14
Kinetic
energy
(K/atom)
Figura 6.2: Resultado VPI para energia cinética, quadrado cheio, comparado com resultados experimentais, símbolos vazios. Os pontos foram deslocados horizontalmente para facilitar o entendimento. Os resultados experimentais são das seguintes referências: Losango ([39]), quadrado ([38]), círculo ([37]), triângulo ([55]) e triângulo invertido ([36]).
quanto experimental. Cálculos de Monte Carlo [cass00,33,35] feitos previamente se baseavam em extrapolações que adicionam um viés variacional ao resultado (vide Capítulo 2e Apêndice
C). Com o método VPI, obtivemos um resultado teórico livre de viés e em acordo com a maioria dos dados experimentais. No entanto, um dos dados experimentais concorda com o resultado enviesado dos cálculos anteriores [55], não obstante, sua barra de erros permite concordância também com outros resultados experimentais [36–39]. Solucionar a discordância entre teoria e experimento é de interesse atual e a temperatura finita o valor experimental chega ser 50% menor que o teórico [1].
A fim de fazer uma análise da técnica de extrapolação, Eq. (2.2.22), definimos um novo estimador, o estimador local. Neste estimador, aplicamos o valor local de um dado operador em qualquer bead do caminho discreto. Ele é uma forma mais geral dos estimadores direto e misturado. Se aplicado no bead central, retomamos o primeiro, e, se aplicado na extremidade do caminho, retomamos o segundo. Para um valor de 𝛽 grande o suficiente para a projeção no estado fundamental, a aplicação do valor local do operador em beads mais próximos a uma das extremidades nos permite obter uma estimativa misturada associada a uma “função de onda tentativa” mais próxima ao estado fundamental que a JS+BF+T. Foi possível então calcularmos resultados extrapolados associados ao estado |Ψ(𝛽)⟩ = ^𝜌(𝛽) |Ψ𝑇⟩, com 𝛽 variando de 0 até valores que projetem o estado fundamental. Desta maneira, uma estimativa extrapolada para a energia cinética no estado fundamental seria dada por,
𝑇0 ≈ 2
⟨Ψ(𝛽)| ^𝑇 |𝜑0⟩
⟨Ψ(𝛽)| 𝜑0⟩
−⟨Ψ(𝛽)| ^𝑇 |Ψ(𝛽)⟩ ⟨Ψ(𝛽)| Ψ(𝛽)⟩ .
Os resultados obtidos foram traçados na Figura 6.3 onde fica claro que as extrapolações são apenas viáveis quando o a função de onda “variacional” já convergiu para o estado fundamental. Na Fig. 6.3, em 𝛽 = 0, encontramos a energia cinética extrapolada associada à função de onda JS+BF+T: esse valor é de de 11.27 ± 0.01 K/atom. Esse valor pode ser comparado com o valor extrapolado obtido a partir de outros métodos de Monte Carlo que utilizam essa mesma
8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Kinetic energy estimates (K/atom) β (10−2 K−1)
Figura 6.3: Estimativas da energia cinética associados ao estado projetado |Ψ(𝛽)⟩ = ^𝜌(𝛽) |Ψ𝑇⟩. Círculos representam resultados variacionais, ∝ ⟨Ψ(𝛽)| ^𝑇 |Ψ(𝛽)⟩, quadrados para os resultados
obtidos através do estimador misturado, ∝ ⟨Ψ(𝛽)| ^𝑇 |𝜑0(𝛽)⟩, e triângulos para os resultados
extrapolados. As curvas são ajustes polinomiais de quarta ordem.
função de onda [35]. Vemos que o valor extrapolado pelo método VPI não está em acordo com nosso resultado exato nem com os resultados de outros métodos de Monte Carlo. O fato de nosso valor extrapolado estar mais próximo do valor exato do que o resultado dos outros métodos indica que no método VPI há uma exploração mais efetiva do espaço de configurações. A aproximação extrapolativa usa o valor variacional para cancelar contribuições de primeira ordem em Ψ𝑇 − Φ0 no estimador misturado. No entanto, em sistemas fermiônicos este cancelamento
não ocorre completamente devido ao problema do sinal. A estimativa variacional não sofre deste problema, pois nela amostramos Ψ2
𝑇 que nunca é negativa. Dessa forma, o espaço de integração do estimador misturado, no qual precisamos aplicar as restrições de nó fixo, é diferente do espaço de integração do estimador variacional e o cancelamento desejado deixa de ocorrer.
Esta melhora na amostragem ocorre basicamente porque estes outros métodos, vide Apên- dice C, projetam o estado fundamental através de iterações. Ao invés de escrever o projetor para um valor grande de 𝛽 através de uma integração de caminhos, esses métodos aplicam o projetor para um valor de 𝛽 pequeno, representado na maioria das vezes pela aproximação primitiva da Eq. (2.2.4). Diversas vezes, e em cada uma destas iterações, a aproximação do nó fixo tem que ser considerada, ou seja, são excluídas amostragens tais que a probabilidade troca de sinal. Isso seria equivalente no método VPI a considerar as restrições do nó fixo em todos os beads ao invés de considerá-las apenas nas extremidades do caminho. De certo modo, pode-se então dizer que o método VPI alivia o problema do sinal fermiônico em relação a outros métodos de Monte Carlo.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
2
3
4
5
6
7
↑↓
↑↑
0.95
1
5
6
7
0.45
0.5
5
6
7
g
(r
)
r (˚A)
Figura 6.4: Distribuição radial de pares 𝑔(𝑟), em magenta, e suas componentes que consideram os átomos com spins paralelos (↑↑) e antiparalelos (↑↓). Linhas cheias representam cálculos exatos e as tracejadas cálculos extrapolados. Os insets mostram detalhes próximos ao primeiro mínimo.
Também calculamos a função de distribuição radial,
𝑔(𝑟) = 1 Vol ⟨ ∑︁ 𝑖<𝑗 𝛿(𝑟 − 𝑟𝑖𝑗) ⟩ , (6.2.1)
onde Vol é o volume da caixa de simulação e ⟨...⟩ representa uma média no estado |Ψ(𝛽)⟩ = ^
𝜌(𝛽) |Ψ𝑇⟩ com um valor de 𝛽 onde o estado fundamental tenha sido evoluído para o estado fundamental. A função 𝑔(𝑟) é uma distribuição de probabilidades que conta o número de pares de átomos que estão a uma distância relativa 𝑟. Nosso resultado foi traçado na Figura6.4 onde também calculamos as componentes de 𝑔(𝑟) onde são considerados apenas os átomos com spins paralelos (↑↑) e antiparalelos (↑↓).
Na Figura 6.4 também mostramos resultados extrapolados a fim de ressaltar ainda mais o poder do método VPI que é capaz de fornecer estimativas não enviesadas. A curva referente a componente que considera átomos de spins antiparalelos tem um pico mais pronunciado já que tais átomos não sofrem do princípio de exclusão de Pauli.
Capítulo 7
Conclusões
Ao aplicar o método VPI no cálculo de propriedades do 3He na fase líquida, uma das
peças fundamentais de sistemas quânticos de muitos corpos, obtemos excelente acordo com dados experimentais, mostramos que nossa extensão do método para sistemas fermiônicos é robusta e eficiente. Além do mais, através de estimativas livres de viés variacional, fomos capazes de aprimorar a concordância entre dados experimentais e cálculos teóricos no que concerne a energia cinética deste sistema. Além disso, nos aproveitando da flexibilidade deste método, fomos capazes de calcular valores extrapolados para algumas quantidades e compará-los com cálculos teóricos anteriores que necessitam desta extrapolação. Através desta comparação concluímos que o método VPI aplicado a sistemas fermiônicos explora melhor o espaço de configurações devido a um relaxamento das restrições que devem ser impostas para evitar o problema do sinal. Mostramos também que, mesmo melhorando a função de onda tentativa, as extrapolações fornecem resultados que não são confiáveis, e, portanto, o uso de métodos capazes de estimativas não enviesadas, como o método VPI, devem ser escolhidos preferencialmente.
Por fim, a extensão de métodos de Monte Carlo do estado fundamental para serem aplicados à sistemas fermiônicos pode parecer simples. No entanto, o problema de convergência que estes métodos numéricos enfrentam devido à estatística de Fermi-Dirac é tão complexo que as adaptações precisam serem feitas com cautela, afinal qualquer aproximação utilizada para contorná-lo deve fornecer estimativas num tempo computacional praticável. A amostragem dos caminhos no método VPI é complexa e não muito eficiente, sendo inclusive recomendado o uso de programação em paralelo. Nesse sentido, nossa percepção de que a estatística fermiônica pode ser considerada apenas nas extremidades do caminho foi muito válida, mesmo porque, através dessa ideia, pudemos aliviar o problema do sinal fermiônico.
7.1
Perspectivas futuras: entropia de emaranhamento
Entropia de emaranhamento, ou entropia de Rényi, é uma medida do emaranhamento entre duas sub-regiões espaciais, 𝐴 e 𝐵, de um sistema 𝑆 = 𝐴 ∪ 𝐵. Essa entropia é dada por,
𝑆𝛼(𝐴) = 1
1 − 𝛼ln [Tr(^𝜌 𝛼 𝐴)] ,
onde 𝛼 é um número inteiro, ^𝜌𝐴= Tr𝐵(^𝜌), e ^𝜌 é a matriz densidade do sistema.
Particularmente, é interessante a forma como 𝑆𝛼 escala com o tamanho de 𝐴. Para o estado fundamental do sistema, onde ^𝜌 = |Φ0⟩ ⟨Φ0|, não é incomum que a entropia de emaranhamento
escale com a área da superfície envolvendo a região 𝐴, de onde dizemos que esta segue uma lei de área, assim como a entropia de buracos negros como observado por Berkenstein [56] e Hawking [57].
Há poucos, anos foi desenvolvido um algorítimo para o cálculo da entropia de Rényi através do método VPI [58,59]. Este algorítimo foi recentemente utilizado [60] no cálculo da entropia de emaranhamento de uma porção esférica de um líquido de4He e o restante do sistema. O líquido
se encontrava no estado fundamental sob sua própria pressão de vapor estando, portanto, no estado superfluido. Variando o raio da esfera, foi observado que a entropia de emaranhamento segue uma lei de área.
Agora que estendemos o método VPI para ser aplicado à sistemas fermiônicos, pretendemos utilizá-lo no cálculo da entropia de emaranhamento entre sub-regiões de um líquido formado por átomos de3He em seu estado fundamental. Lembrando que aqui será imprescindível utilizarmos
uma função de onda tentativa que possibilite a formação de pares de Cooper. Com uma função de onda desse tipo poderemos também estimar a fração de condensado do sistema.
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Apêndice A
Operadores em representação de
coordenadas
Neste apêndice mostramos a representação em coordenadas dos operadores que investigare- mos nesta tese. A saber estes operadores são: operador de energia potencial, operador referente a função de distribuição radial, operador de energia cinética e o Hamiltoniano do sistema.
A.1
Energia potencial e distribuição radial
Os operadores ^𝑉 e ^𝑔(𝑟) são diagonais na representação de coordenadas e portando suas
formas nesta representação são obtidas muito facilmente. Para o potencial ^𝑉 temos, 𝑉 (𝑅, 𝑅′) = ⟨𝑅| ^𝑉 |𝑅′⟩ = 𝑉 (𝑅)𝛿(𝑅 − 𝑅′),
onde 𝑉 (𝑅) = ∑︀
𝑖<𝑗𝑣(𝑟𝑖𝑗), com 𝑣(𝑟) sendo o potencial interatômico. Analogamente para a distribuição radial temos 𝑔(𝑅, 𝑅′, 𝑟) = ⟨𝑅| ^𝑔(𝑟) |𝑅′⟩ = 𝑔(𝑅, 𝑟)𝛿(𝑅 − 𝑅′). Num líquido isotópico,
como o formado por átomos de 3He, temos 𝑔(𝑅, 𝑟) = 𝑔(𝑟) sendo dada pela Eq. (6.2.1).
A.2
Energia cinética e Hamiltoniano
O operador de energia cinética é dado por ^𝑇 = ^𝑝2/2𝑚, onde
^
𝑝2 =∑︁ 𝑖
^
𝑝2𝑖,
onde 𝑝 é o momento total do sistema composto por 𝑁 átomos. Então,
𝑇 (𝑅, 𝑅′) = ⟨𝑅| ^𝑇 |𝑅′⟩ = 1
2𝑚⟨𝑅| ^𝑝
2|𝑅′⟩ =∫︁ ∫︁
𝑑𝑝 𝑑𝑝′⟨𝑅| 𝑝⟩ ⟨𝑝| ^𝑝2|𝑝′⟩ ⟨𝑝′| 𝑅′⟩ , (A.2.1) onde |𝑝⟩ é o estado representando o momento total do sistema. Substituindo ⟨𝑅| 𝑝⟩ = exp (𝑖𝑝𝑅/~),
𝑝𝑅 =∑︁
𝑖
p𝑖· r𝑖, na Eq.(A.2.1) temos,
𝑇 (𝑅, 𝑅′) = 1 2𝑚 ∫︁ ∫︁ 𝑑𝑝 𝑑𝑝′e𝑖𝑝𝑅~ e− 𝑖𝑝′𝑅′ ~ 𝑝2𝛿(𝑝 − 𝑝′) = 1 2𝑚 ∫︁ 𝑑𝑝 e𝑖𝑝(𝑅−𝑅′)~ 𝑝2. (A.2.2)
Na Eq.(A.2.2) podemos substituir 𝑝2 por −~2∑︁ 𝑖 ∇2𝑖 ≡ −~2∇2, de modo a obtermos, 𝑇 (𝑅, 𝑅′) = − ~ 2 2𝑚∇ 2∫︁ 𝑑𝑝 e𝑖𝑝(𝑅−𝑅′) ~ = −~ 2 2𝑚∇ 2𝛿(𝑅 − 𝑅′ ). (A.2.3) Portanto 𝑇 (𝑅, 𝑅′) = 𝑇 (𝑅)𝛿(𝑅 − 𝑅′) com, 𝑇 (𝑅) = − ~ 2 2𝑚 ∑︁ 𝑖 ∇2 𝑖.
O Hamiltoniano do sistema, ^𝐻 = ^𝑇 + ^𝑉 , quando em representação de coordenadas, fica
como 𝐻(𝑅) = −~ 2 2𝑚 ∑︁ 𝑖 ∇2 𝑖 + ∑︁ 𝑖<𝑗 𝑣(𝑟𝑖𝑗).
Apêndice B
Integrais de caminho de Feynmann e
𝜌(𝑅, 𝑅
′
, 𝛽)
Neste apêndice iremos determinar a forma analítica do elemento de matriz do operador de evolução temporal em tempo imaginário ^𝜌(𝛽) = exp(−𝛽 ^𝐻) em representação de coordenadas.
Iremos escrever 𝜌(𝑅, 𝑅′, 𝛽) = ⟨𝑅| ^𝜌(𝛽) |𝑅′⟩ como a exponencial da ação 𝑆[𝑅(𝑡)], associada ao caminho 𝑅(𝑡), integrada em todos os caminhos que levam de 𝑅 a 𝑅′ num tempo imaginário 𝛽. A grande dificuldade em obter uma expressão analítica para 𝜌(𝑅, 𝑅′, 𝛽) vem de o operador
de energia cinética ^𝑇 não comutar com o operador de energia potencial ^𝑉 , o que acarreta
basicamente em duas coisas: (a) ^𝑇 e ^𝑉 não dispõe de uma base de auto-estados em comum; e
(b) ^𝜌(𝛽) = exp(−𝛽 ^𝐻) ̸= exp(−𝛽 ^𝑇 ) exp(−𝛽 ^𝑉 ).
A implicação de (a) é que não podemos expandir ^𝜌(𝛽) numa base onde ^𝑇 e ^𝑉 sejam ambos
diagonais, por exemplo, na base formada pelas configurações 𝑅, a qual estamos interessados, ^
𝑉 é diagonal mas ^𝑇 não é. E por (b) não podemos introduzir a relação de completeza de uma
base onde ^𝑇 seja diagonal entre as exponenciais ^𝜌0(𝛽) ≡ exp(−𝛽 ^𝑇 ) e ^𝑈 ≡ exp(−𝛽 ^𝑉 ).
Para lidar com este problema lançamos mão da fórmula de Trotter-Suzuki, Eq.(2.2.3),
𝜌(𝑅, 𝑅′, 𝛽) = ⟨𝑅| 𝑒−𝛽(𝑇 +𝑉 )|𝑅′⟩ = lim
𝑀 →∞⟨𝑅| [ ^𝜌0(𝜏 ) ^𝑈 (𝜏 )]
𝑀|𝑅′⟩ ,
(B.0.1)
com 𝜏 = 𝛽/𝑀 , e reescrevemos a Eq. (B.0.1) como
𝜌(𝑅, 𝑅′, 𝛽) = lim 𝑀 →∞⟨𝑅| ^𝜌0(𝜏 ) ^𝑈 (𝜏 )... ^𝜌0(𝜏 ) ^𝑈 (𝜏 ) |𝑅 ′⟩ , ou ainda, 𝜌(𝑅, 𝑅′, 𝛽) = lim 𝑀 →∞ ∫︁ ... ∫︁ 𝑑𝑅1...𝑑𝑅𝑀 −1⟨𝑅| ^𝜌0𝑈 |𝑅^ 1⟩ ⟨𝑅1| .... |𝑅𝑀 −1⟩ ⟨𝑅𝑀 −1| ^𝜌0𝑈 |𝑅^ ′⟩ , (B.0.2)
onde a dependência em 𝜏 dos operadores foi omitida. Como ^𝑈 (𝜏 ) é diagonal na base de
coordenadas, ⟨𝑅| ^𝜌0(𝜏 ) ^𝑈 (𝜏 ) |𝑅′⟩ = 𝑈 (𝑅′, 𝜏 ) ⟨𝑅| ^𝜌0(𝜏 ) |𝑅′⟩, onde,
𝑈 (𝑅′, 𝜏 ) = 𝑒−𝜏 𝑉 (𝑅′), (B.0.3) aqui usamos que exp(−𝜏 ^𝑉 ) |𝑅′⟩ = |𝑅′⟩ exp[−𝜏 𝑉 (𝑅′)], com 𝑉 (𝑅′) sendo a energia potencial do
um sistema de partículas livres e não interagentes. Para calcularmos 𝜌0(𝑅, 𝑅′, 𝜏 ) introduzimos
a relação de completeza do espaço dos momentos de modo a obtermos
𝜌0(𝑅, 𝑅′, 𝜏 ) =
∫︁ ∫︁
𝑑𝑝𝑑𝑝′⟨𝑅| 𝑝⟩ ⟨𝑝| e−𝜏 ^𝑇 |𝑝′⟩ ⟨𝑝′| 𝑅′⟩ ,
com 𝑝 contendo os momentos de todos os 𝑁 átomos, 𝑝 = (p1, ..., p𝑁), ^𝑇 = 𝑝2/2𝑚 e ⟨𝑅| 𝑝⟩ = (2𝜋~)−3𝑁/2exp(𝑖𝑝 · 𝑅/~). Com estas substituições obtemos
𝜌0(𝑅, 𝑅′, 𝜏 ) = 1 (2𝜋~)3𝑁 ∫︁ ∫︁ 𝑑𝑝𝑑𝑝′e𝑖𝑝·𝑅~ e−𝑖 𝑝′·𝑅′ ~ e −𝜏 𝑝2 2𝑚 𝛿(𝑝 − 𝑝′) = 1 (2𝜋~)3𝑁2 ∫︁ 𝑑𝑝e𝑖𝑝·(𝑅−𝑅′)~ e −𝜏 𝑝2 2𝑚 . Precisamos lidar agora com a transformada de Fourier inversa de uma Gaussiana, que sabe- mos resultar em outra Gaussiana. A solução desta integral é simples, não sendo necessário desenvolvê-la no corpo do texto, e seu resultado é
𝜌0(𝑅, 𝑅′, 𝜏 ) =
1 (4𝜋𝜆𝜏 )3𝑁2
e−(𝑅−𝑅′)24𝜆𝜏 , (B.0.4)
com 𝜆 = ~2/2𝑚.
Das Eqs. (B.0.4) e (B.0.3) segue que
⟨𝑅| ^𝜌0𝑈 |𝑅^ ′⟩ = 𝜌0(𝑅, 𝑅′, 𝜏 )𝑈 (𝑅′, 𝜏 ) = 1 (4𝜋𝜆𝜏 )3𝑁2 e−(𝑅−𝑅′)24𝜆𝜏 e−𝜏 𝑉 (𝑅 ′) ,
sendo equivalente ao projetor na aproximação primitiva da Eq.(2.2.4). Substituindo essa ex- pressão na Eq.(B.0.2) obtemos
𝜌(𝑅, 𝑅′, 𝛽) = lim 𝑀 →∞ ∫︁ ... ∫︁ (4𝜋𝜆𝜏 )−3𝑁 𝑀2 𝑑𝑅 1...𝑑𝑅𝑀 −1e− ∑︀𝑀 𝑖=1 (𝑅𝑖−1−𝑅𝑖)2 4𝜆𝜏 𝑒− ∑︀𝑀 𝑖=1𝜏 𝑉 (𝑅𝑖), (B.0.5)
onde 𝑅0 = 𝑅 e 𝑅𝑀 = 𝑅′. Agora nos resta considerar os limites 𝑀 → ∞ e 𝜏 = 𝛽/𝑀 → 0,
𝑀 ∑︁ 𝑖=1 (𝑅𝑖−1− 𝑅𝑖)2 4𝜆𝜏 = 𝑚 2 𝑀 ∑︁ 𝑖=1 (𝑅𝑖−1− 𝑅𝑖)2 ~2𝜏2 𝜏 → 1 ~ ∫︁ ~𝛽 0 𝑚 2 [︃ 𝑑𝑅(𝑡) 𝑑𝑡 ]︃2 𝑑𝑡, 𝑀 ∑︁ 𝑖=1 𝜏 𝑉 (𝑅𝑖) → 1 ~ ∫︁ ~𝛽 0 𝑉 [𝑅(𝑡)]𝑑𝑡 e ∫︁ ... ∫︁ (4𝜋𝜆𝜏 )3𝑁 𝑀2 𝑑𝑅 1...𝑑𝑅𝑀 −1 → ∫︁ 𝑅→𝑅′𝒟𝑅(𝑡),
onde mudamos a variável de integração para 𝑡 = ~𝜏 e definimos o diferencial de caminho 𝒟𝑅(𝑡). Podemos também reconhecer a ação associada ao caminho 𝑅(𝑡) como
𝑆[𝑅(𝑡)] = 1 ~ ∫︁ ~𝛽 0 ⎧ ⎨ ⎩ 𝑚 2 [︃ 𝑑𝑅(𝑡) 𝑑𝑡 ]︃2 + 𝑉 [𝑅(𝑡)] ⎫ ⎬ ⎭ 𝑑𝑡,
e assim reescrevemos a Eq(B.0.5) como,
𝜌(𝑅, 𝑅′, 𝛽) =
∫︁
𝑅→𝑅′𝒟𝑅(𝑡)e
−𝑆[𝑅(𝑡)]
como queríamos demonstrar.
A Eq.(B.0.6) é uma expressão analítica para 𝜌(𝑅, 𝑅′𝛽), sendo a exponencial da ação de um
caminho 𝑅(𝑡) integrada em todos os caminhos que levam de 𝑅 a 𝑅′ num tempo 𝛽. Podemos reescrever a Eq. (B.0.6) como o valor esperado de um funcional em todos os passeios aleatórios. Para tanto vamos reconsiderar a Eq. (B.0.5), e interpretar os termos gaussianos como uma