Correlações de backflow foram introduzidas por Feynmann e Cohen [52] dentro do contexto variacional para estudar excitações em4He líquido. Classicamente, o movimento de uma esfera
num meio líquido produz uma corrente de fluido nele. As correlações de backflow reproduzem esse comportamento num fluido quântico, sendo que neste as correntes seriam geradas pelo movimento das partículas que o compõe. A introdução destas correlações em funções de onda variacionais descrevendo o estado fundamental de um líquido de3He foram muito bem sucedidas
[35, 48] no sentido de baixarem consideravelmente a energia variacional.
Introduzidas nos orbitais do determinante de Slater, o backflow introduz correlações de dois corpos que em muito melhoram a estrutura nodal da função de Jastrow-Slater. Essas correlações, como as consideramos, alteram os orbitais da Eq. (4.2.2) da seguinte maneira,
Φ𝑆𝐵(𝑅) = det [︂ 𝑒𝑖kn·x↑𝑚 ]︂ det [︂ 𝑒𝑖kn·x↓𝑚 ]︂ , (4.4.1) com, x𝑚 = r𝑚+ 𝑁 ∑︁ 𝑗̸=𝑚 𝜂(𝑟𝑚𝑗)r𝑚𝑗, (4.4.2)
onde r𝑚𝑗 = r𝑚− r𝑗, e 𝜂(𝑟) é definida variacionalmente [35] como,
𝜂(𝑟) = 𝜆𝐵𝑒 −(︁𝑟−𝑠𝐵 𝜔𝐵 )︁2 +𝜆 ′ 𝐵 𝑟3 . (4.4.3)
Os parâmetros variacionais 𝜆𝐵, 𝑠𝐵, 𝜔𝐵 e 𝜆′𝐵 são escolhidos de modo a minimizar a energia associada à essa função de onda.
A introdução de correlações de três corpos na função simétrica de Jastrow também em muito melhorou a descrição variacional de líquidos de3He e 4He (que sendo o isótopo bosônico do hélio não necessita do determinante de Slater em sua descrição variacional). A existência de somas explícitas de três índices na implementação destas correlações em muito diminui a eficiência da simulação computacional. No entanto, as correlações de backflow da Eq. (4.4.2) quando quadradas introduzem correlações de três corpos sem somas explícitas de três índices acelerando o tempo de processamento do computador [53]. Dessa forma, a função de Jastrow é reescrita como, Ψ𝐽 𝑇(𝑅) = exp ⎡ ⎣− 1 2 ∑︁ 𝑖<𝑗 ˜ 𝑢(𝑟𝑖𝑗) − 𝜆𝑇 4 ∑︁ 𝑖 G𝑖· G𝑖 ⎤ ⎦, (4.4.4)
onde 𝜆𝑇 é um parâmetro variacional,
G𝑖 =
∑︁
𝑗̸=𝑖
𝜉(𝑟𝑗𝑖)r𝑗𝑖, (4.4.5)
onde ˜𝑢(𝑟) = 𝑢(𝑟) − 𝑟2𝜉2(𝑟) cancela termos de dois corpos provenientes de G𝑖· G𝑖, e por fim
𝜉(𝑟) = 𝑒− (︁ 𝑟−𝑠𝑡 𝜔𝑇 )︁2 , (4.4.6)
com 𝑠𝑇 e 𝜔𝑇 sendo outros parâmetros variacionais.
Para quantificar a melhora na função de onda devido à introdução destas correlações extras, apresentamos na Tabela 4.1 as energias variacionais de um sistema formado por 54 átomos de
3He, sob sua própria pressão de vapor, calculadas com a função de Jastrow-Slater (JS) simples
Tabela 4.1: Energia variacional de um sistema de átomos de 3He, sob sua pressão de vapor,
associada às funções de onda de Jastrow-Slater (JS) e de Jastrow-Slater com correlações de
backflow de dois e de três corpos (JS+BF+T) comparadas com o dado experimental (Expt.) da
referência [54]. Os parâmetros variacionais usados foram 𝑏 = 2.99 Å, 𝜆𝐵 = −0.14, 𝜆′𝐵 = −0.15,
𝑠𝐵 = 1.89 Å, 𝑤𝐵 = 1.38 Å, 𝜆𝑇 = −1.8, 𝑠𝑇 = 1.69 Å e 𝑤𝑇 = 1.28 Å. Energia (K/atom)
JS −1.06 ± 0.01
JS+BF+T −2.02 ± 0.01
Capítulo 5
Método de Monte Carlo
Métodos de Monte Carlo são amplamente utilizados na computação numérica de integrais multidimensionais como, por exemplo, as que aparecem no cálculo dos valores esperados através dos estimadores apresentados no Capítulo2. Isso pois, apesar do espaço de integração se escalar exponencialmente com o número 𝑁 de partículas que compõe o o sistema a ser estudado, o tempo que o método de Monte Carlo leva para estimar um dado cálculo de integral, dentro de uma certa incerteza, cresce polinomialmente com 𝑁 [18,32]. Por esta razão, estes métodos são uma ferramenta poderosa no estudo de sistemas de muitos corpos.
Consideremos a integral,
𝐼 =
∫︁
𝑑𝑅𝑝(𝑅)𝐸(𝑅), (5.0.1)
onde 𝑅 = (r1, ..., r𝑁) é uma variável 3𝑁 -dimensional, 𝑝(𝑅) é uma função de distribuição de probabilidades e 𝐸(𝑅) uma função qualquer da configuração 𝑅. O método de Monte Carlo consiste em resolver essas integrais numericamente tratando 𝑅 como um conjunto de números amostrados de 𝑝(𝑅). De uma forma um tanto ingênua poderíamos então sortear 𝑀 configu- rações 𝑅𝑖 a partir de uma distribuição uniforme1 e fazermos uma média dos 𝐸(𝑅𝑖) com peso
𝑝(𝑅𝑖), 𝐼 = 𝑀 ∑︁ 𝑖=1 𝑝(𝑅𝑖)𝐸(𝑅𝑖).
Entretanto, essa técnica seria extremamente ineficiente já que configurações com peso muito pequeno seriam amostradas com a mesma frequência daquelas com altas probabilidades.
Metropolis e colaboradores [18] desenvolveram um algorítimo muito mais eficiente para estimar integrais como as da Eq. (5.0.1). Desde então, este algorítimo vem sendo usado em cálculos de Monte Carlo aplicados a sistemas de muitos corpos clássicos e quânticos. No algorítimo criado por Metropolis e colaboradores, somamos os 𝐸(𝑅𝑖) sem associar nenhum peso a eles, porém as configurações 𝑅𝑖são amostradas de acordo com a distribuição de probabilidades
𝑝(𝑅) 2, 𝐼 = 1 𝑀 𝑀 ∑︁ 𝑖=1 𝐸(𝑅𝑖), (5.0.2)
1Numa distribuição uniforme todos 𝑅
𝑖 são sorteados com a mesma probabilidade.
2Existem outras maneiras de amostrarmos uma distribuição de probabilidades específica, como, por exem-
plo, uma distribuição normal. A vantagem do algorítimo de Metropolis é que este pode ser utilizado para a amostragem de qualquer distribuição 𝑝(𝑅).
de modo que a frequência que cada configuração 𝑅𝑖 é sorteada e dividida pelo número 𝑀 de sorteios tenda a 𝑝(𝑅𝑖). Para tanto, iniciamos de uma configuração aleatória 𝑅1 e sorteamos
uma dada configuração 𝑅𝑖 a partir da anterior, 𝑅𝑖−1. No sorteio criamos uma configuração tentativa, 𝑅𝑇,onde cada partícula de 𝑅𝑖−1 é deslocada aleatoriamente dentro de um cubo de aresta Δ centrado em sua posição anterior, ou seja, deslocamos cada r𝑘 = (𝑥𝑘, 𝑦𝑘, 𝑧𝑘) ∈ 𝑅𝑖−1,
𝑘 = 1, 2, ...𝑁 , para as coordenadas tentativa r𝑇
𝑘 = (𝑥𝑇𝑘, 𝑦𝑇𝑘, 𝑧𝑘𝑇) dadas por 𝑥𝑇𝑘 = 𝑥𝑘+ (︂ 𝜉𝑘𝑥− 1 2 )︂ Δ, 𝑦𝑘𝑇 = 𝑦𝑘+ (︂ 𝜉𝑘𝑦− 1 2 )︂ Δ, 𝑧𝑘𝑇 = 𝑧𝑘+ (︂ 𝜉𝑘𝑧− 1 2 )︂ Δ,
onde 𝜉𝑘(.) é um número aleatório, obtido a partir de uma distribuição uniforme (constante), entre 0 e 1.
Vamos, inicialmente, considerar que o valor de Δ seja arbitrário e discutiremos as implica- ções posteriormente.
A configuração tentativa passa por um critério de aceitação, se a configuração 𝑅𝑇 for aceita então 𝑅𝑖 = 𝑅𝑇, caso contrário 𝑅𝑖 = 𝑅𝑖−1. Este critério é tal que a distribuição de probabilidades
𝑝(𝑅) seja amostrada. Metropolis demostrou que esse seria o caso se fossem aceitas configurações 𝑅𝑇 tais que 𝑝(𝑅𝑇)/𝑝(𝑅𝑖−1) ≥ 𝜉, com 𝜉 sendo outro número aleatório entre 0 e 1 gerado a partir de uma distribuição uniforme.
Para demonstrar esse critério primeiramente notamos que, da forma que as partículas são deslocadas no algorítimo, isto é, aleatoriamente num cubo de aresta Δ, qualquer ponto da caixa de simulação pode ser atingido dado um número suficiente de sorteios. Consideremos agora um ensemble compostos de diversas configurações, e seja 𝜈𝑅 o número de elementos deste
ensemble na configuração 𝑅. Precisamos mostrar que se deslocarmos estas configurações de
acordo com o algorítimo de Metropolis então teremos 𝜈𝑅 ∝ 𝑝(𝑅). Para tanto, vamos supor um movimento de acordo com este algorítimo e estimaremos o número líquido de configurações que vão de 𝑅 para 𝑆. Seja 𝑇𝑅𝑆 a probabilidade de 𝑆 ser sorteada a partir de 𝑅. Caso
𝑝(𝑆) > 𝑝(𝑅) então o número médio de configurações 𝑅 do ensemble que serão deslocadas para 𝑆 e que satisfarão o critério de Metropolis será 𝑇𝑅𝑆𝜈𝑅, pois o critério é sempre satisfeito se
𝑝(𝑆) > 𝑝(𝑅). Agora consideremos o processo oposto, precisamos sortear a configuração 𝑅 a
partir de 𝑆, com probabilidade 𝑇𝑆𝑅, e então sortear um número aleatório menor que 𝑝(𝑅)/𝑝(𝑆) para que o critério de Metropolis seja satisfeito. Nesse caso, o número médio de configurações
𝑆 que se deslocam para 𝑅 e satisfazem o critério é 𝑇𝑆𝑅(𝑝(𝑅)/𝑝(𝑆))𝜈𝑆, já que a probabilidade de gerarmos um número aleatório 𝜉 < 𝑝(𝑅)/𝑝(𝑆) é 𝑝(𝑅)/𝑝(𝑆). Ao fim deste processo o fluxo líquido de 𝑅 para 𝑆 será
𝜈𝑅𝑇𝑅𝑆 − 𝜈𝑆𝑇𝑆𝑅
𝑝(𝑅)
𝑝(𝑆). (5.0.3)
Agora, a probabilidade de transição de 𝑅 para 𝑆 dentro de um hipercubo 3𝑁 -dimensional de aresta Δ é simplesmente 𝑇𝑅𝑆 = Δ−3𝑁 = 𝑇𝑆𝑅. Como supomos 𝑝(𝑅)/𝑝(𝑆) < 1 vemos que esse fluxo será positivo caso 𝜈𝑅> 𝜈𝑆, note que isso é factível já que a configuração 𝑆 é a mais provável e queremos que o ensemble de configurações amostre 𝑝(𝑅). Esse fluxo então irá diminuindo até se anular no que chamamos de balanço detalhado, onde as configurações estarão distribuídas de acordo com a probabilidade 𝑝 já que teremos 𝜈𝑅/𝜈𝑆 = 𝑝(𝑅)/𝑝(𝑆).
Para conseguirmos uma estimativa justa da integral na Eq. (5.0.1), devemos considerar configurações 𝑅𝑖 na Eq. (5.0.2) tais que o balanço detalhado já tenha sido atingido. Para tanto descartamos os primeiros 𝑅𝑖 sorteados. O quão grande é esse número de configurações descartadas vai depender do cálculo a ser feito e também do valor de Δ, aresta do hipercubo considerado no sorteio das possíveis configurações. Se Δ for muito grande, praticamente todas as configurações tentativa serão descartadas no critério de aceitação, e, se for muito pequeno, praticamente todas as configurações tentativa seriam aceitas, mas o sistema não conseguirá evoluir o suficiente a partir da configuração inicial. É importante que haja um equilíbrio entre o número de configurações aceitas e recusadas de modo que o balanço detalhado seja satisfeito e as configurações sorteadas amostrem a distribuição de probabilidades 𝑝. Tipicamente, escolhemos um valor de Δ tal que aproximadamente 50% das configurações tentativa sejam aceitas.
Configurações tentativa escolhidas aleatoriamente dentro de um hipercubo não são a única possibilidade dentro do algorítimo de Metropolis. Maneiras diferentes de sortear essas confi- gurações são interessantes já que o equilíbrio detalhado pode ser atingido mais rapidamente. Entretanto, nesses casos a probabilidade de transição nem sempre é simétrica, 𝑇𝑅𝑆 ̸= 𝑇𝑆𝑅, e, portanto, o critério de aceitação precisa ser generalizado. Na próxima seção, discutiremos tais casos.
5.1
Algorítimo de Metropolis generalizado
No caso de sortearmos uma configuração tentativa 𝑆 dentro de um cubo de aresta Δ centrado numa configuração 𝑅 vimos que 𝑇𝑅𝑆 = 𝑇𝑆𝑅 e, portanto, a probabilidade de 𝑆 ser aceita pode ser escrita como,
𝐴𝑅𝑆 = min [︃ 1, 𝑝(𝑆) 𝑝(𝑅) ]︃ , (5.1.1)
já que para 𝑝(𝑆) ≥ 𝑝(𝑅) a probabilidade do critério de Metropolis ser satisfeito é 𝐴𝑅𝑆 = 1, e, para 𝑝(𝑆) < 𝑝(𝑅), o critério é aceito caso um número aleatório 𝜉 < 𝑝(𝑆)/𝑝(𝑅) seja gerado, o que ocorre com probabilidade 𝐴𝑅𝑆 = 𝑝(𝑆)/𝑝(𝑅). O balanço detalhado é satisfeito quando
𝑝(𝑅)𝑇𝑅𝑆𝐴𝑅𝑆 = 𝑝(𝑆)𝑇𝑆𝑅𝐴𝑆𝑅, (5.1.2) onde substituímos 𝜈· por 𝑝(·) na Eq. (5.0.3). Num caso geral, onde 𝑇𝑅𝑆 ̸= 𝑇𝑆𝑅, caso 𝐴𝑅𝑆 seja dado pela Eq. (5.1.1), vemos que
𝑝(𝑅)𝑇𝑅𝑆 min [︃ 1,𝑝(𝑆) 𝑝(𝑅) ]︃ = min [𝑝(𝑅)𝑇𝑅𝑆, 𝑝(𝑆)𝑇𝑅𝑆] , é diferente de 𝑝(𝑆)𝑇𝑆𝑅 min [︃ 1,𝑝(𝑅) 𝑝(𝑆) ]︃ = min [𝑝(𝑆)𝑇𝑆𝑅, 𝑝(𝑅)𝑇𝑆𝑅] ,
e, portanto, o balanço detalhado não é satisfeito. Porém, é intuitivo que podemos generalizar a probabilidade de aceitação para
𝐴𝑅𝑆 = min [︃ 1,𝑝(𝑆)𝑇𝑆𝑅 𝑝(𝑅)𝑇𝑅𝑆 ]︃ , (5.1.3)
de modo que o balanço detalhado passa a ser satisfeito independente da escolha de 𝑇𝑅𝑆. Assim, o critério de Metropolis passa a ser o de aceitar as configurações 𝑆 tais que 𝑝(𝑆)𝑇𝑆𝑅/𝑝(𝑅)𝑇𝑅𝑆 ≥ 𝜉.
Tendo generalizado o algorítimo de Metropolis, é interessante escolher a probabilidade de transição de 𝑅 para 𝑆 de modo a acelerar a amostragem de 𝑝(𝑅). Por exemplo, como visto no capítulo 2, a função de distribuição de probabilidades no cálculo de valores esperados através do método VPI não depende apenas da configuração 𝑅 do sistema e sim de um caminho 𝑅(𝑡) discretizado. A amostragem desses caminhos não é simples, mas existem algumas técnicas para que seja feita de maneira eficiente [22]. Na seção seguinte, apresentamos a técnica que nós utilizamos.