3.3 Algoritmos Quˆ anticos
3.3.2 Algoritmo de busca de Grover
O algoritmo de Grover foi desenvolvido por Lov Grover em 1996 e ´e um algoritmo base- ado em amplifica¸c˜ao de amplitude. Esse m´etodo permite que um computador quˆantico encontre um elemento x0 em uma lista desordenada de N elementos, onde o computador
tem acesso a um or´aculo de fase, atuando como na Equa¸c˜ao 3.23, que executa a fun¸c˜ao f(x), definida como:
f (x) = 1 se x = x0
f (x) = 0 se x 6= x0.
Ou seja, essa fun¸c˜ao deve ser capaz de distinguir o elemento desejado dos demais elementos na lista.
O procedimento computacional do algoritmo consiste em aplicar o chamado opera- dor de Grover G sobre o estado |ψi = H⊗n|0i⊗n um certo n´umero de vezes e, em seguida, medir os qubits na base computacional. O operador de Grover pode ser definido por:
G = H⊗nRH⊗nOf (3.25)
onde n ´e o n´umero de qubits sobre o qual o operador atua, H⊗n ´e a porta de Hadamard aplicada nos n qubits, Of ´e o or´aculo de fase e R ´e uma porta de n qubits (ou seja, uma
matriz 2nx2n) que pode ser constru´ıda utilizando-se um n´umero polinomial de portas
l´ogicas e que multiplica qualquer sequˆencia de n qubits na base computacional por −1 exceto a sequˆencia |0i⊗n, conforme definido a seguir:
R = 1 0 · · · 0 0 0 −1 · · · 0 0 .. . ... ... ... ... 0 0 · · · −1 0 0 0 · · · 0 −1 = 2 |0i h0| − I. (3.26)
A compreens˜ao de como o operador G atua sobre os qubits de entrada |ψi ´e facilitada quando ele ´e analisado do ponto de vista geom´etrico. Para isso, o estado de entrada |ψi ´e escrito como: |ψi = (√1 N) |x0i + ( r N − 1 N ) |x ⊥ 0i (3.27)
onde |x0i ´e a sequˆencia de qubits que deseja-se encontrar e |x⊥0i s˜ao todas as outras
sequˆencias, que formam uma superposi¸c˜ao de estados ortogonais `a |x0i. Vale notar que
N ´e o n´umero total de elementos que formam a superposi¸c˜ao, ou seja, N = 2n. Definindo
o ˆangulo θ = arcsen(√1
N), pode-se reescrever o estado de entrada como sendo:
|ψi = sen(θ) |x0i + cos(θ) |x⊥0i . (3.28)
Agora esse estado pode ser visualizado como dois eixos em um plano cartesiano com |x0i no eixo das ordenadas e |x⊥0i no eixo das abscissas conforme mostrado na Figura
25 |x⊥ 0i |x0i |ψi θ Figura 3.8: Eixos |x0i e |x⊥0i
Em seguida, nota-se que a a¸c˜ao do or´aculo ´e levar |x0i para − |x0i e n˜ao alterar |x⊥0i.
Isso pode ser visto como uma reflex˜ao ao redor do eixo |x⊥0i. J´a a a¸c˜ao de H⊗nRH⊗n = 2 |ψi hψ| − I, n˜ao altera |ψi e leva |ψ⊥i para − |ψ⊥i onde |ψ⊥i ´e ortogonal `a |ψi . Essa
opera¸c˜ao tamb´em pode ser interpretada como um reflex˜ao, por´em em torno do eixo |ψi. O resultado da rota¸c˜ao total do operador G ´e um deslocamento de 2θ na dire¸c˜ao do eixo |x0i, como pode ser observado na Figura 3.9.
|x⊥ 0i |x0i |ψi G |ψi Of|ψi θ 2θ θ
Figura 3.9: A¸c˜ao do operador G
Ap´os k aplica¸c˜oes do operador G, o estado do qubit |ψi passa a ser:
Como o ˆangulo θ aumentou, fica claro que a amplitude associada ao estado |x0i
tamb´em aumentou. Isso mostra que o algoritmo de Grover amplificou a probabilidade de o estado ser medido como |x0i. Para saber o n´umero k de aplica¸c˜oes necess´arias do
operador G, basta fazer (2k + 1)θ = π
2, logo, k = π 4θ −
1
2. Por´em, nessa defini¸c˜ao, k n˜ao costuma ser um n´umero inteiro e portanto, aproxima-se k = ˜k, onde ˜k ´e o inteiro mais pr´oximo de k.Assim, tem-se que (2˜k + 1)θ = π
2 + ε, onde |ε| ´e o erro que no pior caso, aproxima-se de √1
N para valores grandes de N. Logo, utilizando a desigualdade trigonom´etrica 1 − cos x ≤ x
2
2, obt´em-se que a probabilidade, Pk, do algoritmo acertar no pior dos casos ´e:
Pk= sen2( π 2 + ε) ≈ sen( π 2 + ε) = cos ε ≥ 1 − ε2 2 ≈ 1 − 1 N. (3.30)
Este resultado representa uma grande vantagem em rela¸c˜ao aos algoritmos cl´assi- cos, pois, com apenas k ≈ √N = 2(n/2) consultas, o algoritmo de Grover foi capaz de
encontrar o elemento na lista com uma probabilidade de erro da ordem de 1
N. Um al- goritmo cl´assico determin´ıstico, que encontra o elemento com 100% de certeza, utilizaria N = 2n consultas e, ainda que fosse utilizado um algoritmo probabil´ıstico, seriam neces-
s´arias aproximadamente pN = p2n consultas, onde p ´e a probabilidade de acerto que ele
teria. Ou seja, para se obter uma probabilidade de acerto p = 1 − 1
N seriam necess´arias N − 1 = 2n− 1 consultas.
Ressalta-se que, neste exemplo, o algoritmo realizou a busca em uma lista de entrada de elementos em uma superposi¸c˜ao uniforme, mas o algoritmo de Grover pode ser adaptado para realizar uma busca em qualquer lista de entrada.
Esse algoritmo mostra o qu˜ao eficiente pode ser a computa¸c˜ao quˆantica quando comparada `a algumas aplica¸c˜oes da computa¸c˜ao cl´assica. Existem outros algoritmos ainda mais eficientes na computa¸c˜ao quˆantica como, por exemplo, o de Shor que ´e capaz de fatorar um n´umero inteiro N e que resulta numa melhoria quase exponencial em rela¸c˜ao `
a computa¸c˜ao cl´assica, mas a apresenta¸c˜ao desse algoritmo ´e mais complexa e, por isso, n˜ao est´a no escopo deste trabalho.
Cap´ıtulo 4
Corre¸c˜ao de erros e a computa¸c˜ao
quˆantica
“N˜ao apenas mais estranho do que pensamos, o Universo ´e mais estranho do que podemos pensar.”
— Werner Heisenberg
No in´ıcio do s´eculo XX, a computa¸c˜ao cl´assica ainda estava em seus prim´ordios e o prin- cipal elemento dos computadores eram as v´alvulas. Essas v´alvulas eram extremamente problem´aticas pois, al´em de superaquecer, queimavam rapidamente e consumiam muita energia. Naquela ´epoca, c´eticos com rela¸c˜ao `a computa¸c˜ao acreditavam ser imposs´ıvel construir um computador de grande porte, pois, pareceria imposs´ıvel trabalhar com mui- tas v´alvulas simultaneamente. Entretanto, com o avan¸co da tecnologia, foram desenvol- vidos os transistores que tiveram papel fundamental no desenvolvimento da computa¸c˜ao, de modo que ela se tornasse indispens´avel na vida humana como ´e nos dias de hoje.
Atualmente, a computa¸c˜ao quˆantica tamb´em est´a em seus estados iniciais e as principais empresas que desenvolvem pesquisa nessa ´area ainda s˜ao incapazes de criar computadores de grande escala, muito por conta da dificuldade de se criar sistemas con- fi´aveis de baixo ru´ıdo, isto ´e, com poucos erros computacionais. A causa do ru´ıdo ´e que, em certas arquiteturas de computadores quˆanticos atuais, para que os qubits preservem suas caracter´ısticas, estes devem ser mantidos resfriados em temperaturas pr´oximas do zero absoluto. Al´em disso, erros causados pela aplica¸c˜ao de portas l´ogicas com imperfei- ¸c˜oes, falta de isolamento do sistema com rela¸c˜ao ao meio externo e erros na medi¸c˜ao dos qubits dificultam ainda mais a cria¸c˜ao de sistemas confi´aveis.
Nesse cen´ario, surgiram alguns estudos como, por exemplo, o artigo publicado por Gil Kalai [18], que aponta que a computa¸c˜ao quˆantica em larga escala n˜ao deve ser alcan¸cada por conta de uma barreira fundamental dos sistemas quˆanticos que s˜ao inerentemente ruidosos e n˜ao apenas por desafio de engenharia. Entretanto, apesar de ainda existir a d´uvida sobre a viabilidade de constru¸c˜ao de um computador quˆantico de larga escala, a teoria de corre¸c˜ao quˆantica de erros juntamente com esquemas que respeitam as t´ecnicas de tolerˆancia `a falhas (fault-tolerance) conforme mostrado em [19], fazem com que a maior parte da comunidade cient´ıfica, inclusive empresas como Google, IBM e Microsoft, que tˆem investido bilh˜oes de d´olares na ´area, acredite que essa tarefa ´e alcan¸c´avel e se trata, apenas, de obst´aculos de engenharia. ´E por isso que a teoria de corre¸c˜ao de erros quˆanticos ´e extremamente importante e ´e considerada um dos principais pilares da computa¸c˜ao quˆantica.
4.1
Erros na computa¸c˜ao quˆantica
O objetivo dessa se¸c˜ao ´e esclarecer os principais erros que acontecem na computa¸c˜ao quˆantica e introduzir modelos matem´aticos simples que descrevam a a¸c˜ao desses tipos de erro sobre os qubits. Primeiramente, ser˜ao descritos erros decorrentes da aplica¸c˜ao de uma porta quˆantica com imperfei¸c˜oes e, em seguida, erros oriundos da intera¸c˜ao de um qubit com o ambiente externo.