Introdução à computação e códigos de correção de erro quânticos

(1)

Escola de Engenharia

Curso de Gradua¸

c˜

ao em Engenharia de

Telecomunica¸

c˜

oes

Jo˜

ao Bernardo Vieira Gomes

Introdu¸c˜

ao `

a

computa¸c˜

ao e c´

odigos de corre¸c˜

ao de erro

quˆ

anticos

Niter´

oi – RJ

2019

(2)

Jo˜ao Bernardo Vieira Gomes

Introdu¸cão à computa¸cão e códigos de corre¸cão de erro quânticos

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Gradua¸cão em Engenharia de Teleco-munica¸cões da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obten¸cão do Grau de Engenheiro de Telecomunica¸cões.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Santo G. Panaro

Niter´oi – RJ 2019

(3)

.

(4)

iii Jo˜ao Bernardo Vieira Gomes

Introdu¸cão à computa¸cão e códigos de corre¸cão de erro quânticos

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Gradua¸cão em Engenharia de Teleco-munica¸cões da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obten¸cão do Grau de Engenheiro de Telecomunica¸cões.

Aprovada em 10 de Dezembro de 2019.

BANCA EXAMINADORA

Dr. Jo´se Santo G. Panaro - Orientador Universidade Federal Fluminese - UFF

Dr. Jo˜ao Marcos Meirelles da Silva Universidade Federal Fluminese - UFF

Dr. Daniel Jost Brod

Universidade Federal Fluminese - UFF

Niter´oi – RJ 2019

(5)

Resumo

Este trabalho tem como objetivo introduzir o leitor ao que é a computa¸cão quântica e quais são os mecanismos básicos utilizados para corrigir erros nessa área. O trabalho come¸ca fazendo uma breve introdu¸cão aos conceitos da álgebra linear utilizados na computa¸cão quântica e segue apresentando o formalismo matemático dessa teoria. Além disso, alguns algoritmos e protocolos são discutidos para que o leitor possa ter dimensão dos poss´ıveis benef´ıcios trazidos pela computa¸cão quântica. Em seguida, uma descri¸cão dos erros que atuam sobre computadores quânticos é realizada e alguns códigos básicos de deteçcão e corre¸cão de erro são discutidos. Por fim, são apresentadas algumas aplica¸cões práticas desenvolvidas pelo autor.

(6)

v

Abstract

This work aims to introduce the reader to the theory of quantum computing and to present the fundamental mechanisms used to correct errors on this field. It starts going through a small introduction on some linear algebra concepts used in the quantum computing theory and then it continues presenting the mathematical formalism of this theory. Also, some quantum algorithms and protocols are discussed so that the reader can see the possible improvements brought by quantum computing. After that, a description of the errors that impact quantum computers is presented, and some basic quantum error detection and correction codes are discussed. Finally, some applications developed by the author are presented.

(7)

Este trabalho é dedicado ao meu avô, Ov´ı-dio da Cunha Vieira, que faleceu em janeiro de 2018 e, infelizmente, não pôde me ver for-mar. Ele sempre demonstrou muito orgulho em ver o neto cursando Engenharia de Tele-comunica¸cões.

(8)

vii

Agradecimentos

Agrade¸co aos meus pais que através de suas histórias de vida me ensinaram que dedica¸cão e esfor¸co são a chave principal para alcan¸car meus objetivos.

Agrade¸co à minha namorada, Roberta Diuana, pelo seu carinho e ajuda nos meus momentos de dificuldades. E por compartilhar suas experiências de vida comigo, tornou-se a grande responsável pelo meu amadurecimento profissional.

Agrade¸co ao meu orientador José Santo Guiscafré Panaro por ter aceitado de mente aberta um tema tão desafiador e por ser, além de um orientador, um amigo.

Agrade¸co ao professor Daniel Jost Brod por ter me auxiliado com as dúvidas te´ o-ricas que eu tive ao longo da confeçcão deste trabalho e por ter permitido que, mesmo sem atender a todos pré-requisitos, eu realizasse o seu excelente curso de computa¸cão quântica.

Agrade¸co ao professor Rainer Zanghi pela disposi¸cão e simpatia com a ajuda pres-tada em um projeto no estágio. Apesar de não ter sido seu aluno, ele sempre se mostrou muito disposto a ajudar e conversar sobre novas tecnologias.

(9)

Lista de Figuras

3.1 Esfera de Bloch. . . 11

3.2 Portas de Pauli. . . 16

3.3 Porta de Hadammard. . . 17

3.4 Porta CNOT. . . 17

3.5 Circuito para criar emaranhamento. . . 18

3.6 Protocolo de codifica¸c˜ao superdensa. . . 19

3.7 Circuito do algoritmo de Bernstein-Vazirani. . . 22

3.8 Eixos |x0i e |x⊥0i . . . 25

3.9 A¸c˜ao do operador G . . . 25

4.1 Medi¸c˜ao de s´ındrome. . . 31

4.2 Codifica¸c˜ao de trˆes qubits para bit flip . . . 32

4.3 Corre¸c˜ao do erro de bit flip. . . 32

4.4 Codifica¸c˜ao e corre¸c˜ao do erro de phase flip. . . 34

4.5 Diagrama de blocos de codifica¸cão e corre¸cão do código de nove qubits de Shor. . . 35

4.6 Bloco de codifica¸c˜ao do c´odigo de nove qubits de Shor. . . 35

4.7 Bloco de corre¸c˜ao de bit flip do c´odigo de nove qubits de Shor. . . 36

4.8 Bloco de corre¸c˜ao de phase flip do c´odigo de nove qubits de Shor. . . 37

4.9 Codifica¸c˜ao em c´odigos estabilizadores. . . 40

4.10 Codifica¸c˜ao |0i_L do c´odigo de Steane. . . 41

4.11 Circuito n˜ao tolerante a falhas. . . 44

4.12 Circuito tolerante a falhas. . . 44

4.13 Codifica¸c˜ao tolerante a falhas em c´odigos estabilizadores. . . 45

4.14 Circuito para deteçcão de erro nos estados codificados pela Equa¸cão 4.24. . 47

4.15 Circuito para codifica¸c˜ao do estado |00i pela Equa¸c˜ao 4.24. . . 48 viii

(10)

ix 4.16 Circuito tolerante a falhas para codifica¸cão do estado |00i pela Equa¸cão 4.24. 48 5.1 Simula¸cão dos circuitos de deteçcão de erro. . . 51 5.2 Circuito para corre¸cão de erros tolerante a falhas dividido em quatro etapas. 52 5.3 Simula¸cão dos circuitos de corre¸cão de erro. . . 53 5.4 Diagrama de liga¸cões do computador Vigo da IBM. . . 54 5.5 Circuito da Figura 4.15 convertido para executar no computador Vigo da

IBM. . . 55 5.6 Taxas de erro obtidas por simula¸c˜ao dos circuitos tolerante a falhas, n˜ao

tolerante a falhas e sem codifica¸cão. . . 56 5.7 Circuito tolerante a falhas após processo de transpile. . . 57 5.8 Circuito não tolerante a falhas após processo de transpile. . . 57

(11)

Lista de Tabelas

5.1 Taxas de erro do canal para portas de um qubit em fun¸c˜ao de pe. . . 50

5.2 Taxas de erro do canal para portas de dois qubits em fun¸c˜ao de pe onde,

(12)

Conte´

udo

Resumo iv Abstract v Agradecimentos vii Lista de Figuras ix Lista de Tabelas x 1 Introdu¸c˜ao 1

2 Introdu¸cão à álgebra linear 4

2.1 Nota¸c˜ao de Dirac . . . 4

2.1.1 Produto interno ou escalar . . . 5

2.1.2 Produto externo ou vetorial . . . 5

2.1.3 Produto tensorial . . . 6

2.2 Operadores . . . 7

2.3 Teorema espectral e fun¸c˜ao de operadores . . . 8

3 Computa¸cão quântica 9 3.1 Postulados da mecânica quântica . . . 9

3.1.1 Postulado do espa¸co de estados . . . 9

3.1.2 Postulado da evolu¸c˜ao temporal de um sistema fechado . . . 11

3.1.3 Postulado das medi¸c˜oes . . . 12

3.1.4 Postulado da composi¸c˜ao de sistemas . . . 13

3.2 Circuitos quânticos . . . 15 3.2.1 Introdu¸cão aos circuitos quânticos e ao teorema da não clonagem . 15

(13)

3.2.2 Nota¸c˜ao de circuitos . . . 16

3.2.3 Protocolos quˆanticos . . . 18

3.3 Algoritmos Quˆanticos . . . 22

3.3.1 Algoritmo de Bernstein-Vazirani . . . 22

3.3.2 Algoritmo de busca de Grover . . . 23

4 Corre¸cão de erros e a computa¸cão quântica 27 4.1 Erros na computa¸cão quântica . . . 28

4.1.1 Imperfei¸c˜ao nas portas quˆanticas . . . 28

4.1.2 Intera¸c˜ao com o ambiente externo . . . 29

4.2 C´odigo de 9 qubits de Shor . . . 31

4.2.1 C´odigo de 3 qubits para bit flip . . . 32

4.2.2 C´odigo de trˆes qubits para phase flip . . . 33

4.2.3 C´odigo de Shor . . . 34

4.3 C´odigos estabilizadores . . . 38

4.4 T´ecnicas de tolerˆancia a falhas . . . 43

4.5 Concatena¸c˜ao de c´odigos e limite da probabilidade de erro . . . 45

4.6 Detec¸c˜ao de Erros . . . 46

5 Aplica¸c˜oes 49 5.1 Simula¸c˜oes . . . 49

5.1.1 Circuitos para detec¸c˜ao de erros . . . 49

5.1.2 Circuitos para corre¸c˜ao de erros . . . 51

5.2 Execu¸c˜ao em computadores IBM . . . 54

6 Conclus˜ao 58

Referˆencias Bibliogr´aficas 60

Apˆendice 62

A Código da simula¸cão dos circuitos de deteçcão de erros 63 B Código da simula¸cão dos circuitos de corre¸cão de erros 66

(14)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

“ ´E um pequeno passo para o homem, mas um grande salto para a Humanidade.” -Neil Armstrong

A computa¸cão quântica é uma nova forma de processar informa¸cão e teve in´ıcio na segunda metade do século XX. Esse novo modelo de computa¸cão é baseado em opera¸cões com-putacionais revers´ıveis e utiliza propriedades da mecânica quântica, como superposi¸cão e emaranhamento, para aumentar a capacidade de processamento de informa¸cão.

Um dos primeiros artigos na área de processamento de informa¸cão utilizando sis-temas quânticos foi publicado por Alexander Holevo [1], em 1973, e mostrou que apesar de ser poss´ıvel manipular mais informa¸cão utilizando-se qubits (bits em um sistema quˆ an-tico) ao invés de bits clássicos, o limite de informa¸cão que pode ser extra´ıda de um qubit é de no máximo um bit. Esse resultado ficou conhecido como teorema de Holevo.

Na década seguinte, em 1980, Paul Benioff [2] apresentou a descri¸cão daquilo que viria a ser conhecido como computador quântico, ou seja, um computador capaz de operar segundo as leis da mecânica quântica. Além disso, durante o primeiro congresso sobre a f´ısica da computa¸cão, em 1981, o famoso f´ısico Richard Feynman [3] discursou sobre a ineficiência de computadores clássicos para simular sistemas quânticos e propôs a utiliza¸cão de sistemas quânticos para realizar essas opera¸cões.

Outro importante resultado alcan¸cado na década de 80 foi publicado por Charles H. Bennett e Gilles Brassard [4]. Nesse artigo foi proposto o primeiro protocolo quântico que apresentou uma forma segura para distribui¸cão de chaves criptográficas utilizando sistemas quânticos.

(15)

Ao longo dessas duas décadas diversos resultados importantes foram publicados como, por exemplo, a proposta do primeiro computador quântico universal apresentada por David Deutsch [5]. Entretanto, foi no ano de 1994 que Peter Shor publicou um artigo descrevendo um algoritmo que viria a ser um dos resultados mais famosos da computa¸cão quântica, conhecido como algoritmo de Shor [6]. Esse resultado apresenta uma forma mais eficiente de realizar a fatora¸cão de números inteiros, com um ganho quase exponencial em rela¸cão à computa¸cão clássica.

A fatora¸cão de números grandes é uma tarefa dif´ıcil em computadores clássicos. Esta dificuldade é utilizada, atualmente, na criptografia de conexões na internet. Portanto, o algoritmo de Shor apresenta uma certa amea¸ca à comunica¸cão segura e foi esse fato que o tornou uma das aplica¸cões mais famosas na computa¸cão quântica, embora o maior número já fatorado em um computador quântico, utilizando o algoritmo de Shor, tenha sido o número 21, por Enrique Martin-Lopez, Anthony Laing, Thomas Lawson, Roberto Alvarez, Xiao-Qi Zhou e Jeremy L. O’Brien [7].

Naquele momento, existiam muitas dúvidas sobre se seria poss´ıvel a constru¸cão de um computador quântico de larga escala, pois o ru´ıdo presente na manipula¸cão de sistemas quânticos destruiria qualquer informa¸cão presente na computa¸cão. Foi então que, nos anos de 1995 e 1996, protocolos para corre¸cão de erro foram propostos por Peter Shor [8] e Andrew Steane [9]. Esses protocolos foram de grande importância porque renovaram a esperan¸ca da comunidade cient´ıfica que a constru¸cão de computadores quânticos maiores seria uma tarefa realizável.

Desde então, muitos outros avan¸cos aconteceram na computa¸cão quântica. Diver-sas empreDiver-sas como Google, IBM e Microsoft passaram a investir em pesquisa nessa área e, como resultado, computadores quânticos de pequena escala foram constru´ıdos. Além disso, a IBM passou a disponibilizar computadores quânticos, com poucos qubits para a comunidade de pesquisadores utilizar gratuitamente. Com a populariza¸cão dessa área de pesquisa, surgiram algoritmos mais modernos e eficientes como o HHL, desenvolvido por Aram W. Harrow, Avinatan Hassidim, Seth Lloyd [10], utilizado na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares e, com isso, outros ramos de pesquisa ganharam for¸ca, como o de aprendizagem de máquina quântico.

A mensura¸cão do poder de um computador quântico é algo um pouco subjetivo, pois não depende apenas do número de qubits presentes no computador mas, também,

(16)

3 da qualidade desses qubits. No entanto, ao longo da elabora¸cão deste trabalho, a Google publicou um artigo na revista Nature [11] anunciando ter alcan¸cado a supremacia quântica com um computador de 54 qubits, denominado Sycamore. Este computador foi capaz de realizar uma tarefa de forma muito mais eficiente do que um computador clássico. Segundo a Google, o Sycamore foi capaz de realizar um cálculo que demoraria 10.000 anos em um computador clássico em apenas 200 segundos. Apesar deste resultado ter sido contestado pela IBM, que afirma que um computador clássico poderia realizar essa tarefa em apenas 2,5 dias [12], este é um marco histórico, e mostra como pode ser promissor o futuro da computa¸cão quântica.

(17)

Cap´ıtulo 2

Introdu¸

c˜

ao `

a ´

algebra linear

“A ciˆencia explica a natureza e cria novos mundos que n˜ao percebemos com nossos sentidos.”

-Marcelo Gleiser

Na teoria da computa¸cão quântica os espa¸cos vetoriais que devem ser considerados são os espa¸cos dos números complexos com produto interno (ou escalar) hermitiano e de dimensão finita. Esses espa¸cos fazem parte de uma classe denominada de espa¸cos de Hilbert e satisfazem uma série de propriedades algébricas. A descri¸cão dos elementos e opera¸cões nesse espa¸co utiliza a nota¸cão de Dirac [13], que será vista no decorrer do cap´ıtulo.

2.1 Nota¸

c˜

ao de Dirac

Para come¸car a entender a computa¸cão quântica do ponto de vista matemático é con-veniente que antes seja introduzida a nota¸cão criada por Paul Dirac, chamada nota¸cão Bra-ket. Seu objetivo é descrever estados quânticos sem que seja necessário carregar a nota¸cão de vetores, tornando mais intuitiva a visualiza¸cão de opera¸cões como produto interno, produto externo e produto tensorial.

Em geral nos livros de matemática e f´ısica, vetores são identificados por uma seta sobre uma letra, isto é, ~v ou, então, essa letra em negrito. Já na nota¸cão de Dirac, um vetor é escrito dentro de um ’ket’ da seguinte forma, |ψi. O vetor dual ao ’ket’ é o ’bra’, que é definido como o seu conjugado transposto e é escrito como hψ|.

(18)

5 A forma padr˜ao para associar vetores coluna ao ’ket’ ´e apresentada a seguir:

|ψi =         x1 x2 .. . xm         , (2.1)

enquanto que o vetor ’bra’ ´e associado ao seguinte vetor linha: hψ| =hx∗₁ x∗₂ · · · , x∗

m

i

, (2.2)

onde x∗_k representa o complexo conjugado de xk.

Nas subse¸cões seguintes são apresentados exemplos de algumas das opera¸cões b´ a-sicas da álgebra linear utilizadas na computa¸cão quântica, escritas na forma da nota¸cão de Dirac. Nos exemplos serão utilizados os seguintes vetores:

|xi =         x1 x2 .. . xm         e |yi =         y1 y2 .. . ym         . (2.3)

2.1.1 Produto interno ou escalar

O produto interno será muito utilizado para calcular a probabilidade de um sistema quˆ an-tico ser encontrado em determinado estado após uma medi¸cão, sendo definido como:

hx|yi =hx∗₁ x∗₂ · · · x∗_m i         y1 y2 .. . ym         = x∗₁y1+ x∗2y2+ · · · + x∗mym. (2.4)

2.1.2 Produto externo ou vetorial

O produto externo ser´a utilizado para encontrar a matriz de densidade de um dado sis-tema. Ele ´e definido como:

|xi hy| =         y1 y2 .. . ym         h x∗₁ x∗₂ · · · x∗_m i =         y1x∗1 y1x∗2 · · · y1x∗m y2x∗1 y2x∗2 · · · y2x∗m .. . ... ... ... ymx∗1 ymx∗2 · · · ymx∗m         . (2.5)

(19)

2.1.3 Produto tensorial

O produto tensorial é a forma utilizada para combinar espa¸cos vetoriais e portanto repre-sentar sistemas compostos por múltiplos subsistemas. Se H1 e H2 são espa¸cos de Hilbert

de dimensão n e m, respectivamente, então H1 ⊗ H2 é um novo espa¸co de Hilbert de

dimens˜ao n x m. O produto tensorial entre |yi ⊗ |xi ´e tido como:

|yi ⊗ |xi =                              y1x1 .. . y1xm y2x1 .. . y2xm .. . .. . ymx1 .. . ymxm                              . (2.6)

No caso do produto tensorial da matriz A de dimensões m x n e da matriz B de dimensões p x q o resultado será a matriz de dimensão mp x nq definida por:

A ⊗ B =                     A11B11 · · · A11B1q · · · A1nB11 · · · A1nB1q .. . ... ... ... ... ... ... A11Bp1 · · · A11Bpq · · · A1nBp1 · · · A1nBpq .. . ... ... ... ... ... ... .. . ... ... ... ... ... ... Am1B11 · · · Am1B1q · · · AmnB11 · · · AmnB1q .. . ... ... ... ... ... ... Am1Bp1 · · · Am1Bpq · · · AmnBp1 · · · AmnBpq                     . (2.7)

Vale notar que o produto tensorial muitas vezes ´e escrito de forma abreviada como |xi |yi ou at´e mesmo |xyi.

Al´em disso, o produto tensorial entre dois operadores A ∈ H1 e B ∈ H2 definido

por A ⊗ B ´e um operador do espa¸co H1 ⊗ H2 e atua sobre o estado |ψi ⊗ |φi da seguinte

forma:

(20)

7

2.2 Operadores

Operadores lineares são responsáveis por transformar os vetores do espa¸co sobre os quais estão agindo. No próximo cap´ıtulo será visto, em um dos postulados da mecânica quˆ an-tica, que operadores lineares unitários são responsáveis por descrever a evolu¸cão de um sistema quântico fechado. Na computa¸cão quântica, esses sistemas serão chamados qu-bits. Portanto, os operadores lineares unitários serão de grande importância, agindo como portas lógicas fundamentais para o processamento da informa¸cão.

Por defini¸cão um operador linear no espa¸co de Hilbert é uma transforma¸cão linear T : H → H, do espa¸co vetorial para si mesmo. A seguir estão listados alguns tipos de operadores utilizados na teoria quântica.

• O operador adjunto de T ´e T† _{e corresponde ao conjugado complexo transposto de}

T ou conjugado hermitiano. Sua a¸c˜ao pode ser descrita de forma que

(hψ| T†|φi)∗ = hφ| T |ψi (2.9)

ou, ent˜ao, escrevendo de outra forma:

hφ| (T |ψi) = (hφ| T†) |ψi . (2.10)

• Um operador é unitário se T†= T−1, logo T T†= I. Esse tipo de operador preserva a norma dos vetores, o que é importante, pois será visto que isso implica em manter a probabilidade total dos resultados de medidas igual a 1.

Por exemplo, o produto interno de U |ψi com U |φi ´e:

hψ| U†U |φi = hφ| |ψi . (2.11)

• Um operador ´e hermitiano se T = T†_{. Al´}_{em disso, pode-se provar que os autovalores}

de um operador hermitiano pertencem ao conjunto dos n´umeros reais [14]. Ou seja, dado o autovetor |ψi de U, tem-se que

U |ψi = λ |ψi , onde λ ´e real. (2.12)

• Um operador ´e normal se T T† _{= T}†_{T . Vale observar que tanto os operadores}

(21)

2.3 Teorema espectral e fun¸

c˜

ao de operadores

O teorema espectral da álgebra linear afirma que para todo operador normal T agindo sobre o espa¸co de Hilbert de dimensão finita, existe uma base ortonormal nesse espa¸co formada pelos autovetores |xii de T. Além disso, pode-se provar que T é diagonal na

sua autobase, ou seja, ´e diagonal quando escrito em termos da base |xii. Portanto, todo

operador linear normal pode ser expandido na seguinte forma

T =X

i

λi|xii hxi| , (2.13)

pois λi s˜ao os autovalores de T.

Outra consequência desse resultado é a capacidade de definir fun¸cões de operadores, constatando-se que a série de Taylor de uma fun¸cão f(x) tem o seguinte formato:

f (x) =

∞

X

m=0

amxm (2.16)

e, portanto, pode-se definir a a¸c˜ao de uma fun¸c˜ao sobre um operador T como: f (T ) =

∞

X

m=0

amTm. (2.17)

Substituindo T pela sua decomposi¸c˜ao espectral:

∞ X m=0 am( X i λi|xii hxi|)m = ∞ X m=0 am X i (λi)m|xii hxi| (2.18)

e, por fim, invertendo a ordem do somat´orio X i ( ∞ X m=0 am(λi)m) |xii hxi| = X i f (λi) |xii hxi| . (2.19)

Isso mostra que a partir do teorema espectral é poss´ıvel decompor um operador linear normal em sua base de autovetores e, então, encontrar o resultado de uma fun¸cão f que atua sobre o operador apenas aplicando a fun¸cão nos seus autovalores.

(22)

Cap´ıtulo 3

Computa¸

c˜

ao quˆ

antica

“N´os devemos estar certos de que quando se trata de ´atomos, a linguagem pode ser usada apenas como na poesia.”

-Niels Bohr

A computa¸cão quântica é uma nova forma de processar informa¸cão cujas regras são defi-nidas pela mecânica quântica. A sua estrutura fundamental é denominada qubit e gra¸cas a fenômenos quânticos como superposi¸cão, interferência e emaranhamento, a computa-¸cão quântica consegue obter capacidades diferenciadas quando comparada ao computador clássico.

3.1 Postulados da mecˆ

anica quˆ

antica

3.1.1 Postulado do espa¸

co de estados

O primeiro postulado da mecânica quântica fala sobre como caracterizar um sistema. Sua formula¸cão afirma que:

“A qualquer sistema f´ısico isolado pode-se associar um espa¸co vetorial complexo dotado de produto interno (espa¸co de Hilbert) e os estados do sistema s˜ao vetores unit´arios nesse espa¸co.”

Como mencionado anteriormente, a unidade básica da computa¸cão quântica é o qubit, que pertence a um espa¸co de duas dimensões de Hilbert. A escolha do qubit como unidade básica se deve ao fato dele representar o sistema mais simples poss´ıvel, onde uma medida do estado quântico vai apresentar apenas um dos dois resultados poss´ıveis.

(23)

O qubit ´e um vetor unit´ario definido na base computacional, que tem como base os vetores ortoganais: |0i =   1 0   e |1i =   0 1  . (3.1)

Portanto, a defini¸c˜ao de um qubit gen´erico na base computacional pode ser expressa por

|ψi = α |0i + β |1i =   α β  , (3.2)

onde, α e β são amplitudes complexas associadas à probabilidade de medir o sistema em cada um dos estados, como será visto adiante no postulado da medida. Além disso, vale mencionar que um certo estado é equivalente a outro estado que possui as mesmas ampli-tudes, porém multiplicado por uma fase global. Isso acontece porque a probabilidade de medir o sistema em cada um dos estados (|0i e |1i se a medida for na base computacional) é igual em ambos os qubits. Portanto, |ψi e eiθ_{|ψi s˜}_{ao equivalentes.}

A condi¸c˜ao de que o estado seja descrito por um vetor unit´ario significa dizer que |α|2_{+ |β|}2 _{= 1, e tem como objetivo garantir que a probabilidade total seja igual a um,}

como ser´a visto no postulado da medida.

Um exemplo de sistema f´ısico cujos estados podem ser representados por um qubit é o spin de part´ıculas do tipo spin-1/2 como, por exemplo, o elétron. Nesta representa¸cão, um spin-up pode ser associado ao estado |0i e o spin-down ao estado |1i da base compu-tacional. Outros exemplos são baseados nos n´ıveis de energia de um elétron ou, ainda, na polariza¸cão de fótons, mas esses exemplos não serão explicitados aqui.

Um qubit também pode ser expresso em termos de outras bases, além da compu-tacional. Uma base que é muito utilizada na computa¸cão quântica e que aparecerá com frequência ao longo deste trabalho é a base de Hadamard, que possui os vetores |+i e |−i expressos da seguinte forma:

|+i = √1

2(|0i + |1i) e |−i = 1 √

2(|0i − |1i). (3.3)

Além disso, uma ferramenta muito útil na visualiza¸cão dos qubits é a chamada esfera de Bloch. Nela, o qubit é um vetor de comprimento unitário, pois a soma das probabilidades deve ser igual a 1, e é representado como:

|ψi = cosθ

2|0i + e

iφ

senθ

(24)

11 A representa¸c˜ao de um qubit na esfera de Bloch pode ser vista na Figura 3.1.

|ψi x φ y z θ

Figura 3.1: Esfera de Bloch.

Por fim vale notar que um qubit no estado |0i ou |1i é análogo a um bit 0 ou 1 clássico. A maneira como um qubit difere de um bit clássico é quando ele forma um estado |ψi = α |0i + β |1i, que é uma superposi¸cão de ambos os estados da base computacional. Essa superposi¸cão permite a realiza¸cão de cálculos utilizando |0i e |1i simultaneamente, e isso é o que torna, em certos casos, a computa¸cão quântica mais eficiente do que a computa¸cão clássica. Porém, apenas um desses estados pode ser acessado através de uma medi¸cão e o grande desafio da computa¸cão quântica é, justamente, fazer com que os qubits interfiram de forma a produzir um estado final no qual a informa¸cão desejada seja acess´ıvel através de medi¸cões do sistema.

3.1.2 Postulado da evolu¸

c˜

ao temporal de um sistema fechado

O segundo postulado da mecânica quântica descreve como se dá a evolu¸cão temporal de um sistema fechado e pode ser formulado assim:

“A evolu¸cão temporal de um sistema quântico fechado é descrita por uma trans-forma¸cão unitária, isto é, |ψ2i = U |ψ1i”

onde |ψ1i é o sistema no estado inicial e |ψ2i é o sistema após a evolu¸cão. Além

disso, como o sistema é fechado, este não troca informa¸cão com o meio exterior.

Os operadores que caracterizam as transforma¸cões unitárias efetuadas sobre siste-mas de apenas 1 qubit são matrizes 2x2. Uma classe muito utilizada desses operadores

(25)

s˜ao as matrizes (portas) de Pauli: I =   1 0 0 1  , X =   0 1 1 0  , Y =   0 −i i 0  , Z =   1 0 0 −1  . (3.5)

Essas matrizes realizam rota¸cões ao longo dos eixos x, y e z da Bloch sphere. As suas aplica¸cões na forma como estão definidas acima, realizam rota¸cões de 180◦ em torno dos eixos x, y e z. Porém, para realizar rota¸cões parciais, são definidas as seguintes matrizes Rx(θ) ≡ e−i(θ/2)X =      cos(θ/2) −isen(θ/2) −isen(θ/2) cos(θ/2)      , (3.6) Ry(θ) ≡ e−i(θ/2)Y =      cos(θ/2) −sen(θ/2) sen(θ/2) cos(θ/2)      , (3.7) Rz(θ) ≡ e−i(θ/2)Z =      e−i(θ/2) 0 0 e−i(θ/2)      , (3.8)

onde e−i(θ/2)X, e−i(θ/2)Y e e−i(θ/2)Z são fun¸cões de operadores que podem ser expandidas em uma série de Taylor conforme:

eiAθ = ∞ X m=0 (iAx)m m! = ∞ X m=0 (ix)m m! A m = ∞ X p=(par) (ix)p p! I + ∞ X k=(´ımpar) (ix)k k! A = cos(θ)I + isen(θ)A (3.9)

para toda matriz A que satisfa¸ca A2 = I.

Além de realizar rota¸cões, as matrizes de Pauli são importantes porque formam uma base para os operadores hermitianos, cujos autovalores representam os poss´ıveis valores de leitura de um experimento na mecânica quântica. Ou seja, qualquer operador hermitiano de um qubit pode ser expresso em termos dessas quatro matrizes.

3.1.3 Postulado das medi¸

c˜

oes

O terceiro postulado da mecânica quântica trata do processo de medi¸cão de um estado qualquer. Sua formula¸cão diz que, dado um estado |ψi = α |0i + β |1i, para realizar uma

(26)

13 medida em uma base ortonormal qualquer B = {|φii}, o estado |ψi pode ser escrito como

|ψi =P

iαi|φii e o ato de medir pode levar |ψi ao estado |φii com probabilidade |αi| 2_.

A partir desse postulado, fica claro que dois estados que diferem por uma fase global s˜ao iguais do ponto de vista de uma medida. Dado o estado |ψi = P

iαie iθ_|φ

ii,

após a medi¸cão, o estado resultante será |φii com probabilidade,

p(i) = |αieiθ|2 = αieiθα∗ie −iθ

= αiα∗i = |αi|2, (3.10)

que ´e similar a probabilidade de encontrar |φii no estado |ψi =

P

iαi|φii sem a fase

global.

Um exemplo de medi¸cão pode ser visto a seguir, onde um qubit no estado |ψi = |0i é medido na base de Hadamard, definida pela Equa¸cão 3.3, cuja probabilidade de observar o resultado |+i é:

p+ = | h+|ψi |2 = h+|ψi h+|ψi ∗

= h+|ψi hψ|+i = h+|0i h0|+i = 1 √ 2(h0| + h1|) |0i h0|√1 2(|0i + |1i) = 1 √ 2h0|0i 1 √ 2h0|0i = 1 2. (3.11)

Utilizando o mesmo racioc´ınio chega-se ao resultado de que a probabilidade p−de observar

o resultado |−i tamb´em ´e igual a 1/2.

3.1.4 Postulado da composi¸

c˜

ao de sistemas

O quarto postulado da mecânica quântica fala sobre como é descrito um sistema composto por múltiplos subsistemas. Sua formula¸cão diz:

”O espa¸co de estados de um sistema f´ısico composto ´e o produto tensorial dos espa¸cos de estados dos sistemas componentes.”

Ou seja, se um estado |ψi₁ pertence ao espa¸co de estados H1 e um estado |ψi₂

pertence ao espa¸co de estados H2 ent˜ao o sistema resultante da composi¸c˜ao dos dois

subsistemas ´e descrito por |ψi₁⊗ |ψi₂ e pertence ao espa¸co de estados H1 ⊗ H2.

Um exemplo de composi¸c˜ao de sistema ´e visto a seguir, onde dois qubits no estado |ψi e |φi passam passam a forma um sistema composto |ψφi.

Considerando que

(27)

então, a composi¸cão dos sistemas é descrita pelo seguinte sistema de 2-qubits:

|ψφi = αγ |00i + αδ |01i + βγ |10i + βδ |11i =         αγ αδ βγ βδ         . (3.13)

Um detalhe importante a se notar é o fato de que nem todos os estados compostos podem ser descritos por um produto tensorial de subsistemas. Quando isso acontece, é dito que os qubits estão emaranhados. Se ao longo da prepara¸cão do estado, cada um dos qubits é preparado de maneira isolada um do outro, então eles formam subsistemas fechados e, portanto, o sistema formado pela composi¸cão desses qubits pode ser descrito por meio de um produto tensorial. Porém, se os qubit interagem entre si ao longo da sua prepara¸cão, esses subsistemas deixam de ser fechados e o sistema formado pela composi¸cão dos qubits passa a ser um sistema emaranhado que não pode ser descrito por um produto tensorial.

Para exemplificar, ´e apresentado o seguinte estado emaranhado: |ψi = √1

2(|00i + |11i) . (3.14)

Para provar que não é poss´ıvel escrever esse estado como um produto tensorial de dois qubits, primeiro são apresentados dois qubits com amplitudes genéricas,

|φ1i = α |0i + β |1i (3.15)

e,

|φ2i = γ |0i + δ |1i , (3.16)

o produto tensorial desses dois qubits ´e,

|φ1φ2i = αγ |00i + αδ |01i + βγ |10i + βδ |11i . (3.17)

Para que esse produto fosse igual ao estado emaranhado |ψi seria necess´ario que, αγ = βδ = √1

2, (3.18)

porém, também seria necessário que,

(28)

15 o que ´e claramente uma impossibilidade matem´atica.

Uma fato interessante sobre estados emaranhados pode ser observado a partir do exemplo anterior. Na Equa¸cão 3.14, após uma medi¸cão no primeiro qubit, que pode re-sultar em |0i ou |1i com probabilidade 1/2 cada, o estado do segundo qubit passa a ser conhecido imediatamente, pois será idêntico ao primeiro. Esse fato gerou profundo incˆ o-modo em Einstein, que acreditava que a mecânica quântica possu´ıa natureza probabil´ıstica apenas por ser uma teoria incompleta, ou seja, por conta da falta de conhecimento dos cientistas sobre o sistema completo e que, no fundo, a mecânica quântica se comportava de maneira clássica. Foi então que junto aos cientistas Boris Podolsky e Nathan Rosen, Einstein publicou um artigo conhecido como o paradoxo de EPR [15]. Segundo eles, a mecânica quântica era uma teoria incompleta porque estados emaranhados acarretavam em qubits serem capazes de influenciar outros qubits, mesmo que separados por uma grande distância, de forma mais rápida do que a velocidade da luz. Para Einstein isto seria algo imposs´ıvel pois violaria o limite imposto pela teoria da relatividade, na qual a velocidade máxima no universo é a velocidade da luz. Porém, em 1964, o f´ısico teórico John Bell estabeleceu um teorema conhecido como desigualdade de Bell que permitia um experimento de laboratório para comprovar se a realidade era de fato clássica, como Eins-tein imaginava, ou se ela apresentava fatores como não localidade ou não realismo. Esse experimento foi realizado pela primeira vez em 1972 pelos f´ısicos Stuart J. Freedman e John F. Clauser, e provou que a realidade não é clássica, ou seja, não é local e realista. Desde então, vários cientistas refizeram os experimentos para eliminar poss´ıveis falhas ou loopholes que permitiriam que céticos com rela¸cão ao assunto encontrassem formas de con-testar a veracidade do experimento. Infelizmente, Albert Einstein não viveu o suficiente para apreciar o teorema de Bell e nem contemplar os experimentos que o comprovaram.

3.2 Circuitos quˆ

anticos

3.2.1 Introdu¸

c˜

ao aos circuitos quˆ

anticos e ao teorema da n˜

ao

clonagem

A representa¸cão de sistemas quânticos por meio de circuitos é um modelo de computa¸cão quântica, análogo à computa¸cão clássica, no qual os qubits são representados por linhas e os operadores que atuam sobre estes são representados por portas lógicas. Entretanto,

(29)

as portas lógicas que aparecem na computa¸cão quântica são todas unitárias devido ao postulado da evolu¸cão temporal de um sistema fechado. Isso implica que toda as portas sejam revers´ıveis, ou seja, a partir do conhecimento da sa´ıda, pode-se descobrir o estado da entrada na porta lógica. Já na computa¸cão clássica, nem todas as portas são revers´ıveis (um exemplo é a porta AND). Outra diferen¸ca para os circuitos clássicos é o fato de que na computa¸cão quântica, de acordo com o teorema da não clonagem mostrado a seguir, um qubit qualquer não pode ser clonado em outro qubit. Isto é, não existe nenhum operador unitário C capaz de realizar as opera¸cões:

C(|ψ1i |0i) = |ψ1i |ψ1i

C(|ψ2i |0i) = |ψ2i |ψ2i ,

(3.20)

para |ψ1i não ortogonal à |ψ2i. Ou seja, não existe porta quântica capaz de copiar um

estado arbitrário qualquer em outro qubit (porém é poss´ıvel fazer com que uma porta espec´ıfica copie um estado já conhecido previamente em outro qubit). Por isso, circuitos em paralelo não existem na computa¸cão quântica.

A prova do teorema da não clonagem é feita por contradi¸cão, onde supõem-se que C é unitário e capaz de realizar as opera¸cões descritas na Equa¸cão 3.20. Então,

hψ1|ψ2i = hψ1|ψ2i h0|0i

= (hψ1| h0|)C†C(|ψ2i |0i)

= (hψ1| hψ1|)(|ψ2i |ψ2i)

= (hψ1|ψ2i)2,

(3.21)

que só é valido para |ψ1i ortogonal à |ψ2i ou |ψ1i = eiα|ψ2i, onde eiα é uma fase global.

3.2.2 Nota¸

c˜

ao de circuitos

Como dito anteriormente, na representa¸cão de estados quântico por meio de circuitos, os qubits são representados por linhas e os operadores que atuam sobre o sistema por portas lógicas. Na Se¸cão 3.1.2 foi visto que as matrizes de Pauli são uma classe muito importante de operadores de 1 qubit e portanto serão portas lógicas representadas por:

I ≡ I X ≡ X

Y ≡ Y Z ≡ Z

(30)

17 A a¸cão dessas portas sobre os qubits na base computacional pode ser mostrada através de suas atua¸cões no qubit |ψi = α |0i + β |1i, de acordo com as seguintes equa¸cões:

I |ψi = |ψi ,

X |ψi = α |1i + β |0i , Y |ψi = iα |1i − iβ |0i , Z |ψi = α |0i − β |1i .

(3.22)

Na Se¸cão 3.1.1 foi dito que a base de Hadamard é constantemente utilizada na computa¸cão quântica. A porta que transforma o qubit |0i em |+i e |1i em |−i é a porta de Hadamard e ela é importante pois cria uma superposi¸cão com amplitudes iguais entre |0i e |1i. Sua representa¸cão matricial e na forma de porta lógica são mostradas na Figura 3.3. H = √1 2   1 1 1 −1  ≡

H

Figura 3.3: Porta de Hadammard.

Por fim, outra porta de extrema importância que aparecerá muitas vezes ao longo deste texto é a porta CNOT. Essa porta controla o segundo qubit baseado no estado do primeiro qubit. Ou seja, ela transforma |10i em |11i, |11i em |10i e copia a entrada se a mesma for |01i ou |00i. A porta CNOT age sobre 2 qubits e, portanto, é uma matriz 4x4. Sua representa¸cão matricial e na forma de porta lógica estão mostradas na Figura 3.4.

CN OT =         1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0         ≡

•

Figura 3.4: Porta CNOT.

Vale notar que a porta CNOT é uma porta que faz com que dois qubits interajam entre si e, portanto, esta pode criar emaranhamento. Um exemplo é o circuito básico que cria emaranhamento transformando o estado |00i em √1

2(|00i + |11i). A sua estrutura pode ser vista na Figura 3.5.

(31)

|0i H • |0i

1 2 3

Figura 3.5: Circuito para criar emaranhamento.

Na Figura 3.5, o circuito foi dividido em três etapas para facilitar a análise. O estado dos qubits a cada momento é descrito a seguir:

1 Qubits de entrada do circuito no estado |0i ⊗ |0i

2 A porta Hadamard ´e aplicada ao primeiro qubit, fazendo com que o estado do circuito passe a ser √1

2(|0i + |1i) ⊗ |0i = 1 √

2(|00i + |10i)

3 A porta CNOT ´e aplicada e o estado final do circuito se torna √1

2(|00i + |11i) Ressalta-se que os medidores representados após a terceira etapa simbolizam uma medi¸cão na base computacional. Ou seja, após a medi¸cão, o circuito vai mostrar o estado |00i ou o estado |11i ambos com 50% de probabilidade.

3.2.3 Protocolos quˆ

anticos

Além de algoritmos consideravelmente mais eficientes do que algoritmos clássicos, a teoria da informa¸cão quântica permitiu que alguns protocolos interessantes fossem desenvolvidos. Dentre eles estão o protocolo de codifica¸cão superdensa e o de distribui¸cão de chaves criptográficas BB84. Ambos serão descritos a seguir.

O protocolo de codifica¸cão superdensa consiste em um protocolo de transmissão de informa¸cão clássica (bits) utilizando informa¸cão quântica (qubits). Nele, apenas um qubit emaranhado é utilizado para transmitir dois bits de informa¸cão clássica entre dois interlocutores, Alice e Bob. A Figura 3.6 ilustra o circuito que realiza esse protocolo.

(32)

19 b2 b1 X Z Alice                    |ψi · · · ·· · · ·· · · ·· · · ·· · · ·· · · ··· · · · ·· · · · Bob • H b1 b2 1 2 3

Figura 3.6: Protocolo de codifica¸c˜ao superdensa.

Para alcan¸car a codifica¸c˜ao superdensa Alice e Bob devem, cada um, possuir um dos qubits do estado emaranhado de entrada do circuito |ψi = √1

2(|00i + |11i) (na Figura 3.6 Alice possui o primeiro qubit e Bob o segundo). Em seguida, Alice escolhe quais bits quer enviar (b1b2) e aplica as portas X e Z baseada no valor desses bits. Por exemplo, se

b2 = 1 e b1 = 0 ela aplica apenas a porta X no seu qubit. Ent˜ao, Alice envia seu qubit

para Bob que aplica as portas CNOT e Hadamard para desemaranhar os qubits e, em seguida, realiza a medi¸cão na base computacional para descobrir quais os bits enviados por Alice. Com esse protocolo, Alice consegue enviar para Bob dois bits de informa¸cão utilizando apenas um qubit emaranhado e é por isso que ele é chamado de codifica¸cão superdensa.

Para demonstrar o funcionamento do circuito, um exemplo da transmissão da men-sagem 01 é apresentado a seguir, onde o estado dos qubits é explicitado em cada um dos 3 pontos cruciais do circuito.

1 Qubits de entrada do circuito no estado |ψi = √1

2(|00i + |11i)

2 Alice aplica apenas a porta X ao seu qubit, fazendo com que o estado do circuito passe a ser √1

2(|10i + |01i)

3 Ap´os a transferˆencia do qubit, Bob aplica a porta CNOT e os qubits passam a ser 1

√

2(|11i + |01i) = 1 √

2(|1i + |0i) ⊗ |1i. Por fim a porta de Hadamard ´e aplicada e o estado final obtido no circuito ´e |01i.

(33)

quando Bob já está em posse do qubit, é um circuito de medi¸cão na base de Hadamard, isto é, para medir um qubit nessa base, basta aplicar uma porta de Hadamard e, em seguida, realizar a medida na base computacional.

O protocolo BB84 foi desenvolvido por Charles Bennett e Gilles Brassard em 1984 e é o mais antigo protocolo de distribui¸cão de chaves quântico. Ele foi criado visando garantir a seguran¸ca na comunica¸cão entre dois nós baseando-se apenas nas leis da f´ısica, ao invés de se basear em algum problema muito dif´ıcil de se resolver, como acontece nos protocolos clássicos. A descri¸cão deste protocolo encontra-se a seguir.

Alice deseja enviar uma mensagem para Bob. Para isso, ela necessita de uma chave de uso único, que é segura se utilizada apenas uma vez, que deve ser gerada pelo protocolo BB84 toda vez que uma mensagem for trocada entre os dois. Essa chave consiste em uma sequência de bits conhecida apenas por Alice e Bob que deve ser utilizada para realizar a opera¸cão XOR (soma módulo dois) com a sequência de bits de mensagem e, assim, criptografar a mensagem original.

Para gerar essa chave de uso único (com o protocolo BB84), Alice deve inicialmente preparar duas sequências binárias aleatórias, x e y. Então, Alice prepara uma sequência de qubits baseando-se na seguinte lógica:

• Se xi = 0 e yi = 0 ela prepara o qubit |0i.

• Se xi = 1 e yi = 0 ela prepara o qubit |1i.

• Se xi = 0 e yi = 1 ela prepara o qubit |+i.

• Se xi = 1 e yi = 1 ela prepara o qubit |−i.

Por exemplo, se x = [0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1] e y = [1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1], então, a sequência de qubits é: |+i |1i |−i |+i |1i |0i |0i |−i |0i |+i |−i |1i |−i.

Em seguida, Alice envia esta sequência de qubits para Bob. Para medi-los, Bob gera uma sequência aleatória de bits z e mede os qubits de acordo com a seguinte lógica:

• Se zi = 0 Bob mede o qubit na base computacional.

• Se zi = 1 Bob mede o qubit na base de Hadamard.

´

E importante lembrar que ao medir o qubit |0i ou |1i na base de Hadamard, a sa´ıda da medi¸cão é 0 ou 1, ambos com 50% de probabilidade, pois é equivalente a aplicar a porta H ao qubit e depois fazer a medi¸cão na base computacional.

(34)

21 Por exemplo, para z = [ 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 ], o resultado da medi¸cão da sequência enviada por Alice no exemplo anterior será armazenado em uma sequência binária c = [ a a a 0 1 a a a 0 a 1 a a ], onde o bit ’a’ representa um bit aleatório 0 ou 1, com probabilidade igual a 50%.

Após a medi¸cão, Alice e Bob publicam as sequências y e z para que ambos possam verificar em que momento a base de medi¸cão de Bob coincidiu com a base de codifica¸cão de Alice, simplesmente analisando em que posi¸cões y e z são iguais. Então, os valores dos bits nessas posi¸cões nos vetores x e c são utilizados como chave de criptografia. No caso do exemplo anterior, a chave criptográfica seria [0 1 0 1].

Esse método de distribui¸cão se baseia no fato de que se um espião entre Alice e Bob tentar medir os qubits enviados por Alice, ele irá colapsar o estado desses qubits, por exemplo, um qubit que possu´ıa o valor |+i colapsa para 0 ou 1 se for medido na base computacional (que nesse caso é a base errada). Além disso, a base de medida do espião será aleatória e, consequentemente, apenas parte dos qubits medidos por ele estarão corretos. Portanto, ao reenviar a sequência de qubits medidos por ele para Bob, essa sequência será diferente da que Alice havia enviado inicialmente. Então, se Bob e Alice adicionarem um checksum na mensagem, ao analisarem quais qubits foram medidos de maneira correta baseados nos seus vetores y e z, eles irão perceber que o checksum não está correto, pois a sequência de qubits medida por Bob foi alterada pelo espião.

Caso o espião conseguisse gerar múltiplas cópias dos estados enviados por Alice, seria poss´ıvel que ele realizasse medidas em mais de uma base e, além disso, ele conseguiria reenviar os estados idênticos para Bob que, consequentemente, não iria constatar erro no checksum. Porém, é justamente o teorema da não clonagem visto na Subse¸cão 3.2.1 que garante que é imposs´ıvel gerar múltiplas cópias desse estado arbitrário enviado por Alice e, com isso, garante a seguran¸ca do protocolo.

O protocolo BB84 foi o pioneiro na área de distribui¸cão de chaves criptográficas quânticas. Atualmente, algumas vulnerabilidades já foram encontradas em alguns casos onde, por exemplo, a sequência gerada por Alice e Bob não é de fato aleatória ou caso o espião tenha acesso ao dispositivo codificador e decodificador de Alice e Bob. Entretanto, métodos mais modernos de distribui¸cão de chaves quânticos já foram desenvolvidos e essa é uma das áreas mais promissoras de pesquisa em informa¸cão quântica.

(35)

3.3 Algoritmos Quˆ

anticos

Nessa se¸cão serão apresentados dois algoritmos quânticos conhecidos como algoritmo de Bernstein-Vazirani [16] e o de busca de Grover [17]. O primeiro é um exemplo básico, apenas para ilustrar, de maneira simples e rápida, a superioridade da computa¸cão quântica em rela¸cão a computa¸cão clássica quando se trata de certos problemas computacionais. O segundo é um dos algoritmos mais importantes da computa¸cão quântica e, junto com a transformada de Fourier quântica e a simula¸cão quântica, faz parte do grupo dos pilares da computa¸cão quântica que estão presentes na maioria das aplica¸cões na área.

3.3.1 Algoritmo de Bernstein-Vazirani

O algoritmo de Bernstein-Vazirani foi desenvolvido por Ethan Bernstein e Umesh Vazirani em 1992. Ele serve para encontrar o valor da sequência de bits s utilizada na fun¸cão f (x) = s.x, onde s e x são sequências de n bits e o seu produto pode ser entendido como o produto interno entre os vetores formados por essas sequências, ou seja, Pn

i=1sixi.

Para isso, será considerado que o algoritmo quântico tem acesso a um oráculo de fase Of, que é basicamente uma porta lógica de n qubits que funciona da seguinte maneira,

dado o qubit |ψi de entrada:

Of|ψi = (−1)f (ψ)|ψi (3.23)

A Figura 3.7 mostra o circuito quˆantico que realiza o algoritmo de Bernstein-Vazirani. |0i H Of H .. . ... ... ... .. . ... ... ... |0i H H 1 2 3 4

Figura 3.7: Circuito do algoritmo de Bernstein-Vazirani.

O passo a passo do estado dos n qubits de entrada encontra-se descrito a seguir: 1 Qubits de entrada no estado |01....0ni = |0i

⊗n

.

(36)

23 ser H⊗n|0i⊗n = (√1

2)

n_{(|0i + |1i) ⊗ .... ⊗ (|0i + |1i) = (}_√1

2)

nP2n−1

x=0 |xi, onde no

somatório x representa um número inteiro binário variando de 0 até 2n−1_.

3 Após a aplica¸cão do oráculo, obtém-se que (√1 2) nP2n−1 x=0 (−1) f (x)_{|xi = (}_√1 2) nP2n−1 x=0 (−1) s.x_|xi = (√1 2)

n_{(|0i + (−1)}s1_{|1i) ⊗ .... ⊗ (|0i + (−1)}sn_|1i).

4 Finalmente, ao aplicar n portas de Hadamard no final do circuito, descobre-se o estado |s1....sni.

Neste algoritmo nota-se que o grande benef´ıcio da computa¸cão quântica foi per-mitir que uma superposi¸cão de estados fosse criada a partir da aplica¸cão de n portas de Hadamard e, com isso, a fun¸cão f(x) pôde ser calculada simultaneamente em todos os estados. Porém, esses estados não são acess´ıveis de maneira simultânea e, portanto, n portas de Hadamard devem ser aplicadas novamente a fim de gerar interferência entre os diferentes estados e terminar a computa¸cão com o único estado desejado, correspondente `

a sequˆencia s.

Percebe-se, então, que com apenas uma utiliza¸cão da fun¸cão f(x), o algoritmo de Bernstein-Vazirani foi capaz de descobrir o valor de s. Já um algoritmo clássico precisaria chamar a fun¸cão n vezes pois, para descobrir s1, utilizaria f(100...0), para descobrir s2,

f(010...0) e, assim, sucessivamente at´e sn. Isso mostra uma melhora polinomial do

algo-ritmo quântico em rela¸cão à computa¸cão clássica. Entretanto, essa melhora não apresenta um ganho tão significativo quanto outros algoritmos mais elaborados como o de Shor ou o de Grover.

3.3.2 Algoritmo de busca de Grover

O algoritmo de Grover foi desenvolvido por Lov Grover em 1996 e é um algoritmo base-ado em amplifica¸cão de amplitude. Esse método permite que um computador quântico encontre um elemento x0 em uma lista desordenada de N elementos, onde o computador

tem acesso a um oráculo de fase, atuando como na Equa¸cão 3.23, que executa a fun¸cão f(x), definida como:

f (x) = 1 se x = x0

f (x) = 0 se x 6= x0.

(37)

Ou seja, essa fun¸c˜ao deve ser capaz de distinguir o elemento desejado dos demais elementos na lista.

O procedimento computacional do algoritmo consiste em aplicar o chamado opera-dor de Grover G sobre o estado |ψi = H⊗n|0i⊗n um certo n´umero de vezes e, em seguida, medir os qubits na base computacional. O operador de Grover pode ser definido por:

G = H⊗nRH⊗nOf (3.25)

onde n é o número de qubits sobre o qual o operador atua, H⊗n é a porta de Hadamard aplicada nos n qubits, Of é o oráculo de fase e R é uma porta de n qubits (ou seja, uma

matriz 2n_x2n_{) que pode ser constru´ıda utilizando-se um n´}_{umero polinomial de portas}

lógicas e que multiplica qualquer sequência de n qubits na base computacional por −1 exceto a sequência |0i⊗n, conforme definido a seguir:

R =            1 0 · · · 0 0 0 −1 · · · 0 0 .. . ... ... ... ... 0 0 · · · −1 0 0 0 · · · 0 −1            = 2 |0i h0| − I. (3.26)

onde |x0i é a sequência de qubits que deseja-se encontrar e |x⊥0i são todas as outras

sequências, que formam uma superposi¸cão de estados ortogonais à |x0i. Vale notar que

N é o número total de elementos que formam a superposi¸cão, ou seja, N = 2n_{. Definindo}

o ˆangulo θ = arcsen(√1

N), pode-se reescrever o estado de entrada como sendo:

|ψi = sen(θ) |x0i + cos(θ) |x⊥0i . (3.28)

Agora esse estado pode ser visualizado como dois eixos em um plano cartesiano com |x0i no eixo das ordenadas e |x⊥0i no eixo das abscissas conforme mostrado na Figura

(38)

25 |x⊥ 0i |x0i |ψi θ Figura 3.8: Eixos |x0i e |x⊥0i

Em seguida, nota-se que a a¸cão do oráculo é levar |x0i para − |x0i e não alterar |x⊥0i.

Isso pode ser visto como uma reflexão ao redor do eixo |x⊥₀i. Já a a¸cão de H⊗nRH⊗n = 2 |ψi hψ| − I, não altera |ψi e leva |ψ⊥i para − |ψ⊥_{i onde |ψ}⊥_{i é ortogonal `}_{a |ψi . Essa}

opera¸cão também pode ser interpretada como um reflexão, porém em torno do eixo |ψi. O resultado da rota¸cão total do operador G é um deslocamento de 2θ na dire¸cão do eixo |x0i, como pode ser observado na Figura 3.9.

|x⊥ 0i |x0i |ψi G |ψi Of|ψi θ 2θ θ

Figura 3.9: A¸c˜ao do operador G

Ap´os k aplica¸c˜oes do operador G, o estado do qubit |ψi passa a ser:

(39)

Como o ˆangulo θ aumentou, fica claro que a amplitude associada ao estado |x0i

também aumentou. Isso mostra que o algoritmo de Grover amplificou a probabilidade de o estado ser medido como |x0i. Para saber o número k de aplica¸cões necessárias do

operador G, basta fazer (2k + 1)θ = π

2, logo, k = π 4θ −

1

2. Porém, nessa defini¸cão, k não costuma ser um número inteiro e portanto, aproxima-se k = ˜k, onde ˜k é o inteiro mais próximo de k.Assim, tem-se que (2˜k + 1)θ = π

2 + ε, onde |ε| ´e o erro que no pior caso, aproxima-se de √1

N para valores grandes de N. Logo, utilizando a desigualdade trigonom´etrica 1 − cos x ≤ x

2

2, obt´em-se que a probabilidade, Pk, do algoritmo acertar no pior dos casos ´e:

Pk= sen2( π 2 + ε) ≈ sen( π 2 + ε) = cos ε ≥ 1 − ε2 2 ≈ 1 − 1 N. (3.30)

Este resultado representa uma grande vantagem em rela¸c˜ao aos algoritmos cl´ assi-cos, pois, com apenas k ≈ √N = 2(n/2) _{consultas, o algoritmo de Grover foi capaz de}

encontrar o elemento na lista com uma probabilidade de erro da ordem de 1

N. Um al-goritmo cl´assico determin´ıstico, que encontra o elemento com 100% de certeza, utilizaria N = 2n _{consultas e, ainda que fosse utilizado um algoritmo probabil´ıstico, seriam}

neces-s´arias aproximadamente pN = p2n _{consultas, onde p ´}_{e a probabilidade de acerto que ele}

teria. Ou seja, para se obter uma probabilidade de acerto p = 1 − 1

N seriam necess´arias N − 1 = 2n_{− 1 consultas.}

Ressalta-se que, neste exemplo, o algoritmo realizou a busca em uma lista de entrada de elementos em uma superposi¸c˜ao uniforme, mas o algoritmo de Grover pode ser adaptado para realizar uma busca em qualquer lista de entrada.

Esse algoritmo mostra o quão eficiente pode ser a computa¸cão quântica quando comparada à algumas aplica¸cões da computa¸cão clássica. Existem outros algoritmos ainda mais eficientes na computa¸cão quântica como, por exemplo, o de Shor que é capaz de fatorar um número inteiro N e que resulta numa melhoria quase exponencial em rela¸cão `

a computa¸cão clássica, mas a apresenta¸cão desse algoritmo é mais complexa e, por isso, não está no escopo deste trabalho.

(40)

Cap´ıtulo 4

Corre¸

c˜

ao de erros e a computa¸

c˜

ao

quˆ

antica

“N˜ao apenas mais estranho do que pensamos, o Universo ´e mais estranho do que podemos pensar.”

— Werner Heisenberg

No in´ıcio do século XX, a computa¸cão clássica ainda estava em seus primórdios e o prin-cipal elemento dos computadores eram as válvulas. Essas válvulas eram extremamente problemáticas pois, além de superaquecer, queimavam rapidamente e consumiam muita energia. Naquela época, céticos com rela¸cão à computa¸cão acreditavam ser imposs´ıvel construir um computador de grande porte, pois, pareceria imposs´ıvel trabalhar com mui-tas válvulas simultaneamente. Entretanto, com o avan¸co da tecnologia, foram desenvol-vidos os transistores que tiveram papel fundamental no desenvolvimento da computa¸cão, de modo que ela se tornasse indispensável na vida humana como é nos dias de hoje.

Atualmente, a computa¸cão quântica também está em seus estados iniciais e as principais empresas que desenvolvem pesquisa nessa área ainda são incapazes de criar computadores de grande escala, muito por conta da dificuldade de se criar sistemas con-fiáveis de baixo ru´ıdo, isto é, com poucos erros computacionais. A causa do ru´ıdo é que, em certas arquiteturas de computadores quânticos atuais, para que os qubits preservem suas caracter´ısticas, estes devem ser mantidos resfriados em temperaturas próximas do zero absoluto. Além disso, erros causados pela aplica¸cão de portas lógicas com imperfei-¸cões, falta de isolamento do sistema com rela¸cão ao meio externo e erros na medi¸cão dos qubits dificultam ainda mais a cria¸cão de sistemas confiáveis.

(41)

Nesse cenário, surgiram alguns estudos como, por exemplo, o artigo publicado por Gil Kalai [18], que aponta que a computa¸cão quântica em larga escala não deve ser alcan¸cada por conta de uma barreira fundamental dos sistemas quânticos que são inerentemente ruidosos e não apenas por desafio de engenharia. Entretanto, apesar de ainda existir a dúvida sobre a viabilidade de constru¸cão de um computador quântico de larga escala, a teoria de corre¸cão quântica de erros juntamente com esquemas que respeitam as técnicas de tolerância à falhas (fault-tolerance) conforme mostrado em [19], fazem com que a maior parte da comunidade cient´ıfica, inclusive empresas como Google, IBM e Microsoft, que têm investido bilhões de dólares na área, acredite que essa tarefa é alcan¸cável e se trata, apenas, de obstáculos de engenharia. É por isso que a teoria de corre¸cão de erros quânticos é extremamente importante e é considerada um dos principais pilares da computa¸cão quântica.

4.1 Erros na computa¸

c˜

ao quˆ

antica

O objetivo dessa se¸cão é esclarecer os principais erros que acontecem na computa¸cão quântica e introduzir modelos matemáticos simples que descrevam a a¸cão desses tipos de erro sobre os qubits. Primeiramente, serão descritos erros decorrentes da aplica¸cão de uma porta quântica com imperfei¸cões e, em seguida, erros oriundos da intera¸cão de um qubit com o ambiente externo.

4.1.1 Imperfei¸

c˜

ao nas portas quˆ

anticas

Este é um erro muito comum na computa¸cão quântica e acontece por conta de imperfei¸cões na constru¸cão ou no controle das portas quânticas. Além disso, mutias vezes é utilizado um conjunto de portas para implementar uma determinada porta quântica. Como essa implementa¸cão pode ser aproximada, pequenos erros computacionais podem surgir.

Para dar ideia da ordem de grandeza desse tipo de erro, no per´ıodo da elabora-¸cão deste trabalho, o computador quântico de 14 qubits disponibilizado pela IBM para utiliza¸cão pública, denominado como ibmq 16 melbourne, fornecia uma probabilidade de falha da porta U3, que pode ser utilizada para construir qualquer porta de um qubit, da ordem de 10−3 a 10−2, dependendo do qubit sobre o qual ela estivesse operando. Além disso, nesse computador, a porta CNOT possu´ıa uma probabilidade de falha entre 10−2 e

(42)

29 10−1, mostrando que este tipo de erro causa um grande impacto sobre as aplica¸c˜oes nos computadores quˆanticos atuais.

Um modelo que caracteriza esse tipo de erro pode ser obtido, por exemplo, consi-derando a aplica¸cão da porta I um número k de vezes sobre o qubit |ψi = |0i. No cenário ideal isso implicaria que:

k Y i=1 Ii|ψi = k Y i=1 Ii|0i = |0i . (4.1)

Porém, em um cenário onde I possui certa imperfei¸cão, que aplica, por exemplo, uma pequena rota¸cão ao redor do eixo x da esfera de Bloch no qubit, essa porta pode ser modelada como exp(iεX) e isso implicaria em:

k Y i=1 Ii|ψi = k Y i=1

(4.2)

Nesse caso, a probabilidade de falha da porta, ou seja, de após uma medi¸cão o qubit ser encontrado no estado X |ψi = |1i é de aproximadamente (kε)2_{, para kε 1.}

Ressalta-se que para que uma falha seja identificada é necessário realizar alguma medi¸cão no circuito e, em consequência, os erros passarão por um processo de digitaliza¸cão. O processo de medi¸cão fará com que o estado final colapse para |0i ou |1i puros, ou seja, o erro que antes levava o estado |ψi em uma superposi¸cão será digitalizado para o estado correto ou, com menor probabilidade, para o estado errado.

4.1.2 Intera¸

c˜

ao com o ambiente externo

Qubits são constru´ıdos a partir de sistemas quânticos extremamente sens´ıveis, que devem ser completamente isolados de qualquer intera¸cão com o ambiente externo. Entretanto, é comum ocorrerem falhas no sistema que fazem com que variáveis externas se misturem com os qubits. Essas variáveis serão descritas como um estado |Ai que é acoplado ao estado |ψi inicial do sistema, conforme apresentado em [20].

Esse estado |Ai faz com que o estado |ψi do sistema evolua de maneira diferente ao longo da computa¸c˜ao. Por exemplo:

Se |ψi = |0i , ent˜ao |ψi |Ai = α1|0i |A1i + α2|1i |A2i ,

Se |ψi = |1i , ent˜ao |ψi |Ai = α3|1i |A3i + α4|0i |A4i

(43)

Portanto, o efeito de |Ai atuando sobre um qubit gen´erico |ψi = β0|0i + β1|1i

pode ser expresso por

|ψi |Ai = α1β0|0i |A1i + α2β0|1i |A2i + α3β1|1i |A3i + α4β1|0i |A4i . (4.4)

Esse estado pode ser reescrito como |ψi |Ai =1 2(β0|0i + β1|1i)(α1|A1i + α3|A3i) +1 2(β0|0i − β1|1i)(α1|A1i − α3|A3i) +1 2(β0|1i + β1|0i)(α2|A2i + α4|A4i) +1

2(β0|1i − β1|0i)(α2|A2i − α4|A4i).

(4.5)

que com aux´ılio das portas de Pauli resultam em |ψi |Ai =1 2(|ψi)(α1|A1i + α3|A3i) +1 2(Z |ψi)(α1|A1i − α3|A3i) +1 2(X |ψi)(α2|A2i + α4|A4i) +1 2(XZ |ψi)(α2|A2i − α4|A4i). (4.6)

Portanto, quando o qubit sofre influência do ambiente externo é como se ele esti-vesse suscet´ıvel a erros do tipo X (bit flip), Z (phase flip) ou uma combina¸cão de ambos, pois, XZ = -iY.

Logo, para que o código seja capaz de corrigir um erro aleatório no sistema, causado tanto pela intera¸cão com o ambiente externo quanto pela aplica¸cão de portas imperfeitas, basta ele ser capaz de corrigir erros do tipo X, Z e XZ. Além disso, foi visto nas duas ´

ultimas subse¸c˜oes que os erros transformam o estado |ψi de forma cont´ınua, levando-o `

a uma superposi¸cão de estados |ψi com os operadores I, X, Z e XZ aplicados. Porém, antecipa-se que os códigos de corre¸cão e deteçcão de erro utilizam medi¸cões de s´ındromes para descobrir erros do sistema. A medi¸cão utilizada para digitalizar os erros, descrita ao final da Subse¸cão 4.1.1, é uma medi¸cão de s´ındrome. O ato de medir a s´ındrome faz com que essa superposi¸cão colapse para apenas um dos estados |ψi, com apenas um dos operadores de Pauli aplicados. Será visto nas próximas se¸cões que essa medi¸cão de s´ındrome não coleta nenhuma informa¸cão sobre os valores do estado |ψi, apenas sobre um poss´ıvel erro. Assim, ela não afeta a superposi¸cão ’interna’ do estado |ψi e, por isso, não afeta o resultado da computa¸cão.

(44)

31 Um exemplo de medi¸cão de s´ındrome pode ser visto na Figura 4.1, onde o erro gerado pela porta E leva o estado |0i em uma superposi¸cão, de forma análoga ao processo mostrado na Equa¸cão 4.2 e a s´ındrome é medida no terceiro qubit do circuito.

|0i E •

|+i |s1i = |0i

Figura 4.1: Medi¸c˜ao de s´ındrome.

O estado dos qubits após a porta CNOT é |ψi_out = cos(kε)[|000i + |010i] + isen(kε)[|100i + |110i]. Pode-se notar que, após a medi¸cão do terceiro qubit, esse es-tado é colapsado para cos(kε)[|000i + |010i], caso a s´ındrome seja medida como zero ou isen(kε)[|101i + |111i] caso ela seja medida como um. Isso mostra como a sua medi¸cão permite que o erro seja detectado sem que a superposi¸cão do estado seja completamente destru´ıda.

Por fim, existem outros tipos de erro como vazamento ou perda de qubit. Esses erros implicam que o qubit não perde apenas informa¸cão sobre o seu estado, mas também deixa de ser um simples qubit. Por exemplo, no vazamento de qubit um estado pode passar a ser do tipo |ψi = α |0i + β |1i + γ |2i. Se o sistema for capaz de detectar esse vazamento ou a perda do qubit, esse qubit pode ser reinicializado no estado |0i e, em seguida, esse erro pode ser tratado da mesma forma que os erros mostrados anteriormente.

4.2 C´

odigo de 9 qubits de Shor

Como já mencionado anteriormente, códigos de corre¸cão de erro desempenham um papel fundamental na computa¸cão quântica. Sem os mesmos a computa¸cão quântica prova-velmente não seria poss´ıvel. Nesta se¸cão será visto o primeiro e mais simples código de corre¸cão de erro, desenvolvido por Peter Shor no ano de 1995. Este código utiliza 9 qubits para proteger um qubit de erros do tipo X, Z ou ambos, podendo ser dividido em duas partes, em que uma delas é responsável por corrigir erros de bit flip e a outra por proteger erros de phase flip. Cada subse¸cão a seguir explica uma parte do código.

(45)

4.2.1 C´

odigo de 3 qubits para bit flip

A parte inicial do código de Shor é necessária para proteger um qubit de até um erro de bit flip, corrigindo-o caso aconte¸ca. Para isso um código de repeti¸cão de três qubits é utilizado e os qubits são codificados da seguinte maneira:

|0i_L= |000i |1i_L= |111i ,

(4.7)

onde |0i_L e |1i_L são os qubits lógicos, compostos pela repeti¸cão de três qubits f´ısicos. O circuito para a codifica¸cão desses estado está mostrado na Figura 4.2.

|ψi = (α |0i + β |1i) •

|0i • |ψi_cod = α |000i + β |111i

|0i

Figura 4.2: Codifica¸c˜ao de trˆes qubits para bit flip

A corre¸cão de erros a partir desse estado codificado pode ser feita através da medi¸cão da s´ındrome de erro, seguida da aplica¸cão da porta U, conforme mostrado na Figura 4.3. Erro • • U |ψi_cod •            _• |s1i = |0i • |s2i = |0i •

Figura 4.3: Corre¸c˜ao do erro de bit flip.

Na Figura 4.3 o estado |ψi_cod passa por um canal sujeito à erros de bit flip. Em seguida, a s´ındrome de erro é calculada empregando-se dois qubits auxiliares. Por fim, os qubits da s´ındrome são medidos e utilizados para controlar de maneira clássica uma porta U que efetua a corre¸cão por decisão majoritária e atua de acordo com os seguintes

(46)

33 valores de s´ındrome:

Se, s1s2 = 00, ent˜ao aplica-se I ⊗ I ⊗ I nos trˆes qubits codificados

Se, s1s2 = 01, ent˜ao aplica-se I ⊗ I ⊗ X nos trˆes qubits codificados

Se, s1s2 = 10, ent˜ao aplica-se I ⊗ X ⊗ I nos trˆes qubits codificados

Se, s1s2 = 11, ent˜ao aplica-se X ⊗ I ⊗ I nos trˆes qubits codificados

(4.8)

Neste e nos próximos casos até a se¸cão 4.4, considera-se que os erros estão concen-trados em certa região do circuito e que as portas utilizadas no circuito de codifica¸cão e corre¸cão de erros são perfeitas. Porém, as técnicas de tolerância à falhas e alguns ajustes nos circuitos, permitirão a ocorrência de erros espalhados pelo sistema.

4.2.2 C´

odigo de trˆ

es qubits para phase flip

Para proteger um qubit de até um erro do tipo phase flip é necessário perceber que esse tipo de erro, atuando sobre a base de Hadamard, é análogo à um bit flip. Ou seja:

Z |+i = Z√1

2(|0i + |1i) = 1 √

2(|0i − |1i) = |−i . (4.9)

Isso mostra que é poss´ıvel detectar um erro do tipo Z codificando um qubit na base de Hadamard. Logo, para ser poss´ıvel corrigir erros de phase flip, a seguinte codifica¸cão por repeti¸cão é empregada:

|0i_L = |+ + +i |1i_L = |− − −i .

(4.10)

Assim, o circuito para codifica¸cão e corre¸cão de phase flip é feito de maneira similar aos respectivos circuitos para erro de bit flip, porém na base de Hadamard. A sua estrutura pode ser vista a seguir: