O formalismo de estabilizadores foi desenvolvido por Daniel Gottesman em 1997 [21] e tem como objetivo descrever os estados quˆanticos atrav´es de operadores ao inv´es de vetores de estado, o que torna a descri¸c˜ao mais simples e compacta. Isso implica que nos c´odigos estabilizadores os qubits codificados podem ser descritos por um grupo de operadores em vez de estados quˆanticos.
Um estado |ψi ´e dito ser estabilizado por um operador U caso ele seja um autovetor com autovalor unit´ario de U. Por exemplo:
XX |ψi = XX√1
2(|00i + |11i) = |00i + |11i , (4.13) onde, o estado anterior ´e estabilizado por XX.
Vale notar que |φi = √1
2(|01i+|10i) tamb´em ´e estabilizado pelo operador XX. Isso implica que, para especificar unicamente |ψi, ´e necess´ario acrescentar mais um operador, formando o grupo {XX,ZZ }.
´
E poss´ıvel provar que para que um grupo de operadores fechado sobre a multiplica- ¸c˜ao de matrizes seja estabilizador de pelo menos um estado, esse grupo precisa satisfazer as seguintes condi¸c˜oes:
• Todos os elementos devem possuir autovalores +1. • N˜ao pode conter o operador -I.
• Todos os elementos comutam entre si, por exemplo, {XX,ZZ }, XXZZ = ZZXX. Um grupo de matrizes que ´e muito utilizado na descri¸c˜ao de c´odigos de corre¸c˜ao de erro quˆanticos ´e o grupo de Pauli, formado pelas matrizes de Pauli I, X, Z e Y mul- tiplicadas por ±1 e ±i. A partir desse grupo, formam-se subgrupos que satisfazem essas propriedades e, assim, podem especificar qubits l´ogicos, onde um exemplo pˆode ser visto na equa¸c˜ao 4.13.
C´odigos de Hamming cl´assicos funcionam reduzindo o espa¸co vetorial de poss´ıveis palavras-c´odigo e, consequentemente, aumentando a distˆancia de Hamming entre as pala-
39 vras. Isso ´e feito aumentando o n´umero de restri¸c˜oes de paridade que as palavras devem obedecer, onde cada restri¸c˜ao diminui o espa¸co do c´odigo pela metade.
Os c´odigos estabilizadores funcionam de maneira similar, onde o acr´escimo de um operador ao grupo de estabilizadores diminui o espa¸co de palavras c´odigo pela metade. Em (4.13), o espa¸co vetorial ´e o espa¸co de Hilbert de dois qubits, portanto ´e um espa¸co vetorial de quatro dimens˜oes. Por´em, o espa¸co definido pelos vetores que s˜ao estabilizados por XX tem duas dimens˜oes, ou seja, metade do espa¸co anterior. Ao acrescentar o operador ZZ ao grupo de estabilizadores, o espa¸co ´e novamente dividido pela metade e passa a ser estabilizado apenas pelo estado |ψi.
O c´odigo de nove qubits de Shor ´e um c´odigo que pode ser explicado atrav´es de estabilizadores. Neste caso, pode-se dizer que os estados |0iL e |1iL desse c´odigo s˜ao estabilizados por: Z ⊗ Z ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I Z ⊗ I ⊗ Z ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I I ⊗ I ⊗ I ⊗ Z ⊗ Z ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I I ⊗ I ⊗ I ⊗ Z ⊗ I ⊗ Z ⊗ I ⊗ I ⊗ I I ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ Z ⊗ Z ⊗ I I ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ Z ⊗ I ⊗ Z X ⊗ X ⊗ X ⊗ X ⊗ X ⊗ X ⊗ I ⊗ I ⊗ I X ⊗ X ⊗ X ⊗ I ⊗ I ⊗ I ⊗ X ⊗ X ⊗ X, (4.14)
onde oito estabilizadores s˜ao necess´arios, pois, o objetivo ´e chegar `a um estado de dimens˜ao igual a 29/28 = 2.
A codifica¸c˜ao dos qubits pode ser alcan¸cada utilizando-se o seguinte resultado da ´
algebra linear:
Dada uma matriz A que satisfa¸ca A2 = I e um estado |ψi , ent˜ao, 1
2(I ± A) projeta |ψi em um autovetor de autovalor ± 1 de A.
(4.15)
Isso pode ser facilmente verificado, notando que: 1
2(I ± A) |ψi = 1
2(|ψi ± A |ψi) (4.16)
Essa ´e uma opera¸c˜ao que n˜ao preserva a norma do vetor e, portanto, na computa¸c˜ao quˆantica n˜ao ´e poss´ıvel realiz´a-la utilizando portas l´ogicas. Entretanto, ´e poss´ıvel realizar uma opera¸c˜ao que preserve a norma do vetor aplicando o projetor associado a +1 e o projetor associado a -1, cada um com 50% de probabilidade. O circuito que implementa essa opera¸c˜ao em um computador quˆantico ´e mostrado a seguir:
|0i H • H
A
|ψi ... ... ... ... ... |ψiout
Figura 4.9: Codifica¸c˜ao em c´odigos estabilizadores.
Onde |ψiout = 1
2|0i (|ψi + A |ψi) + 1
2|1i (|ψi − A |ψi). Isso implica que caso o primeiro qubit seja medido como |0i, |ψiout vai corresponder ao autovalor +1 e caso seja medido como |1i, o autovalor associado ser´a -1, sendo necess´aria uma certa opera¸c˜ao para transformar |ψiout em um estado com autovalor +1. Vale notar que se |ψi ´e um autovetor com autovalor +1 ou -1 de A, a medi¸c˜ao do primeiro qubit ir´a retornar sempre |0i ou |1i, respectivamente.
A seguir, ´e mostrado um exemplo onde ´e realizada a codifica¸c˜ao dos qubits l´ogicos do c´odigo descoberto por Andrew Steane em 1996, que utiliza sete qubits para corrigir at´e um erro e tem distˆancia entre os estados igual a 3. Os estabilizadores utilizados s˜ao:
S1 = I ⊗ I ⊗ I ⊗ X ⊗ X ⊗ X ⊗ X S2 = X ⊗ I ⊗ X ⊗ I ⊗ X ⊗ I ⊗ X S3 = I ⊗ X ⊗ X ⊗ I ⊗ I ⊗ X ⊗ X S4 = I ⊗ I ⊗ I ⊗ Z ⊗ Z ⊗ Z ⊗ Z S5 = Z ⊗ I ⊗ Z ⊗ I ⊗ Z ⊗ I ⊗ Z S6 = I ⊗ Z ⊗ Z ⊗ I ⊗ I ⊗ Z ⊗ Z. (4.17)
Para poder codificar tanto um |0iL quanto um |1iL, ´e necess´ario acrescentar mais um estabilizador, pois dessa forma apenas um estado l´ogico, por exemplo |0iL, ser´a especi- ficado pelos sete estabilizadores e, consequentemente, o estado gerado ser´a o |0iL. No caso do c´odigo de Steane, esse estabilizador ser´a o operador S7 = Z ⊗ Z ⊗ Z ⊗ Z ⊗ Z ⊗ Z ⊗ Z.
41 Logo, o estado estabilizado por {S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7} ser´a o |0iL.Como |0000000i j´a ´e
um autovetor com autovalor +1 de S7, se o estado de entrada do sistema for |0000000i e
o objetivo for gerar |0iL, n˜ao ´e necess´ario aplicar o circuito da Figura 4.9 para o operador S7. Al´em disso, |0000000i tamb´em ´e estabilizado por S4, S5, S6 e, portanto, o circuito que
realiza a codifica¸c˜ao do |0iLn˜ao precisa aplicar nenhum desses operadores. Sua estrutura ´e vista na Figura 4.10. |0i H • H • M1 |0i H • H • M2 |0i H • H • M3 S1 S2 S3 Uz |0000000i ... ... ... ... ... ... ... |0iL
Figura 4.10: Codifica¸c˜ao |0iL do c´odigo de Steane.
Onde M1, M2 e M3 s˜ao os resultados das medi¸c˜oes nos primeiros 3 qubits respec-
tivamente. Al´em disso, a porta Uz aplica Z no qubit n, onde n ´e igual a:
n = 4M1+ M2+ 2M3. (4.18)
Caso o objetivo fosse gerar |1iL, um autovetor associado ao autovalor -1 de S7
deveria ser utilizado como entrada, por exemplo |1111111i. Nesse caso, o mesmo circuito da Figura 4.10 poderia ser utilizado.
Dessa forma, o estado |0iL pode ser escrito como: |0iL= 1 2√2 7 Y i=1 (I + Si) |0000000i = 1 2√2 3 Y i=1 (I + Si) |0000000i = 1
2√2(|0000000i + |1010101i + |0110011i + |1100110i + |0001111i + |1011010i + |0111100i + |1101001i),
e o estado |1iL ´e expresso por |1iL= 1 2√2 7 Y i=1 (I + Si) |1111111i = 1 2√2 3 Y i=1 (I + Si) |1111111i = 1
2√2(|1111111i + |0101010i + |1001100i + |0011001i + |1110000i + |0100101i + |1000011i + |0010110i),
(4.20)
onde, no caso do preparo do |1iL, S7 = -Z ⊗ Z ⊗ Z ⊗ Z ⊗ Z ⊗ Z ⊗ Z.
A corre¸c˜ao de erro nos c´odigos estabilizadores ´e feita utilizando o mesmo circuito que a codifica¸c˜ao. Ou seja, para corrigir erros no estado |ψi, basta utilizar esse estado como entrada de um circuito similar ao da Figura 4.10, que agora dever´a aplicar tamb´em os operadores S4, S5 e S6.
Esse fato ´e justificado analisando o impacto do erro sobre um qubit l´ogico. Na Se¸c˜ao 4.1.2 foi visto que os erros que acontecem no sistema s˜ao combina¸c˜oes de X, Z e XZ. Logo, a transforma¸c˜ao E, correspondente a um erro, vai necessariamente comutar ou anticomutar (AB = -BA) com o estabilizador Si, pois matrizes do grupo de Pauli sempre
comutam ou anticomutam. Isso implica que:
SiE |ψi = (±)ESi|ψi = (±)E |ψi . (4.21)
Portanto, ao sofrer algum tipo de erro, se o estado continua sendo estabilizado pelo grupo {S}, quer dizer que a opera¸c˜ao erro comuta com os estabilizadores e n˜ao houve erro corrig´ıvel (ou n˜ao houve erro algum), por exemplo um qubit |0iL pode ter sido alterado para |1iL, por´em, isso implica que E = X ⊗ X ⊗ X ⊗ X ⊗ X ⊗ X ⊗ X. Por outro lado, se o estado anticomuta com algum dos operadores e, portanto, n˜ao ´e estabilizado por ele, a medi¸c˜ao de s´ındrome empregada na codifica¸c˜ao do circuito ´e capaz de detectar qual o operador que anticomuta com o erro e, consequentemente, corrigir o estado aplicando a porta U.
Uma propriedade interessante de c´odigos estabilizadores ´e o fato de que dado um estado |ψsi estabilizado pelo grupo {S}, o estado U |ψsi ´e estabilizado por U SiU†, con-
forme mostrado a seguir.
43 Isso implica que se U SiU†mapeia Si em Sj, para todos os estabilizadores do grupo, ent˜ao
o operador U ´e uma transforma¸c˜ao v´alida no c´odigo que mant´em um estado estabilizado. Por exemplo, no c´odigo de sete qubits de Steane, a opera¸c˜ao ˜X = X ⊗X ⊗X ⊗X ⊗ X ⊗ X ⊗ X satisfaz ˜XSiX˜† = Si para os seis estabilizadores e al´em disso, ˜XS7X˜† = −S7.
Logo, o estado passa a ser estabilizado por −S7, o que corresponde `a um flip no qubit
l´ogico |0iL ou |1i1. Opera¸c˜oes que podem ser realizadas de maneira simples, apenas aplicando-se a cada um dos qubits f´ısicos do estado l´ogico s˜ao chamadas de transversais. No c´odigo de Steane, al´em de ˜X, as opera¸c˜oes l´ogicas correspondentes `a Z, H e CNOT tamb´em s˜ao exemplos de opera¸c˜oes transversais.
Para fazer um paralelo entre os c´odigos estabilizadores e os c´odigos de erro cl´assicos, deve ser dito que assim como a distˆancia m´ınima de Hamming define o menor n´umero de bits necess´ario para realizar a corre¸c˜ao de erros, existe o limite quˆantico de Hamming [22], e esse limite prevˆe que o n´umero m´ınimo de qubits necess´ario para que a corre¸c˜ao de erro de um qubit seja poss´ıvel ´e de cinco qubits. Esse n´umero ´e maior do que o cl´assico, trˆes bits, porque na computa¸c˜ao quˆantica deve-se corrigir dois tipos de erro, bit flip e phase flip, e n˜ao apenas o bit flip como na computa¸c˜ao cl´assica.
Um exemplo de c´odigo de corre¸c˜ao de erro com cinco qubits foi descoberto por Raymond Laflamme [23] em 1996 e tem os seus estabilizadores listados abaixo:
S1 = X ⊗ Z ⊗ Z ⊗ X ⊗ I
S2 = I ⊗ X ⊗ Z ⊗ Z ⊗ X
S3 = X ⊗ I ⊗ X ⊗ Z ⊗ Z
S4 = Z ⊗ X ⊗ I ⊗ X ⊗ Z.
(4.23)