Protocolos quˆ anticos

Al´em de algoritmos consideravelmente mais eficientes do que algoritmos cl´assicos, a teoria da informa¸c˜ao quˆantica permitiu que alguns protocolos interessantes fossem desenvolvidos. Dentre eles est˜ao o protocolo de codifica¸c˜ao superdensa e o de distribui¸c˜ao de chaves criptogr´aficas BB84. Ambos ser˜ao descritos a seguir.

O protocolo de codifica¸c˜ao superdensa consiste em um protocolo de transmiss˜ao de informa¸c˜ao cl´assica (bits) utilizando informa¸c˜ao quˆantica (qubits). Nele, apenas um qubit emaranhado ´e utilizado para transmitir dois bits de informa¸c˜ao cl´assica entre dois interlocutores, Alice e Bob. A Figura 3.6 ilustra o circuito que realiza esse protocolo.

19 b2 b1 X Z Alice                    |ψi · · · ·· · · ·· · · ·· · · ·· · · ·· · · ··· · · · ·· · · · Bob • H b1 b2 1 2 3

Figura 3.6: Protocolo de codifica¸c˜ao superdensa.

Para alcan¸car a codifica¸c˜ao superdensa Alice e Bob devem, cada um, possuir um dos qubits do estado emaranhado de entrada do circuito |ψi = √1

2(|00i + |11i) (na Figura 3.6 Alice possui o primeiro qubit e Bob o segundo). Em seguida, Alice escolhe quais bits quer enviar (b1b2) e aplica as portas X e Z baseada no valor desses bits. Por exemplo, se

b2 = 1 e b1 = 0 ela aplica apenas a porta X no seu qubit. Ent˜ao, Alice envia seu qubit

para Bob que aplica as portas CNOT e Hadamard para desemaranhar os qubits e, em seguida, realiza a medi¸c˜ao na base computacional para descobrir quais os bits enviados por Alice. Com esse protocolo, Alice consegue enviar para Bob dois bits de informa¸c˜ao utilizando apenas um qubit emaranhado e ´e por isso que ele ´e chamado de codifica¸c˜ao superdensa.

Para demonstrar o funcionamento do circuito, um exemplo da transmiss˜ao da men- sagem 01 ´e apresentado a seguir, onde o estado dos qubits ´e explicitado em cada um dos 3 pontos cruciais do circuito.

1 Qubits de entrada do circuito no estado |ψi = √1

2(|00i + |11i)

2 Alice aplica apenas a porta X ao seu qubit, fazendo com que o estado do circuito passe a ser √1

2(|10i + |01i)

3 Ap´os a transferˆencia do qubit, Bob aplica a porta CNOT e os qubits passam a ser 1

√

2(|11i + |01i) = 1 √

2(|1i + |0i) ⊗ |1i. Por fim a porta de Hadamard ´e aplicada e o estado final obtido no circuito ´e |01i.

quando Bob j´a est´a em posse do qubit, ´e um circuito de medi¸c˜ao na base de Hadamard, isto ´e, para medir um qubit nessa base, basta aplicar uma porta de Hadamard e, em seguida, realizar a medida na base computacional.

O protocolo BB84 foi desenvolvido por Charles Bennett e Gilles Brassard em 1984 e ´e o mais antigo protocolo de distribui¸c˜ao de chaves quˆantico. Ele foi criado visando garantir a seguran¸ca na comunica¸c˜ao entre dois n´os baseando-se apenas nas leis da f´ısica, ao inv´es de se basear em algum problema muito dif´ıcil de se resolver, como acontece nos protocolos cl´assicos. A descri¸c˜ao deste protocolo encontra-se a seguir.

Alice deseja enviar uma mensagem para Bob. Para isso, ela necessita de uma chave de uso ´unico, que ´e segura se utilizada apenas uma vez, que deve ser gerada pelo protocolo BB84 toda vez que uma mensagem for trocada entre os dois. Essa chave consiste em uma sequˆencia de bits conhecida apenas por Alice e Bob que deve ser utilizada para realizar a opera¸c˜ao XOR (soma m´odulo dois) com a sequˆencia de bits de mensagem e, assim, criptografar a mensagem original.

Para gerar essa chave de uso ´unico (com o protocolo BB84), Alice deve inicialmente preparar duas sequˆencias bin´arias aleat´orias, x e y. Ent˜ao, Alice prepara uma sequˆencia de qubits baseando-se na seguinte l´ogica:

• Se xi = 0 e yi = 0 ela prepara o qubit |0i.

• Se xi = 1 e yi = 0 ela prepara o qubit |1i.

• Se xi = 0 e yi = 1 ela prepara o qubit |+i.

• Se xi = 1 e yi = 1 ela prepara o qubit |−i.

Por exemplo, se x = [0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1] e y = [1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1], ent˜ao, a sequˆencia de qubits ´e: |+i |1i |−i |+i |1i |0i |0i |−i |0i |+i |−i |1i |−i.

Em seguida, Alice envia esta sequˆencia de qubits para Bob. Para medi-los, Bob gera uma sequˆencia aleat´oria de bits z e mede os qubits de acordo com a seguinte l´ogica:

• Se zi = 0 Bob mede o qubit na base computacional.

• Se zi = 1 Bob mede o qubit na base de Hadamard.

´

E importante lembrar que ao medir o qubit |0i ou |1i na base de Hadamard, a sa´ıda da medi¸c˜ao ´e 0 ou 1, ambos com 50% de probabilidade, pois ´e equivalente a aplicar a porta H ao qubit e depois fazer a medi¸c˜ao na base computacional.

21 Por exemplo, para z = [ 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 ], o resultado da medi¸c˜ao da sequˆencia enviada por Alice no exemplo anterior ser´a armazenado em uma sequˆencia bin´aria c = [ a a a 0 1 a a a 0 a 1 a a ], onde o bit ’a’ representa um bit aleat´orio 0 ou 1, com probabilidade igual a 50%.

Ap´os a medi¸c˜ao, Alice e Bob publicam as sequˆencias y e z para que ambos possam verificar em que momento a base de medi¸c˜ao de Bob coincidiu com a base de codifica¸c˜ao de Alice, simplesmente analisando em que posi¸c˜oes y e z s˜ao iguais. Ent˜ao, os valores dos bits nessas posi¸c˜oes nos vetores x e c s˜ao utilizados como chave de criptografia. No caso do exemplo anterior, a chave criptogr´afica seria [0 1 0 1].

Esse m´etodo de distribui¸c˜ao se baseia no fato de que se um espi˜ao entre Alice e Bob tentar medir os qubits enviados por Alice, ele ir´a colapsar o estado desses qubits, por exemplo, um qubit que possu´ıa o valor |+i colapsa para 0 ou 1 se for medido na base computacional (que nesse caso ´e a base errada). Al´em disso, a base de medida do espi˜ao ser´a aleat´oria e, consequentemente, apenas parte dos qubits medidos por ele estar˜ao corretos. Portanto, ao reenviar a sequˆencia de qubits medidos por ele para Bob, essa sequˆencia ser´a diferente da que Alice havia enviado inicialmente. Ent˜ao, se Bob e Alice adicionarem um checksum na mensagem, ao analisarem quais qubits foram medidos de maneira correta baseados nos seus vetores y e z, eles ir˜ao perceber que o checksum n˜ao est´a correto, pois a sequˆencia de qubits medida por Bob foi alterada pelo espi˜ao.

Caso o espi˜ao conseguisse gerar m´ultiplas c´opias dos estados enviados por Alice, seria poss´ıvel que ele realizasse medidas em mais de uma base e, al´em disso, ele conseguiria reenviar os estados idˆenticos para Bob que, consequentemente, n˜ao iria constatar erro no checksum. Por´em, ´e justamente o teorema da n˜ao clonagem visto na Subse¸c˜ao 3.2.1 que garante que ´e imposs´ıvel gerar m´ultiplas c´opias desse estado arbitr´ario enviado por Alice e, com isso, garante a seguran¸ca do protocolo.

O protocolo BB84 foi o pioneiro na ´area de distribui¸c˜ao de chaves criptogr´aficas quˆanticas. Atualmente, algumas vulnerabilidades j´a foram encontradas em alguns casos onde, por exemplo, a sequˆencia gerada por Alice e Bob n˜ao ´e de fato aleat´oria ou caso o espi˜ao tenha acesso ao dispositivo codificador e decodificador de Alice e Bob. Entretanto, m´etodos mais modernos de distribui¸c˜ao de chaves quˆanticos j´a foram desenvolvidos e essa ´e uma das ´areas mais promissoras de pesquisa em informa¸c˜ao quˆantica.