Como antes, denotaremos, F |K como um corpo de fun¸c˜ao alg´ebrica de gˆenero g. Vamos discutir algumas consequˆencias do Teorema de Riemann-Roch.
Proposi¸c˜ao 1.104 Suponha que g0 ∈ Z e W0 ∈ DF satisfazem
dim A = grau A + 1 − g0+ dim (W0− A) (22)
para qualquer A ∈ DF. Ent˜ao g0 = g e W0 ´e um divisor canˆonico.
Demonstra¸c˜ao 1.105 Tome A = 0. Da´ı
dim 0 = grau 0 + 1 − g0+ dim (W0− 0)
ou seja dim (W0) = g0. Agora tome A = W0, assim
dim W0 = grau W0+ 1 − g0+ dim 0
ou seja 2g0− 2 = grau W0. Seja W um divisor canˆonico de F |K. Escolha um divisor A tal
que grau A > max{2g − 2, 2g0− 2}. Ent˜ao dim A = grau A + 1 − g (Ver Teorema 1.102) e
grau (W0− A) = grau W0− grau A < 0, consequentemente dim (W0− A) = 0 e da´ı por 22
dim A = grau A + 1 − g0, ou seja g = g0. Finalmente substituindo A = W em 22, temos
dim W = grau W + 1 − g + dim (W0− W )
ou seja 2g = 2g − 2 + 1 + dim (W0−W ). Veja que dim W = g e grau W = 2g −2 (Corol´ario
1.100). Logo dim (W0− W ) = 1.
Como grau (W0−W ) = grau W0−grau W = g−g = 0 temos pelo corol´ario 1.65 que W0−W
´
e principal, ou seja W0−W = (x) para algum x ∈ F \{0}. Assim W0 = W +(x), mas como
W ´e um divisor canˆonico temos W = (ω) para algum ω ∈ ΩF, da´ı W0 = (ω) + (x) = (xω).
Outra caracteriza¸c˜ao muito usada de um divisor canˆonico ´e a seguinte.
Proposi¸c˜ao 1.106 Um divisor B ´e canˆonico se e somente se grau B = 2g − 2 e dim B ≥ g.
Demonstra¸c˜ao 1.107 Suponha que grau B = 2g − 2 e dim B ≥ g. Escolha um divisor canˆonico W . Ent˜ao
g ≤ dim B = grau B + 1 − g + grau (W − B) = 2g − 2 + 1 − g + dim (W − B) ou seja 1 ≤ dim (W − B). Como grau (W − B) = 0 segue pelo Corol´ario 1.65 que W − B ´
e principal. E assim B = W + (x) para algum x ∈ F \ {0} e do fato de W ser divisor canˆonico W = (ω), para algum ω ∈ ΩF e assim B = (xω), ou seja B ´e divisor canˆonico.
Do Corol´ario 1.100 temos que se B ´e divisor canˆonico ent˜ao grau B = 2g − 2 e dim B = g
Nossa pr´oxima caracteriza¸c˜ao ´e sobre Corpos de Fun¸c˜oes Racionais. Proposi¸c˜ao 1.108 Para um corpo de fun¸c˜oes F |K s˜ao equivalentes
(1): F |K ´e racional, isto ´e F = K(x) para algum x transcendente sobre K. (2): F |K tem gˆenero g = 0 e existe algum divisor A ∈ DF com grau A = 1.
Demonstra¸c˜ao 1.109 Veja que se F |K ´e racional ent˜ao temos do Exemplo 1.75 que g = 0 e a Proposi¸c˜ao 1.33 item (c) que grau P∞= 1. Reciprocamente se F |K tem gˆenero
g = 0 e existe algum divisor A ∈ DF com grau A = 1 ent˜ao temos grau A ≥ 2g − 1 = −1
e da´ı pelo Teorema 1.102 temos que dim A = grau A + 1 − g = 2. Deste modo dim A 6= 0 e logo L(A) 6= 0, assim pela Observa¸c˜ao 1.50 item (b) temos que exite A0 tal que A0 ≥ 0 e A0 ∼ A. Tamb´em temos que dim A0 = 2, logo existe x ∈ L(A0) \ K. Assim x 6= 0 e
(x) + A0 ≥ 0. Como A0 ≥ 0 e grau A0 = 1, temos que isto ´e poss´ıvel somente se A0 = (x) ∞.
Consequentemente [F : K(x)] = grau (x)∞ = grau A0 = 1. Logo F = K(x), e assim F ´e
racional
Nossa pr´oxima aplica¸c˜ao da se¸c˜ao anterior ´e um melhoramento do Teorema da Aprox- ima¸c˜ao Fraca.
Teorema 1.110 Teorema da Aproxima¸c˜ao Forte
Seja S $ PF, um subconjunto pr´oprio de PF e P1, . . . , Pn ∈ S. Supondo que seja dado
x1, . . . , xr ∈ F e n1, . . . nr ∈ Z. Ent˜ao existe um elemento x ∈ F tal que
vPi(x − xi) = ni para i = 1, . . . , r e
vP(x) ≥ 0 para P ∈ S \ {P1, . . . , Pr}.
Demonstra¸c˜ao 1.111 Considere a adele α = (αP)P ∈PF com
αP :=
xi para P = Pi, i = 1, . . . , r
Escolha um lugar Q ∈ PF \ S. Para m ∈ Z sulficientemente grande temos AF = AF mQ − r X i=1 (ni + 1)Pi ! + F De fato, pois do Teorema 1.79 temos que
i mQ − r X i=1 (ni + 1)Pi ! = dim AF/ AF mQ − r X i=1 (ni+ 1)Pi ! + F !!
Mas do Teorema 1.102 temos que se grau (mQ −Pr
i=1(ni+ 1)Pi) ≥ 2g − 1 ent˜ao dim mQ − r X i=1 (ni+ 1)Pi ! − grau mQ − r X i=1 (ni+ 1)Pi ! + g − 1 = 0 Mas isto implica que i (mQ −Pr
i=1(ni+ 1)Pi) = 0. Deste modo, se α ∈ AF ent˜ao
α ∈ AF(mQ −Pri=1(ni+ 1)Pi) + F . Mas veja que
grau mQ − r X i=1 (ni+ 1)Pi ! = mgrau Q − r X i=1 (ni+ 1)grau Pi
que para m sulficientemente grande ser´a maior que 2g − 1.
Assim existe um elemento z ∈ F com z − α ∈ AF(mQ −Pri=1(ni+ 1)Pi). Isto significa
que vPi(z − α) ≥ −vPi(mQ −
Pr
i=1(ni+ 1)Pi) para qualquer i = 1, . . . , r. Ou seja
vPi(z − xi) ≥ −vPi mQ − r X i=1 (ni+ 1)Pi ! = ni+ 1 > ni para i = 1, . . . , r (23) e ainda vP(z − α) ≥ −vP(mQ − Pr i=1(ni+ 1)Pi), ou seja vP(z) = 0 ≥ 0 para P ∈ S \ {P1, . . . , Pr} (24) Veja que P1, . . . , Pr, Q /∈ S \ {P1, . . . , Pr}.
Agora escolhemos y1, . . . , yr ∈ F com vPi(yi) = ni. Da mesma maneira como acima
construimos um y ∈ F com
vPi(y − yi) > ni para i = 1, . . . , r (25)
vP(y) ≥ 0 para P ∈ S \ {Pi, . . . , Pr} (26)
Ent˜ao temos para i = 1, . . . , r que
vPi(y) = vPi((y − yi) + yi) = min{vPi(y − yi), vPi(yi)} = ni para i = 1, . . . , r
(Ver Lema 1.17). Chamando x := y + z temos
vPi(x − xi) = vPi((y) + (z − xi)) = min{vPi(y), vPi(z − xi)} = ni para i = 1, . . . , r
A seguir estudaremos elementos de F os quais tem apenas um polo.
Proposi¸c˜ao 1.112 Seja P ∈ PF. Ent˜ao para qualquer n > 2g existe um elemento x ∈ F
com x ∈ F com divisor de polos (x)∞= nP
Demonstra¸c˜ao 1.113 Como dim ((n − 1)P ) = (n − 1)grau P + 1 − g e dim (nP ) = ngrau P + 1 − g. E como (n − 1)P ≤ nP pelo Lema 1.58 temos L((n − 1)P ) ⊂ L(nP ). Veja que L((n − 1)P ) 6= L(nP ), pois eles tem dimens˜oes diferentes. Assim tome x ∈ L(nP ) \ L((n − 1)P ). Logo (x) + nP ≥ 0, ou seja (x)0− (x)∞+ nP ≥ 0 com (x)0, (x)∞ ≥ 0
e supp((x)0) ∩ supp((x)∞) = ∅. Assim temos que −(x)∞+ nP ≥ 0. Veja agora que do
fato de x /∈ L((n − 1)P ) ent˜ao n˜ao temos −(x)∞+ (n − 1)P ≥ 0. Logo (x)∞ = nP .
Defini¸c˜ao 1.114 Seja P ∈ PF. Um inteiro n ≥ 0 ´e chamado de ordem polo P se e
somente se existe um elemento x ∈ F com (x)∞ = nP . Do contr´ario chamados de
n´umero lacuna de P .
Mais ainda o conjunto dos n´umero polo de P ´e um sub-semi-grupo do semi-grupo aditivo N ∪ {0}. De fato, pois se n1 e n2 s˜ao ordem polos de P ent˜ao existe x1, x2 ∈ F tal que
(x1)∞ = n1P , (x2)∞ = n2P . Mas veja que (x1)∞+ (x2)∞ = n1P + n2P , da´ı (x1x2)∞ =
(n1+ n2)P
Teorema 1.115 Teorema da Lacunas de Weirtrass
Supondo que F |K tem gˆenero g > 0 e P ´e um lugar de grau um. Ent˜ao existem exatamente g lacunas i1 < . . . < ig de P . E ainda temos que i1 = 1 e ig ≤ 2g − 1.
Demonstra¸c˜ao 1.116 Temos que qualquer n´umero de lacunas de P ´e ≤ 2g − 1 pois j´a vimos pela Proposi¸c˜ao 1.112 que se n ≥ 2g ent˜ao n ´e um n´umero polo de P e claramente temos que 0 ´e um n´umero polo de P , pois 0 ∈ F , temos (0)∞= 0P = 0. Veja que temos
a seguite caracteriza¸c˜ao dos n´umeros lacunas
i ´e um numero lacuna de P ⇐⇒ L((i − 1)P ) = L(iP )
De fato pois es i ´e n´umero lacuna de P ent˜ao n˜ao ´e n´umero polo. Da´ı dim ((i − 1)P ) ≥ dim iP . Mas como L((i − 1)P ) ⊆ L(iP ) temos L((i − 1)P ) = L(iP ).
Reciprocamente se L((i − 1)P ) = L(iP ) temos que dim (L((i − 1)P )) = dim (L(iP )), e assim i ´e o n´umero lacuna de P . Considere agora a sequˆencia de espa¸cos vetoriais
K = L(0) ⊆ L(P ) ⊆ L(2P ) ⊆ . . . L((2g − 1)P )
Onde dim L(0) = 1 e dim L((2g−1)P ) = g (Veja pelo Teorema 1.102 que como grau ((2g− 1)P ) = 2g − 1 temos que dim ((2g − 1)P ) = grau ((2g − 1)P ) + 1 − g = g). Veja agora que
0 ≤ dim L(iP ) − dim L((i − 1)P ) ≤ 1 para qualquer i. De fato pelo Lema 1.58, temos que
Da´ı dim L(iP ) − dim L((i − 1)P ) ≤ 1.
Assim temos de 1.116 que existe exatamente g − 1 n´umero com L((i − 1)P ) ( L(iP ). Assim restam g n´umeros que ser˜ao lacunas em P . Finalmente vamos mostrar que 1 ´e um n´umero lacuna em P . De fato se 1 fosse n´umero polo e como os n´umeros polos s˜ao um semi-grupo aditivo aditivo, da´ı temos que qualquer n ∈ N ´e um n´umero polo
contradizendo o fato de que em 1 ≤ i ≤ 2g − 1 tem g − 1 polos.
Para um divisor A tal qeu grau A < 0, n´os temos dim A = 0 e assim L(A) = {0} (Corol´ario 1.65). Por outro lado, se grau A > 2g − 2, ent˜ao dim A = grau A + 1 − g (Teorema 1.102). Assim a dimens˜ao de A, depende apenas do grau A e do gˆenero g nestes casos. Queremos considerar mais especificamente o caso onde 0 ≤ grauA ≤ 2g − 2, onde esta situa¸c˜ao ´e muito mais complicada, mesmo assim, temos alguns resultados gerais.
Defini¸c˜ao 1.117 Um divisor A ∈ DF ´e chamado de n˜ao especial se i(A) = 0 do contr´ario
A ´e chamado de especial.
Vejamos algumas consequˆencias imediatas desta defini¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 1.118 a) A ´e n˜ao especial se e somente se dim A = grau A + 1 − g. b) Se grau A > 2g − 2 ent˜ao A ´e n˜ao especial.
c) A propriedade de um divisor A ser especial ou n˜ao especial depende apenas da classe [A] de A do grupo de equivalˆencia dos divisores.
d) Divisores canˆonicos s˜ao especiais.
e) Qualquer divisor A com dim A > 0 e grau A < g ´e especial. f ) Se A ´e n˜ao especial e B ≥ A, ent˜ao B ´e n˜ao especial.
Demonstra¸c˜ao 1.119 a) Segue imediato da defini¸c˜ao de i(A). b) Consequencia do Teorema 1.102.
c) Segue do fato de se A ∼ A0 ent˜ao dim A = dim A0 e grau A = grau A0, logo i(A) = i(A0). d) Seja W um divisor canˆonico. Pelo Teorema 1.96, temos que i(W ) = dim (W − W ) = dim 0 = 1. Consequetemente W ´e especial.
e) Se dim A > 0 e grau A < g temos que 1 ≤ dim A = grau A + 1 − g + i(A). Logo 1 < g + 1 − g + i(A). Da´ı i(A) > 0. Assim A ´e especial.
f) Seja A n˜ao especial e B ≥ A. Pelo teorema 1.96 temos que i(A) = dim (AF/(AF(A) + F ))
Assim A ´e n˜ao especial se e somente se AF = AF(A) + F . Como B ≥ A temos que
AF(A) ⊆ AF(B). Da´ı AF = AF(B) + F . Logo B ´e n˜ao especial.
Proposi¸c˜ao 1.120 Suponha que T ⊆ PF ´e um conjunto de lugares de grau um tal que
Demonstra¸c˜ao 1.121 Primeiramente veremos a seguinte afirma¸c˜ao:
Afirma¸c˜ao: Dados g distintos lugares P1, . . . , Pg ∈ T e um divisor A ≥ 0 com dim A = 1
e grau A ≤ g − 1, ent˜ao existe um ´ındice j ∈ {1, . . . , g} tal que dim (A + Pj) = 1.
Demonstra¸c˜ao da afirma¸c˜ao: Suponhamos por absurdo que a afirma¸c˜ao seja falsa, ent˜ao dim (A + Pj) > 1 para qualquer j ∈ {1, . . . , g}. Assim existe elementos zj ∈ L(A +
Pj)\L(A) para j = 1, . . . , g. E ainda temos que vPj(zj) = −vPj(A)−1 e vPi(zj) ≥ −vPi(A)
para qualquer i 6= j. Logo os elementos 1, z1, . . . , zg s˜ao linearmente independetes sobre
K, pois suponha que n˜ao fossem, dai existe a0, . . . , ag ∈ K tal que a0 + · · · + agzg = 0.
Logo vPj(a0 + · · · + agzg) = vPj(0) = ∞. Da´ı um absurdo pois vPj(a0 + · · · + agzg) ´e
limitado.
Escolhemos agora um divisor D ≥ A + P1 + · · · + Pg com grau D = 2g − 1. Ent˜ao
1, z1, . . . , zg ∈ L(D). De fato pois temos vPj(zj) = −vPj(A) − 1 e vPi(zj) ≥ −vPi(A) para
i 6= j. Consequentemente dim D ≥ g + 1. Por outro lado dim D = grau D + 1 − g = g (Teorema 1.102). Da´ı um absurdo.
Voltando a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao temos pela afirma¸c˜ao que podemos tomar A = 0. Da´ı existe Pj1 ∈ T tal que dim (0 + Pj1) = 1. Utilizando novamente a afirma¸c˜ao temos
que existe Pj2 ∈ T tal que dim (Pj1+ Pj2) = 1. Desta maneira podemos tomar a seguinte
sequencia
0 < Pj1 < Pj1 + Pj2 < . . . < Pj1 + · · · + Pjg =: B
tal que dim B = 1, B ≥ 0, grau B = g e suppB ⊆ T . Veja agora que B ´e n˜ao especial pois
grau B + 1 − g = g + 1 − g = 1 = dim B.
Lema 1.122 Suponha que A e B s˜ao divisores com dim A > 0 e dim B > 0. Ent˜ao
dim A + dim B ≤ 1 + dim (A + B)
Demonstra¸c˜ao 1.123 Como dim A > 0 e dim B > 0, podemos encontrar A0, B0 ≥ 0
com A ∼ A0 e B ∼ B0 (Observa¸c˜ao 1.50).
O conjunto X := {D ∈ DF; D ≤ A0 e L(D) = L(A0)} ´e n˜ao vazio pois A0 ∈ X. Veja que
grau D ≥ 0 para qualquer D ∈ X, pois do contr´ario teriamos grau D < 0, da´ı dim D = 0, ou seja L(A0) = {0}, o que seria um absurdo. Da´ı existe um divisor D0 de grau m´ınimo
em X. Veja agora que
dim (D0− P ) < dim D0 ∀P ∈ PF (27)
pois se dim (D0− P ) = dim D0, logo L(D0− P ) = L(A0) e tamb´em D0− P ≤ D0 ≤ A0.
Logo D0− P ∈ X e tem grau menor que D0. Absurdo.
Queremos mostrar que
Tendo 28 demonstrado fica f´acil pois
dim A + dim B = dim A0+ dim B0
= dim D0+ dim B0
≤ 1 + dim (D0+ B0)
≤ 1 + dim (A0+ B0)
= 1 + dim (A + B) Veja que x ∈ L(D0+ B0), ent˜ao
vP(x) + vP(D0) + vP(B0) ≥ 0 ∀P ∈ PF
Mas como A0 ≥ D0 temos
vP(x) + vP(A0) + vP(B0) ≥ vP(x) + vP(D0) + vP(B0) ≥ 0 ∀P ∈ PF
Da´ı x ∈ L(A0+ B0). Logo L(D0+ B0) ⊆ L(A0+ B0). Consequentemente dim (D0+ B0) ≤
dim (A0+ B0).
E ainda de A0 ∼ A e B0 ∼ B ent˜ao A0+ B0 ∼ A + B pois se A0− A = (x) para algum
x ∈ F \{0} e B0−B = (y) para algum y ∈ F \{0} ent˜ao (A0+B0)−(A+B) = (x)+(y) =
(xy) onde xy ∈ F \ {0}.
Vejamos agora que 28 ´e verdade, mas antes temos que adicionar a hipotese de K ser um corpo infinito. Seja suppB0 = {P1, . . . , Pr}. Ent˜ao L(D0− Pi) ´e um subespa¸co pr´oprio de
L(D0) para i = 1, . . . , r (Ver 27). E assim podemos encontrar um elemento
z ∈ L(D0) \ r
[
i=1
L(D0− Pi). (29)
Considere a aplica¸c˜ao K-linear
ϕ : L(B0) −→ L(D0+ B0)/L(A0)
x 7−→ xz mod(L(A0))
Vejamos que Kerϕ = K pois se x ∈ K, ent˜ao ϕ(x) = xz mod(L(A0)), mas como
z ∈ L(A0) e x ∈ K ⊂ L(A0) temos que xz ∈ L(A0). Logo 0 = xz mod(L(A0)). Re-
ciprocamente se 0 = xz mod(L(A0)), ent˜ao xz ∈ L(A0) ou seja (xz) + A0 ≥ 0, da´ı
(x) + (z) + A0 ≥ 0 e logo (x) = 0, da´ı x ∈ K.
Assim teremos que
dim L(B0) − dim K ≤ dim L(D0 + B0) − dim L(A0)
Da´ı
dim D0+ dim B0 ≤ 1 + dim (D0+ B0)
Teorema 1.124 Teorema de Clifford
Para qualquer divisor A com 0 ≤ grau A ≤ 2g − 2 temos que dim A ≤ 1 + 12grau A
Demonstra¸c˜ao 1.125 O caso dim A = 0 ´e trivial. Do mesmo modo se dim (W − A) = 0 para W conˆonico pois pelo Teorema de Riemnann-Roch temos
dim A = grau A + 1 − g = 1 + 1 2grau A + 1 2grau A − g ≤ 1 + 1 2grau A + g − 1 + g ≤ 1 + 1 2grau A
Vamos considerar o caso onde dim A > 0 e dim (W − A) > 0. Podemos aplicar o Lema 1.122 para obter
dim A + dim (W − A) ≤ 1 + dim W = 1 + g (30)
Por outro lado temos pelo Teorema de Riemann-Roch que
dim A − dim (W − A) = grau A + 1 + g (31)
Somando (30) e (31) temos 2dim A ≤ grau A + 1 Da´ı dim A ≤ 1 2 + 1 2grau A ≤ 1 + 1 2grau A.