Como motiva¸c˜ao para a constru¸c˜ao dos c´odigos geom´etricos de Goppa, consideramos os c´odigos de Reed Solomon sobre Fq. Esta importante classe de c´odigos ´e bem conhecida
na teoria da codifica¸c˜ao h´a muito tempo. Os c´odigos Geom´etricos de Goppa s˜ao uma generaliza¸c˜ao muito natural dos c´odigso de Reed Solomon.
Seja n = q − 1 e β ∈ Fq, um elemento primitivo do grupo multiplicativo F∗q = Fq\ {0},
isto ´e F∗q = {β, β2, . . . , βn= 1}. Para um inteiro k com 1 ≤ k ≤ n consideremos o espa¸co
vetorial de dimens˜ao k
Lk := {f ∈ Fq[X]; grau f ≤ k − 1} ∪ {0} (34)
e a aplica¸c˜ao de avalia¸c˜ao ev : Lk −→ Fnq dada por
ev(f ) := (f (β), f (β2), . . . , f (βn)) ∈ Fnq (35) Vejamos que ev ´e uma aplica¸c˜ao Fq linear e injetora, pois sejam f, g ∈ Lk e λ ∈ Fq. Da´ı
ev(λf + g) = ((λf + g)(β), . . . , (λf + g)(βn))
= (λf (β) + g(β), . . . , λf (βn) + g(βn))
= (λf (β), . . . , λf (βn)) + (g(β), . . . , g(βn)) = λev(f ) + ev(g)
ev ´e injetora pois Ker(ev) = {0}. Veja que 0 ∈ Ker(ev) e se tivermos f ∈ Ker(ev) e f 6= 0, ent˜ao f tem menos n zeros, o que ´e absurdo, pois Fq´e um corpo e grau (f ) ≤ k − 1 < n.
Consequentemente
Ck := {(f (β), . . . , f (βn)); f ∈ LK} (36)
´
e um subespa¸co linear de Fq e assim Ck´e um c´odigo com parametros [n, k] sobre Fq. Tal
c´odigo ´e chamado de c´odigo RS (C´odigo Reed Solomon). O peso de uma palavra c´odigo c = ev(f ), c 6= 0 ´e dada por
Logo a distˆancia m´ınima d de Ck satisfaz a desigualdade d ≥ n + 1 − k. Mas por outro
lado, temos pelo limite de Singleton que d ≤ n + 1 − k. Da´ı d = n + 1 − k. Logo os c´odigos de Reed Solomon s˜ao c´odigos MDS sobre Fq.
Observe no entanto que o c´odigos RS s˜ao pequenos em compara¸c˜ao com o alfabeto Fq
pois n = q − 1. Agora introduziremos a nota¸c˜ao dos c´odigos geom´etricos de Goppa para isto vamos fixar algumas nota¸c˜oes validas para est´a se¸c˜ao.
F |Fq ´e um corpo de fun¸c˜oes alg´ebricas de gˆenero g.
P1, . . . , Pn s˜ao lugares dois a dois distintos de F |Fq de grau 1.
D = P1+ · · · + Pn.
G ´e um divisor de F |Fq tal que suppG ∩ suppD = ∅.
Defini¸c˜ao 2.9 O c´odigo geom´etrico de Goppa CL(D, G) associados com os divisores D
e G ´e definido pos
CL(D, G) := {(x(P1), . . . , x(Pn)); x ∈ L(G)} ⊂ Fnq
Vejamos que tal defini¸c˜ao faz sentido pois, se x ∈ L(G) ent˜ao vPi(x) + vPi(G) ≥ 0,
∀i = 1, . . . , n, mas como supp(D) ∩ supp(G) = ∅, temos vPi(x) ≥ 0, i = 1, . . . , n. A classe
de res´ıduos x(Pi) de x m´odulo Pi´e um elemento do corpo das classe de res´ıduos de Pi(ver
defini¸c˜ao 1.22). Como grau Pi = 1 temos que o corpo das classes de res´ıduos ´e Fq (ver
defini¸c˜ao 1.22 item b), assim x(Pi) ∈ Fq.
Como em 35, vamos considerar a aplica¸c˜ao avalia¸c˜ao evD : L(G) −→ Fnq dada por
evD(x) := (x(P1), . . . , x(Pn)) ∈ Fnq. (37)
Temos que evD ´e Fq-linear e CL(D, G) ´e a imagem de L(G) sobre esta aplica¸c˜ao.
A analogia com a defini¸c˜ao dos C´odigos de Reed Solomon ´e ´obvia. De fato, escolhendo o corpo de fun¸c˜oes F |Fq e os divisores D e G de maneira apropriada, c´odigos RS s˜ao
facilmente vistos como um caso especial dos C´odigos Geom´etricos de Goppa.
Na verdade, a defini¸c˜ao 2.9 ´e uma complicada maneira de definir alguns subespa¸cos de Fnq.
O pr´oximo teorema mostrar´a porques estes c´odigos s˜ao interessantes: pode se calcular, (ou pelo menos estimar) os parametros n, k, d pelo Teorema de Riemann-Roch e obter um limitante inferior para a distˆancia m´ınima no caso geral.
Teorema 2.10 CL(D, G) ´e um c´odigo com paramˆetros [n, k, d] tal que k = dim G −
dim (G − D) e d ≥ n − grau G
Demonstra¸c˜ao 2.11 ´E claro que evD : L(G) −→ CL(D, G) definida na equa¸c˜ao 37 ´e
uma aplica¸c˜ao linear sobrejetiva com n´ucleo ker(evD) = {x ∈ L(G); vPi(x) > 0 para i =
1, . . . , n} = L(G − D). De fato, pois evD(x) = (0, . . . , 0) se e somente se x(Pi) = 0 para
i = 1, . . . , n se e somente se x ∈ Pi para i = 1, . . . , n se e somente se vPi(x) > 0 para
i = 1, . . . , n. Ainda temos
L(G − D) = {x ∈ F ; vP(x) + vP(G) − vP(D) ≥ 0, ∀P ∈ PF}
= {x ∈ L(G); vPi(x) − vPi(D) ≥ 0, i = 1, . . . , n}
= {x ∈ L(G); vPi(x) ≥ 1, i = 1, . . . , n}
Da´ı segue que dim (L(G)) = dim (CL(D, G)) + dim (ker(evD)) ou seja
k = dim (CL(D, G)) = dim G − dim (ker(evD)) = dim G − dim (G − D).
Para que possamos tomar a distˆancia m´ınima iremos assumir CL(D, G) 6= {0}. Assim
escolhendo x ∈ L(G), x 6= 0 com w(evD(x)) = d, temos exatamente n − d lugares
Pi1, . . . , Pin−d no suporte de D s˜ao zeros em x, pois para n − d lugares temos x(Pi) 6= 0,
ou seja x /∈ Pi, logo vPi(x) = 0 (Ver Teorema 1.20). Assim x ∈ L(G − (Pi1+ · · · + Pin−d)).
Como x 6= 0 e pelo Corol´ario 1.65 item (b) temos que
0 ≤ grau (G − (Pi1 + · · · + Pin−d)) = grau G − n + d
Ou seja d ≥ n − grau G.
Corol´ario 2.12 Suponha que grau de G ´e estritamente menor que n. Ent˜ao a aplica¸c˜ao avalia¸c˜ao evD : L(G) −→ CL(D, G) ´e injetiva e ainda temos
a) CL(D, G) ´e um c´odigo com parametros [n, k, d] com d ≥ n − grau G e k = dim G ≥
grauG + 1 − g. Da´ı
k + d ≥ n + 1 − g. (38)
b) Se 2g − 2 < grau G < n ent˜ao k = grau G + 1 − g. c) Se {x1, . . . , xk} ´e uma base de L(G) ent˜ao a matriz
M = x1(P1) x1(P2) · · · x1(Pn) .. . ... ... xk(P1) xk(P2) · · · xk(Pn) ´
e uma matriz geradora de CL(D, G).
Demonstra¸c˜ao 2.13 Temos que grau (G−D) = grau (G)−grau (D) = grau (G)−n < 0. Logo dim (G − D) = 0. Da´ı ker(evD) = L(G − D) = {0}. Portanto evD ´e injetiva.
a) Do Teorema 2.10 temos que d ≥ n − grau G e k = dim G − dim (G − D) = dim G ≥ grau G + 1 − g. Da´ı
k ≥ grau G + 1 − g ≥ n − d + 1 − g. Logo k + d ≥ n + 1 − g.
b) Se 2g−2 < grau G < n, ent˜ao pelo Teorema 1.102 temos que k = dim G = grau G+1−g. c) Como evD leva base em base temos que {evD(x1), . . . , evD(xk)} ´e uma base de CL(D, G).
Portanto uma matriz geradora de CL(D, G) ´e
M = x1(P1) x1(P2) · · · x1(Pn) .. . ... ... xk(P1) xk(P2) · · · xk(Pn) .
Como d ≥ n+1−g−k temos ai um limite inferior para a distˆancia m´ınima do c´odigo muito parecido com o limite superior de Singleton. Assim toda vez que tivermos grau G < n ent˜ao teremos
n + 1 − g − k ≤ d ≤ n + 1 − k (39)
Note que d = n + 1 − k se F ´e o corpo de fun¸c˜oes de gˆenero g = 0. Logo todo c´odigo geom´etrico de Goppa construido sobre um corpo de fun¸c˜ao racional Fq(z) ´e um c´odigo
MDS.
Defini¸c˜ao 2.14 O inteiro d∗ := n − grau G ´e chamado de distˆancia designada do c´odigo CL(D, G).
O Teorema 2.10 afirma que a distˆancia m´ınima de um C´odigo Geom´etrico de Goppa n˜ao pode ser menor que a distˆancia designada. A seguinte observa¸c˜ao nos informar´a quando d∗ = d ou d∗ < d.
Observa¸c˜ao 2.15 Suponha que dim G > 0 e d∗ = n − grau G > 0. Ent˜ao d∗ = d se e somente se existe um divisor D0 com 0 ≤ D0 ≤ D, grau D0 = grau G e dim (G − D0) > 0.
Demonstra¸c˜ao 2.16 Supondo d∗ = d, ent˜ao existe um elemento x ∈ L(G), x 6= 0 tal que a palavra c´odigo (x(P1), . . . , x(Pn)) ∈ CL(D, G) tem precisamente n−d = n−d∗ = grau G
componentes nulas, digamos x(Pij) = 0 para j = 1, . . . , grau G. Assim chamaremos
D0 =
grau G
X
j=1
Pij.
Ent˜ao 0 ≤ D0 ≤ D, grau D0 = grau G e ainda teremos x ∈ L(G − D0). Logo como x 6= 0
temos dim (G − D0) > 0.
Reciprocamente supondo que exista D0 satisfazendo 0 ≤ D0 ≤ D, grau D0 = grau G e
dim (G − D0) > 0 ent˜ao escolhendo y ∈ L(G − D0) com y 6= 0. Como y ∈ L(G − D0) ent˜ao temos vP(y) + vP(G) − vP(D0) ≥ 0 e como 0 ≤ D0 ≤ D temos ent˜ao vP(y) + vP(G) ≥ 0,
ou seja y ∈ L(G), da´ı (y(P1), . . . , y(Pn)) ∈ CL(D, G). Vejamos que se Pi ∈ suppD0 ent˜ao
y(Pi) = 0. Note que vPi(y) + vPi(G) − vPi(D
0) ≥ 0, mas como suppG ∩ suppD = ∅ ent˜ao
vPi ≥ 1, ou seja vPi(y) > 0. Da´ı y ∈ Pi, o que implica que y(Pi) = 0. Logo
d ≤ w((y(P1), . . . , y(Pn))) ≤ n − grau D0 = n − grau G = d∗.
Mas como d∗ ≤ d ent˜ao d = d∗.
Ainda um outro c´odigo pode ser associado com os divisores G e D utilizando componentes locais da diferencial de Weil. Relembremos algumas nota¸c˜oes introduzidas anteriomente: Para um divisor A ∈ DF, ΩF(A) ´e o espa¸co das fun¸c˜oes diferenciais de Weil ω com
(ω) ≥ A. Este ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita sobre Fq e com dimens˜ao i(A) o
´ındice de especialidades de A.
Para uma diferencial de Weil ω e um lugar P ∈ PF, ωP : F −→ Fq denota a componente
Defini¸c˜ao 2.17 Seja G e D = P1+ · · · + Pn divisores onde Pi s˜ao dois a dois distintos,
grau Pi = 1 e suppD ∩ suppG = ∅. Ent˜ao definimos o c´odigo CΩ(D, G) ⊆ Fnq por
CΩ(D, G) := {(ωP1(1), . . . , ωPn(1)); ω ∈ ΩF(G − D)}.
Nosso pr´oximo resultado ´e an´alogo ao Teorema 2.10
Teorema 2.18 CΩ(D, G) ´e um c´odigo com parametros [n, k0, d0] tal que k0 = i(G − D) −
i(G) e d0 ≥ grau G − (2g − 2). E ainda adicionando a hip´otese de grau G > 2g − 2 temos que i(G − D) ≥ n + g − 1 − grau G. E se tivermos tamb´em 2g − 2 < grau G < n, ent˜ao k0 = n + g − 1 − grau G.
Demonstra¸c˜ao 2.19 Se P ∈ PF um lugar de grau 1 e ω uma diferencial de Weil com
vP(ω) ≥ −1. Afirmamos que
ωP(1) = 0 ⇐⇒ vP(ω) ≥ 0 (40)
E de fato pois o Teorema 1.129 nos diz que
vP(ω) ≥ r ⇐⇒ ωP(x) = 0 para todo x ∈ F com vP(x) ≥ −r (41)
Da´ı se tivermos vP(ω) ≥ 0, ent˜ao ωP(x) = 0 para todo x ∈ F com vP(x) ≥ 0, mas
vP(1) = 0, logo ωP(1) = 0.
Reciprocamente se ωP(1) = 0 e seja x ∈ F com vP(x) ≥ 0. Como grau P = 1 podemos
escrever x = a + y com a ∈ Fq e vP(y) ≥ 1. Ent˜ao
ωP(x) = ωP(a) + ωP(y) = aωP(1) + 0 = 0
(Observe que ωP(y) = 0 pois vP(ω) ≥ −1 e vP(y) ≥ 1, ver equa¸c˜ao 41).
Da´ı como para todo x com vP(x) ≥ 0, temos ωP(x) = 0 e da´ı da equa¸c˜ao 41 vem que
vP(ω) ≥ 0. Agora iremos considerar a aplica¸c˜ao Fq-linear
ϕD :
ΩF(G − D) −→ CΩ(D, G)
ω 7−→ (ωP1(1), . . . , ωPn(1))
Temos pela Defini¸c˜ao 2.17 e pela contru¸c˜ao de ϕD que ϕD ´e sobrejetiva. Temos ainda que
ker(ϕD) = ΩF(G). De fato se ω ∈ ΩF(G) ent˜ao (ω) ≥ G, ou seja vP(ω) ≥ vP(G), ∀i =
1, . . . , n. Por outro lado se ω ∈ ker(ϕD) ⊂ ΩF(G − D), ent˜ao (ω) ≥ (G − D), ou
seja vP(ω) ≥ vP(G) − vP(D), ∀P ∈ PF . Da´ı temos vP(ω) ≥ vP(G), ∀P /∈ suppD. Se
P ∈ suppD ent˜ao ωP(1) = 0, da´ı vP(ω) ≥ 0 = vP(G).
Logo (ω) ≥ G. Da´ı ω ∈ ΩF(G). Da´ı temos que
k0 = dim CΩ(D, G) = dim ΩF(G − D) − dim ΩF(G) = i(G − D) − i(G). (42)
Seja ϕD(ω) ∈ CΩ(D, G) uma palavra c´odigo de peso m > 0. Ent˜ao ωPi(1) = 0 para
certos ´ındices i = i1, . . . , in−m, assim ω ∈ ΩF(G − (D −
Pn−m
j=1 Pij)). De fato, pois para
vP(G) − vP(D) + vP(Pn−mj=1 Pij).
Se P = Pij ent˜ao ωPij(1) = 0, da´ı vPij(ω) ≥ 0 = vPij(G) − vPij(D) + vPij(
Pn−m
j=1 Pij).
Como ΩF(A) 6= 0 ent˜ao grau A ≤ 2g − 2 (Teorema 1.102). Da´ı obtemos 2g − 2 ≥
grau G − (n − (n − m)) = grau G − m. Da´ı temos que a distˆancia m´ınima d0 de CΩ(D, G)
satisfaz a desigualdade d0 ≥ grau G − (2g − 2).
Assumindo agora que grau G > 2g − 2 temos pelo Teorema 1.102 que i(G) = 0, logo k0 = i(G − D), e do Teorema de Riemann-Roch segue que
k0 = i(G − D) = dim (G − D) − grau (G − D) − 1 + g = dim (G − D) + n + g − 1 − grau G Portanto com dim (G − D) ≥ 0 temos que
k0 ≥ n + g − 1 − grau G
E se tivermos 2g−2 < grau G < n ent˜ao grau (G−D) < 0 o que implica que dim (G−D) =
0. Da´ı k0 = n + g − 1 − grau G.
Fazendo anagia com a defini¸c˜ao 2.2 chamaremos grau G − (2g − 2) de distˆancia designada de CΩ(D, G).
Existe uma rela¸c˜ao entre CL(D, G) e CΩ(D, G).
Teorema 2.20 Os c´odigos CL(D, G) e CΩ(D, G) s˜ao duais um do outro, isto ´e
CΩ(D, G) = CL(D, G)⊥
Demonstra¸c˜ao 2.21 Primeiramente notemos o seguinte fato: Considere um lugar P ∈ PF de grau 1, uma diferencial de Weil ω com vP(ω) ≥ −1 e um elemento x ∈ F com
vP(x) ≥ 0. Ent˜ao
ωP(x) = x(P )ωP(1) (43)
De fato, escrevendo x = a + y onde a = x(P ) ∈ Fq e vP(y) > 0. Ent˜ao
ωP(x) = ωP(a) + ωP(y) = aω(1) + 0 = x(P )ωP(1)
(Observa¸c˜ao: ωP(y) = 0 pela equa¸c˜ao 41)
Vamos mostrar que CΩ(D, G) ⊂ CL(D, G)⊥. Seja ω ∈ ΩF(G − D) e x ∈ L(G), assim da
proposi¸c˜ao 1.127 e do fato de x ∈ F e ω zerar em F temos
0 = ω(x) = X
P ∈PF
ωP(x)
Para P ∈ F \ {P1, . . . , Pn} temos vP(x) + vP(ω) ≥ 0. De fato temos que (ω) ≥ G − D
pois ω zera em G − D, ou seja vP(ω) ≥ vP(G) − vP(D), ∀P ∈ PF e como temos vP(x) ≥
vP(x) + vP(ω) ≥ 0. Da´ı seja r = vP(ω), logo vP(x) ≥ −vP(ω) = −r temos ωP(x) = 0 (Ver 41). Logo X P ∈PF ωP(x) = n X i=1 ωPi(x) = n X i=1 x(Pi)ωPi(1) =< (ωP1(1), . . . , ωPn(1)), (x(P1), . . . , x(Pn)) > Consequentemente CΩ(D, G) ⊆ CL(D, G)⊥.
Iremos mostrar agora que CΩ(D, G) e CL(D, G)⊥ tem a mesma dimens˜ao. Utilizando os
teoremas 2.10 e 2.18 e o Teorema de Riemann-Roch dim CΩ(D, G) = i(G − D) − i(G)
= (dim (G − D) − grau (G − D) − 1 + g) − (dim G − grau G − 1 + g) = grau D + dim (G − D) − dim G
= n − (dim G − dim (G − D))
= n − dim CL(D, G) = dim CL(D, G)⊥
Nosso pr´oximo passo ´e mostrar que CΩ(D, G) pode ser representado como CL(D, H) com
um apropriado divisor H. Mas para isso precisamos do seguinte lema. Lema 2.22 Existe uma diferencial de Weil η tal que
vPi(η) = −1 e ηPi = 1 para i = 1, . . . , n
Demonstra¸c˜ao 2.23 Escolha uma diferencial de Weil arbitr´aria ω0 6= 0. Pelo Teorema
da aproxima¸c˜ao fraca, existe z ∈ F com vPi(z) = −vPi(ω0)−1 para i = 1, . . . , n. Tomando
ω := zω0, obtemos que vPi(ω) = vPi(zω0) = vPi(z) + vPi(ω0) = −1 Logo tomando ai :=
ωPi(1) 6= 0 (Ver equa¸c˜ao 40). Novamente utilizando o teorema da Aproxima¸c˜ao existe
y ∈ F tal que vPi(y − ai) > 0, logo y − ai ∈ Pi. Da´ı segue que vPi(y) = 0 e y(Pi) = ai.
Colocando η := y−1ω, obtemos que
vPi(η) = vPi(ω) − vPi(y) = vPi(ω) = −1 e ηPi(1) = ωPi(y −1 ) = y−1(Pi)ωPi(1) = a −1 i ai = 1 Proposi¸c˜ao 2.24 Seja η uma diferencial de Weil tal que vPi(η) = −1 e ηPi(1) = 1 para
i = 1, . . . , n. Ent˜ao
CL(D, G)⊥= CΩ(D, G) = CL(D, H)
Demonstra¸c˜ao 2.25 Pelo fato de vPi(η) = −1 para i = 1, . . . , n temos que supp(D −
G + (η)) ∩ supp(D) = ∅. Logo o c´odigo CL(D, D − G + (η)) est´a bem definida. Pelo
Teorema 1.96
µ : L(D − G + (η)) −→ ΩF(G − D)
x 7−→ xη
´
e um isomorfismo. Assim para x ∈ L(D − G + (η)) temos (xη)Pi(1) = ηPi(x) =
x(Pi)ηPi(1) = x(Pi).
Da´ı pelo fato de µ ser isomorfismo temos CΩ(D, G) = CL(D, DG+ (η)).
Corol´ario 2.26 Suponha que exista uma diferencial de Weil η tal que (η) = 2G − D e ηPi(1) = 1 para i = 1, . . . , n. Ent˜ao o c´odigo CL(D, G) ´e auto dual.
Demonstra¸c˜ao 2.27 Assumir (η) = 2G − D ´e equivalente a assumir G = D − G + (η). Logo da Proposi¸c˜ao 2.24 temos que CL(D, G)⊥ = CL(D, D − G + (η)) = CL(D, G).
Observa¸c˜ao 2.28 Utilizando a Proposi¸c˜ao 2.24 podemos reduzir o teorema 2.18 ao teo- rema 2.10. Pois veja que CΩ(D, G) = CL(D, D − G + (η)). Logo CΩ(D, G) ´e um c´odigo
com parametros [n, k0, d0] onde
k0 = dim (D − G + (η)) − dim (D − G + (η) − D) = dim (D − G + (η)) − dim (−G + (η))
= i(G − D) − i(G) (Ver Teorema 1.96), e temos tamb´em que
d0 ≥ n − grau (D − G + (η))
= n − grau D + grau G − grau ((η)) = grau G + n − n − grau ((η)) = grau G − (2g − 2)
(Ver Proposi¸c˜ao 1.106). Assim temos uma nova demonstra¸c˜ao para o Teorema 2.18 Defini¸c˜ao 2.29 Dois c´odigos C1, C2 ⊂ Fnq s˜ao ditos ser equivalentes se existe um vetor
a = (a1, . . . , an) ∈ (Fq\ {0})n tal que C2 = aC1, isto ´e
C2 = {(a1c1, . . . , ancn); (c1, . . . , cn) ∈ C1}.
Obviamente c´odigos equivalentes tem a mesma dimens˜ao, a mesma distˆancia m´ınima e a mesma distribui¸c˜ao de pesos. Note no entanto que equivalˆencia n˜ao preserva todas as propriedades importantes dos c´odigos. Por exemplo, c´odigos equivalentes podem n˜ao preservar automorfismo de grupos.
Proposi¸c˜ao 2.30 a) Suponha G1 e G2 divisores tais que G1 ∼ G2 e suppG1∩ suppD =
suppG2∩ suppD = ∅. Ent˜ao os c´odigos CL(D, G1) e CL(D, G2) s˜ao equivalentes. Vale o
mesmo para CΩ(D, G1) e CΩ(D, G2).
b) Reciprocamente, se um c´odigo C ⊆ Fn
q ´e equivalente a CL(D, G) (o mesmo para
CΩ(D, G)) ent˜ao existe um divisor G0 ∼ G tal que suppG0∩ suppD = ∅ e C = CL(D, G0)
Demonstra¸c˜ao 2.31 Como G2 ∼ G1 existe z ∈ F \ {0} tal que G2 = G1− (z) e como
suppG1 ∩ suppD = suppG2 ∩ suppD = ∅, ent˜ao vPi(z) = 0 para i = 1, . . . , n, ou seja
x(Pi) 6= 0, ∀i = 1, . . . , n.
Da´ı tomando a := (z(P1), . . . , z(Pn)) ∈ (F \ {0})n e a aplica¸c˜ao
ϕ : L(G1) −→ L(G2)
x 7−→ xz
´
e um isomorfismo pelo Lema 1.52. Da´ı temos
CL(D, G2) = {(x(P1), . . . , x(Pn)); x ∈ L(G2)}
= {(ϕ−1 xz (P1), . . . , ϕ−1 zx (Pn)); ϕ−1 xz ∈ L(G2)}
= {(y(P1), . . . , y(Pn)); y ∈ L(G1)}
Para provar que CΩ(D, G1) e CΩ(D, G2) s˜ao equivalentes basta ver que CΩ(D, G1) =
CL(D, D − G1+ (η)) e CΩ(D, G2) = CL(D, D − G2+ (η)) e como G1 ∼ G2 temos D − G1+
(η) ∼ D −G2+(η) e ainda supp(D −G1+(η))∩suppD = supp(D −G2+(η))∩suppD = ∅.
b) Seja C = aCL(D, G) com a = (a1, . . . , an) ∈ (F\{0})n. Escolha z ∈ F tal que z(Pi) = ai
para i = 1, . . . , n. Assim tomando G0 := G − (z) temos C = CL(D, G0) pois
C = aCL(D, G)
= {(a1x(P1), . . . , anx(Pn); x ∈ L(G))}
= {(z(P1)x(P1), . . . , z(Pn)x(Pn); x ∈ L(G))}
= {((zx)(P1), . . . , (zx)(Pn); zx ∈ L(G))}
= CL(D, G0)
Para mostrar que C = CΩ(D, G0), quando C ´e equivalente a CΩ(D, G) basta ver que
CΩ(D, G) = CL(D, D − G + (η)), logo existe G0 tal que D − G + (η) ∼ D − G0 + (η)
consequentemente G ∼ G0 e suppG0 ∩ suppD = ∅. Da´ı C = CL(D, D − G0 + (η)) =
CΩ(D, G0)
Observa¸c˜ao 2.32 Se G ´e um divisor o qual o suppG ∩ suppD 6= ∅, podemos definir um c´odigo Geom´etrico de Goppa CL(D, G) associado com D e G como segue:
Escolha um divisor G0 ∼ G com suppG0 ∩ suppD = ∅ (isto ´e poss´ıvel pelo teorema da
aproxima¸c˜ao) e tome CL(D, G) := CL(D, G0). A escolha de G0 n˜ao ´e canˆonica, da´ı
CL(D, G) ´e bem definido somente por causa da equivalˆencia da Proposi¸c˜ao 2.30.
3
Excelentes C´odigos N˜ao Lineares dos Corpos de
Fun¸c˜oes Alg´ebricas
3.1
Introdu¸c˜ao
Defini¸c˜ao 3.1 Seja q uma potˆencia de primo e n, d inteiros positivos com d ≤ n. Defini- mos Aq(n, d) como sendo o m´aximo de |C|, onde C ´e um c´odigo sobre Fq de comprimento
n e distˆancia m´ınima d.
Definiremos Vq(n, r) como sendo o n´umero de elementos de uma bola de raio r e centro
x = (x1, . . . , xn), ∀x ∈ Fnq
Vq(n, r) = |{(y1, . . . , yn) ∈ Fnq; d((y1, . . . , yn), (x1, . . . , xn)) ≤ r}|
Teorema 3.2 Limite de Gilbert-Varshamov
Seja q um potˆencia de primo e n, d inteiros com n ≥ d. Da´ı temos Aq(n, d) ≥ qn/Vq(n, d − 1)
Defini¸c˜ao 3.3 Seja C um c´odigo sobre Fq de comprimento n com qk palavras c´odigo e
distˆancia m´ınima d. Definiremos a taxa de informa¸c˜ao de C como sendo R := k/n e a distˆancia m´ınima relativa como δ := d/n
Veja que 0 ≤ R ≤ 1 e 0 ≤ δ ≤ 1 e que C ´e um bom c´odigo se R e δ s˜ao bem pr´oximos de 1.
Defini¸c˜ao 3.4 Seja q uma potˆencia de primo e δ ∈ R tal que 0 ≤ δ ≤ 1. Ent˜ao definimos αq(δ) := limsupn→∞
1
nlogqAq(n, [δn])
αq(δ) ´e o maior R tal que exista uma sequˆenca de c´odigos sobre Fq com distˆancia m´ınima
relativa convergindo para δ e a taxa de informa¸c˜ao convergindo para R.
Defini¸c˜ao 3.5 Seja θ = 1 −1q. Definiremos a fun¸c˜ao Hq(x) com 0 ≤ x ≤ θ da seguinte
maneira:
Hq(x) := 0 para x = 0
Hq(x) := xlogq(q − 1) − xlogqx − (1 − x)logq(1 − x) para 0 < x ≤ θ
A fun¸cao Hq ´e chamada de fun¸c˜ao entropia de Hilbert.
Teorema 3.6 Limite Assint´orico de Gilbert-Varshamov. Para ∀δ com 0 ≤ δ ≤ θ temos αq(δ) ≥ 1 − Hq(δ)
O limite de Gilbert-Varchamov foi o melhor limite inferior para αq(δ) por 30 anos desde sua
descoberta em 1952. Em 1982, com a existˆencia de sequˆencia de c´odigos, foi encontrado por Tsfasman, Vladut e Zink (TVZ) limites melhores do que de Gilbert-Varshamov usando c´odigos de Goppa, que veremos a seguir.
Defini¸c˜ao 3.7 Para uma fam´ılia de c´odigos C = {Ci}∞i=1 sobre Fq (linear ou n˜ao linear)
com comprimento n(Ci) −→ ∞ e distˆancia m´ınima relativa n(Cd(Cii)) −→ δ denotaremos
RC = limsupi→∞
logq|Ci|
Temos que existe uma fun¸c˜ao continua αq : [0, 1] −→ [0, 1] com a seguinte propriedade,
para qualquer para (δ, R) com 0 ≤ δ ≤ 1 e 0 ≤ R < αq(δ) existe uma fam´ılia de c´odigos
C = {Ci}∞i=1 sobre Fq com comprimento tal que
limi→∞
d(Ci)
n(Ci)
−→ δ e RC = R
Um limite inferior conhecido para a fun¸c˜ao αq ´e o limite de Gilbert-Vashamov dado por
αq(δ) ≥ 1 − Hq(δ) = 1 − δlogq(q − 1) + δlogqδ + (1 − δ)logq(1 − δ) (44)
para qualquer δ ∈ [0, 1 − 1q]. Em 1982, tal limite foi melhorado por TVZ pelo seguinte limite
αq(δ) ≥ 1 − δ − A(q)−1 (45)
onde A(q) = limsupg(F )→∞N (F )g(F ) em que F percorre todos corpos de fun¸c˜oes sobre Fq,
g(F ) ´e o gˆenero de F e N (F ) ´e a quantidade de lugares racionais de F .
De fato, o limite inferior da desigualdade (45) ´e melhor do que a desigualdade (44) para um grande subintervalo de [0, 1 − 1
q], e para todas potˆencias de primos q ≥ 49. Existem
muitas maneiras e t´ecnicas para provar o limite TVZ, mas todas as constru¸c˜oes envolvem c´odigos lineares. Elkies foi o primeiro a considerar c´odigos n˜ao lineares. Recentementes foram encontrados mais limites inferiores para αq(δ), a saber
αq(δ) ≥ 1 − δ − A(q)−1+ ∞ X i=2 logq 1 + q − 1 q2i (46) e tamb´em αq(δ) ≥ 1 − δ − A(q)−1+ logq 1 + 1 q3 (47) O limite acima foi provado para potˆencias quadradas de primo q por Elkies e para potˆencia qualquer de primo por Niederreiter. Estas demonstra¸c˜oes envolvem sofisticadas com- puta¸c˜oes. Mostraremos mais adiante uma nova demonstra¸c˜ao do limite 47 simples e de baixa computa¸c˜ao.