Nesta se¸c˜ao denotaremos F |K como um corpo de fun¸c˜oes alg´ebricas de genero g. Defini¸c˜ao 1.76 Para A ∈ DF
i(A) := dim A − grau A + g − 1 ´
e chamado de ´ındice de especialidade de A.
O Teorema de Riemann-Roch diz que i(A) ´e um inteiro n˜ao negativo e i(A) = 0 se grau A ´e sulficientemente grande. Nesta se¸c˜ao daremos diferentes interpreta¸c˜oes para i(A) como dimens˜ao de determinados espa¸cos vetoriais.
Defini¸c˜ao 1.77 Um adele de F |K ´e uma aplica¸c˜ao α :
PF −→ F
P 7−→ αP
tal que αP ∈ OP exceto para uma quantidade finita de αP.
Consideraremos um adele como um elemento do produto direto Q
P ∈PF F e consequente-
mente usaremos a nota¸c˜ao α = (αP)P ∈PF ou simplificando α = (αP). O conjunto
AF := {α; α ´e um adele de F |K}
´
e chamado de espa¸co dos adele de F |K. Seja α, β adeles e k ∈ K definiremos α + β : PF −→ F P 7−→ αP + βP e kα : PF −→ F P 7−→ kαP.
Assim AF ´e um espa¸co vetorial sobre K.
O adele principal de um elemento x ∈ F ´e o adele onde todos componentes s˜ao iguais a x. (Note que esta defini¸c˜ao faz sentido de acordo com o corolario 1.44, pois assim teremos finitos polos de x). Considerando x ∈ F como o adele principal temos um mergulho F ,→ AF. A valoriza¸c˜ao vP de F |K extende naturalmente para AF pela defini¸c˜ao de
vP(α) := vP(αP) (onde αP ´e o P -componente da adele α). Pela defini¸c˜ao temos que
vP(α) ≥ 0 exceto para uma quantidade finita de P ∈ PF.
Defini¸c˜ao 1.78 Para A ∈ DF definimos
Teorema 1.79 Para qualquer divisor A, o ´ındice de especialidade ´e i(A) := dim (AF/(AF(A) + F ))
Note que AF, AF(A) e F tem dimens˜ao infinita e o que o teorema diz que o quociente
AF/(AF(A) + F ) tem dimens˜ao finita sobre K.
Demonstra¸c˜ao 1.80 Para demonstrar este teorema passaremos por 3 passos antes: Passo 1: Seja A1, A2 ∈ DF e A1 ≤ A2. Ent˜ao AF(A1) ⊆ AF(A2) e
dim (AF(A2)/AF(A1)) = grau A2− grau A1
Prova passo 1: Seja α ∈ AF(A1), da´ı vP(α) ≥ −vP(A1) ≥ −vP(A2) para todos P ∈ PF.
Da´ı α ∈ AF(A2) e consequentemente AF(A1) ⊆ AF(A2). Vamos mostrar agora que
dim (AF(A2)/AF(A1)) = grau A2 − grau A1. Seja A2 = A1 + P com P ∈ PF. Escolha
t ∈ F com vP(t) = vP(A1) + 1 e considere a aplica¸c˜ao K-linear
ϕ : AF(A2) −→ FP
α 7−→ (tαP)(P ).
Veja que ϕ ´e sobrejetiva, pois dado x(P ) ∈ FP basta tomar α = xt. Veja que xt ∈ AF(A2)
pois vP x t + vP(A2) = vP(x) − vP(t) + vP(A2) ≥ vP(A2) − vP(A1) − 1 = 0
pois A2 = A1+ P . (Veja que x ∈ OP e logo vP(x) ≥ 0).
Assim ϕ xt = t xtP (P ) = x(P ).
Veja ainda que o n´ucleo de ϕ ´e AF(A1), pois se α ∈ AF(A1) ent˜ao ϕ(α) = (tαP)(P ) = 0.
(Veja que tαP ∈ P , pois vP(α) + vP(A1) ≥ 0, o implica que vP(α) + vP(t) ≥ 1 > 0, ou
seja vP(αt) > 0).
E se ϕ(α) = 0 ent˜ao tαP ∈ P da´ı vP(t)+vP(αP) > 0 o que implica que vP(α)+vP(A1) ≥ 0
e consequentemente α ∈ AF(A1).
Como A2− A1 = P temos que
grau A2− grau A1 = grau P = [FP : K] = dim (AF(A2)/AF(A1))
(Nesta ´ultima igualdade utilizamos do teorema do homorfismo). Indutivamente suponhamos que para A2 = A1 + P1+ · · · + Pn temos
dim (AF(A2)/AF(A1)) = grau A2 − grau A1 = grau P1+ · · · + grau Pn.
Veja que para A2 = A1+ P1+ · · · + Pn+1 temos que
Assim pela proposi¸c˜ao 1.56 temos que existe o isomorfismos abaixo AF(A2) AF(A1+ P1+ · · · + Pn) ' AF(A2) AF(A1) AF(A1+P1+···+Pn) AF(A1) Consequentemente temos dim AF(A2) AF(A1+ P1+ · · · + Pn) = dimAF(A2) AF(A1) − dimAF(A1+ P1+ · · · + Pn) AF(A1) da´ı dimAF(A2) AF(A1) = dimAF(A1+ P1+ · · · + Pn) AF(A1) + dim AF(A2) AF(A1+ P1+ · · · + Pn) ou seja dimAF(A2) AF(A1)
= grau P1+ · · · + grau Pn+ grau Pn+1 = grau A2− grau A1
Passo 2: Seja A1, A2 ∈ DF e A1 ≤ A2. Ent˜ao
dim (AF(A2) + F/AF(A1) + F ) = (grau A2− dim A2) − (grau A1− dim A1)
Demonstra¸c˜ao Passo 2: Para demontrar tal fato mostraremos que a sequˆencia abaixo ´e exata {0} −→ L(A2)/L(A1) σ1 → A(A2)/A(A1) σ2 → (A(A2) + F )/(A(A1) + F ) −→ {0}
onde defiremos σ1 da seguinte maneira: para x ∈ L(A2) ent˜ao x ∈ L(A2)/L(A1). Da´ı
σ(x) = ˜x ∈ A(A2)/A(A1). Vejamos que σ1 est´a bem definida pois se x = y ent˜ao
x, y ∈ L(A2) e x − y ∈ L(A1). Da´ı (x − y) + A1 ≥ 0, da´ı vP(x − y) + vP(A1) ≥ 0, ∀P ∈ PF.
Assim σ1(x) = ˜x e σ1(y) = ˜y, onde x, y ∈ AF(A2) e teremos que x − y ∈ AF(A1), pois
vP(x − y) + vP(A1) ≥ 0. Da´ı σ1 est´a bem definida.
Definiremos σ2(α) = ˜α ∈ (A(A2)+F )/(A(A1)+F ). Obviamente bem definida pois α = β
implica que α −β ∈ AF(A2), logo α −β ∈ AF(A2)+F . Da´ı se α = β ent˜ao σ2(α) = σ2(β).
Temos obviamente que σ1 ´e injetora e σ2´e sobrejetora. Vamos mostrar agora que Imσ1 =
Kerσ2.
Vejamos que Imσ1 ⊂ Kerσ2, pois seja x ∈ L(A2)/L(A1), ent˜ao σ1(x) = ˜x. Mas temos
que σ˜x ∈ F . Da´ı σ2(˜x) = 0.
Vejamos agora que Kerσ2 ⊂ Imσ1. Seja α ∈ AF(A2) com σ2(α + A)F(A1) = 0. Ent˜ao
α ∈ AF(A1) + F , assim existe x ∈ F tal que α − x ∈ AF(A1). Do fato de AF(A1) ⊂
α + AF(A1) = x + AF(A1) = σ1(x + L(A1)). Da´ı Kerσ2 ⊂ Imσ1. Da´ı temos uma
sequˆencia exata, e consequentemente temos
dim (A(A2) + F )/(A(A1) + F ) = dim (A(A2))/(A(A1)) − dim (L(A2)/L(A1))
= (grau A2− grau A1) − (dim A2− dim A1)
Passo 3: Se B ´e um divisor com dim B = grau B + 1 − g ent˜ao AF = AF(B) + F
Demonstra¸c˜ao Passo 3: Obviamente temos que AF(B) + F ⊂ AF. Reciprocamente veja
que se B1 ≥ B ent˜ao pelo lema 1.58 temos
dim B1 ≤ grau B1+ dim B − grau B = grau B1+ 1 − g.
Por outro lado temos que dim B1 ≥ grau B1 + 1 − g. (Veja o Teorema de Riemann).
Consequentemente temos que para todo B1 ≥ B
dim B1 = grau B1+ 1 − g (21)
Seja α ∈ AF, da´ı obviamente existe um divisor B1 ≥ B tal que α ∈ AF(B1). Pelo
resultado do passo 2 e por 21 temos
dim (AF(B1)+F/AF(B)+F ) = (grau B1−dim B1)−(grau B−dim B) = (g−1)−(g−1) = 0
Isto implica que AF(B)+F = AF(B1)+F , e do fato de α ∈ AF(B1) ent˜ao α ∈ AF(B)+F .
Da´ı AF ⊂ AF(B) + F .
Finalizando a demonstra¸c˜ao do Teorema iremos considerar um divisor arbitr´ario A. Pelo item (b) do Teorema de Riemann existe um divisor A1 ≥ A tal que dim A1 = grau A1 +
1 − g. (Basta escolher A1 com grau A1 ≥ c para um certo c). Pelo passo 3 temos que
AF = AF(A1) + F e pelo passo 2 temos que
dim (AF/(AF(A) + F )) = dim ((AF(A1) + F )/(AF(A) + F ))
= (grau A1− dim A1) − (grau A − dim A)
= (g − 1) + dim A − grau A = i(A)
e isto finaliza a demonstra¸c˜ao
Corol´ario 1.81
g = dim (AF/(AF(0) + F ))
Demonstra¸c˜ao 1.82
i(0) = dim (0) − grau (0) + g − 1 = 1 − 0 + g − 1 = g
O teorema 1.79 pode ser enunciado da seguinte maneira: para qualquer A ∈ DF temos
dim A = grau A + 1 − g + dim (AF/AF(A) + F ).
Esta ´e uma vers˜ao preliminar do Teorema de Riemann-Roch que veremos um pouco mais tarde nesta se¸c˜ao.
Agora introduziremos o conceito de diferencial de Weil o qual dar´a uma segunda inter- preta¸c˜ao para o ´ındice de especialidades de um divisor.
Defini¸c˜ao 1.83 Uma diferencial de Weil de F |K ´e uma aplica¸c˜ao K-linear ω : AF −→
K que zera em AF(A) + F para algum divisor A ∈ DF.
Chamamos
ΩF := {ω; ω ´e uma diferencial de Weil de F |K}
´
e chamado de modulo de diferencial de Weil de F |K. Para A ∈ DF seja
ΩF(A) := {ω ∈ ΩF; ω zera em AF(A) + F }
Temos que ΩF ´e um K-espa¸co vetorial pois se ω1 zera em AF(A1) + F e ω2 zera em
AF(A2) + F ent˜ao para qualquer divisor A3 tal que A3 ≤ A1 e A3 ≤ A2 temos que
AF(A3)+F ⊂ (AF(A1)+F )∩(AF(A2)+F ). Da´ı se α ∈ AF(A3)+F ent˜ao (ω1+ω2)(α) =
(ω1)(α) + (ω2)(α) = 0. ´E claro que para a ∈ K e α ∈ AF(A1) + F , temos
(aω1)(α) = aω1(α) = 0.
Claramente temos que ΩF(A) ´e um subespa¸co de ΩF pois se ω1, ω2 ∈ ΩF(A), a ∈ K e
α ∈ AF(A) + F temos (ω1+ ω2)(α) = ω1(α) + ω2(α) = 0 e (aω1)(α) = aω1(α) = 0
Lema 1.84 Para A ∈ DF temos que dimΩF(A) = i(A).
Demonstra¸c˜ao 1.85 Vejamos que ΩF(A) ´e isomorfo ao espa¸co das aplica¸c˜oes lineares
de AF/(AF(A) + F ) em K pois seja
φ : ΩF(A) −→ L(AF/(AF(A) + F ), K)
onde φ(ω) = ˜ω para
˜
ω : AF/(AF(A) + F ) −→ K
α 7−→ ω(α)
Vejamos que φ est´a bem definida pois seja α, β ∈ AF/(AF(A) + F ) tal que α = β. Da´ı
α − β ∈ AF(A) + F o que implica que ˜ω(α − β) = ω(α − β) = 0. Logo temos que
˜
ω(α − β) = 0 e pelo fato de ω ser linear temos que ˜ω(α) − ˜ω(β) = 0 e consequentemente ˜
ω(α) = ˜ω(β). Temos tamb´em que φ ´e injetora pois Kerφ = {0}. De fato, φ(ω) = 0 se e somente se ˜ω : AF/(AF(A) + F ) −→ F , ˜ω(α) = ω(α) = 0 se e somente se ω(α) = 0
∀α ∈ AF. Logo ω = 0.
φ ´e bijetora pois seja ˜ω ∈ L(AF/(AF(A) + F ), K), onde ˜ω : AF/(AF(A) + F ) −→ K.
ω(α) = ˜ω(α). Obviamente temos que ω ∈ ΩF(A) e φ(ω) = ˜ω. Como L(AF/(AF(A) +
F ), K) ´e um conjunto de funcionais lineares temos que dim L(AF/(AF(A) + F ), K) =
dim AF/(AF(A) + F
Uma simples consequencia do Lema 1.84 ´e que ΩF 6= {0}. Pois veja que dado um divisor
A tal que grau A ≤ −2. Ent˜ao
dim ΩF(A) = i(A) = dim A − grau A + g − 1 ≥ 1
pois veja que dim A ≥ 0 e g ≥ 0
Defini¸c˜ao 1.86 Para x ∈ F e ω ∈ ΩF definimos
xω : AF −→ F
por
(xω)(α) := ω(xα)
Veja que xω ´e uma diferencial de Weil pois se ω zera em AF(A) + F ent˜ao temos que xω
ir´a zerar em AF(A + (x)) + F pois seja α ∈ AF(A + (x)) + F .
Se α ∈ F ent˜ao (xω)(α) = ω(xα) = 0 pois xα ∈ F .
Se α ∈ AF(A + (x)) ent˜ao vP(α) + vP(A + (x)) ≥ 0 ou seja vP(α) + vP(A) + vP(x) ≥ 0.
Veja que xα ∈ AF(A) pois
vP(xα) + vP(A) = vP(x) + vP(α) + vP(A) ≥ 0.
Assim ω(xα) = 0. Consequentemente demos ΩF uma estrutura de espa¸co vetorial sobre
F .
Proposi¸c˜ao 1.87 ΩF ´e um F -espa¸co vetorial de dimens˜ao 1
Demonstra¸c˜ao 1.88 Escolha ω1 ∈ ΩF e ω1 6= 0 (J´a vimos que isto ´e poss´ıvel pois
ΩF 6= {0}).
Vamos mostrar que para qualquer ω2 ∈ ΩF existe z ∈ F tal que ω2 = zω1. Vamos assumir
que ω2 6= 0, pois se ω2 = 0 escolha z = 0 e logo para qualquer α ∈ AF temos
(zω1)(α) = ω1(0α) = ω1(0) = 0 = ω2(α)
Escolha A1, A2 ∈ DF tal que ω1 ∈ ΩF(A1) e ω2 ∈ ΩF(A2).
Para um divisor B (que especificaremos depois) considere a aplica¸c˜ao K-linear injetiva
ϕ : L(Ai+ B) −→ Ω(−B)
x 7−→ xωi
para i = 1, 2
se α ∈ F ent˜ao xα ∈ F e logo xα ∈ AF(Ai) + F , o que implica que xωi(α) = ωi(xα) = 0.
Se α ∈ AF(−B) ent˜ao vP(α) + vP(−B) ≥ 0, ou seja vP(α) − vP(B) ≥ 0. Como x ∈
L(Ai + B) temos que (x) + Ai + B ≥ 0. Da´ı vP(xα) + vP(Ai) = vP(x) + vP(α) +
vP(Ai) ≥ vP(x) + vP(B) + vP(Ai) ≥ 0. E assim xα ∈ AF(Ai) + F o que implica que
xωi(α) = ωi(xα) = 0. Logo ϕ(L(Ai+ B)) ⊂ Ω(−B)
Afirma¸c˜ao: Para uma certa escolha do divisor B temos ϕ1(L(A1+ B)) ∩ ϕ2(L(A2+ B)) 6= {0}.
com esta afirma¸c˜ao finalizaremos a demosntra¸c˜ao pois escolhendo x1 ∈ L(A1 + B) e
x2 ∈ L(A2+ B) tal que x1ω1 = x2ω2 6= 0. Ent˜ao ω2 = x1x−12 ω1.
Demonstra¸c˜ao da afirma¸c˜ao: Come¸caremos com um simples fato de ´Algebra Linear. Se U1, U2 s˜ao subespa¸cos de dimens˜ao finita do espa¸co vetorial V , ent˜ao
dim (U1∩ U2) ≥ dim U1+ dim U2− dim V.
Agora seja B > 0 um divisor de grau sulficientemente grande tal que dim (Ai + B) = grau (Ai+ B) + 1 − g
para i = 1, 2 (Veja o Teorema de Riemann). Seja U1 := ϕ(L(A1+ B)) ⊆ ΩF(−B). Como
dim ΩF(−B) = i(−B) = dim (−B) − grau (−B) + g − 1 = grau + g − 1
(Veja como grau B ´e muito grande, ent˜ao dim (−B) = 0) n´os obtemos dim U1+ dim U2− dim ΩF(−B)
= grau (A1+ B) + 1 − g + grau (A2+ B) + 1 − g − (grau B + g − 1)
= grau B + grau A1+ grau A2+ 3(1 − g)
Veja que como grau A1 + grau A2 + 3(1 − g) independe de B, podemos escolher B com
grauB sulfientemente grande de modo que
dim U1 + dim U2− dim ΩF(−B) > 0
Temos que U1∩ U2 6= {0}.
Vamos fazer uma liga¸c˜ao entre divisores e qualquer diferencial de Weil ω 6= 0. Fixando ω considere o conjunto de divisores
M (ω) := {A ∈ DF; ω zera em AF(A) + F }.
Lema 1.89 Seja ω ∈ ΩF e ω 6= 0. Ent˜ao existe um ´unico divisor W ∈ M (ω) tal que
Demonstra¸c˜ao 1.90 Pelo Teorema de Riemann existe uma constante c que depende apenas do corpo de fun¸c˜ao F |K com a propriedade i(A) = 0 para todos A ∈ DF e grau
A ≥ c. Seja A ∈ M (ω).
Como dim(AF/(AF(A) + F )) = i(A) (Teorema 1.79) e como dim(AF/(AF(A) + F )) ≥ 1
temos que grauA < c para todos A ∈ M (ω).
Veja dim(AF/(AF(A) + F )) ≥ 1 pois como ω 6= 0 temos que existe α ∈ AF tal que
ω(α) 6= 0. Assim α /∈ AF(A) + F da´ı existe α ∈ AF/(AF(A) + F ) tal que α 6= 0. Assim
dim(AF/(AF(A) + F )) ≥ 1.
Assim temos que o grau dos divisores de M (ω) ´e limitado superiormente. Logo podemos tomar W ∈ M (ω) que tem grau m´aximo. Suponha agora que existe um divisor A0 ∈ M (ω)
tal que A0 W , ou seja vQ(A0) > vQ(W ) para algum Q ∈ PF.
Afirmamos que W + Q ∈ M (ω). De fato considerando a adele α = (αP) ∈ AF(W + Q)
escrevendo α = α0+ α00 com α0P := αP para P 6= Q 0 para P = Q α00P := 0 para P 6= Q αQ para P = Q Ent˜ao α0 ∈ AF(W ) e α00 ∈ AF(A0), consequentemtente ω(α) = ω(α0) + ω(α00) = 0
logo ω zera em AF(W + Q) + F e assim W + Q ∈ M (ω). Mas veja que W + Q ≥ W , o
que d´a uma contradi¸c˜ao, pois grau (W + Q) ≥ grau (W )
Vamos provar as unicidade de W . Suponha que W, W0 ∈ M (ω) e satisfazem o lema.
Assim W ≤ W0 e W ≥ W0. Logo W = W0.
Defini¸c˜ao 1.91 a) O divisor (ω) da diferencial de Weil ω 6= 0 ´e o ´unico divisor de F |K satisfazendo
1) ω zera em AF((ω)) + F
2) Se ω zera em AF(A) + F ent˜ao A ≤ (ω)
b) Para ω ∈ ΩF, w 6= 0 e P ∈ PF definimos vP(ω) := vP((ω))
c) Um lugar P ´e dito um zero (respectivamente polo) de ω se vP(ω) > 0 (respectivamente
vP(ω) < 0). ω ´e chamado regular em P se vP(ω) ≥ 0 e ω ´e dito ser regular (ou holomor-
fico) se P ´e regular para qualquer lugar P ∈ PF
d) Um divisor W ´e chamado um divisor canˆonico de F |K se W = (ω) para algum ω ∈ ΩF
Observa¸c˜ao 1.92 Segue da defini¸c˜ao que
ΩF(A) = {ω ∈ ΩF; ω = 0 ou (ω) ≥ A}
e
ΩF(0) = {ω ∈ ΩF; ω ´e regular}
Demonstra¸c˜ao 1.93 Seja ω ∈ ΩF(A). Assim para α ∈ AF(A) + F temos ω(α) = 0,
logo temos A ≤ (ω). Assim ΩF(A) ⊂ {ω ∈ ΩF; ω = 0 ou (ω) ≥ A}. Se ω = 0, ent˜ao ω
zera em AF(A) + F e logo ω ∈ ΩF(A). Se ω 6= 0, (ω) ≥ A, e seja α ∈ AF(A) + F temos
que vP(α) + vP((ω)) ≥ vP(α) + vP(A) ≥ A. Da´ı α ∈ AF((ω)) + F o que implica que
ω(α) = 0. Assim {ω ∈ ΩF; ω = 0 ou (ω) ≥ A} ⊂ ΩF(A).
Se (ω) ≥ 0, ent˜ao vP((ω)) ≥ 0, ∀P ∈ PF. Logo ΩF(0) ⊂ {ω ∈ ΩF; ω ´e regular}. Por
outro lado se ω ´e regular temos vP((ω)) ≥ 0 para qualquer lugar P ∈ PF. Da´ı (ω) ≥ 0.
O que implica {ω ∈ ΩF; ω ´e regular} ⊂ ΩF(0).
Assim como pelo Lema 1.84 e da Defini¸c˜ao 1.76 temos
dim ΩF(0) = i(0) = dim 0 − grau 0 + g − 1 = g
Proposi¸c˜ao 1.94 a) Para x ∈ F , x 6= 0 e ω ∈ ΩF, ω 6= 0 temos (xω) = (x) + (ω).
b) Qualquer par de divisores canˆonicos de F |K s˜ao equivalentes.
Uma simples consequˆencia desta proposi¸c˜ao ´e que os divisores de F |K formam uma classe [W ] no grupo dos divisores CF. Esta classe ´e chamada de classe canˆonica de F |K.
Demonstra¸c˜ao 1.95 a) Se ω zera em AF(A)+F , ent˜ao j´a vimos que xω zera em AF(A+
(x)). Pelo item (a) da Defini¸c˜ao 1.91 temos que ω zera em AF((ω)) + F e logo xω zera
em AF((ω) + (x)). Assim (ω) + (x) ≤ (xω). Mas veja que
(xω) + (x−1) ≤ (x−1xω) = (ω) Combinando estas desigualdades temos que
(ω) + (x) ≤ (xω) ≤ −(x−1) + (ω) = (x) + (ω) Logo (xω) = (x) + (ω).
b) Seja W, V divisores canˆonicos. Logo W = (ω1) e V = (ω2). Mas pela Proposi¸c˜ao 1.87
temos que existe z ∈ F tal que ω2 = zω1. Assim
W − V = (ω1) − (ω2) = (ω1) − (zω1) = (ω1) − (z) − (ω1) = (z−1) ∈ PF
Logo W ∼ V .
Teorema 1.96 Seja A um divisor arbitr´ario e W = (ω) um divisor canˆonico de F |K. Ent˜ao a aplica¸c˜ao
µ : L(W − A) −→ ΩF(A)
x 7−→ xω
´
e um isomorfismo de K-espa¸co vetorial. Em particular i(A) = dim (W − A)
Demonstra¸c˜ao 1.97 Para x ∈ L(W − A) n´os temos (x) + W − A ≥ 0, assim (xω) = (x) + (ω) ≥ (A − W ) + W = A
e consequentemente temos que xω ∈ ΩF(A) (Observa¸c˜ao 1.92). Consequentemente µ est´a
bem definida. Veja que µ ´e linear pois se x, y ∈ L(W − A) e a ∈ K, ent˜ao µ(ax + y) = (ax + y)ω = axω + yω = aµ(x) + µ(y).
µ ´e injetiva pois para x, y ∈ L(W − A) e se µ(x) = µ(y), ent˜ao xω − yω = 0, da´ı (x − y)ω = 0 e como ω 6= 0 temos x − y = 0, ou seja x = y.
µ tamb´em ´e sobrejetiva pois considere o diferencial de Weil ω1 ∈ ΩF(A). Pela Proposi¸c˜ao
1.87, existe x ∈ F tal que ω1 = xω. Como
(x) + W = (x) + (ω) = (xω) = (ω1) ≥ A
temos que (x) + (W − A) ≥ 0, ou seja x ∈ L(W − A) e ω1 = µ(x). E assim temos
o isomorfismo de K-espa¸co vetorial entre L(W − A) e ΩF(A). Consequetemente temos
dim ΩF(A) = dim (W − A). Pelo lema 1.84 temos que dim (W − A) = i(A).
Com este resultado demostraremos o Teorema de Riemann-Roch, o qual ´e um dos teore- mas mais importantes da teoria de Corpos de Fun¸c˜oes Alg´ebricas.
Teorema 1.98 Teorema de Riemann-Roch
Seja W um divisor canˆonico de F |K. Ent˜ao, para qualquer divisor A ∈ DF temos
dim A = grau A + 1 − g + dim (W − A)
Demonstra¸c˜ao 1.99 Como i(A) = dim A − grau A + g − 1 e pelo Teorema 1.96 temos que
dim (W − A) = i(A) = dim A − grau A + g − 1 ou seja
dim A = grau A − g + 1 + dim (W − A)
Corol´ario 1.100 Para um divisor canˆonico W , n´os temos grau W = 2g − 2 e dim W = g Demonstra¸c˜ao 1.101 Para A = 0 e pelo Lema 1.54 temos que
dim 0 = grau 0 − g + 1 + dim W ou seja
dim W = dim 0 + g − 1 = g Tomando A = W , temos
g = dim W = grau W − g + 1 + dim (W − W )
Do Teorema de Riemann sabemos que existe uma constante c tal que para grauA ≥ c, ent˜ao temos i(A) = 0. Poderemos saber agora mais precisamente como escolher esta constante
Teorema 1.102 Se A ´e um divisor de F |K de grauA ≥ 2g − 1 ent˜ao
dim A = grau A + 1 − g ou seja i(A) = 0
Demonstra¸c˜ao 1.103 Pelo Teorema de Riemann-Roch temos que dim A = grau A + 1 − g + dim (W − A) onde W ´e um divisor conˆonico. Como grau A ≥ 2g − 1 e grau W = 2g − 2. Temos que grau (W − A) = 2g − 2 − 2g + 1 = −1 < 0. Segue pelo Corol´ario 1.65 que
dim (W − A) = 0. E assim dim A = grau A + 1 − g.
Observe que a limita¸c˜ao do Teorema 1.102 ´e a melhor poss´ıvel uma vez que para um divisor canˆonico W que tem grau W = 2g − 2 temos dim W > grau W + 1 − g