Na se¸c˜ao sobre o Teorema de Riemann-Roch, consideramos a diagonal F ,→ AF como
aplica¸c˜ao que leva x ∈ F na adele pricipal de x em AF. Agora introduziremos a defini¸c˜ao
de que para qualquer lugar P ∈ PF, o mergulho iP : F ,→ AF.
Defini¸c˜ao 1.126 Seja P ∈ PF
a) Para x ∈ F seja iP(x) ∈ AF a adele principal onde a P -componente ´e x e o restantes
dos componentes ´e 0.
b) Para uma diferencial de Weil ω ∈ ΩF definimos a componente local ωP : F −→ K
como sendo ωP(x) := ω(iP(x)).
Claramente temos que ωP ´e uma aplica¸c˜ao K-linar pois seja ωP(ax + y) = ω(iP(ax + y)) =
ω(aiP(x) + iP(y)) = aω(iP(x)) + ω(iP(y)) = aωP(x) + ωP(y)
Proposi¸c˜ao 1.127 Seja ω ∈ ΩF e α = (αP) ∈ AF. Ent˜ao ωP(αP) 6= 0 para uma
quantidade finita de lugares P e
ω(α) = X
P ∈PF
ωP(αP)
Em particular P
Demonstra¸c˜ao 1.128 Podemos assumir ω 6= 0 e o divisor W := (ω). Assim existe um conjunto finito S ⊂ PF tal que vP(W ) = 0 e vP(αP) ≥ 0 para todos P /∈ S. De
fato, pois temos que W = Pr
i=1niPi. Assim tomando S
0 = supp(W ) que ´e um conjunto
finito. Temos tamb´em que αP ∈ O/ P para uma quantidade finita de αP. Da´ı existe uma
quantidade finita de P satisfazendo vP(αP) < 0, chamemos o conjunto de tais P de S00.
Assim tomamos S = S0∩ S00. Definindo β = (β
P) ∈ AF tal que
βP :=
αP se P /∈ S
0 se P ∈ S
Vejamos que β ∈ AF(W ) pois se P /∈ S ent˜ao vP(β) + vP(W ) = vP(βP) + vP(W ) ≥ 0 e
se P ∈ S ent˜ao vP(β) + vP(W ) = vP(0) + vP(W ) = ∞ ≥ 0.
Temos tamb´em que α = β +P
P ∈SiP(αP). Do fato de β ∈ AF(W ) temos que ω(β) = 0
(Defini¸c˜ao 1.91) e da´ı temos ω(α) =P
P ∈SωP(αP).
Se P /∈ S, ent˜ao iP(αP) ∈ AP(W ) pois vP(iP(αP)) + vP(W ) ≥ 0. Se Q 6= P ent˜ao
vQ(iP(αP)) + vQ(W ) = vQ(0) + vQ(W ) = ∞ ≥ 0. Consequentemente se P /∈ S ent˜ao
ωP(αP) = 0. Dai temos que
ω(α) = X
P ∈PF
ωP(αP)
Em particular temos que 0 = ω(1) =P
P ∈PF ωP(1).
Proposi¸c˜ao 1.129 a) Seja ω 6= 0 um diferencial de Weil de F |K e P ∈ PF. Ent˜ao
vP(ω) = max{r ∈ Z; ωP(x) = 0 para todos x ∈ F com vP(x) + r ≥ 0}
Em particular ωP 6= 0
b) Se ω, ω0 ∈ ΩF e ωP = ω0P para algum P ∈ PF, ent˜ao ω = ω0
Demonstra¸c˜ao 1.130 Lembrando que pela defini¸c˜ao temos que vP(ω) = vP(W ) com
W = (ω). Seja s := vP(ω). Para x ∈ F com vP(x) + s ≥ 0 temos que iP(x) ∈ AF(W )
pois vP(iP(x)) + vP(W ) ≥ 0 e para Q 6= P temos que vQ(iP(x)) + vQ(W ) = vQ(0) +
vQ(W ) = ∞ ≥ 0. Consequentemente temos que ωP(x) = ω(iP(x)) = 0 (Defini¸c˜ao 1.91).
Logo x ∈ {x ∈ F ; ωP(x) = 0 e vP(x) + r ≥ 0}. Suponha agora que ωP(x) = 0 para
qualquer x ∈ F satisfazendo vP(x) + s + 1 ≥ 0. Seja α = (αQ)Q∈PF ∈ AF(W + P ).
Ent˜ao α = (α − iP(αP)) + iP(αP). Vejamos que α − iP(αP) ∈ AF(W ) pois do fato de
α ∈ AF(W + P ) temos que vQ(α) + vQ(W ) + vQ(P ) ≥ 0 para qualquer Q ∈ PF. Logo
se Q 6= P temos que 0 ≤ vQ(α) + vQ(W ) + vQ(P ) = vQ(α − iP(αP)) + vQ(W ) + 0. E se
P = Q ent˜ao vP(α − iP(αP)) + vP(W ) = vP(0) + vP(W ) = ∞ ≥ 0. E ainda temos que
vP(αP) + s + 1 ≥ 0 pois 0 ≤ vP(α) + vP(W ) + vP(P ) = vP(αP) + s + 1. Consequentemente
ω(α) = ω(α − iP(αP)) + ω(iP(αP)) = ω(α − iP(αP)) + ωP(αP) = 0. Logo ω zera em
AF(W + P ). O que implica que W + P ≤ W (Defini¸c˜ao 1.91), o que ´e um absurdo.
Em particular ωP(x) 6= 0 para algum x ∈ F , pois dado r = vP(W ), ent˜ao para algum
x ∈ F com vP(x) + r < 0 teremos ωP(x) 6= 0.
b) Se ωP = ωP0 , ent˜ao (ω − ω 0)
P = 0. Mas assim teremos ω = ω0, pois se ω 6= ω0 ent˜ao
ω − ω0 6= 0 e temos (ω − ω0)
Novamente iremos trabalhar com o corpo de fun¸c˜oes racionais K(x). Usaremos as defini- ¸c˜oes da se¸c˜ao sobre corpo de fun¸c˜oes racionais para P∞, o divisor polo de x e Pa o divisor
zero de x − a (para a ∈ K). Da´ı segue o resultado.
Proposi¸c˜ao 1.131 Para um corpo de fun¸c˜oes racionais F = K(x) segue que: a) O divisor −2P∞ ´e canˆonico;
b) Existe um ´unico diferencial de Weil η ∈ ΩK(x) com (η) = −2P∞ e ηP∞(x
−1) = −1;
c)O componente local ηP∞ respectivamente ηPa da diferencial de Weil η satisfaz
ηP∞((x − a) n) = 0 paran 6= −1 −1 paran = −1 ηPa((x − a) n) = 0 paran 6= −1 1 paran = −1
Demonstra¸c˜ao 1.132 a) Da Proposi¸c˜ao 1.33 temos que grau P∞ = 1 e da Proposi¸c˜ao
1.108 item 2 temos que para o corpo de fun¸c˜oes racionais o g = 0. Logo grau (−2P∞) =
−2 = 2g − 2. E do fato de grau (−2P∞) < 0 temos que dim (−2P∞) = 0 = g. Logo da
Proposi¸c˜ao 1.106 temos que o divisor −2P∞ ´e canˆonico.
b) Escolha um diferencial de Weil ω com divisor (ω) = −2P∞. Ent˜ao ω zera em
AK(x)(−2P∞), mas n˜ao zera em AK(x)(−P∞) pois −2P∞< −P∞.
Como dim (AK(x)(−P∞)/AK(x)(−2P∞)) = grau (−P∞) − grau (−2P∞) = 1 (Passo 1 da
demonstra¸c˜ao do Teorema 1.79) e iP∞(x −1) ∈ A K(x)(−P∞)\AK(x)(−2P∞) pois se P = P∞ ent˜ao vP(iP∞(x −1))+v P(−P∞) = 1−1 ≥ 0 e se P 6= P∞ent˜ao vP(iP∞(x −1))+v P(−P∞) ≥ 0 e iP∞(x −1) /∈ A K(x)(−2P∞) pois vP∞(iP∞(x −1)) + v P∞(−2P∞) = 1 − 2 = −1 < 0. Da´ı conluimos que ωP∞(x −1) = ω(i P∞(x −1)) = c 6= 0 (??)
Tomando η := −c−1ω, temos que (η) = −2P∞ e ηP∞(x
−1) = −c−1c = −1.
Vejamos que η ´e ´unico pois se existisse η∗ com as mesmas propriedades de η, ent˜ao η − η∗ zera em AK(x)(−P∞) (??) o que implica que η − η∗ = 0 (??)
c) Como a diferencial de Weil zera nas adeles principais ent˜ao pela Proposi¸c˜ao 1.127 ent˜ao 0 = η((x − a)n) = X
P ∈PF
ηP((x − a)n). (32)
Para P 6= P∞ e P 6= P a temos que vP((x − a)n) = 0 e vP(η) = vP(−2P∞) = 0. Assim
0 = max{r ∈ Z; ηP(x) = 0 para todos x ∈ K(x) com vP(x) + r ≥ 0}. Da´ı temos que
η((x − a)n) = 0. Logo da equa¸c˜ao 32 temos que ηP∞((x − a)
n) + η
Pa((x − a)
n) = 0 (33)
No caso em que n ≤ −2 temos que vP∞((x − a)
n) ≥ 2 da´ı temos que
−2 = vP∞(η) = max{r ∈ Z; ηP∞(x) = 0 para todos x ∈ K(x) com vP∞(x) + r ≥ 0}
Da´ı ηP∞((x − a)
n) = 0 e da equa¸c˜ao 32 temos que η
P∞((x − a)
n) = 0.
Se n ≥ 0, ent˜ao vPa((x − a)
n) ≥ 0. Assim temos
e consequentemente temos que ηPa((x − a)
n) = 0 e pela equa¸c˜ao 32 temos η
P∞((x − a)
n) =
0.
Considerando agora o caso em que n = −1 temos que x−a1 = x(x−a)a + x1 e do fato de iP∞ a x(x−a) ∈ AK(x)(−2P∞). Da´ı ηP∞((x − a) −1) = η P∞((x) −1) = −1 e pela equa¸c˜ao 32 temos que ηPa((x − a) −1) = 1.
2
C´odigos Geom´etricos de Goppa
Neste cap´ıtulo descreveremos a constru¸c˜ao dos c´odigos corretores de erros de Goppa uti- lizando corpos de fun¸c˜oes alg´ebricas. Come¸caremos falando dos conceitos da teoria da codifica¸c˜ao. Ent˜ao definiremos os c´odigos geom´etricos de Goppa e veremos suas pro- priedades.
2.1
C´odigos
Vamos introduzir algumas nota¸c˜oes b´asicas da teoria da codifica¸c˜ao. Seja Fq um corpo
finito com q elementos. Vamos considerar o espa¸co vetorial Fn
q de dimens˜ao n cujos
elementos s˜ao as n-´uplas a = (a1, . . . , an) onde ai ∈ Fq.
Defini¸c˜ao 2.1 Para a = (a1, . . . , an) e b = (b1, . . . , bn) ∈ Fnq seja
d(a, b) := |{i; ai 6= bi}|
A fun¸c˜ao d ´e chamada de distˆancia de Hamming em Fnq. O peso de um elemento a ∈ Fnq ´
e definido como
w(a) := d(a, 0) = |{i; ai 6= 0}|.
A distˆancia de Hamming ´e uma m´etrica em Fnq de f´acil verifica¸c˜ao. Defini¸c˜ao 2.2 Um c´odigo C (sobre o alfabeto Fn
q) ´e um subespa¸co linear de Fnq. Os
elementos de C s˜ao chamados de palavras do c´odigo. Chamamos n o comprimento de C e dim C (como Fnq-espa¸co vetorial) a dimens˜ao de C.
Um c´odigo [n, k] ´e um c´odigo de comprimento n e dimens˜ao k. A distˆancia m´ınima d(C) de um c´odigo C 6= 0 ´e definido
d(C) := min{d(a, b); a, b ∈ C, a 6= b}
Como d(a, b) = d(a − b, 0) = w(a − b) e C ´e um espa¸co linear a distˆancia m´ınima ´e equivalente a
d(C) = min{w(c), c ∈ C, c 6= 0}
Um c´odigo [n, k] com distˆancia m´ınima d ser´a dito como um c´odigo [n, k, d]. A distribui¸c˜ao do peso de um c´odigo [n, k] ´e a (n + 1)-´upla A0, . . . , An ∈ Nn+10 . Claramente temos que
A0 = 1 e Ai = 0 para 1 ≤ i ≤ d(C) − 1. O polinˆomio WC(X) :=
Pn
chamado de enumerador de peso de C.
Para um c´odigo C com distˆancia m´ınima d = d(C), definimos t := d−12 (onde [X] denota a parte inteira de um n´umero X). Da´ı dizemos que C corrige t erros. Veja que se u ∈ Fn
q e d(u, c) ≤ t para algum c ∈ C, ent˜ao c ´e a ´unica palavra c´odigo satisfazendo
d(u, c) ≤ t. De fato, suponhamos que existe c0 ∈ C e c0 6= c tal que d(u, c0) ≤ t, da´ı
d(c, c0) ≤ d(c, u) + d(c0, u) ≤ 2t ≤ d − 1. Da´ı um absurdo por d(c, c0) ≥ t.
Uma simples maneira de descrever um espec´ıfico c´odigo C ´e descrever sua base (como Fnq-espa¸co vetorial).
Defini¸c˜ao 2.3 Seja C um c´odigo [n, k] sobre Fq, uma matriz geradora de C ´e a matriz
k × n, cujos linha seja uma base de C.
Defini¸c˜ao 2.4 O produto interno canˆonico em Fn
q ´e definido por < a, b >=
Pn
i aibi para
a = (a1, . . . , an) e b = (b1, . . . , bn) ∈ Fnq.
Defini¸c˜ao 2.5 Se C ⊂ Fnq ´e um c´odigo, ent˜ao C⊥ := {u ∈ Fnq; < u, c >= 0, ∀c ∈ C} ´e chamado de o c´odigo dual de C.
C ´e chamado de auto dual se C = C⊥ e C ´e chamado de auto ortogonal se C ⊂ C⊥. Da ´algebra linear temos que o dual de um c´odigo [n, k] ´e um c´odigo [n, n−k] e (C⊥)⊥ = C. Em particular a dimens˜ao de um c´odigo auto dual de comprimento n ´e n/2.
Defini¸c˜ao 2.6 A matriz geradora H de C⊥ ´e dita a matriz de checagem de paridade de C.
Claramente temos que a matriz checagem de paridade de um c´odigo C ´e uma matriz (n − k) × n. Temos ainda que
C = {u ∈ Fnq; H · u t= 0}
(onde ut denota a transposta do vetor u).
Consequentemente a matriz checagem de paridade checa se um vetor u ∈ Fn
q ´e uma
palavra c´odigo ou n˜ao. Um dos problemas b´asicos na teoria dos c´odigos alg´ebricos ´e construir (sobre um alfabeto Fn
q) c´odigos cujas dimens˜ao e a distˆancia m´ınima s˜ao grandes
em rela¸c˜ao ao comprimento.
Proposi¸c˜ao 2.7 Limite de Singleton
Para um c´odigo [n, k, d] temos que k + d ≤ n + 1.
Demonstra¸c˜ao 2.8 Considere o subespa¸co linear W ⊂ Fn
q dado por
W := {(a1, . . . , an) ∈ Fnq; ai = 0 para todos i ≥ d}.
Da´ı ∀a ∈ W teremos w(a) ≤ d − 1 (Por constru¸c˜ao de W ), logo W ∩ C = {0}. Como dim W = d − 1 temos que
k + d − 1 = dim C + dim W
= dim (C + W ) + dim (C ∩ W ) = dim (C + W ) + dim {0} ≤ n.
C´odigos satisfazendo k + d = n + 1 tem seus parametros otimizados. Tais c´odigos s˜ao chamados c´odigos MDS (c´odigos separados pela m´axima distˆancia). Se n ≤ q + 1, existem c´odigos MDS sobre Fq para todas as dimens˜oes k ≤ n (Isto ser´a mostrado mais adiante).
O limite de Singleton n˜ao faz considera¸c˜oes ao tamanho do alfabeto. Outros limitantes superiores para os parametros k e d s˜ao conhecidos. (Estes envolvem o comprimento n do c´odigo e o tamanho q do alfabeto). Eles s˜ao t˜ao eficientes quanto o limite de Singleton se n ´e grande com respeito a q. Em geral, um problema dif´ıcil ´e obter o limite para a distˆancia m´ınima de um c´odigo dado. (Ou de uma classe de c´odigos).
Apenas para uma pequena classe de c´odigos tais limites s˜ao conhecidos, por exemplo os c´odigos BCH, os c´odigos cl´assicos de Goppa ou os c´odigos dos res´ıduos quadr´aticos. Uma das raz˜oes pelo interesse nos c´odigos de Goppa ´e que esta ´e uma grande classe de c´odigos que tem bons limites inferiores para a distˆancia m´ınima e que ainda ´e pass´ıvel calcular.