CAPÍTULO 3: PSICOLOGIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CULTURA:
3.1. Algumas pesquisas sobre psicologia, cognição e matemática
O agrupamento de alguns temas que tratam a psicologia junto à cognição e à matemática favorecem o entendimento de uma conciliação à primeira vista difícil, pela natureza científica dos problemas trabalhados em cada disciplina de forma distinta. No entanto, pensei na psicologia como conhecimento ordenador dos demais por se fazer presente junto à matemática e às neurociências no estudo cognitivo. De certa forma,
ela abre caminho à inserção dos demais assuntos e problemas abordados, quando há estudos relevantes sendo realizados.
Na psicologia existe um despertar para o entendimento, com a intenção de estudar, por exemplo, como o pensamento humano atinge a razão dos significados, indo além da aparência das coisas. Há um desejo de observar e analisar o que e como se pensa, se o pensamento é organizado ou não, se ele prima por um significado mais sensível ou inteligível.
Alguns autores apresentam a ideia sobre o inteligível de forma radicalmente racional, outros apresentam uma possibilidade de discussão do mesmo como sendo oriundo de matriz sensitiva, que se fragmenta ou deriva em composições que vão de encontro a um arranjo que prima pela racionalidade. Muitos são os matemáticos e educadores matemáticos que estudaram esse jogo de relações quanto à arte e a psicologia, buscando como elementos de referência o conhecimento do acervo de produção acadêmica e de pesquisas no que tange ao sentido de pensamento cognitivo e raciocínio matemático.
O estado da arte que aponto como subtítulo deste capítulo não segue o esboço tradicional ou heurístico21, porque lanço reflexões e abordo alguns aspectos filosóficos tratados nos capítulos anteriores, exatamente em função do que expliquei no início deste capítulo: o tratamento do tema da tese abrange fronteiras de conhecimentos. Em função disso, remeto-me à discussão da tese a partir de uma orientação epistemológica e filosófica. Isso posto, não apresento relações e listagens de autores, como os típicos levantamentos sobre o estado da arte de um assunto qualquer, mas uma explicação textual que vai permeando as abordagens feitas pelos autores de trabalhos publicados e de pesquisas (teses e dissertações).
Algumas concepções epistêmicas, metodológicas e filosóficas cortam transversalmente as discussões apresentadas, como venho fazendo até aqui, no sentido de atingir o que foi proposto no Capítulo 2 (Apêndice 5), que é abordar os assuntos em uma perspectiva de não restrição de limites de conhecimentos, sem perder de vista a unidade de orientação das argumentações, para poder alcançar integramente o resultado da tese.
21 A heurística constitui-se de procedimentos de sistematização de um determinado assunto em uma
pesquisa. No dizer de Severino (2007, p. 134), é “a ciência, técnica e arte de localizar e levantar documentos”.
Entre os temas de pesquisa encontrados, no âmbito da psicologia relacionada à matemática e à educação matemática, procurei analisar alguns em particular, promovendo uma organização em itens menores, a partir da convergência da sua discussão e que serão melhor entendidos pela sua similaridade. Dos temas de dissertações e teses que são de meu interesse, encontrei: Estudos de psicologia (a); Estudos de psicologia e matemática (b); Estudos de psicologia e educação (c); Estudos de psicologia e educação matemática (d); Estudos de psicologia relacionados a outros conhecimentos (e).
Foi necessário um olhar muito cuidadoso sobre estes trabalhos, já que a minha discussão é plural, em termos de assunto ou de abordagem, mesclando psicologia e educação matemática. Preocupei-me em ler o resumo de cada um, depois os elementos de projeto (principalmente objetivos e metodologia), um olhar sobre a pesquisa realizada (sujeitos, objeto de estudo, universo da pesquisa), resultados e análise das mesmas, contemplando ao final, a sua conclusão.
Outro aporte necessário e também reflexivo que fiz, foi sobre a fundamentação teórica desses autores, onde permeiam estudos sobre o estado da arte da discussão dos assuntos – psicologia, cultura e matemática e educação matemática. Muitas dessas indicações e fontes trabalhadas por eles me serviram de investigação, possibilitando a obtenção de novas fontes de interesse primário ou secundário.
Destaco a seguir, entre os que li, alguns trabalhos que tratam sobre psicologia e sobre psicologia e matemática, que são relevantes à minha pesquisa:
a) Estudos de psicologia:
O primeiro estudo de relevância que estou utilizando no trato com o sujeito da tese, especialmente na análise dos resultados da pesquisa, é o trabalho de Achilles Delari Júnior (2000), intitulado Consciência e linguagem em Vygotsky: Aproximações
ao debate sobre a subjetividade, que trabalha um debate sobre a subjetividade como
processo material na atividade humana, sendo estudada a consciência e a linguagem segundo Vygotsky, “tomando as relações sociais como seu princípio explicativo” (p. v). O autor apresenta na discussão tratada um foco com relação à explicação materialista e histórico-dialética da relação de poder na sociedade capitalista, mas o foco principal é em torno do debate histórico-cultural sobre a contribuição de Lev Semenovitch Vygotsky (1896-1934), especialmente sobre as relações sociais constituídas em torno
da formação da consciência do sujeito. Atua nesse processo um importante requisito considerado por ele, que é “o papel dos aspectos inconscientes e/ ou não-conscientes na dinâmica da subjetividade” (p. 17).
Tomando a consciência como objeto de estudo, o autor baseia-se em Vygotsky, para afirmar que a “atividade da consciência implica um processo auto-reflexivo”, pois não é possível nos tornarmos conscientes de funções que ainda não nos apropriamos, por isso, a consciência de qualquer função mental só pode surgir num estágio tardio do seu desenvolvimento, após ter sido vivida e praticada “inconsciente e espontaneamente” (p. 83). O emprego do termo por ele, é feito no sentido da percepção da atividade da mente, que é a própria atividade consciente, e que pode ter rumos diferentes, explicando apenas alguns aspectos de um pensamento ou de um ato. Constitui “um conceito cognoscitivo que está em jogo – uma capacidade de distanciamento com relação a própria situação, que permite ao mesmo tempo, captá-la de um modo mais „completo‟ – mais plenamente consciente” (p.85).
Ele assume o fato de que a consciência é inerente ao homem e à vida, por isso, histórica e cultural, na abordagem de conhecimento histórico-cultural, mas se diz preocupado com o “papel cognoscitível da consciência” (p. 79-80).
Para Vygostsky, a questão da consciência é indissociável da questão da linguagem, pois como “temas inalienáveis”, constituem uma relação que perfaz uma “especificidade da condição humana” (p. 19). Quanto ao trato com o sujeito artesão na minha pesquisa, esse aspecto é relevante e será retomado, com ênfase ao debate a respeito da consciência, no sentido de que ela possa estar refletindo para o sujeito a consciência do pensar ou do raciocínio matemático. Isso acompanha a discussão principal da tese, que é a presença de um raciocínio matemático constatado ou indicado por teoremas e conceitos em ato.
O desenvolvimento cognitivo se dá por assimilações conscientes ou não, aprendidas por um indivíduo, na medida que amadurece um dado conhecimento em seu convívio social. Essa noção, que Delari Júnior aborda e reflete no pensamento de Vygotsky, é também a base de conhecimento em Piaget, podem ser estendidos a análises de sujeitos escolarizados ou não.
Outro trabalho que discute esse aspecto cognitivo no âmbito escolar, é a dissertação de Josete Gomes (1998)22, que trabalha a Construção de coordenadas
espaciais, psicomotricidade e desempenho escolar. A autora desenvolveu a pesquisa,
tendo como sujeitos alunos do ensino fundamental, da rede pública, envolvendo testes sobre aritmética e escrita, obtendo resultados que qualificaram os desempenhos dos sujeitos (em grupos) quanto ao desenvolvimento cognitivo e quanto à motricidade.
A sustentação teórica é o desenvolvimento cognitivo na teoria de Piaget, com atenção especial à construção da estrutura espacial pela criança, experimentada pela autora através de testes com materiais concretos, e de orientação espacial, como a realização de movimentos corporais em relação a objetos. Esta percepção sobre a espacialidade é de meu interesse quanto a uma análise do trabalho do sujeito na minha tese, já que o artesão se expressa tanto pelas representações físicas que faz nos objetos, como pelo trabalho que executa (motricidade e orientação espacial).
Em virtude do que foi expresso, também o trabalho de Valente (2001), interessa exatamente por contemplar no desenho figurativo, as formas de representação espacial que permitiram aos sujeitos (crianças do ensino fundamental) desempenhar tarefas orientadas. Essa autora, assim como a anterior, toma por base a psicologia genética de Piaget, privilegiando os “aspectos referentes à formação da imagem mental e à construção do espaço representativo, ambos presentes no desenho figurativo da criança” (p. 4), para obter discussões e resultados expressivos quanto a relações topológicas, relações euclidianas e relações projetivas nos registros das crianças.
A autora trabalha a construção de uma figura (paisagem) com crianças e obtém delas representações planas e tridimensionais, que permitem identificar os diferentes estádios cognitivos dos sujeitos, como define Piaget. As interpretações e ideias saem do referencial de concretude para assumir uma significação mental percebida nas suas representações, que vêm em resposta ao estímulo (figura solicitada).
Essas propostas apontadas pela teoria piagetiana, usadas pela autora, favorecem o estudo de fenômenos nos quais se tenha a expressão de linguagem junto à execução de tarefas práticas e cognitivas, e fazem ver como possíveis e viáveis
22 Essa pesquisa foi inserida nesse sub-item, por contemplar como assuntos o desenvolvimento
cognitivo, o movimento e a capacidade motora, que aliás, são as primeiras palavras-chaves que a autora indica. Cf. GOMES, Josete Dantas Germano. Construção de coordenadas espaciais,
psicomotricidade e desempenho escolar. Campinas (SP): Universidade Estadual de Campinas/
outras relações de conhecimento, como é o caso da psicologia, da arte (desenho) e da matemática.
O sub-item a seguir expõem algumas pesquisas de psicologia e matemática, que da mesma forma que as que foram até aqui representadas, condizem à sua possibilidade de subsídio na presente tese.
b) Estudos de psicologia e matemática
A tese de doutorado de Andréa Guerra (2007), da Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ, na área de teoria psicanalítica, é importante ser considerada em minha pesquisa, pois trabalhou a “estabilização psicótica via criação artística ou artesanal”, prescindindo da escrita. Como fundamentação teórica principal, utilizou Freud e Lacan, desenvolvendo o estudo do inconsciente freudiano, através da proposta do nó borromeu23, um aperfeiçoamento matemático da geometria projetiva (topologia dos nós) adaptado por Lacan, na década de 1970, tomado como referência de normalidade, mostrando que “a qualquer sujeito é impossível tudo representar, tudo dizer. Esse elemento (...) exige, de cada um, uma solução única para atar os três registros, Real, Simbólico e Imaginário conformando sua realidade para se escrever como singularidade radical” (p. 12-13).
Lacan abriu um novo campo de investigação, ao trazer a topologia dos nós (matemática) para o interior da teoria psicanalítica, ainda que esse estudo topológico estivesse em sua pré-história matemática naquele período. Ao equivaler a amarração real do nó borromeu ao sujeito do inconsciente, ele apresentou aos psicanalistas nova ferramenta teórico-clínica, para uso mais concreto ou real da clínica, utilizando a topologia da superfície com a banda de Moebius, a garrafa de Klein e o cross-cap, com os nós, especialmente com os nós borromeanos. Perante os sujeitos, Lacan afirmava
mostrar o real, no sentido de perceber a sua possibilidade perceptiva de consciência.
A autora aplicou a proposta lacaniana, de trabalhos de criação de peças artesanais (escultura, trançado e pintura) com sujeitos clínicos, articulando isso com a
23 Para Lacan, o principio do nó borromeano é trabalhado a partir da geometria projetiva, de base
cartesiana, onde se associam linhas e círculos, em diferentes combinações. As formas se associam, se atravessam, se cruzam e se articulam diferentemente, e com isso, ele constrói uma suplência à continuidade/ descontinuidade ai imposta, no momento em que as retas (formas abertas) e círculos (formas fechadas) se sobrepõem, podendo se transformar em formas que se abrem ou se fecham. Uma analogia possível, é a geometria que subsiste da relação sexual (GUERRA, 2007, p. 173).
sua escrita. O trabalho foi feito a partir do real, no jogo com seu gozo, onde há suplências que operam os significados simbólico e imaginário do mesmo, que passam a ser nomeados e a receber nós, que permitam verificar se o inconsciente está atado ou não ao real. A verificação é feita por registros de pesquisa e onde eles se cruzam, há relações possíveis de serem niveladas e analisadas.
Ao trabalhar um nivelamento de atividades utilizado por Lacan, a autora inicia das práticas artesanais mais simples às mais complexas, “como o trabalho de trançar das mulheres artesãs ou dos artesãos que fazem tapetes” (p. 16). Lacan evoca Descartes, exatamente ao introduzir os nós e as tranças, que às relações trabalhadas nas obras artesanais e artísticas realizadas, correspondem à sua verificação quanto à construção de relações no âmbito da psicanálise. Ao lado disso, ele utilizou a geometria projetiva24, baseada na teoria fundamental da perspectiva geométrica, que se expandiu por um pequeno grupo de matemáticos franceses motivado por Gerard Desargues, que publicou um tratado original sobre seções cônicas, difundindo ideias sobre projeção. Esse trabalho, porém, foi ignorado e esquecido pelos matemáticos da época e todas as suas publicações desapareceram.
O que os levou a essa falta de interesse sobre o trabalho de Desargues, foi a geometria analítica (introduzida dois anos antes por René Descartes) e a termologia excêntrica do próprio Desargues. Mas o geômetra Michel Chasles conseguiu resgatar esse trabalho, ao escrever sobre a história da geometria, pois encontrou uma cópia manuscrita do estudo de Desargues, feita por um de seus seguidores, fazendo com que seu trabalho fosse reconhecido como um dos clássicos no desenvolvimento da geometria projetiva.
Lacan coloca a Matemática a serviço de seu trabalho teórico, utilizando-a não apenas como ilustração, mas dela extrai aportes que lhe permitem forjar seus conceitos clínicos. A “topologia lacaniana” apresenta um esforço constante em afirmar a incapacidade do plano de três dimensões em dar conta do sujeito do inconsciente, invertendo a topologia algébrica, que trabalha os nós a partir do espaço, e fundando o espaço a partir dos nós, que já era sugerido pela garrafa de Klein no plano projetivo.
24 A geometria projetiva surgiu na arte da época do Renascimento (séculos XV e XVI), para proporcionar
às pinturas a forma real dos objetos retratados, no sentido de acompanhar as distorções e deformações visuais naturais de aproximação e afastamento, de modo que as pessoas os identificassem sem dificuldade, o que levou os artistas a estudar as leis que determinavam a construção dessas projeções (GUERRA, 2007, p. 142).
A banda ou faixa de Moebius explicita topologicamente um sentimento que a linguagem deixa inconsciente no texto, uma incomodação inconsciente manifestada pelo sujeito, havendo estatutos topológicos diferentes, mas intrinsecamente articulados. É nesse sentido que Lacan critica a geometria euclidiana como insuficiente com suas três dimensões (ponto = dimensão zero, reta = dimensão dois, espaço ou volume = dimensão três) para dar conta da experiência do inconsciente. É preciso um plano projetivo que permita operações psicanalíticas, impossíveis para a geometria clássica.
Lacan recorre às noções de vizinhança e de ponto de acumulação para evidenciar quanto a topologia, com um senso de continuidade / descontinuidade influencia a imaginação. Essas noções são conceitos que surgem na Matemática dos números e dos planos complexos, acrescentando aos números reais e ao plano cartesiano a possibilidade de continuidade antes inexistente. “Foi através do uso e da compreensão dos números complexos que certos „defeitos‟ existentes no conjunto dos números reais foram „consertados‟, ampliando o campo do raciocínio matemático ao inserir nele as continuidades” (GUERRA, op. cit., p.143).
A autora adota como criação artística o “sentido mais genérico de produção artesanal”, onde há transformação da matéria bruta. Há dois extremos encontrados no processo, que são o caso dos sujeitos que não conseguem transformar a matéria e o dos sujeitos que fazem “obras belíssimas”. Levando em conta que o caso mais comum é o dos sujeitos em via de estabilização, pois uns são mais afetados que outros pelo desequilíbrio psicótico, ela conclui que o tratamento clínico com oficinas de saúde mental através do artesanato, com a escrita como articuladora de sua solução, é um processo útil e muito eficiente no tratamento do psicótico.
O trabalho, no seu todo, tece uma relação da psicologia com a matemática através da arte, mas como aqui ela é considerada apenas um meio para o desenvolvimento do tratamento do sujeito, considerei-o como um estudo de psicologia e matemática. Como é um trabalho que utiliza a geometria topológica e geometria projetiva, pelo estudo de nós, remete de certa forma à análise do trabalho feito pelo sujeito oleiro, sendo posteriormente relevante à análise de resultados, feita no Capítulo 5, especialmente para efeito de analogia futura, e logicamente, sem considerar a utilização psicanalítica lacaniana, cuja direção diverge da abordagem que faço.
Considerando a forma de leitura do objeto artesanal feito por Guerra, é necessário adaptar a condição de utilização da geometria, sem a inserção do estudo de
nós borromeanos, apenas vendo aspectos específicos quanto à topologia e projetividade, acrescidos do entendimento com relação a operações aditivas, no âmbito da Teoria dos Campos Conceituais. Nos capítulos anteriores, já havia definido essa possibilidade, enquanto forma de entendimento do trabalho do artesão e do produto artesanal.
Outro trabalho relevante é a tese de doutorado de Gontijo (2007), que trata o tema Relações entre criatividade, criatividade matemática e motivação em matemática
de alunos do ensino médio, que é da área da psicologia mas trabalha a mesma em
relação ao ensino e à aprendizagem matemática. Ele procura estudar as práticas que favorecem a motivação e implementam o desenvolvimento da criatividade matemática, para isso, trabalhando como sujeitos alunos do ensino médio, em Brasília (DF), construindo as pontes de conhecimento que revelam as relações entre criatividade (em geral), motivação e criatividade matemática. Para constatar isso, faz um estudo de gênero com os alunos, utilizando testes de criatividade e motivação da área de psicologia.
Há um consistente referencial específico de psicologia, tendo o autor se detido mais na descrição dos elementos conceituais de criatividade e motivação matemática e no estudo dos métodos trabalhados (testes). Ao abordar a educação matemática, inicialmente vê mais o aspecto formal do ensino, como os Parâmetros Curriculares Nacionais para a educação matemática (PCNs/Matemática) e os dados avaliativos nacionais e internacionais sobre o ensino de matemática, através dos quais constata aspectos relevantes, que indicam uma necessária implementação do ensino, em termos de criatividade e motivação. Depois, trabalha as teorias francesas da didática da matemática, concepções muito influentes no Brasil, apresentando uma síntese sobre as ideias de importantes pensadores, como Gérard Vergnaud e Guy Brousseau; trabalha um pouco a visão de Ubiratan D‟Ambrosio e visões de outros educadores matemáticos, entretanto não aborda de forma mais ampla as tendências da educação matemática no Brasil.
Ao final, Gontijo indica “não haver diferenças significativas entre alunos dos gêneros masculino e feminino quanto às medidas de criatividade (...). Porém, os alunos do gênero masculino apresentaram desempenho superior (....) em relação à criatividade matemática” (p. 116-117). Quanto à motivação em relação à matemática, houve equilíbrio, mas encontrou no gênero masculino “uma percepção mais favorável
ao fator Hábitos de Estudo. Nos demais fatores não foram encontradas diferenças significativas” (p. 7).
O estudo de Gontijo tem valia com relação às informações que apresenta nos capítulos de construção e estado da arte, do que propriamente quanto aos resultados, pois não trabalho agora a questão de gênero, no entanto, servirá para reflexões posteriores, quanto aos aspectos afetivo e de criatividade em relação a atuação do artesão.
A dissertação de Marjúnia Klein (2009), trabalha a relação entre psicologia e educação matemática, ao trazer como tema O ensino da trigonometria subsidiado
pelas da aprendizagem significativa e dos campos conceituais, através da investigação
de conceitos prévios junto aos sujeitos (alunos da 2ª série do ensino médio), através de questionário, que serviu de “base para a construção e proposta de situações, nas quais, os alunos, de forma individual ou em pequenos grupos poderiam explicitar e construir novos conhecimentos” (p. 5). Trabalhou como procedimentos para identificar os conhecimentos em ação, registros oral e escrito dos conhecimentos prévios dos alunos, registros escritos de observações em sala de aula (situações-problema) e avaliação formais.
Ambas, Teoria da Aprendizagem Significativa (TAS), de David P. Ausubel, como Teoria dos Campos Conceituais (TCC), de Gérard Vergnaud, se caracterizam como teorias cognitivas voltadas à educação, sendo a última voltada à educação matemática.