trole operacionais correspondentes `as diretivas gerenciais, calculados previamente quando da constru¸c˜ao do modelo do gerente.
Embora o m´etodo acima dirija-se a um esquema de supervis˜ao hier´arquica de dois n´ıveis, este ´e v´alido tamb´em para hierarquias de v´arios n´ıveis. Primeiro porque de- comp˜oe-se o problema de controle de uma hierarquia de v´arios n´ıveis em problemas lo- cais para dois n´ıveis consecutivos. Segundo, porque o modelo para SEDs com marca¸c˜ao flex´ıvel ´e usado tanto para modelar o sistema do gerente quanto o do operador.
O m´etodo proposto foi implementado numa ferramenta computacional para controle hier´arquico de SEDs, vide apˆendice A.
5.6
An´alise de complexidade
Nesta se¸c˜ao apresenta-se a an´alise de complexidade para o m´etodo de supervis˜ao hier´arquica proposto.
Para a an´alise de complexidade, considere que o alfabeto Σ do operador possui e eventos, o sistema do operador S ´e representado por um autˆomato G com n estados, o conjunto de eventos relevantes Σr possui r eventos, sendo r ≤ e. Assume-se que o n´umero de estados vocais de G ´e limitado por n, o n´umero de estados de G. Analisa-se a complexidade em duas etapas, quais sejam, a constru¸c˜ao do sistema do gerente e a s´ıntese gerencial. A realiza¸c˜ao por supervisor no operador da pol´ıtica de controle sintetizada para o gerente n˜ao ´e considerada nesta an´alise. A raz˜ao para isso ´e que este passo consiste na aplica¸c˜ao, a partir das diretivas do gerente, das pol´ıticas de controle locais para os subsistemas do operador, calculadas previamente na constru¸c˜ao da estrutura de controle do gerente.
Primeiramente analisa-se a complexidade da constru¸c˜ao do sistema do gerente. Para o caso da consistˆencia hier´arquica, esta an´alise comporta a constru¸c˜ao do autˆomato e da estrutura de controle do gerente. A constru¸c˜ao do autˆomato do gerente corresponde a dois passos, como indicado no algoritmo 5.3. O primeiro passo ´e a proje¸c˜ao do autˆomato do operador no conjunto de eventos relevantes, opera¸c˜ao com complexidade
154 A constru¸c˜ao de hierarquias de controle consistentes para SEDs
O(n2) (Hopcroft e Ullmann 1979), resultando num autˆomato n˜ao determinista de at´e n
estados (tal como G0 no exemplo 5.5). O segundo passo ´e tornar o autˆomato resultante determinista, um procedimento com complexidade, no pior caso O(2n) (Hopcroft e Ullmann 1979), resultando num sistema com p estados, sendo p limitado por 2n. A constru¸c˜ao da estrutura de controle consiste numa seq¨uˆencia de testes para cada estado vocal de G, cada teste para verificar se um controle vocal ´e v´alido, vide algoritmo 5.2. O n´umero de testes para cada estado ´e limitado por 2r+1, uma vez que pode haver at´e r eventos para cada estado. Como no algoritmo 5.2 considera-se apenas o conjunto ativo de eventos relevantes para os estados, e o n´umero de eventos ativos para um dado estado ´e possivelmente menor que r, o n´umero de testes por estado ´e potencialmente menor que a estimativa acima. O teste de validade de um controle, corresponde um procedimento de s´ıntese de m´axima linguagem compat´ıvel seguido de alguns testes, vide algoritmo 5.3. Cada s´ıntese envolve um subsistema, com tamanho limitado por n estados, e uma especifica¸c˜ao constru´ıda pelo corte de transi¸c˜oes do referido subsistema, vide equa¸c˜oes (5.3) e (5.4). Assim, a complexidade de cada teste ´e O(en4), vide se¸c˜ao 4.3. Assim, a complexidade completa de constru¸c˜ao da estrutura
de controle ´e O(2r+1en5), sendo o tamanho do conjunto de controles para cada estado
do gerente limitado a 2r+1 controles.
Considere-se ent˜ao a complexidade da constru¸c˜ao do sistema do gerente para o caso da consistˆencia hier´arquica forte. Neste caso, a an´alise comporta as etapas de modifica¸c˜ao do mapa rep´orter para torn´a-lo determinista, a constru¸c˜ao do autˆomato, e a constru¸c˜ao da estrutura de controle. A modifica¸c˜ao do mapa rep´orter para torn´a-lo determinista ´e um procedimento que, para cada estado vocal de G, constr´oi a fun¸c˜ao de transi¸c˜ao do gerente, e modifica as etiquetas de eventos para tornar a fun¸c˜ao de transi¸c˜ao determinista, vide algoritmo 5.4. Ent˜ao, a complexidade deste procedimento ´e O(n2), a mesma que a constru¸c˜ao de n subsistemas. O sistema do operador resultante
possui n estados, mas o n´umero de eventos relevantes muda para q, limitado por n2r,
a corresponder a uma nova instˆancia de evento relevante para cada estado vocal. O n´umero de eventos do operador passa a ser e − r + q. A constru¸c˜ao do autˆomato
5.6 An´alise de complexidade 155
do gerente corresponde apenas `a proje¸c˜ao do autˆomato do operador modificado sobre o novo conjunto de eventos relevantes, sendo o autˆomato resultante j´a determinista. Assim, esta etapa possui complexidade O(n2), tendo o sistema resultante tamanho
limitado por n. A constru¸c˜ao da estrutura de controle do gerente ´e equivalente ao caso da consistˆencia hier´arquica pura. A diferen¸ca ´e que o n´umero de eventos relevantes ´e q e o n´umero de eventos do operador ´e e − r + q. A complexidade desta etapa fica sendo ent˜ao O(2nr+1(e − r + q)n5).
Para a an´alise da complexidade da s´ıntese gerencial, considera-se uma especifica¸c˜ao reconhecida por um autˆomato de m estados. Para o caso da consistˆencia hier´arquica, o procedimento de s´ıntese possui complexidade O(rp2m2), e o supervisor resultante
possui n´umero de estados limitado por pm. Para o caso de consistˆencia hier´arquica forte, a especifica¸c˜ao deve ser traduzida para as novas instˆancias de eventos relevantes criadas, uma opera¸c˜ao que corresponde a uma busca no espa¸co de estados a partir do estado inicial, modificando-se as etiquetas de transi¸c˜ao correspondentes, uma opera¸c˜ao de complexidade O(m) (Hopcroft e Ullmann 1979). Para este caso, a s´ıntese possui complexidade O(qn2m2), e o supervisor resultante possui espa¸co de estados limitado
por nm.
A tabela 5.1 traz um sum´ario das complexidades envolvidas no m´etodo de s´ıntese hier´arquica proposto.
Tabela 5.1: Complexidades para o m´etodo de s´ıntese hier´arquica.
Opera¸c˜ao ou tamanho do sistema Consistˆencia Consistˆencia hier´arquica hier´arquica forte Constru¸c˜ao do autˆomato do gerente O(2n) O(2n2)
N´umero de estados do autˆomato do gerente p ≤ 2n n N´umero de eventos no alfabeto do gerente r q ≤ n2r
Constru¸c˜ao da estrutura de controle do gerente O(2r+1en5) O(2q+1(e − r + q)n5)
S´ıntese gerencial O(rp2m2) O(qn2m2)
N´umero de estados do supervisor gerencial pm nm
Um dos problemas do m´etodo de supervis˜ao hier´arquica ´e o n´umero de estados potencial do autˆomato do gerente, que pode ser maior que o autˆomato do operador.
156 A constru¸c˜ao de hierarquias de controle consistentes para SEDs
Este problema decorre do procedimento de se tornar um autˆomato determinista e ´e comum a todas as abordagens de controle hier´arquico (Hopcroft e Ullmann 1979). Dentre os trabalhos pesquisados, Wong (1998) trata desta problem´atica. Segundo Wong (1998), o n´umero de estados do gerente ´e garantidamente menor que o n´umero de estados do operador quando o mapa rep´orter for um observador.
Um problema particular a esta abordagem ´e a complexidade exponencial do c´alculo da estrutura de controle do gerente, bem como o n´umero resultante de controles por estado. Prop˜oe-se ent˜ao uma estrat´egia para contornar esta complexidade. Ao inv´es de se calcular a estrutura de controle do gerente no momento da constru¸c˜ao do sis- tema, constr´oi-se apenas o autˆomato. Os conjuntos de controle s˜ao ent˜ao calculados concomitantemente aos procedimentos de s´ıntese em que se usa o sistema do gerente. A cada passo do procedimento de s´ıntese, vide algoritmo 4.1, pesquisa-se se um dado estado do gerente possui um dado controle. Consulta-se ent˜ao uma base de dados com a informa¸c˜ao dos controles para o referido estado do gerente, possivelmente incompleta. Se n˜ao for encontrado o controle desejado, recorre-se a um procedimento que verifica se este controle ´e v´alido para o estado do gerente. O procedimento requer que volte-se ao sistema do operador e fa¸cam-se testes se o controle ´e v´alido considerando-se todos os estados vocais correspondentes ao estado do gerente em quest˜ao, o teste corresponde ao exposto na proposi¸c˜ao 5.2. A resposta deste procedimento ´e se o controle ´e v´alido para o estado do gerente ou o maior controle v´alido para o referido estado que se apro- xime do controle desejado. A segunda resposta do procedimento corresponde `a busca do controle sub-´otimo na lista de controles do estado, feita no algoritmo 4.1. Por fim, atualiza-se a base de dados de controles para os estados do gerente com o resultado deste procedimento.
Finalmente, afirma-se que o m´etodo de s´ıntese hier´arquica ´e mais complexo que o procedimento de s´ıntese monol´ıtica para uma especifica¸c˜ao, por exemplo, para os parˆametros desta se¸c˜ao a complexidade do procedimento de s´ıntese monol´ıtica ´e
O(n2m2). Entretanto apontam-se duas vantagens potenciais. A primeira ´e que, para