O problema de controle supervis´orio

De forma geral, deseja-se que, em malha fechada o sistema atenda a certas restri¸c˜oes de funcionamento (Cury 2001). Por exemplo, pode ser que S admita seq¨uˆencias de eventos que sejam indesej´aveis por violarem uma condi¸c˜ao que deseja se impor ao sistema. Isso

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corresponde `a existˆencia de estados proibidos no autˆomato que representa S. Pode ser ainda o caso de palavras que violem o ordenamento desejado para os eventos, como por exemplo, a justi¸ca no acesso a recursos. Na abordagem RW, expressam-se as restri¸c˜oes de coordena¸c˜ao por interm´edio de uma linguagem-alvo K ⊆ LS,m, que exprime o comportamento desejado para o sistema em malha fechada. Neste ponto, introduz-se o problema de controle supervis´orio dentro da abordagem RW.

Defini¸c˜ao 2.1 (Problema de controle supervis´orio (PCS)) Dados um SED S e

uma linguagem-alvo K ⊆ LS,m, encontre um supervisor n˜ao bloqueante (f, Lm) para S

tal que ∅ ⊂ Lf /S,m⊆ K.

A formula¸c˜ao apresentada na defini¸c˜ao 2.1 corresponde a uma forma simplificada do PCS encontrada na literatura (Ramadge e Wonham 1989). Na defini¸c˜ao 2.1, requer-se apenas encontrar um supervisor n˜ao bloqueante tal que o comportamento resultante na supervis˜ao seja n˜ao vazio e atenda a K, a representar um comportamento desejado para o sistema. Em formula¸c˜oes mais detalhadas do PCS, define-se uma outra linguagem n˜ao vazia que representa um comportamento m´ınimo aceit´avel em malha fechada (Cury 2001). Introduz-se a seguir um conceito apresentado por Ramadge e Wonham (1989) que ´e utilizado na solu¸c˜ao do PCS.

Dados um SED S sobre um alfabeto Σ, com Σ particionado em Σc (eventos con- trol´aveis) e Σnc (eventos n˜ao control´aveis), e a linguagem K ⊆ LS, diz-se que K ´e control´avel em rela¸c˜ao a (e.r.a.) LS e Σnc se e somente se, para todo s ∈ K e σ ∈ Σnc, se sσ ∈ LS ent˜ao sσ ∈ K (Ramadge e Wonham 1989). Em palavras, K ´e control´avel e.r.a. LS e Σnc se e somente se, para qualquer prefixo s de uma palavra de K e evento n˜ao control´avel σ, se sσ ´e fisicamente poss´ıvel na planta, ent˜ao sσ ´e obrigatoriamente um prefixo de alguma palavra de K. De forma compacta, diz-se que K ´e control´avel e.r.a. LS e Σnc se e somente se

2.5 Abordagem Ramadge-Wonham (RW) 43

onde KΣnc = {sσ : s ∈ K e σ ∈ Σnc}. Quando est´a subentendido qual ´e o sistema em quest˜ao, diz-se simplesmente que a linguagem ´e control´avel. Observe que ∅ e LS s˜ao control´aveis (Ramadge e Wonham 1989).

Exemplo 2.4 (Linguagem control´avel (Cury 2001)) Seja a m´aquina de trˆes es-

tados no exemplo 2.3, com LS = (αβ + αλµ)∗(² + α + αλ). Considere a linguagem

K1 = (αλµ)∗. Escrevem-se:

K1 = (αλµ)∗(² + α + αλ) e

K1Σnc∩ LS = (αλµ)∗(αβ + αµ).

Observe que a palavra αβ n˜ao pertence ao prefixo de K1, ent˜ao, K1 ´e n˜ao control´avel

e.r.a. LS e Σnc. Considere agora a linguagem K2 = {αβ, αµ}. Escrevem-se:

K2 = {², α, αβ, αµ} e

K2Σnc∩ LS = {αβ, αµ}.

Ent˜ao, K2 ´e control´avel e.r.a. LS e Σnc.

Dados um SED S e uma linguagem K ⊆ LS,m, diz-se que K ´e realiz´avel por supervisor n˜ao bloqueante para S se existe um supervisor n˜ao bloqueante f para S tal que Lf /S,m = K. A proposi¸c˜ao 2.1 apresenta um resultado fundamental para a existˆencia de supervisores n˜ao bloqueantes que realizem uma dada linguagem.

Proposi¸c˜ao 2.1 (Existˆencia de supervisores (Wonham 2002b)) Dados um SED S sobre o alfabeto Σ e com conjunto de eventos n˜ao control´aveis Σnc ⊆ Σ, e uma

linguagem-alvo K ⊆ LS,m, existe um supervisor n˜ao bloqueante (f, Lm) para S tal que

Lf /S,m= K se e somente se K for control´avel e.r.a. LS e Σnc. Para uma linguagem K ⊆ LS,m, seja

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o conjunto das linguagens control´aveis e.r.a. LS e Σnc contidas em K. Em (Ramadge e Wonham 1989) prova-se que o conjunto C(LS,Σnc)(K) ´e n˜ao vazio e fechado em rela¸c˜ao

`a uni˜ao, possuindo assim um ´unico elemento supremo, a m´axima linguagem control´avel e.r.a. LS e Σnc contida em K, denotada sup C(LS,Σnc)(K). A proposi¸c˜ao 2.2 formaliza

a condi¸c˜ao de existˆencia de solu¸c˜ao para o PCS da defini¸c˜ao 2.1.

Proposi¸c˜ao 2.2 (Solu¸c˜ao do PCS (Wonham 2002b)) O PCS da defini¸c˜ao 2.1

possui solu¸c˜ao se e somente se sup C(LS,Σnc)(K) ⊃ ∅.

A linguagem sup C(LS,Σnc)(K) representa o comportamento menos restritivo poss´ıvel

que se pode realizar no sistema S para atender `a linguagem-alvo K. Qualquer que seja a linguagem K0 _{control´avel e.r.a. L}

S e Σnc tal que ∅ ⊂ K0 ⊂ sup C(LS,Σnc)(K), tem-se

que K0_{´e mais restritiva ao sistema que sup C}

(LS,Σnc)(K). Por outro lado, para qualquer

linguagem K00 _{tal que sup C}

(LS,Σnc)(K) ⊂ K00⊆ K, tem-se que embora K00atenda a K, K00_{n˜ao pode ser realizada por supervisor n˜ao bloqueante para S. Assim, um supervisor} (f, Lm) tal que Lf /S,m = sup C(LS,Σnc)(K) ´e ´otimo, no sentido de restringir o sistema de

forma m´ınima poss´ıvel para seguir o especificado pela linguagem-alvo K. Pode-se fazer

Lm = sup C(LS,Σnc)(K) para o supervisor, por exemplo. Assim, uma representa¸c˜ao do

supervisor ´otimo ´e um autˆomato que marque sup C(LS,Σnc)(K).

Na abordagem RW original, o supervisor n˜ao possui a habilidade de desmarcar palavras, como o supervisor marcador (Ramadge e Wonham 1989). O supervisor ´e ent˜ao representado apenas pela fun¸c˜ao f definida anteriormente. A linguagem mar- cada em malha fechada, antes definida conforme a equa¸c˜ao (2.16), passa a ser definida por Lf /S,m = Lf /S ∩ LS,m, isto ´e, esta cont´em todas as palavras marcadas em malha aberta que sobrevivem `a supervis˜ao. Assim outro requisito surge no resultado equi- valente `a proposi¸c˜ao 2.1 para que uma dada linguagem seja realiz´avel por supervisor n˜ao bloqueante (Wonham 2002b). O requisito adicional diz que a linguagem K deve ser LS,m-fechada, condi¸c˜ao definida por K = K ∩ LS,m, o que significa que qualquer palavra do prefixo de K que corresponda a uma palavra marcada da planta, deve ser tamb´em uma palavra pertencente a K (Wonham 2002b). Isso mostra que se perde a

2.5 Abordagem Ramadge-Wonham (RW) 45

habilidade de especificar uma palavra marcada em malha aberta como n˜ao marcada em malha fechada, como no caso da defini¸c˜ao de uma tarefa como sendo a fabrica¸c˜ao de um lote de pe¸cas, n˜ao apenas uma pe¸ca, comentado anteriormente. Assim, torna-se mais complexo escrever uma especifica¸c˜ao que fa¸ca referˆencia ao corte ou modifica¸c˜oes de tarefas em malha aberta. Essa forma de definir o controle supervis´orio tamb´em acaba por gerar mais complexidade no formalismo. Por exemplo, a solu¸c˜ao ´otima para o equi- valente ao PCS da defini¸c˜ao 2.1 passa corresponder ao c´alculo da m´axima linguagem control´avel e LS,m-fechada contida numa dada linguagem (Ramadge e Wonham 1989).