Ambiguidades no m´etodo L-curve

H´a uma ambiguidade a ser resolvida na utiliza¸c˜ao do m´etodo da L-curve e que cor- responde `a poss´ıvel existˆencia de mais de um ponto de m´aximo local no dom´ınio de interesse para o parˆametro ¯λ = λ/Cd. Nosso objetivo nesta subse¸c˜ao ´e esclarecer este

fato, bem como indicar uma forma que nos parece natural para resolver esta ambigui- dade, pelo menos no caso da transformada de Rad´on e que parece estar diretamente relacionada ao gr´afico dos valores singulares generalizados do par (A, L).

A ambiguidade a que nos referimos pode ser vista nos gr´aficos da curvatura da L- curve no plano loglog, em fun¸c˜ao do parˆametro ¯λ, que reproduzimos nas figuras D.2-D.6 do apˆendice D. Cada uma das 6 figuras corresponde a um n´ıvel de ruido gaussiano, iid e de norma ǫkb − bmk, onde bm ´e o valor m´edio das medidas e ǫ = 0.0001, 0.001, 0.004,

0.01, 0.04 e 0.1, respectivamente.

No referido apˆendice D damos mais detalhes desta nossa an´alise, com mais dados. Partimos da constata¸c˜ao da existˆencia de um ponto de m´aximo local da curvatura que se concentra pr´oximo a ¯λ = 0.4, para valores maiores de ruido. Nos gr´aficos e tabelas do apˆendice D pode se ver isto nos n´ıveis de ruido ǫ = 0.04 e ǫ = 0.1. A exce¸c˜ao a esta constata¸c˜ao ´e S12, que n˜ao satisfaz `a condi¸c˜ao de Picard e para estes dois valores

de ruido apresenta um ´unico ponto de m´aximo local para a curvatura bem abaixo de 0.4. Para ǫ = 0.01 e ǫ = 0.004, este ponto de m´aximo local persiste, por´em vai se deslocando para a direita, como se pode ver com mais detalhes no apˆendice D. Inclusive tal decaimento aparenta ser mais r´apido nas imagens mais “irregulares”. Este fato nos parece um ponto a favor do m´etodo da L-curve, uma vez que nestas imagens mais “irregulares `a la Picard” seria mesmo de se esperar menos filtragem nas componentes

associadas aos valores singulares generalizados menores.

Al´em disto, todas as 9 primeiras imagens tˆem tamb´em um segundo ponto de m´aximo com um valor de ¯_{λ muito baixo, para ǫ ≥ 0.004, vale dizer, com λ = C}d∗ ¯λ da ordem

dos cem menores valores singulares e praticamente sem nenhuma utilidade pr´atica para regularizar problemas com o correspondente n´ıvel de ruido, conforme est´a registrado

2.2 Simula¸c˜ao com GSVD 35 nas figuras D.2-D.6 do apˆendice D. Para ǫ = 0.1, apenas a imagem S12 n˜ao apresenta

um segundo ponto de m´aximo.

Para valores mais elevados de ruido, aparecem ainda pontos de m´aximo adicionais para valores de λ bem acima de ¯λ = 0.4. Argumentaremos, no referido apˆendice, que tais pontos aparecem de forma bastante irregular, para ruidos de 0.004 a 0.1 em apenas algumas das imagens e, via de regra, correspondem a parˆametros de regulariza¸c˜ao ex- cessivamente elevados, correspondendo a uma suaviza¸c˜ao excessiva das imagens. Como os pontos de m´aximo pr´oximos a 0.4, sobretudo nos n´ıveis de ruido mais altos, podem gerar recupera¸c˜oes bastante ruidosas, temos a´ı uma quest˜ao. No apˆendice D nos de- dicamos a justificar com mais detalhes e com mais dados `a disposi¸c˜ao, as raz˜oes que nos conduzem `a estrat´egia que adotamos para escolher entre estes dois pontos, quando ambos existirem. Ela corresponde, simplificadamente, em adotar como ponto de ´otimo para a L-curve o m´aximo local da curvatura que identificamos com maior regularidade e que fica em torno de 0.4, para os n´ıveis mais altos do ruido. Basicamente, as raz˜oes s˜ao de confiabilidade na obten¸c˜ao deste valor, facilidade de utiliza¸c˜ao e um entendi- mento de que a voca¸c˜ao do m´etodo L-curve ´e de regularizar o problema, sem maiores habilidades para fornecer solu¸c˜oes mais ou menos pr´oximas `a imagem verdadeira, em situa¸c˜oes onde o ruido ´e relativamente alto. A filtragem do ruido, ficaria, neste entendi- mento, para uma etapa de p´os-processamento, conforme teremos a ocasi˜ao de discutir na sequˆencia deste texto e com base nos resultados experimentais que colhemos. A estrat´egia por n´os adotada nesta disserta¸c˜ao para definir o ponto de ´otimo no m´etodo L-Curve, pode se resumir no seguinte esquema:

Algoritmo 2.2.1. Algoritmo do ´Otimo L-curve

Defina em chute = [chute(1), chute(2)] um intervalo onde procurar um ponto de m´a- ximo da curvatura:

1. Passo 1 - Procure um ponto de m´aximo para a curvatura da L-curve na escala loglog, no interior do intervalo chute(1) ≤ ¯λ ≤ chute(2).

2. Passo 2 - Caso o ponto de m´aximo local para a curvatura n˜ao esteja “razoavel- mente” no interior deste intervalo, pare ou redefina o valor de chute e retorne ao passo inicial.

Tipicamente chute(1) = 0.1 e chute(2) = 1. s˜ao valores naturais para o chute inicial, no nosso caso. Neste caso. podemos decretar que um passo n˜ao fornecer´a um ponto “razoavalmente” no interior do intervalo considerado, se ficar menor que 1.1 ∗ chute(1) ou maior que 0.9 ∗ chute(2). No caso do ponto de m´aximo no primeiro passo ficar

2.2 Simula¸c˜ao com GSVD 36 menor que 1.1 ∗ chute(1), uma renova¸c˜ao natural para o chute seria atualiz´a-lo com [chute(1)/10, 1.2∗chute(1)], parando e decretando o fracasso do m´etodo, caso se chegue a ¯λ = 0.001. Algo nesta dire¸c˜ao seria definido tamb´em para prevenir o caso mais raro onde o ponto de m´aximo encontrado no passo 1 fique inicialmente maior que 0.9 ∗ chute(2).

Daqui para a frente, designamos como LC2 = LC2(i, ieps) ao ponto de ´otimo para o parˆametro de regulariza¸c˜ao ¯λ, associado a uma dada imagem Sie a um dos seis n´ıveis de

ruido ieps trabalhados, caso exista. Igualmente, designamos por LC1 = LC1(i, ieps) ao ponto de m´aximo local da curvatura menor que seu correspondente LC2, caso exista e seja maior que 0.001 e por LC3 = LC3(i, ieps) ao ponto de m´aximo local da curvatura que seja maior que LC2, caso exista, seja menor que ¯λ = 15 e corresponda a um ponto de curvatura positiva da L-curve considerada.2

Uma boa intui¸c˜ao sobre o que est´a acontecendo pode ser obtida fazendo uma conex˜ao dos pontos de m´aximo local da curvatura e os valores singulares generalizados, pensando nos filtros Fi(λ) = γi2/(γi2+λ2) = γi2/(γi2+(Cdλ)¯ 2), definidos na se¸c˜ao 1.2 e que atuam

para filtrar correspondentemente a i−´esima componente da imagem a ser recuperada, na base dos vetores singulares generalizados. O fazemos atrav´es da figura 2.2. Nela, cada curva em preto ´e um gr´afico dos valores singulares generalizados, sobre a qual marcamos os pontos de m´aximo local de cada uma das 12 imagens, de forma que, se λLC = Cdλ¯LC corresponde a um destes pontos de ´otimo ¯λLC, ent˜ao λLC = γi, para

algum i entre 1 e N . Dito de outra maneira, a abscissa i que corresponde a ¯λLC ´e a que

torna Fi(λ) = 1/2, ou seja, a componente na base dos vetores singulares generalizados

para a qual a filtragem come¸ca a se tornar dominante na recupera¸c˜ao de ¯x¯_λLC. Os 5

quadros `a esquerda, na figura 2.2 est˜ao numa escala compat´ıvel com os 8000 menores valores singulares generalizados, que variam entre γ1 = 0.015 at´e γ8000 = 4.53. J´a nos

quadros `a direita, λ ≤ 100, de sorte que, neles os valores singulares generalizados est˜ao representados at´e o γ16267, deixando de fora apenas os 117 maiores valores singulares

generalizados. O que se observa a´ı ´e que o formato da curva dos valores singulares generalizados, com dois intervalos iniciais de varia¸c˜ao lenta intercalados por um curto intervalo de varia¸c˜ao relativamente r´apida aparentemente ´e o que amarra o valor do ponto LC2, pelo menos para valores altos do ruido. Veja gr´afico da figura 2.3 com a inclina¸c˜ao da curva dos valores singulares entre i = 21 e i = 14000, confirmando uma janela de varia¸c˜ao relativamente bem mais r´apida dos valores singulares entre i = 5200 e i = 5600. Nesta janela os valores singulares variam de γ5200 = 1.851 e γ5600 = 2.686. Veja

2

Os pontos de m´aximo local da curvatura, no caso LC1 e LC2 correspondem sempre a pontos de curvatura positiva, enquanto que alguns dos m´aximos locais da curvatura maiores que LC2 s˜ao pontos de curvatura negativa, sem interesse portanto para o n´os.

2.2 Simula¸c˜ao com GSVD 37

Figura 2.2 Em cada quadro, situamos os pontos de m´aximo da curvatura da L-curve na escala loglog em cima do gr´afico dos valores singulares generalizados do par (A, L), para um dos valores de ǫ indicados e para cada uma das imagens S1,S2, · · · , S12. A regra para situar

cada ponto no gr´afico ´e de forma que a cada ponto de m´aximo local ¯λLC da curvatura, lhe

2.2 Simula¸c˜ao com GSVD 38 que o correspondente valor de ¯λ relacionado a Fi(λ) = 1/2 estaria correspondentemente

variando entre ¯λ = λ/Cd= γ5200/Cd= 0.339 e ¯λ = γ5600/Cd= 0.492. Este ´e exatamente

o intervalo no qual se concentram os valores de m´aximo da curvatura para os maiores n´ıveis de ruido. Ainda n˜ao temos uma interpreta¸c˜ao suficientemente clara para este fato. Sequer podemos afirmar que n˜ao seria mera coincidˆencia neste nosso caso particular, embora esta possibilidade nos pare¸ca altamente improv´avel. Na figura 2.2, os pontos de

Figura 2.3 Gr´afico da inclina¸c˜ao m´edia da curva dos valores singulares generalizados entre i = 21 e i = 14000.

m´aximo de tipo LC2 est˜ao sinalizados por o. Reservaremos a legenda ∗ para os pontos de ´otimo classificados como LC1 e s˜ao maiores que 0.001. Os pontos de ´otimo LC3, mais `a direita, com curvatura positiva e ¯_{λ ≤ 15 est˜ao representados por um pequeno} losango. A id´eia do gr´afico ´e poder visualizar, na abscissa i associada a cada ponto de m´aximo local da curvatura, qual seria a componente da solu¸c˜ao ´otima ¯x_λ¯_LC que fica

reduzida `a metade pelo filtro Fi(λLC) = γi2/(γi2+ λ2LC), onde λLC = Cd¯λLC. No gr´afico

se pode visualizar claramente o colapso dos pontos de m´aximo mais a esquerda LC1, numa faixa relativamente muito pr´oxima do menor valor singular γ1 = 0.015, bem como

a crescente concentra¸c˜ao em torno de 0.4 dos valores intermedi´arios LC2, tanto mais quanto maior o n´ıvel de ruido, bem como o fato que os pontos de m´aximo da curvatura que surgem mais `a esquerda e com as caracter´ısticas consideradas, por um lado tendem a diminuir em n´umero com o n´ıvel do ruido e, por outro, funcionam como filtro de passa-baixa muito forte, no sentido que, por exemplo, para ǫ = 0.1 tendem a filtrar

2.2 Simula¸c˜ao com GSVD 39 severamente as componentes da imagem, exceto as 200 ou 300 das 16384 componentes associadas aos maiores valores singulares generalizados.