2.2 Simula¸c˜ao com GSVD
2.2.1 Experimentos num´ericos realizados
Nos experimentos realizados, utilizamos a regulariza¸c˜ao de Tikhonov (1.3) para con- tornar as instabilidades que surgem ao tentar recuperar as 12 imagens 128 × 128 da figura 2.1, medidas, com ruido, por meio da Transformada de Radon, conforme im- plementa¸c˜ao indicada no apˆendice A. Como termo de regulariza¸c˜ao do funcional de Tikhonov utilizamos a matriz de diferen¸cas L = D, onde D = DH
DV
!
2.2 Simula¸c˜ao com GSVD 31 que calcula diferen¸cas entre pixels vizinhos. Mais especificamente
DH = dH 0 . .. 0 dH
onde DH ´e uma matriz diagonal em blocos n2 − n × n2 e cada bloco dH ´e dado da
seguinte forma dH = 1 −1 0 . .. ... 0 1 −1 n−1×n
E a matriz DV ´e formada por matrizes I e −I, onde I ´e a matriz identidade, tal que,
DV = I −I . .. ... I −I n2 −n×n2
Supomos n˜ao haver aproxima¸c˜ao inicial para o x∗, ou seja, o vetor x
0 ´e nulo. Tomamos
o vetor de medidas b como b = b∗+ r, onde b∗ = Ax∗ e r ´e a amplitude de um ruido
estoc´astico, iid, com m´edia 0 e desvio padr˜ao ǫkb−bmk
√
M , em cada entrada ri, vale dizer krk
kb−bmk ≈ ǫ.
Resolvemos o problema (1.3) via 1.22, obtida em 1.2, usando a fatora¸c˜ao GSVD do par (A, L), o que significa, , em nosso caso onde M ≥ N, p ≥ N e posto A
L ! = N xλ = N X i=1 Fi(λ) ut ib σi wi (2.2) em que Fi(λ) = γ 2 i γ2 i+λ 2. Lembrando que γi = σi
µi ´e um valor singular generalizado do par
(A, L) e σ2
i + µ2i = 1.
Para cada uma das 12 imagens, descritas na se¸c˜ao 2.1, aplicamos seis n´ıveis de ruido ǫ = 0.0001, 0.001, 0.004, 0.01, 0.04 e 0.1. Uma vez obtido o GSVD, 2.2 ´e calculado rapidamente. Embora na m´aquina especificada na se¸c˜ao 1.2, se precise, praticamente, de 2 dias para calcular o GSVD do par matricial (A, L), o tempo gasto para calcular a solu¸c˜ao (2.2) ´e de aproximadamente 1,5s. Com isso, testamos 20 rodadas diferentes,
2.2 Simula¸c˜ao com GSVD 32 onde, em cada rodada encontramos 400 valores de λ, para cada uma das doze imagens e cada um dos seis n´ıveis de ruido, com o objetivo de:
i - Poder visualizar gr´aficos das fun¸c˜oes que nos interessam, tais como a L-curve, sua curvatura e a curva do m´etodo GCV.
ii - Obter bons chutes iniciais para os parˆametros ´otimos: ¯λLC, ¯λGCV e ¯λDisc dos m´e-
todos, L-curve, GCV e Discrepˆancia, respectivamente.
iii - Aproveitando que dispomos da solu¸c˜ao verdadeira x∗, isto nos permite igualmente
estimarmos diretamente os erros relativos cometidos na solu¸c˜ao ¯xλ¯, que definimos
por:
E(¯λ) = kx∗− ¯x¯λk2
kx∗− x∗ mk2
(2.3) Em particular, podemos visualizar o comportamento da recupera¸c˜ao em fun¸c˜ao do ¯λ, por exemplo, com um gr´afico do erro relativo E(¯λ), para os 400 valores de ¯
λ. 1
As 20 rodadas diferentes foram utilizadas para rodar 20 diferentes realiza¸c˜oes para cada um dos 6 n´ıveis de ruido presentes. Isto nos permitiu testar a variabilidade das solu¸c˜oes com rela¸c˜ao ao ruido. Ao final extraimos a m´edia de cada uma das estimativas dos parˆametros ´otimos escolhidos e registramos os resultados nas 5 tabelas do apˆendice F. Enquanto que nas 5 tabelas do apˆendice E, est˜ao contidos desvio padr˜aom´edia de cada parˆametro ´otimo referente a cada imagem e cada n´ıvel de ruido. E notemos que todos est˜ao pr´oximos a zero, exceto para alguns valores dos parˆametros ´otimos fornecidos pelo m´etodo Discrepˆancia, para n´ıveis de ruido altos. Vale ressaltar, contudo, que esses parˆametros ´otimos para o m´etodo da Discrepˆancia que se mostraram sens´ıveis a ruido correspondem a parˆametros de ´otimo inconsistentes, pois atingem valores muito altos e de forma a suavizar excessivamente as recupera¸c˜oes, deixando-as irreconhec´ıveis. Em especial, colocamos um limite de ¯λ = 15 no valor superior do parˆametro de regulariza- ¸c˜ao. Em resumo, cada estimativa usada nas discuss˜oes da se¸c˜ao 2.2.3 ´e a m´edia de 20 resultados rodados com diferentes realiza¸c˜oes de um mesmo n´ıvel de ruido e a sensibi- lidade dos resultados a diferentes realiza¸c˜oes de um mesmo n´ıvel de ruido mostrou-se desprez´ıvel, no essencial.
Al´em dos parˆametros ´otimos dos m´etodos L-curve, GCV e Discrepˆancia, aprovei- tamos que conhecemos a priori a solu¸c˜ao verdadeira x∗ para considerar tamb´em um
1
2.2 Simula¸c˜ao com GSVD 33 quarto parˆametro ¯λEmin, que nos defina o parˆametro da L-curve mais pr´oximo da so-
lu¸c˜ao verdadeira. Vale dizer, na forma, ¯ λEmin = min ¯ λ∈Rkx ∗− ¯x¯ λk2.
A utilidade de ¯λEmin est´a na possibilidade de servir como parˆametro para compara¸c˜ao
com os ¯λ ´otimos dos trˆes m´etodos supracitados. Usamos o matlab, mais precisamente, os algoritmos “fminbnd” e o “fzero”, para obter esses parˆametros. Onde o primeiro algoritmo procura o ponto de m´ınimo de fun¸c˜oes de uma vari´avel, num dado intervalo prescrito, e a segundo fornece maa raiz de uma fun¸c˜ao de uma vari´avel, pr´oxima a um ponto inicial dado, na medida do poss´ıvel. Calculamos os ¯λ ´otimos dos trˆes m´etodos de escolha de parˆametros, em cada rodada, da seguinte maneira:
• ¯λLC ⇁ Elaboramos um c´odigo para gerar a curvatura de uma fun¸c˜ao, de forma
que a cada ponto dado s˜ao escolhidos dois pontos vizinhos, a partir dos quais calcula-se uma aproxima¸c˜ao discretizada para o raio de curvatura do c´ırculo, junto com o sinal da curvatura. ¯λLC ser´a obtido como o ponto de m´aximo para
a curvatura, no esquema descrito pelo algoritmo 2.2.1, que ser´a explicado na pr´oxima subse¸c˜ao. Isto corresponde, grosso modo a procur´a-lo, inicialmente, no interior do intervalo (.1, 1), com o algoritmo “fminbnd” do matlab, em pontos onde a L-curve tem curvatura para cima. Caso n˜ao seja encontrado no interior, ir tentando sucessivamente o mesmo em intervalos vizinhos, at´e encontr´a-lo ou sair do intervalo de interesse pr´e-estabelecido para ¯λ entre 0.001 a 15.
• λGCV ⇁ Para encontrar o parˆametro ´otimo do m´etodo GCV, utilizamos a fun¸c˜ao
G(λ) na base GSVD dada por 1.53. E consideramos como parˆametro ´otimo, do m´etodo GCV, o minimizador de G(λ) obtido com o aux´ılio do algoritmo “fminbnd” do Matlab.
• ¯λDisc ⇁ Para o m´etodo Discrepˆancia buscamos o ¯λ que fornece a raiz da fun¸c˜ao
D(¯λ) = |kA¯x¯λ− bk − ǫ kb − bmk|
em que bm´e a m´edia de b. Para obter tal resultado utilizamos o algoritmo “fzero”
do matlab.
• ¯λEmin ⇁ J´a o ¯λEmin ´e dado pelo menor valor de
E(¯λ) = kx∗− ¯xλ¯k kx∗− x∗
2.2 Simula¸c˜ao com GSVD 34 onde x∗ ´e a imagem original, x∗
m ´e a m´edia de x∗ e ¯x¯λ corresponde a solu¸c˜ao
recuperada.
Vale dizer, que n˜ao houve diferen¸cas significativas entre os chutes iniciais para os valores ´otimos dos parˆametros, estimados numericamente entre os 400 valores de ¯λ nos quais discretizamos cada parˆametro, para cada imagem e cada valor do erro , e os valores respectivos calculados por meio dos algoritmos.