P´os-processamento - Discuss˜ao dos resultados obtidos

2.3 Discuss˜ao dos resultados obtidos

2.3.3 P´os-processamento

Algo que está nos parecendo ocorrer a´ı, é que talvez não fa¸ca muito sentido tentar comparar diretamente a “qualidade” da imagem recuperada com parâmetros ótimos estimados pelos métodos L-curve e GCV, pois eles nos fornecem parâmetros com sig- nificados diferentes. Em particular, na literatura da área, se tem visto com alguma frequência compara¸cões nesta dire¸cão, após o vigoroso pontapé inicial nesta dire¸cão de Hansen, conforme relatamos na se¸cão 1.6. Nosso ponto aqui, é refor¸car a idéia que não faz muito sentido ficar comparando diretamente a “qualidade” das recupera¸cões, diretamente obtidas com os parâmetros ótimos dos métodos GCV e L-Curve, conforme se tem visto ocorrer na literatura pela simples razão que os dois têm voca¸cões bem diferentes. Pelo menos no caso de ruidos Gaussianos significativos e com a transformada de Radon, nossos experimentos parecem confirmar para GCV o que a literatura aponta, conforme destacamos na se¸cão 1.4. Ou seja, o parâmetro ótimo GCV tende a propiciar imagens mais próximas da original, se a medida de proximidade for o erro relativo 2.8 e com menos ruido que aqueles propiciados pela L-curve. Em especial, o método GCV tende a encontrar valores do parâmetro ¯_{λ mais altos que o método L − Curve, para} valores significativos do ruido. Por outro lado, L-Curve parece ser bem mais barato computacionalmente, apesar de eventualmente necessitar de um pós-processamento para eliminar ruidos indesejáveis, conforme discutiremos nesta subse¸cão. No entanto, com a eventual vantagem de manter mais detalhes da imagem original, exatamente por tender a propiciar um valor de ¯λ ótimo inferior ao do método GCV.

Nosso objetivo nesta subse¸cão é discutir, de forma bem superficial e com o objetivo de apenas trazer a tona o tema, o que acontece se pensamos em pós-processamento da imagem, um pouco na linha de regularizar o problema alternando passos em dire¸cão à solu¸cão com filtragem. Basearemos este nosso comentário na figura 2.7, que foi produ- zida a partir da imagem 5, medida com um ruido correspondente a ǫ = .04. Nas duas imagens das colunas do centro da figura 2.7, estão as imagens SrLC e SrGCV, corres-

pondentes às recupera¸cões com os valores ótimos obtidos com os métodos L-curve e GCV. As imagens da coluna da direita, SrLCF e SrGCV F, correspondem à aplica¸cão

2.3 Discussão dos resultados obtidos 50 convolu¸cão com uma matriz 3x3 que faz uma média ponderada entre o valor de cada pixel e seus vizinhos imediatos.

Figura 2.7 Nas duas imagens do meio da figura, est˜ao as recupera¸c˜oes da imagem S5, obtidas

com os parâmetros ¯λ ´_{otimos dos métodos L − curve e GCV . Nas duas da direita, estas} mesmas imagens filtradas via convolu¸cão com um filtro 3x3

Temos duas observa¸c˜oes a fazer a partir destas imagens.

• A imagem SrLC, recuperada com o parâmetro ótimo do método L-Curve é visi-

velmente mais ruidosa que SrGCV, al´em de apresentar um erro relativo errelLC =

21.9% quase trˆes vezes superior ao da imagem SrGCV, recuperada com o parˆa-

metro ótimo do método GCV . Contudo, após a passagem do filtro, ambas ficam aproximadamente com o mesmo erro relativo em SrLCF e SrGCV F. O mais im-

portante a´ı ´e que alguns detalhes da figura parecem melhor captados em SrLC

2.3 Discuss˜ao dos resultados obtidos 51 situados no canto superior esquerdo da imagem, na parte branca logo acima da coleira preta.

• Embora não possamos em hipótese alguma generalizar a partir de poucos exem- plos e nos falte fôlego para trabalhar esta questão de forma mais sistemática no conjunto das imagens obtidas, nos está parecendo que, pelo menos no caso da transformada de Radon, os dois métodos de escolha do parâmetro de regulariza¸cão teriam voca¸cões inteiramente distintas, no caso de imagens a serem recuperadas que satisfa¸cam razoavelmente à condi¸cão de Picard e medidas com ruidos iid de média zero. O método GCV teria como voca¸cão promover a regulariza¸cão de forma a resultar uma imagem próxima do menor erro relativo poss´ıvel entre a imagem verdadeira e a recuperada, inclusive dispensando o uso de pós- processamentos. Já o método L −curve teria a voca¸cão de regularizar com menos cuidados em evitar ruidos na imagem recuperada, mas em compensa¸cão com uma capacidade maior de conservar detalhes da imagem a ser recuperada e jogaria o papel de filtrar ruidos indesejados para um pós-processamento da imagem. Uma vantagem aqui estaria no tratamento de grande porte, dado que convolu¸cão com matrizes pequenas é muito mais barato que resolver sistemas lineares de grande porte. Sobretudo no caso de se confirmar que há um parâmetro assintótico para a L-curve na recupera¸cão de imagens contaminadas com ruidos relativamente altos, como foi o caso do valor ¯λLC = 0.4 em nossos experimentos com N = 1282.

Em particular, isto induziria naturalmente a uma escolha bem mais simples de um parâmetro de regulariza¸cão, possivelmente, não ótimo, porém que regularize o problema inverso e perfeitamente adequado para o caso de se ter em vista um pós-processamento do sinal recuperado.

Cap´ıtulo 3

Considera¸c˜oes Finais

O foco deste trabalho residiu em estudar numericamente os métodos mais empregados na escolha do parâmetro de regulariza¸cão no método de regulariza¸cão de Tykhonov 1.3 para um problema linear Ax = b mal posto, num caso particular que é o da discretiza¸cão da transformada de Radón com um regularizador L de diferen¸cas finitas.

Ressaltamos que não tivemos em momento nenhum a preocupa¸cão de discutir mé- todos eficientes para resolver problemas concretos grandes como os que surgem na tomografia computadorizada, que usualmente não trabalham com regulariza¸cão de Tykhonov. Menos ainda com fatora¸cão GSVD, que é um método caro demais para as dimensões de interesse da tomografia médica. Nosso foco nesta disserta¸cão consistiu em tentar entender como se comportam os métodos de Tykhonov com parâmetros de regulariza¸cão ótimos definidos via L-curve (LC), valida¸cão cruzada generalizada (GCV) ou discrepância num caso particular de problema mal-condicionado importante.

No cap´ıtulo 1 levantamos os aspectos teóricos que julgamos relevantes sobre o tema. Em parte, para propiciar uma explica¸cão razoavelmente auto-consistente ao leitor do que se trata. Em parte, para situar os principais aspectos teóricos que decidimos testar numericamente e/ou com os quais decidimos dialogar em nossos experimentos numé- ricos no cap´ıtulo 2. Na se¸cão 3.1 resumimos as principais conclusões a que chegamos. Vale ressaltar que todas elas se referem a experimentos com um dado operador linear discretizado, numa ´_{unica dimensão, com 12 imagens 128 × 128, cuidadosamente esco-} lhidas para representar diferentes condi¸cões de Picard e adicionando 6 n´ıveis diferentes de ruidos gaussianos iid às medidas com a transformada de Radón. Obviamente não temos a pretensão que nossas conclusões valham em geral, muito embora possamos ter a expectativa que algumas delas possam continuar válidas em testes com outros operadores e diferentes dimensões dos problemas, pelo menos no caso de ru´ıdos gaussianos iid. Na se¸cão 3.2 situamos linhas de trabalho futuros a partir desta disserta¸cão.

3.1 Conclus˜oes 53

3.1 Conclus˜oes

1. O primeiro ponto que gostar´ıamos de ressaltar está no entendimento que julgamos ter adquirido sobre a natureza dos métodos GCV e L-curve. GCV é um método que foi desenhado com heur´ısticas sofisticadas e que visavam procurar aproximar a solu¸cão regularizada ¯x¯_λ da solu¸cão verdadeira, num dado sentido, e nisto êle

se mostrou muito bom em nossos testes. Por isto mesmo, no caso de medidas b = Ax∗_{+ r com ru´ıdos krk relativamente elevados, ˆele acaba acompanhando o}

sinal ¯x_λ¯_{EM in}, definido como o que corresponde ao sinal da fam´ılia ¯x_λ¯ mais pr´oximo

da imagem verdadeira x∗ _{que se quer recuperar. Com isto, o parˆametro definido}

pelo método GCV acaba suavizando o sinal de forma crescente com o tamanho do ru´ıdo e tende a suavizar detalhes mais finos da imagem a ser recuperada. Já o método L-curve parte de uma idéia simples, mas poderosa, sobre a natureza das diferentes respostas de um operador mal condicionado a sinais razoavelmente ’‘bem comportados”, no sentido de atender à condi¸cão de Picard para a fatora¸cão GSVD, contra o que acontece a ruidos com distribui¸cão mais ou menos homogênea em qualquer base razoavelmente bem condicionada do Rn_{. Pensando no método}

de Tykhonov a partir da fatora¸cão GSVD, o desenho básico do método L-curve corresponde a detectar um ponto a partir do qual o ruido é suficientemente filtrado pelo parâmetro definido como ótimo e deixa de competir com o sinal verdadeiro a ser recuperado. O que ele nos parece fazer bem é regularizar o problema colocado com um valor do parâmetro ótimo bem abaixo dos que surgem nos outros dois métodos, mantendo desta forma bem mais detalhes do problema original que o método GCV. Além de ser bem mais barato computacionalmente que GCV, caso se opte por não usar GSVD. Por outro lado, os sinais que ele recupera tendem a ficar crescentemente bem mais ruidosos com o n´ıvel do ruido nas medidas, do que acontece com os demais métodos, provavelmente a exigir algum tipo de pós-processamento no caso de medidas com n´ıveis de ruido elevado, conforme a aplica¸cão. Não podemos ter certezas que isto também aconte¸ca com outros operadores, mas ainda assim nos surpreende a existência de vários trabalhos na literatura (vide se¸cão 1.6) tentando comparar a qualidade da recupera¸cão de imagens com os parâmetros ótimos gerados pelos métodos GCV e L-curve, inclusive trabalhos que o fazem utilizando a transformada de Radón...

2. A argumenta¸cão de Hansen em 1.3, a favor de se usar o método da L-curve na escala loglog tem uma natureza essencialmente heur´ıstica e prevaleceu na literatura, pois é o que vem sendo empregado usualmente. Contudo, muitos trabalhos

3.1 Conclusões 54 relatam dificuldades com a L-curve e nós encontramos uma ambiguidade na defini¸cão dos pontos de máximo da curvatura que julgamos ter conseguido superar adequadamente com o algoritmo 2.2.1 que definimos e justificamos na subse¸cão 2.2.2 e no apêndice D. Num primeiro momento, nos pareceu que o método da L-curve até funcionaria melhor na escala linlin, pois nesta escala a curvatura aparentemente apresentava pontos de máximo sem maiores ambiguidades e essencialmente parecidos com os que se acaba encontrando para a L-curve com o método que definimos. Contudo, julgamos ter encontrado um argumento defini- tivo contra o uso da L-curve na escala linlin, que está na subse¸cão 1.3.1 e que corresponde ao fato das solu¸cões ótimas passarem a depender fortemente de uma mudan¸ca de escala no regularizador, o que nos parece inaceitável. Já na escala loglog e nos demais métodos empregados isto não acontece.

3. Uma caracter´ıstica muito relevante do método L-curve que nos apareceu nos testes corresponde a uma tendência dos pontos ótimos neste método se agruparem em torno do valor ¯λ = 0.4, para os n´ıveis mais altos de ru´ıdo e de irem decrescendo com n´ıveis de ruidos decrescentes. Uma observa¸cão que nos parece auspiciosa con- siste em correlacionar estes valores para ¯¯λLC ≈ 0.4 à caracter´ısticas da curva de

valores singulares generalizados do par A, L, no sentido de dizer que estes valores caem exatamente no meio de uma estreita faixa de valores singulares generalizados entre o de ordem 5200 e o de ordem 5600, na qual a curva de valores singulares sofre uma inflexão importante entre duas partes nas quais a varia¸cão dos valores singulares é muito mais lenta, conforme descrevemos nas figuras 2.2-2.3 da subse- ¸cão 2.2.2. O ponto notável a se destacar corresponde a observar que o parâmetro de ótimo encontrado pelo método L-curve funciona efetivamente como um filtro para as componentes dos vetores singulares da imagem recuperada, correspondente aos valores singulares abaixo desta faixa estreita de varia¸cão mais brusca. Ainda não temos uma explica¸cão matemática que nos pare¸ca convincente para justificar o que ocorre aqui e sequer podemos afirmar com seguran¸ca que tal fato não seja mera coincidência neste caso particular, muito embora acreditemos que não seja mera coincidência. Uma vantagem importante que vemos a´ı, corresponde a se ter um bom chute inicial para o método, quase que independentemente da imagem e dependendo essencialmente do operador A e do regularizador L. Ainda mais levando-se em conta que algum tipo de pós-processsamento parece reco- mendável para filtrar excessos de ruidos, de qualquer modo. Em especial, um dos objetivos iniciais desta disserta¸cão consistia em procurar entender melhor esta

3.2 Trabalhos futuros 55

No documento Parâmetro de regularização em problemas inversos: estudo numérico com a transformada de Radon (páginas 72-78)