No Cap´ıtulo 4 foram definidas as equa¸c˜oes do modelo e posteriormente foram resumidos na Tabela 5 os seus par^ametros e como seriam obtidos. No mesmo cap´ıtulo a Equa¸c˜ao (4.14) e a Figura 17 apresentam a planta do sistema e a estrutura do controlador. Para estes tamb´em devem ser identificados seus respectivos par^ametros.
5.1.1
Modelo
Como identificado na Tabela 5 alguns valores do modelo devem ser medidos. S˜ao eles: 𝑅𝑙 dist^ancia entre os eixos traseiro e frontal, 𝑅𝑓 dist^ancia entre as rodas castor, 𝑅𝑟
raio das rodas traseiras, 𝐿 dist^ancia entre as rodas traseiras e 𝑟 a dist^ancia entre o ponto de contato com o piso das rodas castor e seu piv^o vertical.
Tabela 6 – Par^ametros medidos da cadeira.
Par^ametro Valor
𝑅𝑙 0, 440 m
𝑅𝑓 0, 565 m
𝑅𝑟 0, 245 m
𝐿 0, 630 m
𝑟 0, 100 m
Da Equa¸c˜ao (4.5) (𝜏 = 𝐾2𝐸𝑎 − 𝐾1𝜔) ser´a obtido o par^ametro 𝐾2 de cada um
dos motores. 𝐾2 ´e uma constante que engloba dois par^ametros do motor: a resist^encia do
circuito de armadura e a constante de torque. Para obter 𝐾2foi realizado um experimento
Figura 22 – Arranjo experimental em rampa.
´
e aplicado pelos motores da cadeira de forma que ela n˜ao se mova. Com isso a Equa¸c˜ao (4.5) fica:
𝐾2 =
𝜏 𝐸𝑎
(5.1) Deste modo montou-se um experimento onde a cadeira foi colocada em uma rampa e uma tens˜ao foi aplicada nos motores de maneira que a cadeira n˜ao se movesse. Para medir o torque utilizou-se a decomposi¸c˜ao da for¸ca peso numa rampa de inclina¸c˜ao 𝛽 multiplicado pelo raio da roda (Equa¸c˜ao (5.2)). A tens˜ao aplicada, 𝐸𝑎, pode ser medida
por instrumentos.
𝜏 = 𝑃 sin(𝛽)𝑅𝑟 (5.2)
Para realizar o experimento foi montada uma rampa com quatro ajustes de in- clina¸c˜oes diferentes e duas massas diferentes: vazio (68 kg) e com um ocupante (138 kg). Para cada inclina¸c˜ao e massa o experimento foi repetido quinze vezes e a cada vez a inclina¸c˜ao da rampa era novamente medida a fim de se excluir poss´ıveis diferen¸cas. O arranjo experimental utilizado pode ser visualizado na Figura 22.
Ap´os os experimentos obteve-se os seguintes valores de 𝐾2:
Tabela 7 – Valores de 𝐾2 em [N m V−1]
Peso 68 kg 138 kg
Motor Esquerdo Direito Esquerdo Direito
𝐾2 16,50 15,55 18,56 17,89
Desvio Padr˜ao 0,87 1,04 1,63 1,65
equa¸c˜oes (4.5) e (4.11):
𝐾2𝐸𝑎− 𝐾1𝜔 − 𝜏𝑎𝑡𝑟(1 − sin (𝜃𝑐− 𝛼)) = 𝐽 ˙𝜔 + 𝐵𝜔 (5.3)
Ao considerar que durante o experimento a roda castor estar´a alinhada com a trajet´oria, 𝜃𝑐= 𝛼, elimina-se a parcela do seno. Considera-se, ainda, que a cadeira move-
se com velocidade constante.
𝜔 = 𝐸𝑎𝐾2
(𝐵 + 𝐾1)
− 𝜏𝑎𝑡𝑟
(𝐵 + 𝐾1)
(5.4) Como pode-se notar a Equa¸c˜ao (5.4) ´e da forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabendo-se disso executou-se um experimento em que foram aplicadas diferentes tens˜oes nos motores e as velocidade de regime foram medidas. De posse destes dados tra¸cou-se uma reta e obteve- se seus coeficientes 𝑎 e 𝑏. Com esses coeficientes pode-se determinar os valores de 𝜏𝑎𝑡𝑟 e
𝐵 + 𝐾1.
𝐵 + 𝐾1 =
𝐾2
𝑎 (5.5a)
𝜏𝑎𝑡𝑟 = −𝑏(𝐵 + 𝐾1) (5.5b)
Para que durante os experimento as rodas castor estejam alinhadas, escolheu-se que a cadeira deve andar em linha reta. Tal escolha foi feita pois facilita a orienta¸c˜ao inicial das rodas castor e a escolha das tens˜oes a serem aplicadas no motor.
Para o experimento foram escolhidos sete diferentes n´ıveis de tens˜ao que fazem com que a cadeira se desloque em linha reta. Como diferen¸cas significativas n˜ao foram observadas no valor da velocidade para uma mesma tens˜ao, somente uma tentativa foi feita para cada n´ıvel de tens˜ao.
Ap´os o experimento obteve-se os pontos mostrados na Figura 23 e foram ajustadas as respectivas retas utilizando um estimador de m´ınimos quadrados. Com as retas obtidas ´
e poss´ıvel determinar os coeficientes da Tabela 8. E atrav´es das Equa¸c˜oes (5.5) obt^em-se os par^ametros da Tabela 9.
Tabela 8 – Coeficientes das retas.
Peso 68 kg 138 kg
Motor Esquerdo Direito Esquerdo Direito
𝑎 0,4299 0,438 0,4221 0,4234
𝑏 -0,533 -0,504 -0,5177 -0,5179
Resta ainda encontrar o valor da in´ercia 𝐽 do conjunto, vista pelos motores es- querdo e direito. Para tanto retoma-se a Equa¸c˜ao (5.3) sem desprezar acelera¸c˜oes e atrito,
Tensão [V] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Velocidade [rad s -1] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
4 Tensão Velocidade com massa de 138kg Motor Esqeurdo
Curva de Tendência Motor Direito Curva de Tendência
(a) Experimento para cadeira com peso de 68 kg.
Tensão [V] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Velocidade [rad s -1] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
4 Tensão Velocidade com massa de 138kg Motor Esqeurdo
Curva de Tendência Motor Direito Curva de Tendência
(b) Experimento para cadeira com peso de 138 kg. Figura 23 – Experimento tens˜ao velocidade.
Tabela 9 – Valores dos par^ametros 𝐾1 + 𝐵 [N m rad−1s] e 𝜏𝑎𝑡𝑟 [N m] .
Peso 68 kg 138 kg
Motor Esquerdo Direito Esquerdo Direito
𝐾1+ 𝐵 38,38 35,51 43,97 42,25
𝜏𝑎𝑡𝑟 20,46 17,89 22,76 21,88
por´em considerando novamente que as rodas castor permanecer˜ao alinhadas. Ent˜ao, ao aplicar-se a transformada de Laplace tem-se:
𝜔(𝑠) 𝐸𝑎(𝑠) = 𝐾2 𝐵+𝐾1 − 𝜏𝑎𝑡𝑟 𝐸𝑎(𝑠)(𝐵+𝐾1) (︁ 𝐽 𝑠 𝐵+𝐾1 + 1 )︁ (5.6)
Com a Equa¸c˜ao (5.6) tem-se a fun¸c˜ao de transfer^encia de cada motor. Ao analisar essa equa¸c˜ao v^e-se que ela corresponde a uma equa¸c˜ao de primeira ordem com o ganho dado pelo valor do numerador e a constante de tempo, Γ, dada por 𝐵+𝐾𝐽
1. Portanto para obter-se o valor da in´ercia de cada conjunto, deve-se obter a constante de tempo da resposta de velocidade.
𝐽 = Γ (𝐵 + 𝐾1) (5.7)
Com o mesmo experimento usado para obter 𝐾1+𝐵 e 𝜏𝑎𝑡𝑟, utiliza-se um estimador
de m´ınimos quadrados para obter os valores de Γ para cada uma das sete tens˜oes apli- cadas. A partir desses valores ´e obtida uma m´edia das constantes de tempo e seu desvio padr˜ao, apresentados na Tabela 10. De posse destas m´edias, os valores 𝐽 s˜ao encontrados utilizando-se a Equa¸c˜ao (5.7) e s˜ao apresentados na Tabela 11.
Tabela 10 – M´edias das constantes de tempo.
Peso 68 kg 138 kg
Motor Esquerdo Direito Esquerdo Direito
¯
Γ 0,481 0,485 0,535 0,568
Desvio Padr˜ao 0,059 0,046 0,031 0,033
Tabela 11 – Valores das constantes de in´ercia [N m rad−1s2].
Peso 68 kg 138 kg
Motor Esquerdo Direito Esquerdo Direito
𝐽 18,47 17,23 23,52 24,01
5.1.2
Planta linearizada
Ao definir-se a planta linearizada do sistema na Equa¸c˜ao (4.14) (reapresentada abaixo) pode-se determinar o ganho 𝐾 da Equa¸c˜ao (4.14), atrav´es das constantes 𝐾1 e
𝐾2 previamente identificadas . Por outro lado, para determinar a constante de tempo o
par^ametro 𝛿 deve ser identificado.
𝜔(𝑠) 𝐸𝑎(𝑠) = 𝐾2 𝐾1 𝐽 𝑠 𝐾1(1−𝛿) + 1 = 𝐾 Γ𝑠 + 1
O par^ametro 𝛿 modela a carga adicional em cada motor devido ao desalinha- mento das rodas castor. Como jamais o desalinhamento das rodas castor ir´a movimentar por si s´o a cadeira, restringe-se 𝛿: 0 ≤ 𝛿 ≤ 1. Como as rodas se alinham conforme a cadeira movimenta-se, 𝛿 sempre tende a zero, por´em para o projeto dos controladores considera-se 𝛿 fixo, uma vez que, na planta linearizada n˜ao ser˜ao considerados altera¸c˜oes dos par^ametros. Com tal condi¸c˜ao, deve-se escolher um valor para 𝛿 que consiga repre- sentar a dificuldade no arranque (𝛿 > 0), mas que n˜ao interfira de forma expressiva na velocidade de regime (𝛿 = 0) fazendo com que o projeto dos controladores trate um planta muito mais lenta do que ´e na maioria das vezes. Com isso, adota-se a orienta¸c˜ao de 45 ∘ para as rodas castor.
Portanto, para determinar o valor de 𝛿 adotou-se o seguinte experimento: as rodas castor foram orientadas a 45∘e tens˜oes foram aplicadas no motor de maneira que a cadeira se deslocaria em linha reta. Tal experimento foi repetido 5 vezes para as rodas orientadas a 45 ∘ e −45 ∘. Com as resposta de velocidade obteve-se atrav´es de um estimador de m´ınimos quadrado a constante de tempo de cada resposta, e ent˜ao obteve-se a m´edia das constantes de tempo, como mostrado na Tabela 12. Todos os valores foram obtidos para uma carga de 138 kg.
Tabela 12 – M´edia das constantes de tempo. 𝛼𝑙[∘] 𝛼𝑟[∘] Γ¯𝑙 Γ¯𝑒
-45 -45 0,605 1,162
45 45 0,947 0,627
desta se¸c˜ao), a constante de tempo do sistema ´e alterada por 𝛿. Dos experimentos da Se¸c˜ao 5.1.1 sabe-se os valores das constantes de tempo quando as rodas castor est˜ao alinhadas (𝛿 = 0). Posto isso e a partir dos valores da Tabela 12 s˜ao obtidos os valores de 𝛿 apresentados na Tabela 13.
Tabela 13 – Valores de 𝛿 para as orienta¸c˜oes das rodas castor. 𝛼𝑙[∘] 𝛼𝑟[∘] 𝛿𝑙 𝛿𝑟
-45 -45 0,037 0,498
45 45 0,384 0,071
Dos valores da Tabela 13 ser˜ao utilizados os maiores valores de 𝛿𝑟 e 𝛿𝑙, pois s˜ao
valores que influenciam mais na resposta do sistema. Portanto 𝛿𝑟 = 0, 49 e 𝛿𝑙 = 0, 38.