Modelo din^ amico

Modelos din^amicos levam em considera¸c˜ao as for¸cas que est˜ao atuando sobre um sistema para modelar seu movimento. Geralmente s˜ao modelos complexos que apresentam v´arias equa¸c˜oes e par^ametros. Existem alguns m´etodos bem definidos que ajudam a escre- ver essas equa¸c˜oes: M´etodo de Lagrange, M´etodo Newton-Euler, Princ´ıpio de d’Alembert e Princ´ıpio Hamiltoniano.

No trabalho Johnson e Aylor (1985) ´e feito o desenvolvimento do modelo din^amico de uma cadeira de rodas usando o Princ´ıpio de d’Alembert. Ao longo do trabalho mais de quarenta equa¸c˜oes e par^ametros s˜ao apresentados para modelar uma cadeira de rodas, por´em os autores n˜ao apresentam como obtiveram os valores para os par^ametros utilizados nas simula¸c˜oes realizadas.

Outro modelo din^amico de cadeira de rodas encontrado na literatura ´e o usado no trabalho Cruz et al. (2010). Neste trabalho os autores utilizam o modelo em conjunto com um controlador adaptativo para seguir caminhos. Neste trabalho tamb´em s˜ao ne- cess´arias v´arias equa¸c˜oes e parte dos par^ametros (perturba¸c˜oes ao sistema) necess´arios para descrever o sistema s˜ao obtidos em tempo real atrav´es do controlador adaptativo.

Com o objetivo de representar de maneira global o movimento da cadeira de rodas, sem se preocupar em detalhes com cada for¸ca presente no sistema, tentou-se desenvolver um modelo din^amico que fosse menos complexo e com menos par^ametros, mesmo preju- dicando a precis˜ao em algumas situa¸c˜oes. Considera-se, ainda, que a cadeira desloca-se por um piso plano e sem imperfei¸c˜oes.

+ − _𝑘𝜔 𝐿𝑎 𝑅𝑎 − + 𝐸𝑎 𝐼

Figura 14 – Circuito de um motor de corrente cont´ınua.

desenvolvimento. A primeira parte que deve ser modelada ´e o sistema de atua¸c˜ao da cadeira, composto de dois motores de corrente cont´ınua ligados `as rodas traseiras atrav´es de um sistema de redu¸c˜ao. Outra parte importante a ser modelada ´e a intera¸c˜ao de for¸cas entre as rodas castor e os atuadores. Por fim, deve-se considerar o efeito que o atrito tem no movimento da cadeira, tanto nas rodas traseiras, quanto nas rodas castor.

O primeiro item a ser modelado ser˜ao os atuadores. Motores el´etricos de corrente cont´ınua funcionam transformando a corrente em um torque respons´avel por movimentar o ve´ıculo. Um motor CC pode ser modelado utilizando o circuito el´etrico da Figura 14.

A partir do circuito da Figura 14 e assumindo que as equa¸c˜oes envolvidas s˜ao lineares e com condi¸c˜oes iniciais nulas, pode-se escrever a equa¸c˜ao de corrente no motor como:

𝐿𝑎

𝑑𝑖

𝑑𝑡 + 𝑅𝑎𝑖 = 𝐸𝑎− 𝑘𝜔 (4.2)

onde 𝐸𝑎´e a tens˜ao aplicada no motor, 𝜔 ´e a velocidade angular do motor , 𝑘 ´e constante da

for¸ca contra eletromotriz, 𝑅𝑎´e a resist^encia de armadura e 𝐿𝑎 ´e a indut^ancia do circuito

de armadura.

O torque ´e dado por:

𝜏 = 𝐾𝑇𝑖 (4.3)

onde 𝐾𝑇 representa a constante de torque do motor.

Substituindo a Equa¸c˜ao (4.2) em (4.3), tem-se:

𝜏 = 𝐾𝑇 (︃ 𝐸𝑎− 𝑘𝜔 − 𝐿𝑎𝑑𝑖_𝑑𝑡 𝑅𝑎 )︃ (4.4)

Pode-se simplificar a Equa¸c˜ao (4.4) eliminando a parcela relativa a indut^ancia do motor, pois a din^amica desta parcela ´e muito r´apida e n˜ao ir´a alterar significativamente

o comportamento da velocidade pois a constante de tempo mec^anica ´e muito maior. Adicionalmente, pode-se agrupar as constantes, resultando em:

𝜏 = 𝐾2𝐸𝑎− 𝐾1𝜔 (4.5)

Para converter o torque em velocidade faz-se uso da conserva¸c˜ao dos momentos em um corpo r´ıgido:

𝜏 − 𝜏𝑐= 𝐽 ˙𝜔 + 𝐵𝜔 (4.6)

onde 𝜏𝑐 ´e o torque que se op˜oe ao torque do motor, 𝐽 ´e a in´ercia do conjunto e 𝐵 ´e o

atrito viscoso.

O torque contr´ario, 𝜏𝑐, ser´a composto por duas parcelas: uma relativa `as for¸cas que

resistem ao movimento de rota¸c˜ao das rodas, 𝐹𝑎𝑡𝑟, e outra relativa `as for¸cas que resistem

ao movimento devido ao desalinhamento das rodas castor em rela¸c˜ao ao caminho que se deseja percorrer, 𝐹𝑐.

Espera-se que a parcela 𝐹𝑎𝑡𝑟 seja descoberta apenas por experimentos, n˜ao neces-

sitando detalhar cada uma de suas componentes. Por´em ao analisarmos o modelo desen- volvido em Johnson e Aylor (1985) tem-se uma no¸c˜ao de que ela ser´a uma composi¸c˜ao dos atritos devido ao contato entre a roda e o ch˜ao, `a pr´opria fric¸c˜ao no eixo da roda (𝐵) e `a resist^encia do ar. Com ser´a visto mais adiante, 𝐵𝜔 ser´a obtido indiretamente como uma das parcelas que resistem ao movimento, simplificando a Equa¸c˜ao 4.6.

Para definir 𝐹𝑐, parcela que ir´a resistir ao movimento devido ao desalinhamento

das rodas castor, ´e necess´ario definir as seguintes rela¸c˜oes: como esse desalinhamento contribui para a for¸ca de resist^encia, como a posi¸c˜ao das rodas castor se altera e qual ´e a posi¸c˜ao de regime dessas rodas.

Para determinar qual ´e a posi¸c˜ao de regime das rodas castor utiliza-se o modelo cinem´atico definido nas Equa¸c˜oes (4.1). A partir deste, pode se definir o ICR (Instantane- ous Center of Rotation) que ´e o ponto que permanece fixo quando a cadeira descreve um caminho circular. Esse ponto ´e determinado no encontro das linhas de movimento nulo de cada uma das rodas da cadeira, que no caso da cadeira ´e a linha perpendicular ao eixo longitudinal de cada roda (SIEGWART et al., 2011). Matematicamente pode-se definir o ICR na equa¸c˜ao 4.7.

𝐼𝐶𝑅 = 𝑉

˙

ICR L R_l α_l O R_f

Figura 15 – Esquema representando o ICR e o ^angulo, 𝛼𝑙, da roda castor esquerda.

A dist^ancia entre ICR e a origem do refer^encia da cadeira, 𝑂, ´e dada por:

𝑑 = ||𝐼𝐶𝑅 − 𝑂||2 (4.8)

A dire¸c˜ao de regime das rodas castor vem da Figura 151_{, em que 𝑅}

𝑓 ´e a dist^ancia

entre as rodas castor, 𝑅𝑙´e a dist^ancia entre as rodas motrizes e o piv^o das rodas castor e

𝑂 ´e a origem do referencial da cadeira. Os ^angulos de regime das rodas castor s˜ao dados pelas Equa¸c˜oes (4.9).

𝛼𝑙 = arctan (︃ 𝑅𝑙 𝑑 − 𝑅𝑓 2 )︃ = arctan (︃ ˙ 𝜃𝑅𝑙 𝑉 − ˙𝜃𝑅𝑓 2 )︃ (4.9a) 𝛼𝑟 = arctan (︃ 𝑅𝑙 𝑑 +𝑅𝑓 2 )︃ = arctan (︃ ˙ 𝜃𝑅𝑙 𝑉 + ˙𝜃𝑅𝑓 2 )︃ (4.9b) onde 𝛼𝑙 ´e o ^angulo de regime entre a roda castor esquerda e o alinhamento do ve´ıculo e

𝛼𝑟 ´e o ^angulo de regime entre a roda castor direita e o alinhamento do ve´ıculo.

Com os valores de regime dos ^angulos das rodas castor esquerda, 𝛼𝑙, e da roda

castor direita, 𝛼𝑟, definidos deve-se buscar uma equa¸c˜ao que modele como o ^angulo da

roda castor se altera de acordo com as for¸cas presentes no sistema. Com essa equa¸c˜ao ser´a poss´ıvel descrever quanto falta para a roda castor alcan¸car seu respectivo ^angulo de regime e, assim, descrever como esse desalinhamento contribui para dificultar o movimento da cadeira de rodas.

De acordo com o artigo Johnson e Aylor (1985) o ^angulo da roda castor varia de acordo com sua in´ercia, coeficiente de atrito no piv^o da roda e torque que resiste `a roda ir para uma posi¸c˜ao favor´avel ao movimento. Como obter os valores do coeficiente de

Figura 16 – Diagrama de for¸cas na roda castor. 𝐹𝑇 ´e a for¸ca que um dos motores exerce na

roda castor, 𝜑𝑙 ´e o ^angulo entre a roda castor esquerda e o frame da cadeira,

𝑟 ´e a dist^ancia entre o piv^o da roda castor e o ponto de contato com o solo.

atrito do momento da roda e sua in´ercia n˜ao ´e trivial, opta-se por uma abordagem mais emp´ırica. Nesta abordagem pretende-se descrever uma rela¸c˜ao cinem´atica que forne¸ca a velocidade do ^angulo 𝜑 da roda castor em rela¸c˜ao `a for¸ca aplicada pelos motores na roda castor e `a velocidade linear da cadeira.

Com o aux´ılio da Figura 16 tem-se que a for¸ca aplicada pelos motores (𝐹𝑇) pode ser

decomposta em duas componentes, uma paralela ao eixo da roda castor e outra perpendi- cular, 𝐹𝑇 𝑥. Essa ´ultima componente ir´a resistir ao movimento de alinhamento se opondo

a uma componente que leva a roda castor para a posi¸c˜ao de m´ınimo atrito. Acredita-se que esta componente ´e diretamente relacionada ao seno da diferen¸ca entre o angulo de regime 𝛼 e o ^angulo 𝜑 e a velocidade linear.

As equa¸c˜oes 4.10 ser˜ao respons´aveis por representar como as rodas castor se ali- nham com o ^angulo de regime e as constantes 𝑘3 e 𝑘2 ser˜ao ajustadas empiricamente e

ser˜ao respons´aveis por corrigir imprecis˜oes que este modelo emp´ırico possa apresentar.

˙ 𝜑𝑙= 𝑘2𝑙(𝑉 + 𝜖) sin (𝜑𝑙− 𝛼𝑙) − 𝜏𝑙 𝑅𝑟 𝑘3𝑙sin (𝜑𝑙)𝑟 (4.10a) ˙ 𝜑𝑟 = 𝑘2𝑟(𝑉 + 𝜖) sin (𝜑𝑟− 𝛼𝑟) − 𝜏𝑟 𝑅𝑟 𝑘3𝑟sin (𝜑𝑟)𝑟 (4.10b)

onde 𝑅𝑟 ´e o raio da roda e 𝜏𝑙 e 𝜏𝑟 s˜ao os torques gerados pelo motor esquerdo e direito,

respectivamente. 𝑟 ´e a dist^ancia entre o ponto de contato com o solo e o piv^o da roda castor, 𝛼𝑙 e 𝛼𝑟 s˜ao a orienta¸c˜ao de regime das rodas castor, 𝑉 ´e a velocidade linear da

cadeira, 𝑘3, 𝑘2 e 𝜖 s˜ao coeficientes de ajuste.

Observou-se que com a varia¸c˜ao da orienta¸c˜ao das rodas castor a resposta de cada motor se alterava. Por exemplo, se as rodas castor fossem orientadas para a direita (𝛼𝑙 = 𝛼𝑟 = 0 ∘) o motor da roda direita possu´ıa uma resposta mais lenta e o motor da

roda direita uma resposta mais r´apida quando comparada com a resposta com as rodas castor orientadas para frente. Efeito inverso foi observado quando as rodas castor foram

posicionadas para esquerda (𝛼𝑙 = 𝛼𝑟 = 180 ∘). Com isso, al´em dos torques contr´arios ao

movimento da cadeira causados pelos atritos do sistema, adicionou-se uma parcela para modelar o fen^omeno observado. Esta parcela ser´a modelada como uma contribui¸c˜ao do torque de atrito proporcional ao seno da diferen¸ca do ^angulo atual da roda castor com o ^

angulo que a roda castor deve atingir. E devido a simetria observada esta nova parcela ter´a uma contribui¸c˜ao positiva para a roda direta e negativa para a roda esquerda. Portanto, define-se os torques contr´arios na roda esquerda, 𝜏𝑐𝑙, e roda direita 𝜏𝑐𝑟 como:

𝜏𝑐𝑙 = 𝜏𝑙𝑎𝑡𝑟(1 − sin (𝜑𝑐𝑙− 𝛼𝑙)) (4.11a)

𝜏𝑐𝑟 = 𝜏𝑟𝑎𝑡𝑟(1 + sin (𝜑𝑐𝑟− 𝛼𝑟)) (4.11b)

em que 𝜏𝑙𝑎𝑡𝑟 e 𝜏𝑟𝑎𝑡𝑟 s˜ao os torques causados pelas for¸cas de atrito na roda, 𝐹𝑎𝑡𝑟, e a parcela dependente do seno ´e relativa `a desorienta¸c˜ao das rodas castor (𝐹𝑐).

De posse dessas equa¸c˜oes tem-se definido o modelo din^amico da cadeira de rodas. Ainda s˜ao necess´arios obter-se os valores das v´arias constantes apresentadas em cada uma das equa¸c˜oes. Algumas destas ser˜ao encontradas atrav´es de experimentos, outras indiretamente e outras atrav´es de ajustes. Na Tabela 5 ´e resumido como cada valor ser´a encontrado.

Tabela 5 – M´etodo para obter o valor de cada constante das equa¸c˜oes do modelo din^amico.

Constante M´etodo 𝑅𝑙 Valor medido 𝑅𝑓 Valor medido 𝑅𝑟 Valor medido 𝐿 Valor medido 𝑟 Valor medido 𝐾2 Experimento 𝐾1 Experimento 𝜏𝑙𝑎𝑡𝑟 e 𝜏𝑟𝑎𝑡𝑟 Experimento 𝐵 Indiretamente 𝐽 Experimento 𝑘3𝑟 e 𝑘3𝑙 Ajuste 𝑘2𝑟 e 𝑘2𝑙 Ajuste

Na Se¸c˜ao 5.1.1 ser´a discutido como cada par^ametro foi obtido, incluindo a des- cri¸c˜ao dos experimentos. Por ora, com as equa¸c˜oes definidas ser´a poss´ıvel implementar um simulador para o comportamento da cadeira e, desta forma, tem-se uma ferramenta que ser´a de grande aux´ılio para a an´alise do comportamento dos controladores.

Al´em da implementa¸c˜ao do simulador, as equa¸c˜oes do modelo din^amico nos leva a concluir que t´ecnicas de controle n˜ao-linear e de lineariza¸c˜ao de plantas n˜ao-lineares como

as mostradas nos trabalhos Cruz et al. (2010), Corradini e Orlando (2001), Nguyen et al. (2008) ser˜ao necess´arias.