Para efetuar a simula¸c˜ao do modelo proposto, suas equa¸c˜oes foram discretizadas e implementadas no software Matlab. Abaixo s˜ao apresentadas as Equa¸c˜oes j´a discretizadas.
𝜔𝑙𝑘+1 = 𝜔𝑙𝑘 + (𝜏𝑙− 𝜏𝑐𝑙) 𝐽𝑙 (5.8a) 𝜔𝑟𝑘+1 = 𝜔𝑟𝑘 + (𝜏𝑟− 𝜏𝑐𝑟) 𝐽𝑟 (5.8b) 𝜑𝑐𝑙𝑘+1 = 𝜑𝑐𝑙𝑘 − (︂ 𝑘3𝑙𝜏𝑙sin (𝜑𝑐𝑙𝑘) 𝑟 𝑅𝑟 − 𝑘2𝑙sin (𝜑𝑐𝑙𝑘+ 𝛼𝑙𝑘) (𝑉 + 𝜖) )︂ Δ𝑡 (5.8c) 𝜑𝑐𝑟𝑘+1 = 𝜑𝑐𝑟𝑘 − (︂ 𝑘3𝑟𝜏𝑟sin (𝜑𝑐𝑟𝑘) 𝑟 𝑅𝑟 − 𝑘2𝑟sin (𝜑𝑐𝑟𝑘 + 𝛼𝑟𝑘) (𝑉 + 𝜖) )︂ Δ𝑡 (5.8d)
em que Δ𝑡 ´e o intervalo de tempo entre os instantes de tempo 𝑘 e 𝑘 + 1.
Nas Equa¸c˜oes (4.11) em que se define a a¸c˜ao das for¸cas que resistem ao movimento da cadeira, em conjunto com as Equa¸c˜oes (5.8a) e (5.8b) que definem a conserva¸c˜ao de momentos em um corpo r´ıgido, ainda resta modelar um comportamento. Quando o torque gerado pelo motor ´e menor que o torque gerado pelas for¸cas que resistem ao movimento a cadeira de rodas permanecer´a estacion´aria. Por´em as referidas equa¸c˜oes modelam que se o torque gerado pelas for¸cas de atrito for maior do que o torque dos motores, existir´a um
torque resultante contr´ario ao torque do motor que far´a com que a cadeira se desloque. Para contornar esse comportamento das Equa¸c˜oes (4.11) e (4.6), considera-se que quando a cadeira est´a parada o torque de carga ser´a igual ao torque el´etrico do motor, fazendo com que cadeira permane¸ca estacion´aria.
Durante a fase de ajustes do simulador, atrav´es de tentativas utilizando a cadeira sem carga, chegou-se ao seguintes valores para as constantes apresentados na Tabela 14. Como o valor correspondente a 𝑘3𝑙 e 𝑘3𝑟 ´e bem pequeno, a influ^encia da parcela
multiplicada por esses termos tamb´em ´e pequena, mas necess´aria para a que a roda o modelo se aproxime do comportamento de ve´ıculo real. Devido a isso a influ^encia da parcela multiplicada pela velocidade da cadeira, 𝑉 , domina o comportamento do ^angulo da roda castor.
Tabela 14 – Valores das constantes de ajuste.
𝑘2𝑙 𝑘2𝑟 𝑘3𝑙 𝑘3𝑟 𝜖
0,44 0,44 5 × 10−5 5 × 10−5 0,09
Tal predomin^ancia faz com que em movimento cuja velocidade linear ´e nula (mo- vimento de rota¸c˜ao em torno do pr´oprio eixo), o ^angulo da roda castor simulada n˜ao varie como necess´ario. Para corrigir tal comportamento foi preciso adicionar um termo 𝜖 `
a velocidade linear, apresentado na Tabela 14.
De posse dos par^ametros do modelo din^amico deve-se proceder com a etapa de va- lida¸c˜ao do modelo. Para tanto, ser˜ao executados experimentos na cadeira real e trajet´oria e velocidade ser˜ao comparadas com os dados obtidos da simula¸c˜ao.
Valida¸c˜ao
Para validar o modelo din^amico planejou-se experimentos em que tens˜oes s˜ao apli- cadas nos motores da cadeira de maneira que esta se desloca em linha reta e durante seu deslocamento dados como velocidade de cada motor e a posi¸c˜ao da cadeira s˜ao gravados. Tamb´em procurou-se variar a posi¸c˜ao inicial das rodas castor para verificar como o modelo se comporta com o desalinhamento destas.
Levando-se em conta as imprecis˜oes envolvidas na odometria, os trajetos percor- ridos durante estes experimento n˜ao foram longos, fato esse que ajuda a restringir erros. Ainda, para exigir mais do modelo todos os experimentos foram realizados com um ocu- pante.
O primeiro experimento foi realizado com as rodas castor alinhadas com a tra- jet´oria e partindo do repouso aplicou-se tens˜oes de 3 a 9 V em diferentes tentativas. Na Figura 24 s˜ao mostradas as respostas de velocidade durante os experimentos tanto para o modelo simulado, quanto o experimento real (curvas tracejadas).
Tempos [s] 0 2 4 6 8 10 12 Velocidade [mm/s] 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Resposta de Velocidade Esquerda Direita Esquerda Direita 8,56V 7,1V 5,9V 4,5V 3,2V
Figura 24 – Resposta de velocidade simulada e real (curvas tracejadas) para diferentes n´ıveis de tens˜ao.
Ao analisar as respostas da Figura 24 pode-se perceber que, de maneira geral, o simulador ´e capaz de apresentar um comportamento semelhante ao sistema real. O comportamento do simulador apesar de satisfat´orio, n˜ao consegue representar de forma exata o transit´orio da resposta, mas o faz de maneira consistente. Apesar das condi¸c˜oes terem sido bem controladas entre os experimentos verifica-se que em algumas situa¸c˜oes o simulador se comporta com diferentes n´ıveis de precis˜ao. Como exemplo destaca-se as respostas para as tens˜oes de 7, 1 V e 8, 56 V, apresentadas em forma de trajet´oria nas Figuras 25(a) e 25(b).m´edio?.
[m] -3 -2 -1 0 1 2 3 4 [m] 0 1 2 3 4 5 6 Trajetória Simulado Real
(a) Tens˜ao aplicada de 7, 4V
[m] -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 [m] 0 1 2 3 4 5 6 7 Trajetória Simulado Real (b) Tens˜ao aplicada de 8, 5V Figura 25 – Trajet´orias obtidas nos experimentos.
verificar como o simulador e a cadeira se comportariam devido a essa perturba¸c˜ao no sistema. Durante os experimentos, como mostrado na Figura 26, verificou-se comporta- mentos distintos entre diferentes tentativas aplicando a mesma tens˜ao. Portanto n˜ao foi feito como no experimento anterior em que foram aplicadas diferentes tens˜oes, posto que as diferen¸cas s˜ao tantas com a cadeira real que ficaria dif´ıcil de avaliar os resultados.
Deste modo, aplicou-se a mesma tens˜ao nos motores e as rodas castor estavam inicialmente orientadas na posi¸c˜ao desejada. A tens˜ao aplicada foi de 3, 2 V nos dois motores, tens˜ao essa que faria a cadeira percorrer uma trajet´oria em linha reta se as rodas dianteiras estivessem inicialmente alinhadas. Feitos os experimentos obtiveram-se as trajet´orias da Figura 26, em que a curva em azul ´e a resposta do modelo simulado e as demais dos experimentos realizados com a cadeira real.
[m] -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 [m] 0 0.5 1 1.5 2 Trajetórias Simulação
Figura 26 – Trajet´orias descritas pela cadeira e pelo modelo (curva azul) quando as rodas castor estavam alinhadas a 45∘.
Como pode-se observar na Figura 26 as rodas castor fazem com que as trajet´orias percorridas pela cadeira n˜ao sejam retil´ıneas. As rodas dianteiras devido ao seu desalinha- mento com a trajet´oria desejada fazem com que a velocidade nas rodas motrizes (Figura 27) n˜ao sejam as mesma de quando est˜ao alinhadas alterando assim a trajet´oria resultante da cadeira.
Em algumas das trajet´orias da Figura 26 pode se observar que ap´os um certo tempo a trajet´oria passa a ser uma linha reta. Credita-se isso ao alinhamento das rodas castor. Por´em, tamb´em ´e observado que este tempo para o alinhamento varia para um mesmo experimento feito em situa¸c˜oes muito semelhantes (piso, temperatura, peso, tens˜ao nos motores), ocasionando as diferentes trajet´orias obtidas com o experimento real. Esse mesmo efeito ainda pode ser observado na Figuras 27(a) e 27(b) uma vez que as veloci- dades finais no experimentos s˜ao ligeiramente diferentes entre si e ainda atingem o valor final de maneira diferente.
Tempos [s] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Velocidade [mm/s] 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Resposta Velocidade Esquerda Direita Esquerda Direita (a) Tentativa 4 Tempos [s] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Velocidade [mm/s] 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Resposta Velocidade Esquerda Direita Esquerda Direita (b) Tentativa 5
Figura 27 – Resposta de velocidade para duas repeti¸c˜oes do experimento partindo-se do repouso, com as rodas castor alinhadas a 45 ∘ e tens˜ao aplicada de 3, 2 V. Resposta da simula¸c˜ao apresentada pela linha cont´ınua.
Importante notar que apesar das diferentes trajet´orias o modelo simulado ´e ca- paz de representar o comportamento da cadeira real e transmitir o desalinhamento das rodas dianteiras para as velocidades das rodas motrizes. Na Figura 28(b) ´e apresentado o comportamento do ^angulo da roda castor no simulador. Observa-se que inicialmente o ^
angulo 𝛼 (o ^angulo final que as rodas castor ir˜ao se orientar, Equa¸c˜oes (4.9)), comporta-se de maneira inst´avel devido ao arranque da cadeira e logo ap´os ocorre um transit´orio, at´e chegar ao seu valor final. J´a os ^angulos 𝜃 (Equa¸c˜oes 4.10)) t^em o comportamento desejado pois n˜ao convergem imediatamente para o valor 𝛼 conseguindo traduzir a resist^encia que as rodas dianteiras tem a se alinhar com a trajet´oria.
Tempo [s] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Torque [Nm] 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Torque de carga τ cl τ cr
(a) Varia¸c˜ao do torque de carga.
Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Angulo ( ° ) -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
10 Ângulo roda castor
α cl θ cl α cl θ cr
(b) ˆAngulos da roda castor.
Figura 28 – Torque em cada motor e comportamento do ^angulo das rodas castor quando incialmente alinhadas a 45 ∘.
Na Figura 28(a) fica claro como a altera¸c˜ao dos ^angulos 𝜃 ´e capaz de transmitir um aumento do torque resistente. Como no in´ıcio do movimento da cadeira as rodas est˜ao
desalinhadas cada motor percebe de maneira diferente esse desalinhamento, que aumenta o torque de carga do motor direito, 𝜏𝑐𝑟, e diminui o torque que resiste ao movimento no
motor esquerdo, 𝜏𝑐𝑙, sendo essa diferen¸ca de torque que faz com que a cadeira se desloque
para a direita como mostrado na Figura 26.
[m] -1.5 -1 -0.5 0 0.5 [m] 0 0.5 1 1.5 2 Trejetórias Simulação
Figura 29 – Trajet´orias descritas pela cadeira f´ısica e pelo modelo (curva azul) quando as rodas castor estavam alinhadas a −45 ∘.
Prosseguindo com os experimentos, foi realizado o mesmo procedimento experi- mental anterior, por´em agora com as rodas castor alinhadas a −45 ∘. Conforme espe- cificado anteriormente, espera-se que o modelo e a cadeira se comportem de maneira semelhante, ambos desviando para a esquerda, como pode ser visto na Figura 29.
Ao contr´ario dos experimentos anteriores, o modelo simulado n˜ao se comporta de maneira muito semelhante `a cadeira real. Evidentemente, a cadeira sempre tende mais para a esquerda do que o modelo simulado. Uma poss´ıvel explica¸c˜ao para tal fato surge ao analisar a Figura 30 que apresenta a resposta de velocidade do modelo e da cadeira real.
Na Figura 30 ´e poss´ıvel observar que, ao contr´ario do modelo, as velocidades dos motores n˜ao atingem o mesmo valor como nos experimentos a 45 ∘. Tamb´em quando se compara a velocidade de regime da roda esquerda (Figura 30) com a velocidade de regime da mesma roda na Figura 27(a), observa-se que a velocidade de regime de aproximada- mente 155 mm s−1 n˜ao ´e atingida, o que deveria ocorrer pois a mesma tens˜ao foi aplicada nos dois experimentos.
Como a velocidade da roda motriz esquerda ´e menor do que a de regime, sup˜oe- se, pelas Equa¸c˜oes (5.8) do modelo simulado, que a roda castor esquerda n˜ao consegue se orientar na dire¸c˜ao da trajet´oria dentro do tempo de 15 s estabelecido para o experimento. E, assim, acaba por contribuir com um torque contr´ario ao movimento por mais tempo do que o modelo prev^e.
Tempos [s] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Velocidade [mm/s] 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Resposta Velocidade Esquerda Direita Esquerda Direita
Figura 30 – Resposta de velocidade quando rodas castor estavam inicialmente alinhadas a −45∘. As linhas tracejadas representam a resposta com a cadeira motorizada
e as demais a resposta do modelo.
Seria poss´ıvel ajustar o modelo atrav´es 𝑘2𝑙 e 𝑘3𝑙 para que a roda castor esquerda
tivesse um comportamento mais lento para se orientar na dire¸c˜ao do movimento. Entre- tanto, esse comportamento apesar de diferente do esperado ser´a corrigido quando inserido um controlador de velocidade para os dois motores. Consequentemente, a an´alise de toda trajet´oria ´e menos interessante do que a an´alise da trajet´oria inicial, pois o comportamento do modelo e da cadeira real deve ser pr´oximo nesta ´ultima regi˜ao, uma vez que ser´a a regi˜ao que o controlador atuar´a e far´a com que a velocidade de regime seja alcan¸cada.
Para finalizar, apresenta-se o experimento feito com a rodas castor esquerda e direita posicionadas a −90 ∘ e 90 ∘, respectivamente. A tens˜ao aplicadas nos motores foi de 2, 72 V e assim como nos experimentos anteriores s˜ao valores que fazem com que a cadeira se desloque em linha reta.
Novamente, o modelo se comporta como esperado e, apesar das simplifica¸c˜oes feitas em seu desenvolvimento, consegue apresentar uma din^amica similar `a da cadeira real. Na Figura 31(a) pode-se perceber como o comportamento das velocidade simuladas e real s˜ao semelhantes, guardados os ru´ıdos apresentados na leitura dos encoders. Al´em disso na Figura 31(b) fica evidente que a posi¸c˜ao assim´etrica das rodas castor leva a cadeira a n˜ao desviar-se da trajet´oria e novamente o modelo simulado consegue representar tal comportamento.
5.3
Controlador de velocidade
De posse dos par^ametros do modelo e com o simulador representando o compor- tamento do sistema real, pode-se proceder com o estudo dos controladores. Na Se¸c˜ao
Tempos [s] 0 5 10 15 20 25 Velocidade [mm/s] 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Resposta de Velocidade Esquerda Direita Esquerda Direita
(a) Resposta de velocidade.
[m] -1 -0.5 0 0.5 1 [m] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Trajetória Simulação (b) Caminho percorrido.
Figura 31 – Resposta dos experimentos e simula¸c˜ao para quando as rodas castor est˜ao orientadas inicialmente a −90 ∘ e 90 ∘. As linhas tracejadas representam a resposta do sistema real.
4.2 definiu-se o modelo linearizado do sistema, assim como a estrutura proposta para o controlador, seu tipo e m´etodo de sintonia.
Para definir o valor das constantes 𝐾𝑖 e 𝐾𝑝 de cada um dos dois controladores,
deve-se primeiro definir qual o comportamento desejado para o sistema. Como a cadeira est´a transportando uma pessoa, deseja-se que o comportamento do controlador seja suave, com acelera¸c˜oes reduzidas afim de tornar o uso da cadeira confort´avel. Por outro lado, o sistema n˜ao deve responder muito lentamente, visto que pode tornar a experi^encia do usu´ario negativa.
Com isso decide-se que o sistema deve alcan¸car a resposta final em at´e 3 s e n˜ao deve ultrapassar o valor desejado para a resposta em mais de 10%. Deste modo, pode-se utilizar as Equa¸c˜oes (4.16) e (4.17) para definir a posi¸c˜ao dos polos do sistema.
Como os sistemas (lado esquerdo e lado direito) possuem naturalmente um zero posicionado em Γ𝑙 e Γ𝑟, sabe-se que mesmo ap´os a aloca¸c˜ao dos polos no lugar desejado,
o sistema n˜ao ir´a responder exatamente como projetado. Por conta disso, restringe-se um
pouco mais o desempenho do sistema escolhe-se 𝑇𝑠 = 2, 8 e 𝑀𝑝 = 6% para ambos os
sistemas.
De posse desses valores obt´em-se a frequ^encia natural e a constante de amorteci- mento dos sistemas e, assim, a localiza¸c˜ao dos polos, −1, 1751 ∓ 1, 3121𝑗. Os valores das constantes dos controladores s˜ao apresentados na Tabela 15.
Com os polos posicionados a resposta ao degrau para cada das plantas linearizadas pode ser vista na Figura 32. Nesta figura observa-se que o tempo de acomoda¸c˜ao da resposta foi de 3 e 2,9 s e o sobressinal de 8,9% e 10% para os motores esquerdo e direito,
Tabela 15 – Constantes dos controladores PI. PI𝑙 PI𝑟 𝐾𝑖 𝐾𝑝 𝐾𝑖 𝐾𝑝 6,55 2,59 7,57 3,37 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Esquerdo Direito Resposta ao Degrau## Tempo [s] (seconds) Amplitude Tempo de Acomodação Pico
Figura 32 – Resposta de velocidade do projeto linear do controlador.
respectivamente. Tamb´em deve-se observar na Figura 33 o esfor¸co do controlador pois, desse modo, tem-se uma estimativa de quanto o atuador do sistema est´a sendo exigido. Outra an´alise importante ´e a rejei¸c˜ao a perturba¸c˜oes pois, assim, tem-se uma ideia de como a sa´ıda do sistema se comporta quando sujeito a perturba¸c˜oes do tipo degrau unit´ario (Figura 33). Step Response Time (seconds) Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 2 2.5 3 3.5 tempo(s) Step Response Time (seconds) Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 tempo(s)
(a) Motor esquerdo
Step Response Time (seconds) Amplitude 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 2 2.5 3 3.5 4 Tempo(s) Step Response Time (seconds) Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 Tempo(s) (b) Motor direito
Figura 33 – A¸c˜ao do controlador (verde) e efeito da perturba¸c˜ao na sa´ıda do sistema (vermelho).
Dessa forma tem-se um projeto linear coerente com o que desejado e assim pode-se utilizar o simulador para verificar o comportamento do controlador obtido.
Para implementar os controladores no simulador utilizou-se o intervalo de discre- tiza¸c˜ao de 0,1 s e algumas simula¸c˜oes foram realizadas alterando o ^angulo inicial das rodas castor e a carga total sistema. Como pode ser observado nos gr´aficos da Figura 34 a resposta a velocidade para as diversas configura¸c˜oes testadas manteve-se sempre est´avel, por´em percebe-se que o controlador obtido se comporta de maneira muito agressiva, pro- vocando grandes acelera¸c˜oes que s˜ao indesejadas para este tipo de sistema.
Para superar esse problema ajusta-se a constante de tempo Γ1, definida na Se¸c˜ao
4.2. Com isso apresenta-se a resposta do sistema com Γ1 = 2 e observa-se o comportamento
mais suave da resposta de velocidade na Figura 35.
Como o controlador obtido atrav´es do projeto linear comportou-se da maneira desejada no simulador, pode-se passar agora para sua implementa¸c˜ao na cadeira real. Para tanto utilizou-se uma biblioteca do microcontrolador Arduino que implementa um controlador PID (BEAUREGARD, 2015). A partir da biblioteca ajustou-se o tempo de discretiza¸c˜ao do controlador para 0,1 s. As constantes foram ajustadas pois algumas uni- dades e ganhos que s˜ao diferentes na cadeira e na planta linear.
Na cadeira a entrada de velocidade ´e dada em mm s−1 e na planta linear ´e dada em rad s−1. Por conta disso, as constantes do controlador para a cadeira devem ser divididas pelo raio da roda 𝑅𝑟em mil´ımetros. Do mesmo modo, a sa´ıda do controle ´e um valor digital
entre 0 e 255 que controla um conversor CC-CC de 0 a 24 V, portanto as constantes do controlador devem ser, tamb´em, dividas por 25524, j´a que na planta linear considera-se que o controlador atuaria diretamente sobre a tens˜ao do motor. Tais transforma¸c˜oes de unidade s˜ao aplicadas nos par^ametros da Tabela 15 que, com as unidades compatibilizadas, levam aos par^ametros Tabela 16.
Tabela 16 – Constantes dos controladores PI para a cadeira.
PI𝑙 PI𝑟
𝐾𝑖 𝐾𝑝 𝐾𝑖 𝐾𝑝
0,2842 0,1125 0,3228 0,1463
Antes de avaliar o desempenho dos controladores ´e importante ressaltar que os conversores CC-CC n˜ao influenciam na resposta do sistema, pois a resposta da malha de controle desses conversores ´e extremamente r´apida, na ordem de milissegundos. Tamb´em tomou-se cuidado para que ajustes como rampas de acelera¸c˜ao e desacelera¸c˜ao do con- versor fossem configuradas com valores nulos, eliminando por completo qualquer tipo de influ^encia desses.
Prosseguindo com a avalia¸c˜ao do desempenho dos controladores, executaram-se experimentos para avaliar a capacidade da cadeira em neutralizar as perturba¸c˜oes causa-
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 100 200 Castor posicionada a 0 ° 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 100 200 Castor posicionada a 45 ° 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 100 200 Castor posicionada a -45 ° 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 100 200 Castor posicionada a 90 ° 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 100 200 Castor posicionada a -90 ° 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 100 200 Castor posicionada a 0
° com 50% de aumento de carga
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0 100
200 Castor posicionada a 90
° com 50% de aumento de carga
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0 100
200 Castor posicionada a 90
° e -90° com 50% de aumento de carga
Figura 34 – Diferentes respostas de velocidade obtidas para diferentes par^ametros de si- mula¸c˜ao. No eixo x de cada gr´afico est´a representado o tempo em segundos e no eixo y a velocidade em mm s−1. A linha vermelha representa a velocidade da roda esquerda e a azul da roda direita.
Tempo [s] 0 5 10 15 20 25 Velocidade [mm s -1] 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Resposta de velocidade com rodas castor alinhadas e G = 2
Velocidade Esquerda Velocidade Direita Referência Esquerda Referência Direita
Figura 35 – Simula¸c˜ao da resposta de velocidade no simulador com par^ametro Γ1alterado.
das pelas rodas dianteiras. Deste modo posicionou-se a cadeira com diferentes orienta¸c˜oes para as rodas castor, tendo sido passada a mesma refer^encia de velocidade para os dois motores. Para, n˜ao depender somente das informa¸c˜oes dos sensores para tra¸car a tra- jet´oria feita pela cadeira, acoplou-se uma caneta `a estrutura da cadeira para riscar o ch˜ao conforme o deslocamento da cadeira.
Nos experimentos foram usadas as velocidade de 100 mm s−1 e as rodas castor foram orientadas com ^angulos que variaram de 0 a -90∘ obtendo-se a Figura 36(a).
Como pode ser observado na figura, independentemente das diferentes orienta¸c˜oes iniciais da roda castor, a trajet´oria da cadeira inicialmente foi muito semelhante, sendo imposs´ıvel diferenciar os trajetos. Por´em na parte final da trajet´oria ´e poss´ıvel verificar um espalhamento das trajet´orias.
A fim de verificar esse espalhamento, foi executado um experimento com as rodas castor sempre alinhadas com a trajet´oria e ap´os 10 tentativas, verificou-se que apesar de mantidas as condi¸c˜oes iniciais iguais, a trajet´oria final percorrida pela cadeira apresentou diferen¸cas. Diferen¸cas estas muito semelhantes `as encontradas no experimento anterior, como pode ser observado na Figura 36(b).
Tal espalhamento na parte final da trajet´oria pode ser atribu´ıdo a ru´ıdos nas leituras dos sensores, que acabam por trazer erros nas leituras de velocidade fazendo com que a trajet´oria da cadeira n˜ao seja sempre a mesma. Tamb´em pode-se atribuir estes erros a fatores como diferentes distribui¸c˜oes de peso do usu´ario sobre a cadeira.
Al´em da capacidade de eliminar as perturba¸c˜oes causadas pelo desalinhamento da roda castor com a trajet´oria pretendida, realizou-se um experimento que introduzisse
(a) Foto das trajet´orias obtidas com a caneta riscando o ch˜ao. [m] 0 0.05 0.1 0.15 0.2 [m] 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 Trajetorias 1 2 3 4 5 6 7 8
(b) Gr´afico obtido ap´os terem sido obtidas medidas de algumas das trajet´orias da Figura 36(a).
Figura 36 – Caminhos obtidos com as rodas castor ajustadas na mesma posi¸c˜ao e veloci- dade de refer^encia de 100 mm s−1.
perturba¸c˜oes ao sistema quando o mesmo j´a se encontrava em regime permanente. Para tanto, foram introduzidas perturba¸c˜oes na roda castor esquerda e direita ap´os a cadeira robotizada ter atingido sua velocidade de regime. Como resultado foi obtida a Figura 37, em que pode ser visualizado como o controlador projetado ´e capaz de eliminar rapidamente as perturba¸c˜oes.
Para analisar de maneira mais geral o desempenho do controlador e tamb´em ve- rificar a correspond^encia entre o simulador e a cadeira real, idealizou-se um experimento que n˜ao ficasse restrito apenas a algumas orienta¸c˜oes iniciais da rodas castor e apenas a trajet´orias em linhas retas, como apresentado at´e este ponto.