O desenvolvimento apresentado na Se¸c˜ao 2.2 ´e v´alido para o caso em que as vi- sibilidades no plano uv s˜ao amostradas de forma cont´ınua. Contudo, os arranjos interferm´etricos s˜ao compostos por um n´umero finito de antenas, o que implica uma amostragem discreta das visibilidades. Isto faz com que a representa¸c˜ao do inter- valo de visibilidades amostradas numa observa¸c˜ao seja um parˆametro importante que est´a diretamente relacionado `a qualidade dos mapas que podem ser obtidos, conforme ser´a descrito adiante nesta Se¸c˜ao.
Uma forma particularmente interessante de representar as propriedades de amostra- gem das visibilidades de um interferˆometro ´e atrav´es das freq¨uˆencias espaciais u, v, w. Expressas em termos do comprimento de onda e relacionadas ao comprimento das linhas de base do interferˆometro, as freq¨uˆencias espaciais fornecem diretamente a resolu¸c˜ao do feixe sintetizado e as escalas espaciais que s˜ao amostradas atrav´es da utiliza¸c˜ao de um determinado arranjo de antenas.
A rela¸c˜ao entre escalas espaciais e frequˆencias espaciais pode ser obtida da seguinte forma: supondo v, w = 0 por simplicidade, a fase da resposta do interferˆometro em uma determinada linha de base com comprimento uλ ´e −2πul. A escala espacial L associada `a frequˆencia espacial u ´e a distˆancia entre dois m´aximos consecutivos da resposta do interferˆometro dada pela equa¸c˜ao2.14, o que ocorre quando 2πul = n2π. Isto implica que L = 1/u.
Assim, a maior frequˆencia espacial, umax, associada `a maior linha de base em um
interferˆometro, est´a associada `a menor escala espacial que se pode observar com aquele interferˆometro, ou seja, sua resolu¸c˜ao angular. A resolu¸c˜ao angular de um interferˆometro ´e, ent˜ao,
Lres = 1 umax = λ Bmax (2.22) em que
Lres ´e a resolu¸c˜ao do interferˆometro;
λ ´e o comprimento de onda da radia¸c˜ao observada; e,
Bmax ´e o comprimento da maior linha de base do interferˆometro.
Da mesma forma, conclui-se que a maior escala angular sobre a qual se pode ob- ter informa¸c˜ao com um interferˆometro est´a associada `a menor linha de base. Por outro lado, o campo de visada de um interferˆometro ´e a regi˜ao do c´eu de onde ´e emitida toda a radia¸c˜ao coletada por cada uma das antenas, e o valor normalmente considerado ´e a largura `a meia potˆencia do feixe prim´ario destas antenas.
A representa¸c˜ao gr´afica da proje¸c˜ao sobre o plano tangente `a esfera celeste na dire¸c˜ao s0 do conjunto de frequˆencias espaciais amostradas pelo interferˆometro durante a
observa¸c˜ao ´e obtida desprezando a componente w (que ´e perpendicular ao plano do c´eu na linha de visada) e representando as freq¨uˆencias espaciais associadas a cada visibilidade como pontos em um plano uv. O conjunto de visibilidades amostradas por um interferˆometro no plano uv ´e normalmente denominado cobertura uv.
Para associar as linhas de base `as componentes u, v, w do vetor b, as posi¸c˜oes das antenas s˜ao representadas em um sistema de coordenadas x, y, z cujos eixos apon-
tam nas seguintes dire¸c˜oes de ˆangulo hor´ario (h) e declina¸c˜ao (δ): X = (h = 0, δ = 0), Y = (h = −6h, δ = 0), Z = (δ = 90◦), conforme representado na Figura 2.7. Se
LX, LY e LZ s˜ao as proje¸c˜oes das linhas de base sobre os eixos X, Y e Z, respecti-
vamente, ent˜ao as componentes u, v, w s˜ao dadas por:
u v w = 1 λ sen h0 cos h0 0
−sen δ0 cos h0 sen δ0sen h0 cos δ0
cos δ0cos h0 − cos δ0sen h0 sen δ0
LX LY LZ (2.23) em que,
h0 ´e o ˆangulo hor´ario da posi¸c˜ao do centro de fase, e
δ0 ´e a declina¸c˜ao da posi¸c˜ao do centro de fase.
Figura 2.7 - Representa¸c˜ao da transforma¸c˜ao das coordenadas das posi¸c˜oes das antenas do sistema cartesiano, X, Y, Z, para o sistema equatorial, h, δ. X ´e a dire¸c˜ao do meridiano no equador celeste, Y coincide com a dire¸c˜ao Leste e Z coincide com a dire¸c˜ao do p´olo Norte do c´eu. Fonte: (THOMPSON,1999)
Manipulando as express˜oes para as componentes u e v na Equa¸c˜ao 2.23, obt´em-se:
u2+ v − (Lz/λ) cos δ0 sen δ0 2 = L 2 x+ L2y λ2 (2.24)
a uma linha de base ao longo de uma rota¸c˜ao da Terra ´e descrita por uma elipse no plano uv, como representado na Figura2.8. A Figura 2.9 mostra a cobertura uv associada `as linhas de base do GMRT para fontes em diferentes declina¸c˜oes.
O desenvolvimento apresentado na Se¸c˜ao2.2 mostra que a distribui¸c˜ao de brilho de uma fonte observada por um interferˆometro est´a relacionada `as visibilidades amos- tradas com o interferˆometro atrav´es de uma transformada de Fourier. Como a dis- tribui¸c˜ao de brilho de uma fonte celeste ´e uma fun¸c˜ao real, ent˜ao as visibilidades s˜ao tais que V (−u, −v) = V∗(u, v), e a resposta do interferˆometro fornece dois valores de visibilidade a cada instante durante as observa¸c˜oes.
Figura 2.8 - Representa¸c˜ao esquem´atica da cobertura uv associada a uma linha de base (LX, LY, LZ),
obtida quando uma fonte ´e rastreada ao longo do intervalo de tempo das observa¸c˜oes. A curva inferior corresponde `a revers˜ao do sentido do vetor associado `a linha de base, representando os pontos do plano uv para os quais as visibilidades s˜ao dadas pelo complexo conjugado das visibilidades observadas.
Fonte: (THOMPSON,1999)
Figura 2.9 - Cobertura uv do GMRT obtida das observa¸c˜oes realizadas pelo autor, para fontes em diferentes declina¸c˜oes e tempos de observa¸c˜ao: (acima, `a esquerda) Fonte calibradora 0521+166 em 04/06/2005, a 16◦ de declina¸c˜ao; (acima, `a direita) Sol em 04/06/2005, a 22◦ de declina¸c˜ao; (abaixo, `a esquerda) Fonte calibradora 1822-096 em 10/12/2005, a −9◦ de declina¸c˜ao; (abaixo, `a direita) Sol em 10/12/2005, a −22◦ de declina¸c˜ao.
formados entre as antenas. Assim, se Na ´e o n´umero de antenas de um determinado
arranjo, o n´umero de linhas de base ´e Na(Na−1)/2. Como cada linha de base fornece
O n´umero de visibilidades amostradas por um interferˆometro ´e um n´umero finito, implicando uma amostragem discreta do plano uv onde o n´umero de pontos ´e da ordem do quadrado do n´umero de antenas do arranjo. Esta amostragem pode ser representada por uma fun¸c˜ao S(u, v) que tem valor 1 nos pontos (u, v) amostrados e ´e nula em todos os outros pontos do plano. Inserindo a fun¸c˜ao S(u, v) e considerando A(l, m) = 1 por simplicidade, a Equa¸c˜ao2.21 passa a ser escrita como:
ID(l, m) = Z Z
S(u, v)V (u, v)ei2π(ul+vm)dudv (2.25)
A fun¸c˜ao ID(l, m) ´e conhecida como imagem suja e cont´em a contribui¸c˜ao do feixe
sintetizado pelo conjunto de linhas de base do arranjo, B(l, m), que ´e dado por:
B(l, m) = Z Z
S(u, v)ei2π(ul+vm)dudv (2.26)
Desta forma, utilizando o teorema da convolu¸c˜ao, pode-se escrever:
ID(l, m) = I(l, m) ∗ B(l, m) (2.27)
A Equa¸c˜ao 2.27 ´e importante pois mostra que as imagens obtidas por interferˆome- tros est˜ao sempre convolu´ıdas com o feixe sintetizado. Atualmente, os arranjos tˆem sido dimensionados quanto ao n´umero de antenas e posi¸c˜ao das linhas de base de tal forma que a cobertura uv seja otimizada, reduzindo o efeito do feixe sintetizado sobre os mapas interferom´etricos. Contudo, mesmo nestas configura¸c˜oes otimizadas, os feixes sintetizados ainda produzem efeitos que devem ser removidos das ima- gens. Os m´etodos que foram criados com este objetivo s˜ao denominados m´etodos de deconvolu¸c˜ao e s˜ao discutidos na se¸c˜ao 2.4, a seguir.