CAPÍTULO II – AMOSTRAGEM PERIÓDICA
3.3. Instantes de Amostragem Adaptativos
3.3.1. Amostragem VSI
Menos utilizado na prática, do que o método FSI, mas mais eficaz, no que ao AATS diz respeito, em determinadas magnitudes de alteração do processo, este procedimento foi introduzido por Reynolds et al. (1988) com a ideia de melhorar o desempenho da carta de controlo para a média. Trata-se de um método com uma operacionalização diferentes das anteriores, FSI e PSI, em que o intervalo de tempo entre amostras varia em função da informação recolhida a partir da amostra retirada.
Tendo como base o método FSI, o método VSI assenta na ideia de que o intervalo de tempo entre amostras deve ser menor, quando existe informação na amostra de que no processo pode ter ocorrido alteração, e que o mesmo intervalo de tempo entre amostras deve ser alargado, se a amostra não indicar uma possível alteração. Deste modo, este procedimento permite-nos antecipar (usando um intervalo de tempo menor do que o intervalo fixo) a recolha, e análise, da próxima amostra, caso a média amostral esteja na região mais próxima dos limites de controlo e retardar (usando um intervalo de tempo maior do que o intervalo de tempo fixo usual) a recolha, e análise, da próxima amostra, caso a média amostral caia na região que contém a linha central (e o valor de P0).
O método permite considerar mais do que dois intervalos, dividindo a, denominada, região de continuação em várias sub-regiões, cada uma correspondendo a um intervalo de amostragem, continuando o menor intervalo de amostragem a ser utilizado caso a média amostral cai na região mais próxima dos limites de controlo e o maior intervalo de amostragem a ser utilizado quando a média amostral cai na região central. Contudo, um maior número de intervalos de amostragem aumenta, significativamente, a complexidade de qualquer design que seja considerado.
A análise dos resultados numéricos apresentada em Reynolds et al. (1988), levam à conclusão empírica de que, para P z P0, o intervalo médio de tempo até um ponto sair
fora dos limites de controlo (ATS) é menor, quando apenas são utilizados dois intervalos de amostragem, sendo minimizado, quando se utilizam o menor e o maior dos intervalos. Para minimizar o AATS, os autores concluem que o menor intervalo deve ser o menor possível e que o maior intervalo de amostragem deve ser grande, se houver pretensão de detetar pequenas alterações e deve ser pequeno no caso oposto. Na literatura podem encontrar-se várias justificações para a utilização de dois intervalos.
Reynolds (1989), considerando uma carta de controlo para a média com um limite, apresentam resultados teóricos que mostram que a utilização de dois intervalos de amostragem, considerando o menor e o maior K intervalos, é ótimo em termos da minimização do ATS.
Reynolds e Arnold (1989), considerando uma carta de controlo para a média com dois limites de controlo, e também apresentam razões teóricas que justificam a utilização de dois intervalos.
Runger e Pignatiello (1991), em trabalho autónomo, apresentam uma versão, diferente, do método VSI com dois intervalos amostrais. Os autores consideram que o processo se inicia fora de controlo, e mostram que o uso de dois intervalos de amostragem corresponde a uma política ótima. Porém, salientam que o esquema de amostragem com dois intervalos não é ótimo quando o processo se inicia sob controlo, ocorrendo a falha algures num instante futuro (designado por “steady-state”). Com base na análise dos muitos exemplos considerados, os autores recomendam que o valor do maior intervalo de amostragem deve ser entre 2 a 5 vezes superior ao período de amostragem do método FSI.
carta de controlo para a média, obtiveram uma função do intervalo de amostragem que minimiza o valor do AATS para determinada alteração da média, impondo que o intervalo médio de amostragem em VSI fosse igual ao período de amostragem em FSI, sob controlo, ou seja, que o número médio de amostras recolhidas sob controlo fosse o mesmo nos dois métodos. A função do intervalo de amostragem considerada não usa apenas dois intervalos de amostragem, e depende da magnitude da alteração do processo, que não é conhecida à partida. Desse modo, os autores concluem que um método com dois intervalos de amostragem tem um desempenho comparável a uma política ótima ao longo de diferentes alterações. Apesar deste esquema de amostragem otimizar o desempenho da carta quando o processo se inicia sob controlo e a alteração da qualidade ocorre num instante futuro, apresentando uma pequena vantagem em casos particulares, os autores recomendam o uso de dois intervalos de amostragem em aplicações práticas devido, por um lado, à sua maior simplicidade e, por outro, a que apenas registaram pequenos aumentos nos valores do AATS, quando utilizam o método VSI com dois intervalos.
Utilizando cartas de controlo para a média com limites “3-sigma”, Runger e Montgomery (1993) recomendam que d2 deve ser um valor entre 1.5 e 4 vezes o
intervalo de amostragem do método FSI, devendo estar próximo da margem inferior destes valores, se pretendermos detetar grandes alterações no processo. Recomendações idênticas são feitas por Reynolds et al. (1988) e por Runger e Pignatiello (1991).
Considerando uma carta de controlo para a média, tal como nos métodos apresentados anteriormente, no método VSI, usando dois intervalos de amostragem, daqui em diante denotados por d1 (o menor intervalo) e por d2 (o maior intervalo), a
região de continuação, C, definida como o intervalo entre os limites de controlo estandardizados, é dividida em duas sub-regiões definidas por
Sinal Sinal Ordem da Amostra Intervalo Amostral 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ordem da Amostra Ordem da Amostra n L V P 0 n L V P0 n V w P0 n V w P0 0 P i X 1 d 1 d 2 d 0 0 0 0 1 0 0 0 0 C L , w w , L n n n n V V V V º º ª ª P » P » « P P « ¼ ¼ ¬ ¬, (3.20) 0 0 2 0 0 C w , w n n V V º ª P » P « ¼ ¬, (3.21) com C1 C2 = , C1 C2 = C e 0 < w < L. O menor intervalo de amostragem, d1, é
usado sempre que um ponto correspondente a uma média amostral seja marcado na sub-região C1 e o maior intervalo de amostragem, d2, é utilizado quando um ponto
correspondente a uma média amostral seja marcado na região C2. A Fig. 3.1. dá uma
ideia do que acontece na prática.
Fig. 3.1. – Carta de controlo para a média com método de amostragem VSI.
Analisando a figura, verificamos que o instante para recolha de ordem dois foi determinado usando o intervalo d2, porque a média da amostra, de ordem um, foi
marcada na sub-região C2. A amostra de ordem três foi retirada usando o intervalo d1,
porque a média da amostra, de ordem dois, foi marcada na sub-região C1.
Desta forma, o intervalo médio de amostragem é dado, para uma dada alteração da média e/ou do desvio padrão, por:
E D ,
O U
d1u p1 d2up2
onde E é a probabilidade da média amostral ser marcada dentro dos limites de controlo, dada por (2.9), e
pi P X
Ci O U,
, i 1, 2. (3.23) Segundo Reynolds et al. (1988), o tempo médio até sinal (ATS), utilizado quando o processo se inicia fora de controlo, é dado por
ATS d p1 1 d p2 2
(1 )
E E , (3.24) e o intervalo médio de mau funcionamento, AATS, pode ser obtido por
2 2 1 01 2 02 1 11 2 12 1 01 2 02 d p d p d p d p AATS 2 (d p d p ) 1 E , (3.25) onde p0j, j = 1, 2, representam as probabilidades de um ponto correspondente a uma
média amostral ser marcado na sub-região Cj quando o processo está sob controlo,
O = 0 e U = 1, dadas por
p01 2ª¬)
L )
w º¼, (3.26) p02 )2
w , (3.27) 1 e p1j, j = 1, 2, representam as probabilidades de um ponto correspondente a uma média
amostral ser marcado na sub-região Cj, quando o processo está fora de controlo, O z 0
e U z 1, dadas por p11 )§¨¨L O n·¸¸ )¨¨§w O n·¸¸ )§¨¨ Ow n¸·¸ )§¨¨ OL n·¸¸ U U U U © ¹ © ¹ © ¹ © ¹, (3.28) p12 )¨¨§w O n·¸¸ )§¨¨ Ow n·¸¸ U U © ¹ © ¹. (3.29) A eficácia deste método foi analisada através de comparações do seu desempenho com o método FSI, impondo que ambos os métodos estejam nas mesmas condições sob controlo. Assim, para que o intervalo médio de amostragem, E(D), em VSI, seja
igual ao período de amostragem, d, de FSI, o valor do coeficiente w é, no caso da distribuição por amostragem ser normal, obtido pela expressão
1
2 1 2 1 2 L d d d d w 2 d d ª u ) u º ) « » « » ¬ ¼, (3.30) podendo encontrar-se uma expressão análoga em Runger e Pignatiello (1991) para cartas só com um limite de controlo.
Reynolds et al. (1988), Runger e Pignatiello (1991) e Runger e Montgomery (1993) concluem que o desempenho das cartas de médias com método VSI, e dois intervalos de amostragem, é sempre mais eficaz do que o método FSI, em termos de ATS. Contudo, quando os métodos são comparados em termos de AATS, o desempenho de VSI é melhor em reduzidas e moderadas alterações da média mas é pior em grandes alterações da média, sendo as reduções no ATS e no AATS mais acentuadas quando é considerada uma carta de controlo com um só limite.
Durante os trabalhos desta dissertação podemos também constatar que a redução do maior intervalo de amostragem, d2, em VSI, melhora o desempenho do método num
maior número de alterações, porque diminui o coeficiente w dos limites de vigilância e aumenta a probabilidade de utilizar o menor intervalo de amostragem, aumentando, dessa forma, o número médio de amostras recolhidas.
Em Rodrigues Dias e Infante (2008) o desempenho do método VSI é comparado com PSI, em termos de AATS, concluindo os autores que a eficiência do método VSI, na deteção de alterações na média, diminui à medida que aumenta a taxa de risco do sistema e que, quando a taxa de risco é constante ou crescente, G t 1, PSI é mais eficiente do que VSI em reduzidas e grandes alterações da média.
Ao longo dos anos, o procedimento VSI foi sendo utilizado com outras cartas, considerado para resolver novas problemáticas e em novas versões de métodos de amostragem.
Em relação à utilização com novas cartas podem ver-se, por exemplo, os trabalhos de Chengalur et al. (1989), que consideram o uso simultâneo de cartas para a média e para a variância, Saccucci et al. (1992) que estudam as propriedades e o desempenho de, por exemplo, esquemas VSI-EWMA, VSI-CUSUM com recurso às cadeias de Markov, Ramalhoto e Morais (1994) que estudam cartas Shewhart, EWMA e CUSUM para a média com método VSI, Morais e Natário (1998) que consideram uma carta c unilateral superior, Reynolds e Stoumbos (2001) que consideram cartas simultâneas para a média e para a variância com observações individuais, Stoumbos e Reynolds (2005) que comparam o desempenho de esquemas VSI-Shewhart e VSI-EWMA para médias, num contexto económico de aplicações práticas, Chou, C. Y. et al. (2006) que utilizam um algoritmo genético para obter os parâmetros ótimos de cartas EWMA para a média com método VSI, e que minimizam o custo total, Chou, C.-Y. et al. (2006) que realizam um estudo idêntico ao anterior, mas considerando cartas conjuntas para a média e para a amplitude, Castagliola et al. (2007) que estudam uma carta EWMA para a variância com método VSI e Luo et al. (2009) que consideram uma carta CUSUM para a média.
Na resolução de novas problemáticas, podem citar-se os trabalhos de Amin e Letsinger (1991), que consideram o número de transições (“switches”) entre os intervalos de amostragem em diferentes cartas com método VSI introduzindo regras suplementares, Amin e Hemasinha (1993) que também estudaram o problema dos autores anteriores, Ramalhoto e Morais (1995) e Ramalhoto e Morais (1999) que estudam cartas do tipo Shewhart com amostragem fixa e variável e Ramalhoto e Morais (1998) que estudam esquemas VSI-EWMA, para detetar alterações do parâmetro de escala da distribuição de Weibull, Reynolds e Arnold (1996) que comparam o desempenho de uma carta de controlo para a média com métodos VSI e FSI, considerando a presença de correlação entre as amostra, Stoumbos et al. (2001) que estudam o “steady-state optimal” de uma carta de controlo para a média com VSI,
Chen (2003) que estuda o desempenho de um design económico-estatístico com método VSI e carta de controlo para a média, quando a característica da qualidade não é normal, Zhang e Wu (2006) que estudam uma carta CUSUM, com método VSI, que inclui uma função de prejuízo com influência nos limites de controlo, Chen e Yeh (2010) que estudam a influência da não normalidade da característica da qualidade no desempenho de uma carta para a média, com método VSI, num contexto económico e Lin e Chou (2011) que realizam um estudo de robustez para cartas EWMA e cartas conjuntas Shewhart-EWMA, com amostragem VSI, sob a não normalidade.
Relativamente a novas versões do método, podemos considerar como exemplos os trabalhos de Baxley (1995) que apresenta um novo procedimento com VSI, denominado VSI-FT (“Variable Sampling Intervals with Fixed Times”), Epprecht et al. (2010) que apresenta um procedimento VSI com carta EWMA num contexto de amostragem por atributos e Torabian et al. (2010) que consideram uma carta Hotelling´s T2 com amostragem VSI e limites adaptativos, denominada VSICL (“Variable Sampling Intervals and Control Limits”).