CAPÍTULO II – AMOSTRAGEM PERIÓDICA
2.3. Dimensão Adaptativa das Amostras
2.3.1. Amostragem VSS
De modo a incrementar a eficácia da carta de controlo em reduzidas e moderadas alterações do processo, Prabhu et al. (1993) e Costa (1994), em estudos independentes, apresentaram uma carta de controlo para a média com duas dimensões amostrais que variam em função da média amostral. Trata-se de uma carta cuja operacionalização é idêntica à da carta com o método de amostragem VSI
(“Variable Sampling Intervals”), de intervalos diferentes, introduzido por Reynolds et al. (1988) e que será apresentado no próximo Capítulo.
Tendo por base o método de amostragem FSI, o método de amostragem com dimensões amostrais variáveis, denominado na literatura e neste trabalho por VSS (“Variable Sample Size”), é baseado na ideia de que a dimensão da amostra deve ser maior quando o valor da mesma indiciar que o processo se alterou e que a dimensão da amostra deve ser menor se o seu valor não indiciar uma possível alteração do processo.
Nos trabalhos de Prabhu et al. (1993) e de Costa (1994) são estudadas as propriedades estatísticas e o desempenho da carta de controlo, para a média, com método de amostragem VSS utilizando duas dimensões amostrais, denotadas n1 e n2,
com n1 < n < n2, sendo n a dimensão amostral no método FSI. O intervalo entre os
limites de controlo estandardizados (denominada região de continuação, C) é dividido em duas regiões:
C1
@
w, w>
, (2.17) C2@
L, w@ >
w, L>
, (2.18) com C1 C2 = , C1 C2 = C e 0 < w < L. Definida a partição da região decontinuação, verificamos que a região C1 corresponde a valores próximos da linha
central e a região C2 a valores mais próximos dos limites de controlo. Em termos de
operacionalização, utiliza-se uma amostra de dimensão n1 quando a estatística
amostral cai na região C1 e uma amostra de dimensão n2 quando a estatística amostral
é marcada na região C2.
Prabhu et al. (1993) justificam esta metodologia com a natureza inerente ao processo em avaliação, sendo que esta pode implicar uma frequência de amostragem constante mas com dimensões amostrais adaptativas. Por outro lado, consideram que
o aumento da dimensão amostral pode ser uma vantagem, no aumento da eficácia de uma carta, em comparação com métodos que utilizam dimensão amostal fixa.
Considerando alterações apenas da média (U = 1), e os pressuposto dos autores, a dimensão média das amostras é dada por
E N
O n p1 1n p2 2
E , (2.19) onde E é a probabilidade da média amostral cair dentro dos limites de controlo, dada por (2.9), e
pi P X
Ci O
, i 1, 2. (2.20) As propriedades estatísticas de uma carta de controlo com intervalos de amostragem fixos, limites de controlo fixos e dimensões amostrais variáveis são, usualmente, obtidas pelo número médio de amostras até haver sinal de fora de controlo (ARL) e pelo número médio de itens inspecionados até uma média ser marcada fora dos limites de controlo (ANOS).
Prabhu et al. (1993), recorrendo às propriedades das cadeias de Markov, obtêm o ARL da carta de controlo para a média com método de amostragem VSS e apresentam várias tabelas de valores para diferentes pares de dimensões amostrais. Costa (1994) obtém, igualmente com recurso às cadeias de Markov, expressões para o ARL e para o ANOS, apresentadas em Infante (2004), de forma simplificada, e dadas por
22
12
11
21 0 0 11 22 12 21 11 22 12 21 1 p p 1 p p ARL p 1 p 1 p 1 p p p 1 p 1 p p p ª º ª º « » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼, (2.21)
0
22
0 21
0 12
0
11
1 2 11 22 12 21 11 22 12 21 p 1 p 1 p p p p 1 p 1 p ANOS n n 1 p 1 p p p 1 p 1 p p p ª º ª º « » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼, (2.22) com
0 p P Z w Z L , (2.23)
p ) wO n ) w O n , i 1,2, (2.24)
i2 i i i i
p ) w O n ) L O n ) L O n ) wO n . (2.25)
Para obter o ATS e o AATS do método VSS consideram-se as expressões (2.14), (2.15) e (2.21), sendo estas medidas dadas, respetivamente, por
ATS ud ARL, (2.26) AATS ud
ARL 0,5
. (2.27) O coeficiente w, que divide a região de continuação em duas regiões, é obtido, naturalmente, de modo a que a dimensão média das amostras, quando o processo está sob controlo (O = 0 e U = 1), seja igual à dimensão das amostras usando o método FSI. Nesse pressuposto, igualando (2.19) a n e considerando o valor L para o múltiplo do desvio padrão nos limites de controlo, obtemos
2
1 1 2 1 2 L n n n n w 2 n n ª u ) u º ) « » « » ¬ ¼, (2.28) sendo os limites de vigilância e os limites de controlo, de uma carta para a média com método VSS, dados, respetivamente, por
0 0 i LVS w n V P , 0 0 i LVI w n V P , (2.29) e por 0 0 i LCS L n V P , 0 0 i LCI L n V P . (2.30) Para comparar desempenhos, entre cartas de controlo que utilizam método VSS cartas que utilizam método FSI, consideramos que as cartas estão nas mesmas condições sob controlo, ou seja, com o mesmo número médio de falsos alarmes, o mesmo número médio de amostras analisadas e o mesmo número médio de itens inspecionados, só necessitando de selecionar o mesmo valor do coeficiente dos limites de controlo e o mesmo período de inspeção para FSI (d).
Os resultados apresentados em Prabhu et al. (1993) foram obtidos para L = 3, concluindo os autores que, para diferentes alterações da média, O, o ARL da carta de
controlo para a média com método VSS pode ser menor que o ARL da carta de controlo para a média com método FSI (geralmente em reduzidas e moderadas alterações da média). Ainda assim, para algumas das alterações consideradas (grandes alterações da média), o ARL da carta com método FSI é menor do que o ARL da carta com método VSS como se pode constatar pelos valores da Tabela 2.1 apresentada a seguir. No mesmo trabalho, os autores também apresentam os valores da maior dimensão amostral n2 que minimizam o ARL para um determinado valor de O,
fixando a menor dimensão amostral n1 e a dimensão amostral do método FSI, n. O 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00 ARLFSI (n = 5) 370,40 133,16 33,40 10,76 4,50 2,39 1,57 1,22 1,08 1,00 1,00 ARLVSS (n1, n2) = (1, 15) 370,40 101,08 12,45 4,02 2,65 2,21 1,99 1,84 1,73 1,53 1,37 ARLVSS (n1, n2) = (1, 10) 370,40 114,60 18,30 5,05 2,64 1,95 1,70 1,59 1,52 1,40 1,28 ARLVSS (n1, n2) = (2, 7) 370,40 125,78 25,85 7,34 3,21 1,98 1,53 1,33 1,24 1,12 1,04
Tabela 2.1. – Valores do ARL da carta para a média com método FSI e método VSS para diferentes pares de dimensões amostrais.
Flaig (1991) propôs um método VSS com três dimensões amostrais, a que correspondem três regiões definidas por limites situados à distância da linha central de um desvio padrão, dois desvios padrão e três desvios padrão da média amostral (situação correspondente aos limites de controlo), obtendo expressões para algumas medidas do desempenho estatístico da carta de controlo com este procedimento.
Costa (1994) considerou diferentes valores para L, nomeadamente L = 2.5, 3 e 3.5, e obteve o par de dimensões amostrais que minimizam o ARL para determinadas valores de O na média. O autor também compara o desempenho da carta de controlo com o método VSS com o desempenho da carta de controlo com os métodos FSI, VSI e DS, concluindo que a carta VSS é mais eficaz a detetar alterações cuja magnitude é inferior a 1 (O < 1) e que necessita de inspecionar menos itens, contudo o número de itens inspecionados pode ser considerável para grandes alterações, deixando o método VSS de ser a melhor alternativa nesses contextos. Quando O > 1, a carta com o
menos itens. Por fim, conclui que o método VSS melhora o desempenho da carta de controlo para a média em comparação com o desempenho das cartas EWMA, CUSUM e carta para a média com regras suplementares, embora seja necessário inspecionar, em média, mais itens.
Park e Reynolds (1994), numa abordagem económica, comparam o desempenho da carta de controlo para a média com método VSS com o desempenho da carta de controlo para a média com método FSI, utilizando como critério o custo total médio por unidade de tempo. Admitindo que o processo está sujeito a diferentes causas assinaláveis, os autores utilizam duas dimensões amostrais e determinam o intervalo de amostragem, o coeficiente dos limites de controlo e as dimensões das amostras que minimizam o custo esperado por unidade de tempo de funcionamento do sistema. Os resultados numéricos que apresentam indicam que o método VSS é tanto mais vantajoso quanto menor o custo administrativo e o custo de amostragem.
Zimmer et al. (1998) consideram um método VSS com uma terceira dimensão amostral e comparam-no com o método VSS com duas dimensões amostrais e com o método FSI, concluindo que a melhoria de desempenho da carta com três dimensões amostrais não compensa o aumento da sua complexidade na aplicação.
Zimmer et al. (2000) apresentam um método VSS com quatro dimensões amostrais e comparam o seu desempenho com o de métodos com três dimensões amostrais e intervalos variáveis, concluindo, novamente, que o aumento da complexidade do método não compensa a ligeira melhoria de eficácia.
Reynolds e Arnold (2001) estudam o desempenho de uma carta de controlo EWMA com o método VSS e concluem que esta é consideravelmente mais eficaz a detetar todo o tipo de alterações da média com exceção de grandes alterações.
Lin e Chou (2005) realizam um estudo de robustez para uma carta de controlo para a média com o método VSS, considerando que a característica da qualidade tem distribuição de Burr. O desempenho da carta é comparado com o da carta de controlo
para a média com métodos FSI, VSI e VSSI, considerando limites simétricos e assimétricos em probabilidade, concluindo os autores que a escolha dos limites assimétricos em probabilidade melhora o desempenho da carta e torna-a robusta, sendo por isso uma boa alternativa em aplicações práticas onde, em geral, a característica da qualidade se afasta da distribuição normal.
Yang e Su (2006) propõem a utilização do método VSS com três dimensões amostrais para estudar dois processos dependentes e duas causas assinaláveis independentes. Os autores consideram que os processos têm tempo de vida exponencial e utilizam, em simultâneo, uma carta de controlo para a média amostral da variável explicativa e uma carta de controlo para os erros do modelo de regressão linear ajustado. Considerando alterações para as duas causas assinaláveis, recorrem às cadeias de Markov para obter expressões do AATS, sendo a eficácia do procedimento comparada com a eficácia de um procedimento com método FSS, concluindo que o procedimento proposto é ligeiramente mais eficaz, em reduzidas alterações, do que o procedimento que utiliza o método FSS.
Zhang e Wu (2007) apresentam um procedimento, com amostragem VSS, para detetar alterações na média e na variância considerando uma carta de controlo CUSUM e uma função de prejuízo (em termos de lucro) com um fator de ponderação. Os autores concluem que o design proposto é mais simples de implementar e mais eficiente do que os procedimentos que utilizam amostragem VSI ou VSSI.
Em Castagliola et al. (2012) é estudada uma carta de controlo para a média utilizando o método VSS e considerando que os restantes parâmetros da carta são desconhecidos, os quais são estimados na fase I do controlo do processo. Com base em cadeias de Markov, os autores obtêm o RL e o ARL da carta para comparar o seu desempenho com o de uma carta com parâmetros conhecidos, concluindo que uso dos parâmetros estimados influência fortemente o desempenho da carta estudada, em particular para pequenas alterações da média.