Propriedades Estatísticas

Considere-se T a variável aleatória que representa o tempo de vida do sistema (ou

como a variável aleatória de tempo até à ocorrência de uma causa assinalável) com função densidade f(t) conhecida e contínua.

Designando por N0 a variável aleatória que representa o número de amostras desde

o (re)início do processo até à primeira amostra após a falha, o seu valor esperado é dado por

 

i 1 i t 0 i 0 _t E N (i 1) f(t)dt  f 

¦

³

, (2.1) onde ti designam os instantes de inspeção, com t0 = 0.

Em amostragem periódica, de período d, tem-se ti = id, e o valor esperado de N0,

após simplificações algébricas, é dado por

 

₀

>

@

i 1 i 0

E N i F(id) F[(i 1)d] R(id)

f f

 

¦

¦

, (2.2)

sendo R(t) a função de fiabilidade do sistema definida por

R(t) 1 F(t)  , (2.3) que se pode também obter à custa de f(t) e da taxa de risco do sistema, h(t), definida por

h(t) f(t)

R(t), (2.4) considerando que h(t)dt é a probabilidade, condicionada, do sistema falhar no intervalo

>

t, tdt

@

, dado que não falhou até ao instante t.

Seja G a variável aleatória que representa o intervalo de tempo entre o instante em

que ocorre a falha e o instante em que é recolhida a amostra seguinte. O valor esperado de G é dado por

E G

 

ud E N

 

₀ E T

 

. (2.5) Considerando (2.2) e que o tempo médio de vida do sistema é dado por

 

0

E T R(t)dt

f

³

, (2.6) podemos escrever (2.5) como

 

i 0 0 E G d R(id) R(t)dt f f u

¦



³

. (2.7) Rodrigues Dias (1987), em contexto de inspeções perfeitas de sistemas, apresenta interpretações geométricas simples para as expressões (2.2), (2.6) e (2.7) e, com base na interpretação geométrica, uma aproximação para E(G), dada por

E G

 

d 2

# . (2.8) Em Rodrigues Dias (1983b), num contexto económico, e em Rodrigues Dias (1986b), numa abordagem que utiliza a correspondência entre os resultados relativos à inspeção periódica de sistemas e uma política de inspeção não periódica, considera diferentes distribuições para o tempo de vida e conclui que E(G) pode ser superior ou inferior a metade do intervalo de inspeção. Rodrigues Dias (1988) conclui que a aproximação (2.8) é tanto melhor quanto menor for o intervalo de amostragem relativamente ao tempo médio de vida do sistema. Em Infante (1997) e Infante e Rodrigues Dias (2002a), recorrendo a estudos de simulação, são consideradas diferentes abordagens, incluindo diferentes distribuições com diferentes tipos de taxas de risco para o tempo de vida do sistema, tendo sido retiradas conclusões idênticas às retiradas por Rodrigues Dias (1983b).

Em Infante (2004) foi realizado um estudo pormenorizado para avaliar a influência da distribuição do tempo de vida do sistema na aproximação (2.8). O autor considera cinco distribuições para tempo de vida do sistema com diferentes tipos de taxas de risco e o método dos mínimos quadrados para ajustar os valores de E(G) a uma reta do tipo E(G) = md, concluindo que, para todos os casos considerados, os ajustamentos obtidos são muito bons, pois o pior coeficiente de determinação obtido (quando considera tempo de vida de Hjorth) foi de 0.994.

Defina-se E como a probabilidade da média de uma amostra de dimensão n se situar entre os limites de controlo de uma carta de controlo para a média. A expressão algébrica que permite calcular E é dada por

E )§_¨¨L O n_¸·¸ )¨_¨§  OL n¸·_¸

U U

© ¹ © ¹, (2.9) onde )(x) é a função distribuição da variável normal reduzida, L é o múltiplo do desvio padrão nos limites de controlo e O e U as magnitudes das alterações na média e no desvio padrão dadas, respetivamente, por

1 0 0 P  P O V , (2.10) 1 0 V U V , (2.11) onde P0 e V0 são os valores da média e do desvio padrão, com o processo sob

controlo, e P1 e V1 os valores da média e do desvio padrão após a ocorrência de uma

falha.

Seja RL (“Run Length”)  a  variável  aleatória  que  representa  o  número  de  amostras  

analisadas até uma média amostral cair fora dos limites de controlo (regra usual quando utilizamos uma carta de controlo para a média, podendo ser falso alarme caso estejamos sob controlo). Neste caso, RL segue uma distribuição geométrica de parâmetro 1-E, sendo o seu valor médio e a sua variância dados, respetivamente, por

ARL 1 1 E, (2.12)

 





2 Var RL 1 E  E . (2.13) Ryan (2011) (p. 128) e Montgomery (2009) (p. 192) referem que a utilização do ARL (“Average Run Length”)  para  avaliação  do  desempenho  das  cartas  de  controlo  tem  sido   muito criticada devido ao facto da distribuição do RL, para uma carta de controlo do tipo Shewhart, ser a distribuição geométrica, que tem um desvio padrão muito grande e a curva, correspondente, muito achatada, implicando que a sua média (ARL) não seja, forçosamente,  um  valor  “típico”  do  RL.

Ainda assim, a distribuição do RL tem sido objeto de investigação em vários artigos. Champ e Woodall (1987) desenvolvem um método para obter as propriedades do RL de cartas de controlo do tipo Shewhart com regras suplementares, recorrendo às cadeias de Markov, e apresentam tabelas com os valores do ARL para as regras mais comuns. Champ e Woodall (1990) apresentam um programa, em linguagem FORTRAN, que permite avaliar as propriedades do RL das referidas cartas de controlo com regras suplementares. Champ (1992) combina o método de distribuição cíclica, para  “steady-state”,  com  o  método  desenvolvido  em  1987  e  calcula  o  SSARL  (“Steady- State Average Run Lengths”),   obtido   quando   a   estatística   de   controlo   já   atingiu   uma   distribuição estacionária no instante de recolha da amostra imediatamente anterior à ocorrência de alteração, para cartas do tipo Shewhart comparando-o com o ARL de cartas EWMA e CUSUM.

Amin et al. (1999) apresentam uma carta EWMA com base no mínimo e no máximo

valores de cada amostra. Com recurso às cadeias de Markov obtêm o ARL da carta, denominada MaxMinEWMA, concluindo que desempenho da carta melhora, em termos do ARL, para alterações simultâneas da média e do desvio padrão.

Chakraborti (2000) obtém expressões exatas para o RL e para o ARL de uma carta de controlo do tipo Shewhart para a média, quando a média e/ou a variância do processo são desconhecidas, concluindo que o facto da variância ser desconhecida pode ter mais influência no valor do ARL. No mesmo trabalho, o autor apresenta tabelas com o número de amostras a inspecionar para estimar limites de controlo e dimensão das amostras de modo a se obter um determinado ARL sob controlo dado o valor da proporção de falsos alarmes.

Morais e Pacheco (2001b) estabelecem propriedades estocásticas do RL para cartas unilaterais superiores Shewhart e EWMA para a média. As propriedades apresentadas permitem estudar o desempenho das cartas para alterações da média e/ou  desvio  padrão  e  analisar  o  RLMS  (“Run Length to a Misleading Signal”),  definido   como o número de amostras analisadas até à emissão de um sinal pela carta de controlo para a média, quando ocorre apenas uma alteração do desvio padrão. Em Morais e Pacheco (2001c) encontram-se outras referências a diversos resultados de ordenação estocástica envolvendo o RL.

Jones et al. (2004) estudam a distribuição do RL, obtendo aproximações dos momentos, para cartas de controlo CUSUM com parâmetros estimados. Champ e Aparisi (2008), utilizando amostragem dupla, uma carta de controlo T2 e um algoritmo genético, obtêm o design ótimo da carta com base no ARL.

Finalmente, em Costa e Machado (2008) é considerada uma carta para a variância com duas características da qualidade. Os autores utilizam o ARL para avaliar a performance da carta com a performance da carta para a variância generalizada, concluindo que a carta proposta tem, na generalidade, melhor performance.

Outras referências à distribuição do RL, e utilização de diferentes cartas de controlo, podem encontrar-se nos trabalhos referidos anteriormente ou em qualquer bom livro sobre a temática, como, por exemplo, em Montgomery (2009) onde são apresentadas diversas técnicas para obter o ARL de cartas EWMA, CUSUM, EWMA por atributos,

entre outras, bem como diversas tabelas com valores do ARL para condições particulares.

Tendo em conta que o ARL é uma medida pouco apropriada, por exemplo, para realizar comparações de diferentes métodos de controlo com instantes de amostragem adaptativos, pois o intervalo entre amostras não é constante e igual para os diferentes métodos, foram introduzidas outras medidas do desempenho estatístico, como o ATS (“Average Time to Signal”),   intervalo   médio  de   tempo decorrido desde o (re)início do processo até ao instante em que é recolhida a amostra que emite o sinal da falha, e o AATS  (“Adjusted Average Time to Signal”),  intervalo médio de tempo decorrido desde o instante em que ocorre uma falha até esta ser detetada pela carta.

Assim, considerando uma carta de controlo para a média, com um período constante entre amostras igual a d, o tempo médio desde o instante inicial até uma média sair fora dos limites de controlo é dado por

ATS ud ARL, (2.14) e o intervalo médio de tempo entre o instante em que o sistema falha e o instante em que a falha é detetada pela carta de controlo, denominado período médio de mau funcionamento do sistema, e designado, na literatura e neste trabalho, por AATS, é dado por

AATS ud _»E N

 

₀ ARL 1 _¼º E T

 

. (2.15) Considerando (2.2), (2.6) e (2.12) e a aproximação (2.8), podemos obter uma aproximação para o AATS dada por

AATS d d d ARL 0,5





1 2

#  

 E . (2.16) Em Infante e Rodrigues Dias (2002a, b) são apresentadas aproximações, que generalizam uma aproximação obtida por Nakagawa e Yasui (1979) em sistemas com inspeções perfeitas, para o período de inspeção que minimiza o custo total médio de funcionamento de um sistema por ciclo, utilizando a aproximação (2.16). No primeiro

trabalho, os autores concluem que as aproximações para o período de inspeção podem ser consideradas ótimas ou quase ótimas.

A aproximação (2.16) é de grande utilidade, pois permite, sem perda de generalidade, considerar o período de amostragem igual a uma unidade de tempo e determinar os parâmetros de métodos não periódicos de modo a que estejam nas mesmas condições quando o processo está sob controlo.

No documento POLÍTICAS de AMOSTRAGEM em CONTROLO ESTATÍSTICO da QUALIDADE (páginas 58-64)