Geogebra como um facilitador do aprendizado. A Tarefa Final foi aplicada conjuntamente com a Tarefa 3.
A seguir apresentamos a análise a priori e a posteriori de cada uma das tarefas propostas aos nossos alunos do Ensino Médio; participantes voluntários do trabalho de campo da nossa pesquisa.
4.4.1 – Análise a Priori e Posteriori da Tarefa 1
A Tarefa 1 foi composta de 6 alternativas (A, B, C, D, E e F) que direcionava os alunos na realização das atividades. Para esta atividade, contamos com a participação de 12 alunos.
Figura 38: Alternativas A e B
Fonte: Material da Autora
Verificamos que nenhum aluno teve dificuldade em compreender o que estava sendo solicitado na alternativa A. As dificuldades que todos apresentaram estava no fato de não conhecerem a ferramenta Geogebra. Para tanto, em um primeiro momento
123 pedimos que eles explorassem um pouco a ferramenta, para adquirir familiaridade com o software. Com a utilização de um Datashow procuramos mostrar alguns dos recursos que iríamos utilizar, como forma de orientá-los na utilização da ferramenta.
Na alternativa B, procuramos explicar rapidamente como obter o conjugado de um número complexo, pois como já foi dito anteriormente esse assunto não é abordado na apostila do aluno, e portanto, eles não sabiam o que era. Nos limitamos a informar apenas como obter o conjugado do número e observar a maneira como eles perceberiam os demais conceitos. O que se pretendia ao solicitar a realização dessa atividade era que eles pudessem observar dois aspectos importantes em relação ao número complexo e seu conjugado. O primeiro é que eles são simétricos, logo, eles possuem o mesmo módulo e mesmo ângulo em relação ao eixo de simetria (eixo real do sistema Argand Gauss). Isso é o que foi solicitado na alternativa B.
Ao observar os resultados desta alternativa, conclui-se que alguns alunos tiveram uma percepção parcial. Talvez, há entre esses alunos aqueles que tenham percebido, porém não conseguiram se expressar para explicar o que visualizaram. Percebe-se que muitos alunos possuem dificuldades em relação a alfabetização matemática e/ou relacionada as conversões das representações semióticas, e isso os atrapalha nas conclusões lógicas quando solicitadas. Podemos concluir ainda que esses alunos apresentam dificuldades em relação à conversão do registro algébrico ou o registro gráfico para o registro linguístico dentro registros de representação semiótica.
Na verdade, observa-se em todas as atividades e tarefas aplicadas que os alunos apesar de realizarem muitas atividades até com certa facilidade no Geogebra, na hora de transcreverem suas conclusões na forma da língua natural, apresentam grandes dificuldades em explicar de forma clara o que realmente observaram. Segundo Duval (2009, p.78),
As unidades significantes de um gráfico correspondem aos valores de diferentes variáveis visuais (DUVAL, 1988, P.240-242). O aluno que não as discrimine é como cego para a conversão inversa da que é classicamente ensinada. Isso quer dizer que ele tem poucas chances de fazer uma leitura “correta” dos gráficos.
124 Um dos alunos, respondeu que os dois vetores possuem o mesmo ângulo em relação ao “zero”. Percebe-se que o aluno queria dizer eixo de simetria. Outros três alunos responderam que ambos os números, possuem o mesmo módulo. Outro aluno indica que os números são “espelhados” em quadrantes diferentes. Entendemos nesse caso que o aluno percebeu a simetria, porém não soube expressar-se de forma correta e por isso usou a informação “espelhados”, pois não indicou em relação a qual eixo ocorre o espelhamento. Outros dois alunos informaram que o conjugado acontece no “quarto quadrante”, ou seja, há mudança de quadrante. Outros três alunos perceberam que a parcela real do número permanece inalterada, e que na parcela imaginária ocorre uma troca de sinal. Essa conclusão cremos que é muito primária e esperávamos algo além. Os outros dois últimos alunos não souberam responder, ou seja, suas respostas são totalmente sem sentido, o que deixa claro que tais alunos possuem grandes dificuldades em relação ao aprendizado matemático. Como se vê na figura abaixo, o aluno não respondeu o que foi questionado, ou seja, qual a relação entre o número complexo e seu conjugado. Ele somente explicou em sua visão o que é o conjugado, porém ao alegar que “o imaginário fica negativo”, naturalmente entendemos que ele está se referindo a parcela imaginária do número, porém não pensou que se o número complexo tomado já possuir sua parcela imaginária negativa, o conjugado desse número apresenta uma parcela imaginária positiva.
Figura 39: Alternativa B – Resposta do aluno L
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Figura 40: Alternativa C
Fonte: Material da Autora
Em relação a alternativa C procuramos fazer o aluno refletir sobre o segundo aspecto importante na relação de um número complexo com o seu conjugado, que está no fato de que a operação de adição entre eles, torna o resultado um número real e encontramos o resultado no eixo de simetria. Esperava-se que os alunos tivessem essa percepção. Ao solicitar ao aluno que movimentasse o número complexo escolhido, a ideia era que ele percebesse que para qualquer número complexo quando somado com o seu conjugado o resultado é um número real, ou seja, esperava-se que eles percebessem que esses conceitos sempre serão válidos, para qualquer número complexo escolhido.
Figura 41: Geogebra - Alternativa C – Resposta da aluna B
126 Em relação a esse item, uma aluna conseguiu se posicionar no sentido de que a operação entre o complexo e seu conjugado, torna o número um real. Percebeu ainda que o resultado da soma se altera, quando se movimenta o z1 de tal maneira que o z2 deixa de ser o conjugado, porém se movimentar o z2 colocando na condição de conjugado, a relação de soma entre eles retorna a obter como resultado um número real. Muito embora a aluna não tenha escrito toda essa informação, mas ela nos respondeu, quando fomos questionando o que acontecia.
Outros quatro alunos não perceberam que o resultado da soma gera um número real, mas perceberam que ao movimentar o z1, o resultado da soma também alterava, pois “é diretamente dependente da posição do z1” Um outro aluno respondeu que o módulo não muda, continuará o mesmo ao se movimentar o z1, o que nos deixou claro que o aluno ou não movimentou o z1, ou não compreendeu o questionamento, visto que a realização da operação foi feita de forma correta, pelo que observamos em seu arquivo salvo.
Um outro aluno não compreendeu o questionamento e respondeu que o “a dobrou e o b diminuiu”. O aluno aqui está se referindo a parte real e imaginária do número complexo, que ao realizar a soma, dobra a parte real e a imaginária zera. Percebe-se que este aluno tem dificuldades em expressar sua percepção, além de não fornecer todas as respostas pedidas. Em seu arquivo verifica-se que o aluno realizou a operação de forma correta, porém tem dificuldades em expressar suas percepções.
Os outros cinco alunos se limitaram a realizar a operação no Geogebra, não nos respondendo quais foram suas percepções. Desses cinco alunos, dois deles não conseguiram realizar corretamente a operação na ferramenta Geogebra, como pode-se observar na imagem abaixo:
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Figura 42: Geogebra – Alternativa C - Resposta do aluno G
Fonte: Material da Autora
Figura 43: Alternativa D
Fonte: Material da Autora
Para a resolução dessa tarefa, eu tive que ler com eles e orientar o que estava escrito e o que estava sendo pedido. Vários alunos reclamaram alegando não estar entendendo. Lembrei a eles que isso era uma pesquisa e que o objetivo era justamente procurar entender o que eles não compreendiam. Percebemos que na verdade eles estão
128 acostumados a não serem desafiados, eles estão acostumados com as coisas prontas; deixando de lado o exercício do “pensar”.
Esperávamos que os alunos não apresentassem qualquer dificuldade em realizar a tarefa e que tirassem as conclusões corretas em relação à figura formada (paralelogramo) e que observassem que o vetor soma era a diagonal maior do paralelogramo. Nossa expectativa estava pautada no fato de que nas aulas da disciplina de Física, os alunos aprenderam sobre a relação da operação de soma entre forças, onde se utiliza a regra do paralelogramo.
Figura 44: Aluna C realizando atividade no Geogebra
Fonte: Material da Autora
Dois alunos perceberam que a figura formada era um paralelogramo e que os lados opostos aos vetores tomados eram iguais (mesma medida). Um desses alunos percebeu ainda que se ele movimentasse um dos complexos escolhidos, a relação de igualdade com os vetores dos lados opostos e também com o vetor soma, permanecia a mesma, porém, ambos não informaram que o vetor soma era a diagonal maior do paralelogramo.
129 Outro aluno percebeu também que a figura formada era um paralelogramo, porém tirou conclusões errôneas em relação a operação de soma. Um quarto aluno apenas informou que havia obtido um paralelogramo. Outro aluno percebeu que o vetor soma mantém a relação com os vetores z1 e z2 escolhidos quando ocorre o movimento de algum deles, porém o aluno concluiu que a figura formada era um losango. Outros dois alunos apenas observam que a figura formada é um quadrilátero. Outros três alunos informaram que a figura formada é um prisma, sendo que um deles porém ressalta que quando se movimenta um dos vetores, o vetor resultante (soma), acompanha o movimento. Outro aluno não respondeu e o último aluno não conseguimos entender suas conclusões. Em nossa expectativa, esperávamos um pouco mais em relação ao que foi obtido.
Figura 45: Geogebra – Alternativa D - Resposta da aluna SB
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Figura 46: Alternativa E
Fonte: Material da Autora
Na alternativa E, a expectativa era que os alunos percebessem o mesmo tipo de relação que ocorre na operação da soma, também ocorre na operação da subtração, com a diferença de que o vetor diferença é representado pela diagonal menor do paralelogramo. Também esperava-se que eles percebessem que ao se movimentar um dos vetores, a relação sempre permanece.
Muito nos surpreendeu as respostas dadas pelos alunos, pois 9 deles perceberam que as igualdades modulares entre os vetores opostos permaneciam e, que se movimentassem qualquer um deles, a relação entre os vetores z1, z2 e o vetor subtração também permaneciam, porém, não relacionaram a operação de subtração com a figura do paralelogramo. Um dos alunos apenas informou que a “linha da subtração é metade da linha da soma”, ou seja, chamou o vetor de linha.
Outra aluna creio que confundiu-se e na hora de responder, trocando a subtração por soma, disse: “indepente da onde movimentada não altera a soma”, vê-se que o aluno tem dificuldades inclusive em expressar-se na língua natural. O último aluno apenas escreveu: “Nenhuma conclusão”.
Na figura 47 observa-se o protocolo de registro da aluna C, onde ela mostra o resultado dos registros das operações de soma e de subtração envolvendo dois números complexos. É possível visualizar o paralelogramo formado e as diagonais do paralelogramo como resultado das operações.
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Figura 47: Geogebra – Alternativa E - Resposta da aluna C
Fonte: Material da Autora
Figura 48: Alternativa F
Fonte: Material da Autora
Na última alternativa (F), esperava-se claramente que os alunos respondessem que o vetor soma é a diagonal maior do paralelogramo e o vetor subtração é a diagonal menor do paralelogramo.
Em relação as conclusões obtidas pelos alunos aqui, observa-se que apenas dois deles vincularam os vetores resultantes às diagonais do paralelogramo, sem contudo, informar qual representava a diagonal maior e qual representava a diagonal menor.
132 Outros dois informaram que o vetor ao dividir a figura inicial (paralelogramo) formou triângulo. Muito embora essa observação seja verdadeira, não era a que esperava-se. Todos os demais alunos deram informações que não correspondem ao questionado.
Nesta etapa de aplicação da tarefa, tivemos bastante dificuldades, na transição do paradigma de dar ao aluno “tudo mastigado”, para o paradigma de deixar por conta deles o processo de reflexão e busca pela construção de saberes.
Apesar disso tudo, penso que foi positivo, pois quando os alunos conseguiam concluir a tarefa no Geogebra, havia uma satisfação pessoal por ter conseguido. Outro ponto fundamental era a questão da descoberta. Notadamente percebia que eles passaram a compreender melhor o processo operatório, muito embora apresentando enormes dificuldades em se expressar corretamente na linguagem natural escrita, todas as suas percepções. Tal fenômeno ocorre visto que a conversão dos registros geométricos computacionais não é congruente.
De acordo com Duval (2012, p. 284):
... quando não há congruência, não somente a conversão torna-se custosa em termos de tempo de tratamento, mas pode criar um problema diante do qual o sujeito se sente desarmado e a possibilidade de conversão não vem mais à mente.
Outro ponto importante a ressaltar que a dificuldade que os alunos têm em transitar entre os registros de representação semiótica, os leva a dificuldades na compreensão de conceitos muitas vezes simples, como vimos na alternativa B que envolvia a comparação de um número complexo e o seu conjugado.