QUESTIONÁRIO – PESQUISA

Qual sua idade? _________ Sexo: ___________Atualmente você continua estudando?____________ Se sim, em qual área/ou o que estuda? _______________________________

1) Assinale as alternativas que mais se aproximam da sua ideia a respeito da Matemática.

a) A Matemática é uma disciplina difícil, pois os conceitos são inventados por pessoas em momento de inspiração, de maneira teórica, nada tendo a ver com os fatos concretos da nossa vida, como números complexos, logaritmos, etc. Grande parte dos conceitos matemáticos, são dados na escola somente para o aluno fazer exercícios que nada têm a ver com a realidade e depois fazer uma prova.

b) Os conceitos matemáticos nasceram de situações concretas do dia a dia. c) Não tenho a menor ideia.

2) Números Complexos, são aqueles do tipo a + bi onde a e b são números reais e i



1 ou _i2 1. Você já estudou esse tipo de números?

a) Sim b) Não

3) Como você acha que os números complexos foram descobertos?

a) Quando um matemático ao resolver uma equação do segundo grau se deparou com um discriminante negativo (b24.a.c), e para continuar a resolução ele

resolveu criar um número i tal que i²= -1.

b) Os números complexos foram descobertos quando um matemático tentava resolver uma equação do terceiro grau.

164 4) Você já resolveu algum problema concreto do dia a dia, que apesar de na sua resolução aparecer raiz quadrada de um número negativo, o resultado final foi um números real, como R$ 3,00, 7 metros, etc, enfim que representava uma quantidade?

a) Sim b) Não

Se você respondeu sim, pode descrever como era esse problema?

5) Baseado no seu conhecimento de números complexos coloque V no verdadeiro e F no falso.

____ Os números complexos como, por exemplo, 2 + 3i, na realidade não são números, são apenas representações matemáticas, pois não representam uma quantidade, uma vez que ninguém diz: “ganho (2+3i) reais de salário”, ou paguei (4- 2i) reais, ou ainda andei (7+2i) metros, etc.

____ Os números complexos são números sim, pois com eles podemos resolver problemas do dia-a-dia e chegar à resposta que representam quantidades.

____ Os números complexos são na verdade a expressão matemática dos vetores e eles podem ser percebidos nos fenômenos físicos, nas relações geométricas, matriciais, etc.

6) Dentre os nomes abaixo, quais você associaria com a história dos números complexos?

a) Bombelli b) Argand c) Wallis d) Wessel e) Gauss f) Hamilton g) Cardano h) Moivre

7) Você já tentou resolver um problema de geometria utilizando os números complexos?

a) sim b) não

Acha que seria possível?

165 8) Um número real nós podemos representar geometricamente na reta real. E um

número complexo, é possível representar geometricamente?

b) Sim b) Não

Se você respondeu sim, tente no espaço abaixo representar geometricamente o número 2+3i

9) Como você representaria na forma algébrica (4, 2)?

10) Se um número complexo está localizado no 2°quadrante do plano, em qual quadrante estará o seu conjugado?

11) Você sabe explicar o que acontece quando somamos um número complexo com o seu conjugado?

12) Qual das alternativas abaixo representa uma relação com as operações da adição e subtração de complexos:

a) Teorema de Pitágoras b) Regra do Paralelogramo c) Teorema de Tales d) Regras Trigonométricas e) Teorema de Bháskara

13) Ao tomarmos um número complexo z, pertencente ao primeiro quadrante do plano, se multiplicarmos este complexo z por i (unidade imaginária), onde estará a imagem resultante?

14) (2+3i) + (5 + 2i) =

15) (4, 5) + (2, 6) =

166 17) (4,5) . (2, 6) =

18) (2 + 3i)² =

19)

(22i)

5=

20)

512i

=

21) Considerando no plano complexo uma região triangular formada pelos complexos (1, 2); (4, 1) e (3, 4). Utilize a malha abaixo para representar essa região e o resultado da transformação que adiciona o número complexo 2 + 3i a cada ponto da região.

167 22) Você consegue citar alguma aplicação para os números complexos?

23) Quer fazer alguma observação que julgue importante?

168

ANEXO B

TAREFA 1

A) Você aprendeu que um número complexo

zabi

pode ser representado no

plano Argand Gauss, como um vetor, cuja origem coincide com a origem do plano Argand Gauss e extremidade no ponto

( ba ,

)

. Represente um número complexo no plano usando o Geogebra.

B) Sabe-se que o conjugado de um complexo

zabi

é representado por

bi

a

z



. Construa no Geogebra o vetor conjugado ao complexo que você representou no item A acima. Observando os dois, o

z e z

, descreva graficamente qual é a relação entre esses dois números.

C) Faça a operação de soma entre o complexo acima e seu conjugado, utilizando a caixa de entrada do Geogebra. Que conclusão você chega em relação ao resultado obtido? Se você movimentar o

z

₁, o que acontece? Salve esta tela como atividade 1 em sua pasta. Agora limpe a tela.

D) Tome dois números complexos. Na caixa de entrada faça a soma entre eles. Na extremidade de

z

₁, estique um vetor até a extremidade do vetor soma. Compare esse vetor com

z

₂, que conclusão você chega? Faça o contrário agora, ou seja, vá à extremidade de

z

₂ e estique um vetor até a extremidade do vetor soma e compare com

z

₁. Que conclusão você chega disso tudo? Que figura geométrica formou? Salve esta tela como atividade 2

E) Utilizando a tela acima, faça a operação a operação de subtração entre

z

₁ e

z

₂

Agora uma as extremidades dos vetores

z

₁ e

z

₂ e compare com o resultado do vetor subtração. Movimente um dos complexos (

z

₁ou

z

₂). Qual conclusão você chega?

F) Olhando para a figura formada pelos dois vetores que você escolheu, o que representa o vetor soma e o vetor subtração em relação à figura formada? Salve sua tela como atividade

169 TAREFA 2

A) No Geogebra, tome um número complexo e seu vetor. Qual é o módulo desse complexo (faça o cálculo). Agora vá na barra de ferramentas e vamos medir o comprimento do vetor. Qual conclusão você chegou?

B) Encontre o argumento do seu número complexo. Vá agora ao Geogebra e verifique o ângulo do seu vetor e compare com seu cálculo. Salve em sua pasta. C) Tome dois números complexos quaisquer. Faça o cálculo da multiplicação abaixo

e encontre o Z3, resultado da multiplicação. Agora vá ao Geogebra e coloque os dois complexos escolhidos por você. Na caixa de entrada e faça a multiplicação digitando: z_1*z_2(enter). Veja qual foi o resultado z3 obtido e compare com seu cálculo. Qual é a conclusão?

D) Meça os ângulos z1, z2 e z3. Meça também os módulos de z1, z2 e z3. Qual é a relação entre os ângulos de z1, z2 comparado com o de z3? Qual é a relação entre os módulos de z1, z2 comparado com os de z3? (Ou seja, qual a relação entre os complexos escolhidos e o resultado da operação de multiplicação). Salve em sua pasta

E) Tome dois números complexos quaisquer. Faça o cálculo da divisão. Não esqueça de que para resolver, é necessário multiplicar em cima e em baixo, pelo conjugado do número de baixo, conforme o exemplo abaixo:

26 17 7 25 1 17 7 ² 25 1 17 ) 1 .( 10 3 )² 5 ( ² 1 ) 10 15 2 3 ( ) 5 1 ).( 5 1 ( ) 5 1 ).( 2 3 ( 5 1 2 3 2 i i i i i i i i i i i i i i _                      

Desenhe no Geogebra, os dois vetores escolhidos por você. Agora vá à caixa de entrada e digite: z_1/z_2 (enter). Compare o resultado z3 com o seu resultado. Compare os módulos de z1 e z2, com o de z3. Compare os ângulos de z1 e z2 com o de z3. Em outras palavras, qual é a relação entre os ângulos e entre os módulos. Salve em sua pasta

170 TAREFA 3

Na tarefa 2, você teve a oportunidade de tomar dois números complexos e operar a multiplicação e a divisão com eles e tirar conclusões em relação aos módulos e aos ângulos resultantes em relação aos módulos e ângulos dos números complexos utilizados.

A) Tome dois números complexos, encontre o módulo e o argumento (ângulo). Agora vá no Geogebra, represente os números complexos e verifique seu resultado obtido, com os valores obtidos no Geogebra.

B) Escreva seus números na forma trigonométrica. Com base em suas conclusões em relação a tarefa 2 (anterior), como deve ficar o resultado escrito na forma trigonométrica da multiplicação dos seus números complexos? Confira sua conclusão na tela do Geogebra. Salve sua tela.

C) Como deve ficar o resultado escrito na forma trigonométrica da divisão dos seus números complexos? Confira sua conclusão na tela do Geogebra. Salve sua tela.

D) Escolha quatro números complexos e use a representação na forma de par ordenado no Geogebra. Agora una esses pontos, formando um quadrilátero. Multiplique os quatro complexos escolhidos pelo complexo z = 0 + 1i (ou simplesmente i). Uma os resultados formando um novo quadrilátero. Explique o que aconteceu. Salve sua tela

E) Limpe a tela e tome os quatro complexos formando um quadrilátero. Escolha um z_5 e opere as multiplicações com os quatro complexos. Una os quatro pontos resultantes, formando um quadrilátero. Explique o que aconteceu com novo quadrilátero comparado com o inicial.

171 TAREFA FINAL

1) Dê sua opinião sobre qual sua participação nesta pesquisa sobre os números complexos utilizando o software Geogebra. Você acha que a utilização do Geogebra pode ser um facilitador do aprendizado ou não? Crê que a aula é mais interessante ou não?

2) Você é capaz de citar alguma importância para a utilização dos números complexos?

3) Você gostaria de saber mais sobre os números complexos, como, operar potenciação, radiciação, e principalmente sua utilização?

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ANEXO C

RESENHAS DAS DISSERTAÇÕES SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS, EM ORDEM

No documento UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – UFSCAR CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS EXATAS - PPGECE (páginas 163-172)