América do; Norte: .C3^ 4 - C3-, = 3 ^ : ..
. Resuítado da 1;*.opção: 56 . 3 = 168 ; '. '
2.a opção; 4 da América Central e .1 da América do Norte
América Centrai: ~ &?>&,£ = 70
■ SA,. 4! 4.34.1 • f • ' •,.
América do Norte: C3 t == 3 •' .V;v
Resuitadoda 2.a opção: 70 . 3 « 210 •. •' '• ‘
3.® opção:. 5 da 'América Central e 0 da América do Norte . '•/
América Centrai:
C=X,.t ÈãÂ
M Á
~ 56-•
'' '•
. ••• ... ;;:;,8Y ^ v y , : 3 ! - ;.3.24 • •- • ; ; ' •Resultado da 3* opção:’56?= 56 .
Resultado final: 168,.+. 210 +; 56 =s 434
Item errádo. '••"
7. Considera ndo-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atieia de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre sf é igual a 66.
:V - '.V-.: • ' .. Y - Y -
Assunto: combinação , _’.v ■
Nesse caso, temos úma escolha de atletas, ou seja, um gíupo dè pessoas.
A questão informa .que participará um atleta de cãda país da América do Suij logo, temos.íÍ2-.ãtíetas p ^ r t í ç f p ^ m d Q . d a . ç o r n p e t r ç ã Q - a l ?•'.;•> -- . '
= = 2 2 = 66 possibilidades. V : . ' / W . - , . ^ •.
Iteni certo.‘ - r, . . ; - "
8. Considere que, no finai de uma reunião de executivos, foram trocados 78 apertos de mãos; cada executivo apertou uma única vez a mão de todos os outros. Nesse caso, o número de executivos presentes nessa reunião era inferior a 15.
108 RACiOCíNiO tÓGJCO - QUESTÕES COMENTADAS ~ CESPE - Bruno Víllar
RESQLUÇÃO: - .
( Assunto, combinado.1
j£-ssa:;quêâtã&:de;aperto;de, mão-pode sen resolvida pela formula:
Sepdo n = número de pessoas
Vamos ao processo dá suposição:
Sen"do n ~ 14“(s resposta é menor que 15}
<
--- - = --- = 78 apertos ae maoç
' 2 . 2 Resposta n - 1 3 . Item certo.
9. Uma concessionária oferece aos clientes as seguintes opções para a aquisição de um veículo: 4 cores externas, 4 cores internas, 4 ou 5 marchas, com ou sem ar condicionado, com ou sem direção hidráulica, com ou sem vidros e travas elétricas. Desse modo, são, no máximo, 128 as opções distintas para a escolha de um veículo.
RESOLUÇÃO: • . -V;-' v V : '
- v Assunto: Princípio Fundamental.de Contagem (sucessão de escolhas) ;
1;a-escoJha:.coresexternas: ~ 4 ■ .
2 ;? .^ c o i| ia ^ o r^ ji^ rr^ s .= :^ '.;; ; : . v
.;
.
3ia escolha:’marchas.55-2:{4,ou S..marchas)' .
4.^ es"colha: ar .còndfc!onado - 2: (com ou sem ar condicionado) / 5 - escolha; direção hidráulica ~ 2 „(con\oy sem djreção) : , 6.® escolha?^vidros -e travas ■= 2 (com oü sem yidros e travas)' -
T Bésúít2Ídp:;4 4*2.22 = 256 possibilidades, ' , '
Itenri errado. C _ « , ~ „ . - - ,
t ' - - ~ * , *
10. Os ramais de telefone em uma repartição têm 4 dígitos, formatados com os alga rismos 0,1,..., d. Se esses números possuem pelo menos um dígito repetido, então a quantidade de números de ramais que é possível formar é superior a 4.000.
Cap. 2 -ANÁLISE COMBINATORIA
IU
9RESOLUÇÃO:
Assunto: Princípio Fundamental de contagem .
Cuidado!. . - • •
A guestão p e d i u . r e p & i d o ; iogor podèm.serum, dois/jtr|is#u
quatró-dígito? repetidos.;- ‘‘ ; 1 W -V .-
Vamos utilizar úm processo compleménfâr. .•
1.° passo: Calcular-o totái de possibilidades: ■ • :
10 (0 a 9) ■ ’ 10
■.v Áigarismo 1 v / Aígárisprip 2 Algarismo 3 -Algarismo 4
Resujtado total - 10’lÒJ0.10 - 10 00Ò v - i *,
: 2^ passo; Çaicular o- tota}^ de: possibilidades sem repetição, deidfgito?
10 Í0 a 9) 9 - » - - :
' 4 ' ^Algarismo 1 Algarismo 2 Algarismo 3 . ,
- U *• \ - Algarismo 4 *. >, , r j*' . ’ - * " ‘ ' í Resujtaciq-^Hl 0;9.&7> =* 5,040 ^ *»/ t -%mos;,analjsár:jur>tb
5
j • ;.;- - " ^ i ** l Temos.viQ OOQ.pbssíbiJjdades-de ramais e em 5 0.4Q, ramais nao ha repetição; de.algaris-mos:; togo, ém 4960 (Í0 ;000 - 5 040) ramàis tera peio menos um díg(tò repe'i|dò
Item certo. ’ " ■■■‘.v 5 ■■ :
11. Um juiz deve sortear 5 homens e 6 mulheres para formar o corpo de jurados no tribunal do júri, entre 10 homens e 13 mulheres convocados. Nessa situação, o número de possibilidades diferentes de se formar o corpo de jurados é inferior a 1.970.
RESOLUÇÃO:
Assunto; çombinaçâo- ~ ,, 1
llp á fcu ío do pfujjo dé^h<>ftjens' ”
110 RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
^ -e-f-T "*n t _
i* Calc^í^ífê grüfjo de mulheres
r * " & 12^ i 10 9 8 Z12 3 5 5 2 0 716 ' - - • . i. ^ S * * “ * è 5^4 3j2; 1 ~ ^7 2 0 -* - - - '
Rèsultadp fi,nalj= 252. ,1 716 = 432 432 (número maior que 1 970}
- w x Vi i. í "* -í-a '* - —■
< t
Iténrr errado \ , ~(BB C ESPE 03 ~ 2008) Texto para as questões 12 a 15
Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem.
12. Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra PROVA* V ELM EN TE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta palavra aparece é igual a 6.
RESOLÜÇÃO:' > v-
; Açsunto permutação com repetição. •*;
Nesse caso, ar güestão só pêdiu'a quaptjdade de repetições da palavra PROVÁVEL- _
• r - - - J -í
s A fomfulU Ver£ o pVòduto do fatoriai dãV tetras repetidas. ” * v7
'•Letras repetidas1 E = 3 e V = 2 T _ í
, Resultado =>31 x 2! - 3 2.12.1 = 12 possibilidades
;: Item erradol “ ^
13. Com as letras da palavra TR O C AS é possível construir mafs de 3Ô0 pares distintos de letras.
, RESOLUÇÃO: „ _ „
Assunto Pfitfcfpio^Fundarnentai de Contagem 1 -
rr. A questao: é- sobre^ pares de letras, mas fique esperto:' pares de letras e: números são respondidos peíojRrípeípío.íundamental de Contagem
-<■ i j * *»-_< + 't -t v - r •; r T' y .r v ♦, i * í ? .• 'vf'.‘ !• J-'»,- i-; rx\ò* > Item^efrado» ^ ■ v . 4 , . - • * y i* fí j - v> r z: «l • ’ ‘ V * r . L e t r a 1 L e t r a 2 -t
}
1 v * j =f ^ r i •3 w - •> ^ u * yU .‘ í . J vs
«!*"* t i ^ „ is í ^ J ' t ^ ^ ^ í ) ^ - *r■ Cap. 2-ANÁLISE COMBIMATÓRiA 111
14. A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é Igual a 60.
RESOLUÇÃO: - ' • • ; :
Assunto* permutação com repetição dé elementos : .
A quantidade de repetições começando e. termlna.ndo;çom R/ logo, sobra a seguinte
palavra para permutar EPETIR. v . '•
Na paiayra EPETIR, temos a letra £ repetindo duas vezes! ' ;V ■'
P = 5.43 = 60
item certo.
15. Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa instituição bancária contenham 3 tetras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição, nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 x 103.
^Ãsàüntòi: Prinapiò F u r K ^ iii^ ^ '^ 'Q )n t á ^ è m ~ ’r f*'’’ * - :lÍ-:
A; senha deve ter letras repetidas, más a guestãp não iriformou a quantidade de répetiçõés;'-(iima .: fetra..repeti.dá duas ou três.:vèzèsj^. Nesse cãso, vambs. utilizar a
fesuitadoj 26 2 5 ^ 4 = ] 5 600 relação complementa r . , ;
1.*? passo: totãl de senhas.. .
'"'.S" 2 6 f. ; 26
■ : <:Xr ; i - : tetra 1 ••'•V: Letra 2 ' Lètra 3
Resultado: 26; 26. 26 = 17 576
2.° passo: total de senhas sem repetição de letras
' 2é ■ 24. v
-1- . Letra 1 •.;Xietirá 2 ■ Letra 3 v -• .v
^ É io ta fd e senhas torrriepetições de letras seráJgual a* 576~H% 600 = 1 ?7^j
í .r ~ %'■ <r„\ jn f ‘ ~ 1 -» _ C v í -
^
*' . ‘
^
_
~
112 RACIOCÍNIO LOGiCO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Vtllar
(Agente PF 2009) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B , e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se seguem.
16. A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400.
RESOLUÇÃO: Assunto: combinação Total de equipes: 1 1 ,
Para o grupo A çerão escolhidas 5 equipes.
c - - 11.10.9 8 7 55440 c . , . ---- --- 4g2
' - . 5.4 3.2 1 > * 120 ’
item errado.
A diretoria da associação dos servidores de uma pequena empresa deve ser formada por 5 empregados escolhidos entre os 10 de nível médio e os 15 de nível superior.
A respeito dessa restrição, julgue os itens seguintes.
17. Há mais de 20 mil maneiras para se formar uma diretoria que tenha 2 empre gados de nívei médio e 3 empregados de nívei superior.
RESOLUÇÃO:
Assunto: combinação'J
Escolha de dois empregados de nível medio
102 2L ’ 2~"~ v tJ> -j ^ v
Escolha dos 3“ errypregadqs "de nível superior. - ' *-,í v —
C - 15 13 J2 7 3 Q _ '
Cap. 2 - ANÁLISE COMB1NATÓRIA 113
18. Com os algarismos 1, 3, 5 © 7, admitindo-se repetição, é possível formar mais de 60 senhas de três algarismos.
RESOLUÇÃO:
Assunto: Princípio fundamental de contagem (sucessão de escolhas). ’ *
Restrito; não possui ' „
l;?.algansmo =. 4esepíhasv-.- 2° algarismo == 4. escolhas . 3£:aigáirismp.~ '4,:èkoÍhêís "
Resuiíádó.: .4.4.4=?', 64--possibilidades. Itèm.certo.: . . .
19. Considere que, em visita a uma discoteca, um indivíduo escolheu 10 CDs de cantores de sua preferência, todos os CDs tinham o mesmo preço, mas esse indivíduo dispunha de dinheiro suficiente para comprar apenas 4 CDs. Nesse caso, a quantidade de maneiras diferentes que esse indivíduo dispõe para es colher os 4 CDs que irá comprar é inferior a 200.
RESOLUÇÃO: , .
^Assunto-"combmação,(escolha de grupo) v
C * ™ S 7 - 1QA8.7 _ 5Q40 = 504 ~ .4} 7 4.3.2.l " 2 4 " .
Item errado*