CILÍNDRICA
4.1 ANÁLISE DA VIBRAÇÃO LIVRE LINEAR PARA A CASCA NO VÁCUO
Com o intuito de se obter o espectro frequências naturais, foram obtidas os valores das mesmas para diferentes combinações de ondas e para as duas teorias estudadas, considerando-se uma casca cilíndrica no vácuo. As equações de equilíbrio foram discretizadas pelo método de Galerkin-Urabe, linearizadas e o sistema de equações algébricas resolvido analiticamente. Para aplicação do método de Galerkin-Urabe, a discretização no tempo das amplitudes dos driven
modes das equações (3.20) - (3.22) foi realizada a partir das seguintes equações:
( )
t u( )
tU11 = 11cos ω U13
( )
t =u13cos( )
ω t 3 U15( )
t =u15cos( )
ω t 5(4.1)
( )
( )
7 17 17 t u cos t U = ω U10( )
t =u10cos( )
ωt U12( )
t =u12cos( )
ω t( )
( )
2 20 20 t u cos t U = ω U22( )
t =u22cos( )
ωt 2( )
t v( )
t V11 = 11cos ω( )
( )
3 31 31 t v cos t V = ω V51( )
t =v51cos( )
ω t 5 (4.2)( )
( )
7 71 71 t v cos t V = ω V22( )
t =v22cos( )
ω t 2( )
t w( )
t W11 = 11cos ω( )
( )
2 02 02 t w cos t W = ω W13( )
t =w13cos( )
ω t 3 (4.3)A análise no domínio da frequência foi feita fixando o valor do número de semiondas longitudinais em m = 1 e fez-se a variação do número de ondas circunferenciais n, obtendo-se os valores das frequências naturais. É importante destacar que para a análise das vibrações livres lineares descarta-se da solução modal dos campos de deslocamentos a participação dos
companion modes, pois as soluções lineares desse sistema são idênticas às soluções que
consideram apenas o driven mode.
Nas Figuras 4.2 - 4.4 são apresentados os espectros das frequências naturais para as teorias de Donnell e Sanders, considerando as diferentes leis de gradação, equações (2.19) e (2.20), onde as linhas contínuas referem-se à função sanduíche e as linhas contínuas com símbolos são referentes a função sanduíche inversa. Foram obtidos os espectros para os três casos de geometria em estudo. Observa-se que independentemente da teoria do campo de deformação e mudança de curvatura ou da lei de gradação do material a menor frequência natural para uma casca cilíndrica no vácuo, considerando a geometria I (L/R = 0,5), ocorre para (m, n) = (1, 9), como pode ser observado na Figura 4.2. Considerando a geometria II (L/R = 1), os menores valores de frequências naturais ocorrem para (m, n) = (1, 7), como ilustrado na Figura 4.3. Por
fim, a Figura 4.4 mostra os espectros das frequências naturais avaliando a geometria III (L/R = 2), em que os menores valores das mesmas ocorrem para (m, n) = (1, 5). Estas combinações de modos serão utilizadas em todas as análises não lineares que se desenvolverão ao longo deste trabalho, considerando seus respectivos casos geométricos.
Figura 4.2 – Espectro das frequências naturais para a geometria I (L/R = 0,5), considerando as duas leis de gradação e m = 1. (a) Teoria de Donnell e (b) teoria de Sanders.
(a) (b)
Figura 4.3 – Espectro das frequências naturais para a geometria II (L/R = 1), considerando as duas leis de gradação e m = 1. (a) Teoria de Donnell e (b) teoria de Sanders.
Figura 4.4 – Espectro das frequências naturais para a geometria III (L/R = 2), considerando as duas leis de gradação e m = 1. (a) Teoria de Donnell e (b) teoria de Sanders.
(a) (b)
Nas Tabelas 4.1 e 4.2 são apresentados os valores das frequências naturais da casca cilíndrica vazia para as duas teorias estudadas, considerando as leis de gradação e as diferentes geometrias. Observa-se a diminuição do valor das frequências naturais ao aumentar o comprimento da casca. Estas frequências também são influenciadas pela lei de gradação funcional do material. Para a formulação sanduíche, nota-se o aumento do valor das mesmas pelo incremento do expoente N, pois com o aumento de N a casca com a função sanduíche tende ao caso perfeitamente isotrópico de cerâmica (nitreto de silício). Já para a formulação sanduíche inversa, ocorre a redução do valor das frequências naturais ao aumentar o expoente N, pois, nesse caso, tem-se com o incremento de N a aproximação do caso isotrópico de aço inoxidável.
Tabela 4.1 – Valores das frequências naturais (rad/s) da casca cilíndrica vazia para a teoria não linear de Donnell, considerando as diferentes leis de gradação e as diferentes geometrias.
N
Sanduíche Sanduíche inversa
L/R = 0,5 (m, n)=(1, 9) L/R = 1 (m, n)=(1, 7) L/R = 2 (m, n)=(1, 5) L/R = 0,5 (m, n)=(1, 9) L/R = 1 (m, n)=(1, 7) L/R = 2 (m, n)=(1, 5) 0,1 1559,30 777,31 387,53 1807,70 903,60 454,20 0,2 1594,60 794,90 396,29 1758,80 879,21 442,01 1 1783,60 889,16 443,40 1557,40 778,60 391,56 1,5 1857,80 926,24 462,01 1499,20 749,48 376,88 5 2110,50 1052,60 525,68 1357,60 678,45 340,79
Tabela 4.2 – Valores das frequências naturais (rad/s) da casca cilíndrica vazia para a teoria não linear de Sanders, considerando as diferentes leis de gradação e as diferentes geometrias.
N
Sanduíche Sanduíche inversa
L/R = 0,5 (m, n)=(1, 9) L/R = 1 (m, n)=(1, 7) L/R = 2 (m, n)=(1, 5) L/R = 0,5 (m, n)=(1, 9) L/R = 1 (m, n)=(1, 7) L/R = 2 (m, n)=(1, 5) 0,1 1443,20 738,93 366,88 1689,40 863,45 431,99 0,2 1497,10 755,56 375,15 1668,40 840,30 420,45 1 1669,40 844,95 419,74 1478,70 744,56 372,58 1,5 1736,60 880,22 437,39 1423,60 716,75 358,61 5 1961,90 1000,80 497,94 1288,70 648,59 324,12
Como pode ser observado comparando-se as Tabelas 4.1 e 4.2, os valores das frequências naturais obtidas através da teoria de Sanders são menores do que as frequências alcançadas pela teoria de Donnell, em todas as leis de gradação e para todas as geometrias, pois o termo de inércia foi considerado nas três direções da casca cilíndrica além da rigidez do sistema, quando se considera a teoria de Sanders, ser diferente devido ao acoplamento de esforços de flexão nas equações de equilíbrio no plano.
4.2
ANÁLISE DA TEMPERATURA CRÍTICA DE FLAMBAGEM
Para analisar o efeito do campo térmico no comportamento estático não linear e nas vibrações livres não lineares da casca cilíndrica, são introduzidos os esforços provenientes da temperatura, equações (2.16) e (2.17). As tensões térmicas são acrescidas ao estado de tensão inicial de membrana, conforme a equação (2.41). No presente trabalho, serão considerados dois casos de variação da temperatura ao longo da espessura da casca, uniforme e linear, as quais são dadas, respectivamente, por:
( )
z Text TintT = = (4.4)
( ) (
ext int)
int2 1 T h z T T z T + + − = (4.5)
sendo Text e Tint, respectivamente, a temperatura externa e interna à casca cilíndrica.
Nas Figuras 4.5 a 4.7 apresentam-se as temperaturas críticas da casca cilíndrica (eixo vertical) variando o número de ondas circunferenciais, n, (eixo horizontal) para os casos com variação uniforme e linear de temperatura, obtidas empregando-se as teorias não lineares de Donnell e de Sanders e considerando as diferentes geometrias e leis de gradação do material. Para a
determinação da temperatura crítica de flambagem o sistema de equações de movimento da casca cilíndrica é linearizado, desprezando-se os efeitos de inércia e de amortecimento, o que reduz o problema a um problema de autovalor e autovetor. A teoria de Donnell é representada pelas linhas contínuas e a teoria de Sanders pelas linhas contínuas com símbolos. Observa-se que para a geometria L/R = 0,5, a combinação modal (m, n) = (1, 9) ocorrem os menores valores das temperaturas críticas para as duas teorias e para as duas leis de gradação consideradas. Já considerando a geometria II (L/R = 1), os menores valores de temperaturas críticas ocorrem para (m, n) = (1, 7), como pode ser observado na Figura 4.6. Por fim, considerando-se a geometria III (L/R = 2), os menores valores das temperaturas críticas ocorrem para (m, n) = (1, 5), como pode ser verificado pela Figura 4.7.
Figura 4.5 – Temperaturas críticas, em função da variação de n, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando a geometria L/R = 0,5 e as leis de gradação para m = 1. (a) Variação uniforme. (b) Variação linear.
Figura 4.6 – Temperaturas críticas, em função da variação de n, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando a geometria L/R = 1 e as leis de gradação para m = 1. (a) Variação uniforme. (b) Variação linear.
(a) (b)
Figura 4.7 – Temperaturas críticas, em função da variação de n, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando a geometria L/R = 2 e as leis de gradação para m = 1. (a) Variação uniforme. (b) Variação linear.
(a) (b)
Nas Tabelas 4.3 e 4.4 estão apresentados os menores valores das temperaturas críticas obtidas a partir das Figuras 4.5 a 4.7, para as combinações modais apresentadas anteriormente. A Tabela 4.3 refere-se à variação uniforme da temperatura ao longo da espessura, e a Tabela 4.4 à
variação linear, ambas utilizando a teoria de Donnell e Sanders. Foram utilizados os extremos do expoente das leis de gradação, N = 0,1 e 5 para os três casos geométricos.
Tabela 4.3 – Valores das temperaturas críticas (oC) da variação uniforme para as teoria de Donnell e Sanders,
considerando as diferentes geometrias e leis de gradação com N = 0,1 e 5.
Lei de gradação Teoria de Donnell Teoria de Sanders
L/R = 0,5 L/R = 1 L/R = 2 L/R = 0,5 L/R = 1 L/R = 2
Sanduíche (N = 0,1) 476,80 473,88 471,12 427,89 437,98 440,79
Sanduíche (N = 5) 640,14 636,92 635,34 574,18 588,75 594,99
Sanduíche inversa (N = 0,1) 518,81 518,44 523,94 472,18 484,06 494,65 Sanduíche inversa (N = 5) 392,81 392,34 395,95 358,23 366,69 373,87
Ao analisar as duas tabelas, observa-se que os valores das temperaturas críticas obtidas a partir da teoria de Sanders são menores comparados à Donnell, pois na teoria de Sanders há acoplamento de flexão e de torção nas equações de equilíbrio no plano da casca, levando a uma modificação da rigidez da estrutura. Além disso, o caso de variação uniforme da temperatura apresenta valores inferiores ao caso de variação linear, independente da gradação funcional e geometria.
Tabela 4.4 – Valores das temperaturas críticas (oC) da variação linear para as teoria de Donnell e Sanders,
considerando as diferentes geometrias e leis de gradação com N = 0,1 e 5.
Lei de gradação Teoria de Donnell Teoria de Sanders
L/R = 0,5 L/R = 1 L/R = 2 L/R = 0,5 L/R = 1 L/R = 2
Sanduíche (N = 0,1) 953,61 947,76 942,24 855,78 875,97 881,59 Sanduíche (N = 5) 1280,30 1273,80 1270,70 1148,40 1177,50 1190,00 Sanduíche inversa (N = 0,1) 1037,60 1036,90 1047,90 944,36 968,11 989,30
Sanduíche inversa (N = 5) 785,61 784,69 791,91 716,46 733,38 747,74
Observa-se que a menor temperatura crítica encontrada foi de 358,23ºC, que corresponde ao caso da lei de gradação sanduíche inversa (N = 5) utilizando a teoria de Sanders e considerando o caso com variação térmica uniforme ao longo da espessura. Outro ponto importante a ser destacado é que o campo de temperatura avaliado, linear ou uniforme, não modifica o modo de vibração natural da casca cilíndrica.
Para as análises não lineares de vibração livre e forçada com a presença do campo térmico que serão desenvolvidas, adotam-se as temperaturas de 50ºC e 90ºC atuando uniformemente ao longo da espessura da casca. Já para a variação linear de temperatura ao longo da espessura, serão aplicadas dois casos de variação linear de temperatura, a saber: (i) um caso variando de 50ºC na face interna a 30ºC na face externa da casca e (ii) outro caso variando de 90ºC na face interna a 30ºC na face externa da casca. Esses valores de temperatura estão bem abaixo dos valores críticos de temperatura e foram escolhidos devido a limitação das hipóteses do fluido interno, pois valores superiores a 100oC levariam a ebulição do fluido, tornando-o compressível, o que fere a hipótese inicial de incompressibilidade.
4.3
VIBRAÇÃO LIVRE NÃO LINEAR
Neste tópico apresentam-se os resultados da análise de vibração livre não linear da casca cilíndrica com MGF, além de avaliar a influência da presença do fluido interno, da ação térmica e da geometria desta estrutura nas relações frequência-amplitude. As combinações modais para a obtenção das relações frequência-amplitude foram: geometria I (L/R = 0,5) utilizou-se a combinação modal (m, n) = (1, 9), enquanto a geometria II (L/R = 1) a combinação modal utilizada foi (m, n) = (1, 7), e finalmente, a geometria III (L/R = 2) foi utilizada a combinação modal (m, n) = (1, 5). As equações de equilíbrio foram discretizadas pelo método de Galerkin- Urabe, assim como apresentado na seção 4.1, e o sistema de equações algébricas não lineares foi resolvido utilizando o método de Newton-Raphson.
O eixo horizontal das relações frequência-amplitude é composto pelos valores das frequências normalizadas em relação às suas respectivas frequências naturais, e o eixo vertical é constituído pelos valores das amplitudes do modo fundamental de vibração, W11, normalizadas em relação
à espessura da casca cilíndrica h.
As Figuras 4.8 a 4.10 apresentam as relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo, comparando as teorias não lineares de Donnell e Sanders, considerando as leis de gradação e as geometrias utilizadas. Neste caso não há a consideração dos efeitos térmicos na casca e tampouco dos carregamentos axial e lateral. Os gráficos em cor azul referem-se à teoria não linear de Donnell e os de cor preta à teoria não linear de Sanders, enquanto que as linhas contínuas são para o expoente N = 0,1 e as tracejadas para N = 5.
Observa-se que a teoria de Sanders apresenta uma maior não linearidade quando comparada a teoria de Donnell, medida pela maior inclinação à esquerda da relação frequência-amplitude (MONTES et al., 2014).
Figura 4.8 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando as leis de gradação para N = 0,1 e 5, L/R = 0,5: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
(a) (b)
A Figura 4.8 mostra que para a relação geométrica L/R = 0,5, as relações frequência-amplitude tiveram uma divergência entre as teorias de Donnell e Sanders. Independente da lei de gradação, para a teoria de Donnell, a casca teve um comportamento inicial de perda de rigidez (softening). Entretanto, para a teoria de Sanders, estas relações resultaram em um comportamento inicial de ganho de rigidez (hardening) para a gradação sanduíche (N = 0,1) e sanduíche inversa (N = 5), e softening para sanduíche (N = 5) e sanduíche inversa (N = 0,1). Este fato mostra que para esta geometria utilizando a teoria de Sanders, os parâmetros da matriz constitutiva elástica foram alterados e uma análise mais detalhada, para esse caso geométrico, da energia de membrana e de flexão é necessário para avaliar esta divergência no comportamento dinâmico da casca cilíndrica. Ainda, o modelo de baixa dimensão utilizado pela teoria não linear de Sanders atende mais condições de contorno, equações (3.24) e (3.27), que o modelo de baixa dimensão empregado na teoria não linear de Donnell.
Para as relações geométricas L/R = 1 e 2, todas as relações frequência-amplitude obtiveram o comportamento softening, ou seja, ocorreu uma perda de rigidez do sistema já que a frequência natural não linear decresce com o incremento da amplitude de vibração (MONTES et al., 2014).
Esta constatação é observada pelas Figuras 4.9 e 4.10, e não houve divergência entre as duas teorias, apenas uma maior não linearidade da teoria de Sanders comparada à teoria de Donnell.
Em todas as análises, foram utilizados apenas os extremos dos expoentes N da lei de gradação (0,1 e 5) devido a gradação funcional não alterar o comportamento inicial do sistema (SILVA
et al., 2014b), fato que pode ser analisado a partir das Figuras 4.11 e 4.12, onde se comparam
as relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo para as três geometrias, utilizando as teorias de Donnell (Figura 4.11) e de Sanders (Figura 4.12), considerando as leis de gradação sanduíche e sanduíche inversa. As curvas com linhas contínuas são para o expoente
N = 0,1 e as curvas tracejadas para N = 5. Sendo assim, pode-se afirmar que os valores
intermediários de N produzem curvas intermediárias entre os limites 0,1 e 5.
Figura 4.9 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando as leis de gradação para N = 0,1 e 5, L/R = 1: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
Figura 4.10 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando as leis de gradação para N = 0,1 e 5, L/R = 2: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
(a) (b)
Figura 4.11 – Comparação das relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo entre as três geometrias, para a teoria de Donnell, e considerando as leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
Figura 4.12 – Comparação das relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo entre as três geometrias, para a teoria de Sanders, e considerando as leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
Como pode ser analisado, ao reduzir o comprimento da casca cilíndrica ocasiona uma maior não linearidade das relações frequência-amplitude, devido a mudança de energia de flexão do sistema para energia de membrana. Como esperado para valores elevados de L/R o comportamento não linear da casca cilíndrica tende ao comportamento linear. Já o expoente da lei de gradação do material não modifica o comportamento com perda de rigidez do sistema independentemente da relação geométrica. Porém, para a teoria de Sanders, houve uma alteração do comportamento inicial hardening para a gradação sanduíche (N = 0,1) e sanduíche inversa (N = 5,0), explicado pela mudança nos parâmetros da matriz constitutiva elástica, alterando o balanço de a energia de flexão e de membrana do sistema.
4.3.1 Influência do fluido interno nas vibrações livres não lineares
A maior parte das aplicações de cascas cilíndricas está ligada ao armazenamento ou ao transporte de fluidos, e a interação entre o fluido e estas estruturas é de grande importância na análise dinâmica das mesmas. A pressão exercida pelo fluido é considerada como uma massa adicional à massa da casca, provocando, assim, um aumento da inércia do sistema (AMABILI, 2008). Nas Tabelas 4.5 e 4.6 são apresentados os valores das frequências naturais da casca cilíndrica adicionando o fluido interno para as teorias não lineares de Donnell e de Sanders, respectivamente, avaliando as diferentes leis de gradação e as diferentes geometrias.
Tabela 4.5 – Valores das frequências naturais (rad/s) da casca cilíndrica com o fluido interno para a teoria não linear de Donnell, considerando as leis de gradação e as diferentes geometrias.
N Sanduíche Sanduíche inversa
L/R = 0,5 L/R = 1 L/R = 2 L/R = 0,5 L/R = 1 L/R = 2 0,1 1002,40 447,13 194,92 1055,50 466,40 202,71 0,2 1016,00 452,61 197,07 1040,50 460,46 200,43 1 1080,90 478,45 207,13 973,45 433,79 190,07 1,5 1103,10 487,11 210,46 952,62 425,44 186,78 5 1166,50 511,33 219,65 899,28 403,87 178,12
Tabela 4.6 – Valores das frequências naturais (rad/s) da casca cilíndrica com o fluido interno para a teoria não linear de Sanders, considerando as leis de gradação e as diferentes geometrias.
N Sanduíche Sanduíche inversa
L/R = 0,5 L/R = 1 L/R = 2 L/R = 0,5 L/R = 1 L/R = 2 0,1 947,25 428,25 187,50 1005,00 449,34 196,11 0,2 959,92 433,48 189,58 990,88 443,66 193,91 1 1021,00 458,28 199,37 927,69 418,04 183,83 1,5 1042,00 466,66 202,63 907,88 409,95 180,60 5 1102,80 490,31 211,74 856,57 388,90 172,06
Observa-se que ao comparar as Tabelas 4.5 e 4.6 com as Tabela 4.1 e 4.2 há uma redução das frequências naturais, devido a massa adicionada do fluido, porém a combinação modal permanece inalterada para cada relação geométrica.
Nas Figuras 4.13 a 4.18 apresentam-se as relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com um fluido interno, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando as leis de gradação e as três relações geométricas. As linhas contínuas referem-se às relações para a casca no vácuo e as linhas tracejadas com fluido interno. Para a construção destas figuras, considera-se que a casca cilíndrica está livre dos efeitos térmicos e livre de carregamento axial e lateral.
A Figura 4.14 mostra que para a relação geométrica L/R = 0,5, utilizando a teorias de Sanders, as relações frequência-amplitude apresentam comportamentos iniciais diferentes dependendo da lei de gradação e do expoente N, entretanto o acoplamento do meio fluido a casca cilíndrica não modificou o mesmo comportamento não linear apresentado para a casca no vácuo.
Figura 4.13 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Donnell, L/R = 0,5 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
(a) (b)
Figura 4.14 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Sanders, L/R = 0,5 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
Figura 4.15 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Donnell, L/R = 1 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
(a) (b)
Figura 4.16 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Sanders, L/R = 1 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
Figura 4.17 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Donnell, L/R = 2 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
(a) (b)
Figura 4.18 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Sanders, L/R = 2 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
(a) (b)
Observa-se, nas Figuras 4.13 a 4.18, que a presença do fluido interno, intensifica a não linearidade da relação frequência-amplitude, independentemente da geometria ou da lei de gradação, pois a alteração da massa total do sistema provocada pelo fluido modifica a inércia do sistema levando as curvas a se inclinarem mais para a esquerda, o que caracteriza um
aumento da não linearidade do sistema (MONTES et al., 2014; SILVA; MONTES; GONÇALVES, 2014a; SILVA et al., 2014b).
Nota-se que o acoplamento do meio fluido a casca cilíndrica não modifica o comportamento não linear com perda de rigidez do sistema independentemente da relação geométrica ou da lei de gradação do material, já detectados na análise para a casca cilíndrica no vácuo. Apenas para a relação L/R = 0,5 utilizando a teoria de Sanders foi constatado variações no comportamento inicial de rigidez do sistema, o que já era sabido a partir da análise da casca cilíndrica no vácuo.
4.3.2 Influência do campo térmico na vibração livre não linear
Os efeitos do campo térmico na vibração livre não linear da casca cilíndrica foram investigados nas relações frequência-amplitude. Nas Figuras 4.19 a 4.24, as relações frequência-amplitude são obtidas, para as teorias não lineares de Donnell e Sanders, investigando as leis de gradação e a variação do campo térmico, linear ou uniforme, ao longo da espessura. Foi adotado o expoente N = 5 em todas as análises, onde as curvas em azul representam a casca preenchida pelo fluido e sem os efeitos térmicos, enquanto que as curvas em vermelho (variação linear) e alaranjado (variação uniforme) representam a casca com o fluido interno e o campo térmico atuando simultaneamente. Para os resultados desta seção, a casca cilíndrica não apresenta carregamento axial e lateral.
Figura 4.19 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Donnell, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 0,5: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
Figura 4.20 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Sanders, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 0,5: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
(a) (b)
Figura 4.21 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Donnell, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 1: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
Figura 4.22 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Sanders, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 1: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
(a) (b)
Figura 4.23 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Donnell, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 2: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
Figura 4.24 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Sanders, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 2: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa.
(a) (b)
Observa-se, nas Figuras 4.19 a 4.24, que ao incrementar o valor da temperatura em ambas as hipóteses de variação do campo térmico, linear ou uniforme, a relação frequência-amplitude apresenta maior não linearidade em relação aos resultados sem a consideração de temperatura, pois o efeito térmico adiciona tensões iniciais de compressão à casca cilíndrica, diminuído a rigidez do sistema (MONTES et al., 2014; SILVA; MONTES; GONÇALVES, 2014a; SILVA